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    知识点48几何最值2019中考真题分类汇编

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    知识点48几何最值2019中考真题分类汇编

    1、 一、选择题一、选择题 12 (20192019长沙)长沙)如图,ABC 中,AB=AC=10,tanA=2,BEAC 于点 E,D 是线段 BE 上的一个动点,则 CD+ 5 5 BD 的最小值是 【 】 A2 5B4 5C5 3D10 【答案答案】B 二、填空题二、填空题 16 (2019黄冈黄冈)如图,AC,BD在AB的同侧,AC2,BD8,AB8.点M为AB的中点.若CMD120 ,则 CD的最大值是. 【答案】【答案】14 【解析】【解析】 将 CAM 沿 CM 翻折到 CAM, 将 DBM 沿 DM 翻折至 DBM, 则 AMBM, AMCAMC, DMBDMB,CMD120 ,A

    2、MC+DMBAMC+DMB60 , AMB180 -(AMC+DMB+AMC+DMB)60 , AMB是等边三角形, 又又AC2,BD8,AB8.点 M 为 AB 的中点, ABAMBMAM 1 2 AB4, CAAC2, DBDB8, 又 CDCA+AB+DB2+4+814. 三、解答题三、解答题 24 (2019 山东威海,山东威海,24,12 分)分)如图,在正方形 ABCD 中,AB10cm,E 为对角线 BD 上一动点,连接 AE, CE,过 E 点作 EFAE,交直线 BC 于点 FE 点从 B 点出发,沿着 BD 方向以每秒 2cm 的速度运动,当点 E 与 点 D 重合时,运动

    3、停止,设BEF 的面积为 ycm2,E 点的运动时间为 x 秒 (1)求证:CEEF; (2)求 y 与 x 之间关系的函数表达式,并写出自变量 x 的取值范围; (3)求BEF 面积的最大值 【解题过程】【解题过程】 (1)证明:过 E 作 MNAB,交 AD 于 M,交 BC 于 N, 四边形 ABCD 是正方形,ADBC,ABAD, MNAD,MNBC, AMEFNE90 NFEFEN, AEEF,AEFAEMFEN90 , AEMNFE, DBC45 ,BNE90 , BNENAM. AEMEFN(AAS). AEEF. 四边形 ABCD 是正方形, ADCD,ADECDE, DEDE

    4、, ADECDE(SAS) , AECEEF. (2)在 RtBCD 中,由勾股定理得:BD10, 0x5. 由题意,得 BE2x, BNENx. 由(1)知:AEMEFN, MEFN, ABMN10,MEFN10x, 如图(1) ,当 0x 5 2 2 时, BFFNBN10 2x2x102 x. y 1 2 BFEN 1 (102 2 ) 2 2 xx2x25 2x(0x 5 2 2 ) ; 如图(2) ,当 5 2 2 x5 2时, 22 10102 2 2 2 2 BFBNFN 2x(102x)2 2x10, y 1 2 BFEN 1 (2 210) 2 2 xx2x25 2x( 5

    5、2 2 x5 2). 2 2 5 2 25 2 (0); 2 5 2 25 2 (5 2). 2 xxx y xxx (1) (2) (3)y2x25x2(x 5 2 4 )2 25 4 , 20, 当 x 5 2 4 时,y 有最大值是;即BEF 面积的最大值是; 当 5 2 2 x5 2时, y2x25 2x 2 5 2 2() 4 x 25 4 , 此时 20,开口向上,对称轴为直线 x 5 2 4 , 对称轴右侧,y 随 x 的增大而增大, 当 x5 2时,y最大值50. 当 x5 2时,BEF 面积的最大值是 50. 【知识点】四边形综合运用,二次函数的解析式,二次函数的最值问题,三

    6、角形全等的判定【知识点】四边形综合运用,二次函数的解析式,二次函数的最值问题,三角形全等的判定. 25 (2019 山东省威海市,题号山东省威海市,题号 25,分值,分值 12) (1)方法选择 如图,四边形ABCD是OO的内接四边形,连接AC,BD.ABBCAC. 求证:BDADCD. 小颖认为可用截长法证明:在DB上截取DMAD,连接AM 小军认为可用补短法证明:延长CD至点N,使得DNAD 请你选择一种方法证明. (2)类比探究 【探究1】如图,四边形ABCD是O的内接四边形,连接AC,BD.BC是O的直径,ABAC.试用等式表示线 段AD,BD,CD之间的数量关系,并证明你的结论. 【

    7、探究2】 如图, 四边形ABCD是O的内接四边形, 连接AC, BD.若BC是O的直径, ABC30 , 则线段AD, BD,CD之间的等量关系式是. (3)拓展猜想 如图,四边形ABCD是O的内接四边形,连接AC,BD.若BC是O0的直径,BC:AC:ABa:b:c,则线段AD, BD,CD之间的等量关系式是. 【思路分析】【思路分析】 (1)选小颖的截长法,如图,在 DB 上截取 DMAD,连接 AM,由旋转全等得 BMCD,BDMDBM ADCD (2)【探究 1】数量关系为:BD2ADCD 如图,在 DB 上截取 ADAN,连接 AN,可得AND 为等腰直角三角形,ND2AD,由旋转全

    8、等得 BN CD,BDNDBN2ADCD 【探究 2】数量关系为:BD2AD3CD 如图,在 DB 上截取 2ADPD,连接 AP,可得APD 为 30 的直角三角形, 由旋转相似得 BP3CD,BDPDBP2AD3CD (3)拓展猜想数量关系为:BD a b AD c b CD 图 O C A B D 图 B O C A D 图 B O C A D 图 B O C A D 如图,过 A 作 AQAD 交 BD 于 Q,连接 AQ,由旋转相似得= BQABc CDACb ,= DQBCa ADACb , BQ c b CD,BQ a b AD,BDPDBP a b AD c b CD 【解题过

    9、程】【解题过程】 (1)选小颖的截长法,如图,在 DB 上截取 DMAD,连接 AM,可得AMD 为等边三角形,可证BAM CAD(SAS)得 BMCD,BDMDBMADCD (2)【探究 1】数量关系为:BD2ADCD 如图,在 DB 上截取 ADAN,连接 AN,可得AND 为等腰直角三角形,ND2AD,BANCAD, 可证BANCAD(SAS)得 BNCD,BDNDBN2ADCD 【探究 2】数量关系为:BD2AD3CD 如图,在 DB 上截取 2ADPD,连接 AP,可得APD 为 30 的直角三角形, =tan30 = 3 APAB ADAC , BAPCAD, 可证BAPCAD 得

    10、 BP3CD, BDPDBP2AD3 CD 答案图 M O C B A D 答案图 N B O C A D (3)拓展猜想数量关系为:BD a b AD c b CD 如图,过 A 作 AQAD 交 BD 于 Q,连接 AQ,可得BAQCAD,ABQACD,ADQACB, BACQADBAPCAD,ADQACB = BQABc CDACb ,= DQBCa ADACb , BQ c b CD,BQ a b AD,BDPDBP a b AD c b CD 26 (2019益阳)益阳)如图,在半面直角坐标系 xOy 中,矩形 ABCD 的边 AB=4,BC=6.若不改变矩形 ABCD 的形 状和大

    11、小,当形顶点 A 在 x 轴的正半轴上左右移动时,矩形的另一个顶点 D 始终在 y 轴的正半上随之上下移动. (1)当OAD=30时,求点 C 的坐标; (2)设 AD 的中点为 M,连接 OM、MC,当四边形 OMCD 的面积为 2 21 时,求 OA 的长; (3)当点 A 移动到某一位置时,点 C 到点 O 的距离有最大值,请直接写出最大值,并求此时 cosOAD 的值. 第第 26 题图题图 第第 26 题备用图题备用图 【解题过程】 (【解题过程】 (1)如图)如图 1,过点,过点 C 作作 CEy 轴,垂足为轴,垂足为 E. 答案图 P B O C A D a c b 答案图 Q

    12、B O C A D 第第 26 题答图题答图 1 矩形矩形 ABCD 中,中,CDAD, CDE+ADO=90, 又又OAD+ADO=90, CDE=OAD=30. 在在 RtCED 中,中,CE= 2 1 CD=2, DE=3224 2222 CECD; 在在 RtOAD 中,中,OAD=30, OD= 2 1 AD=3. 点点 C 的坐标为的坐标为(2,323). (2)M 为为 AD 的中点,的中点, DM=3,6 DCM S. 又又 2 21 OMCD S四边形, 2 9 ODM S, 9 OAD S. 设设 OA=x,OD=y, 则则 9 2 1 36 22 xy yx , xyyx

    13、2 22 , 即即0)( 2 yx, x=y. 将将 x=y 代入代入36 22 yx得得18 2 x, 解得解得23x(23不合题意,舍去不合题意,舍去), OA 的长为的长为23. (3)OC 的最大值为的最大值为 8.理由如下:理由如下: 如图如图 2, 第第 26 题答图题答图 2 M 为为 AD 的中点,的中点, OM=3,5 22 DMCDCM. OCOM+CM=8, 当当 O、M、C 三点在同一直线时,三点在同一直线时,OC 有最大值有最大值 8. 连接连接 OC,则此时,则此时 OC 与与 AD 的交点为的交点为 M,过点,过点 O 作作 ONAD,垂足为,垂足为 N. CDM

    14、=ONM=90,CMD=OMN, CMDOMN, OM CM MN DM ON CD , 即即 3 534 MNON , 解得解得 5 9 MN, 5 12 ON, 5 6 MNAMAN. 在在 RtOAN 中,中, 5 56 22 ANONOA, 5 5 cos OA AN OAD. 26 (2019衡阳衡阳)如图,在等边ABC 中,AB6cm,动点 P 从点 A 出发以 cm/s 的速度沿 AB 匀速运动动点 Q 同时从点 C 出发以同样的速度沿 BC 延长线方向匀速运动当点 P 到达点 B 时,点 P、Q 同时停止运动设运 动时间为 t(s)过点 P 作 PEAC 于 E,连接 PQ 交

    15、 AC 边于 D以 CQ、CE 为边作平行四边形 CQFE (1)当 t 为何值时,BPQ 为直角三角形; (2)是否存在某一时刻 t,使点 F 在ABC 的平分线上?若存在,求出 t 的值,若不存在,请说明理由; (3)求 DE 的长; (4)取线段 BC 的中点 M,连接 PM,将BPM 沿直线 PM 翻折,得BPM,连接 AB,当 t 为何值时,AB的 值最小?并求出最小值 解:(1)ABC 为等边三角形,B60 ,BPPQ,2BPBQ 即 2(6t)6t,解得 t2当 t 为 2 时,BPQ 为直角三角形; (2)存在作射线 BF,PEAC,AE0.5t四边形 CQFE 是平行四边形,

    16、FQEC60.5t,BF 平分ABC,FBQBQF90 BQ2FQ,BQ6t,6t2(60.5t),解得 t3 (3)过点 P 作 PGCQ 交 AC 于点 G,则APG 是等边三角形BPPQ,EG 1 2 AGPGCQ, PGDQCD,PDGQDC,PGPACGt,PGDQCDGD 1 2 GCDE 1 2 AC3 (4)连接 AM,ABC 为等边三角形,点 M 是 BC 的中点,BM3由勾股定理,得 AM33 由折叠, 得 BM3当 A 、B、M 在同一直线上时,AB的值最小,此时 AB333. 过点 B作 BHAP 于点 H,则 cos30 AH AB ,即 3 2 2 3 33 t ,

    17、解得 t933 t 为 933时,AB的值最小,最小值为 333 M F D E Q A B C P M F D E Q A B C P G M F D E Q A B C P 1.(2019重庆 A 卷)如图,在平面在角坐标系中,抛物线 yx22x3 与 x 轴交与点 A,B(点 A 在点 B 的左 侧)交 y 轴于点 C,点 D 为抛物线的顶点,对称轴与 x 轴交于点 E (1)连结 BD,点 M 是线段 BD 上一动点(点 M 不与端点 B,D 重合) ,过点 M 作 MNBD 交抛物线于点 N(点 N 在对称轴的右侧) ,过点 N 作 NHx 轴,垂足为 H,交 BD 于点 F,点 P

    18、 是线段 OC 上一动点, 当 MN 取得最大值时,求 HFFP 1 3 PC 的最小值; (2)在(1)中,当 MN 取得最大值,HFFP 1 3 PC 取得小值时,把点 P 向上平移个 2 2 单位得到点 Q, 连结 AQ,把AOQ 绕点 O 顺时针旋转一定的角度(00, b0 2 b ,-b-15,所以 m 541 2 + ; 当 NHHP4,即(m2+6m5)(m5)4, 解得,m1 541 2 + ,m2 541 2 - , 因为 m0,所以 m 541 2 - . 综上所述,要使点 A,M,N,Q 为顶点的四边形是平行四边形,点 N 的横坐标为:4 或 541 2 + 或 541

    19、2 - . 第 26 题答图 7.(2019淄博)淄博)如图,顶点为 M 的抛物线 yax2bx3 与 x 轴交于 A(3,0),B(1,0)两点,与 y 轴交于点 C (1)求这条抛物线对应的函数表达式; (2)问在 y 轴上是否存在点 P,使得PAM 为直角三角形?若存在,求出点 P 的坐标;若不存在,说明理由 (3)若在第一象限的抛物线下方有一动点 D,满足 DAOA,过 D 作 DGx 轴于点 G,设ADG 的内心为 I,试 求 CI 的最小值 解解:(1)将 A、B 两点坐标代入抛物线表达式,得 9330 30 ab ab ,解得 1 2 a b . xO y 备用图 图 G D C

    20、 B A C BA M M I Ox y yx22x3. (2)假设存在点 P,使PAM 是直角三角形. 当点 M 为直角顶点,过 M 作 CDy 轴,过 A 作 ADx 轴,交 CD 于 D,CD 交 y 轴于 C,AMP90 , CMPAMD90,CMPMAD,又DMPCM,CPMDMA, CM AD PC MD , 1 4 2 PC ,PC 1 2 ,P1(0, 7 2 ); 当点 A 为直角顶点,过 A 作 CDx 轴,过 M 作 MDy 轴交 AD 于 D,过 P 作 PCy 轴交 CD 于 C,同上CPA DAM, PC AD AC MD , 3 4 2 AC ,AC 3 2 ,P

    21、2(0, 3 2 ); 当点 P 为直角顶点,过 M 作 CMy 轴于 C,CPMOAP, PC AO CM PO , 3 PC 1 4- PC ,PC1 或 3,P3(0,3),P4(0,1). 综上所述,使PAM 是直角三角形的点 P 的是 P1(0, 7 2 ),P2(0, 3 2 ),P3(0,3),P4(0,1). (3)(方法 1)由(1)得 DAOA3,设 D(x,y),ADG 的内切圆半径为 r,则ADG 的内心 I 为(xr,r), DGy,AG3x 由两点距离公式可得 2 222 339DAxy 由等面积法得由等面积法得 r 33+ 22 yxDG AGDA = 2 yx

    22、22 2 3CIxrr 由得 22 2 9 122 5 333 551 21054 CIxy , 2 CI在 333 5=51 2105 xy,最小,此时CI也最小, min 9 122 5 3 =10- 2 42 CI (方法 2)简解:如图,由内心易知:DIA135 ,DAIOAI,DAIOAI(SAS) ,DIAOIA 135 ,则 I 在圆周角OIA135 T 的圆周上运动,且半径 R 3 2 2 ,圆心,圆心 T 为为( 3 2 , 3 2 ),CI 3 10 2 在CIA 中,CICTIT 3 10- 2 2 ,当 C、I、T 三点一线时, min 3 =10- 2 2 CI .

    23、(2)答图3 (2)答图2 (2)答图1 P C OAx M y C D P OxA M y A CD P M Ox y 8.(2019枣庄枣庄)已知抛物线 yax2+ 3 2 x+4 的对称轴是直线 x3,与 x 轴相交于 A、B 两点(点 B 在点 A 的右侧), 与 y 轴交于点 C. (1)求抛物线的解析式和 A、B 两点的坐标; (2)如图 1,若点 P 是抛物线上 B、C 两点之间的一个动点(不与 B、C 重合),是否存在点 P,使四边形 PBOC 的 面积最大?若存在,求点 P 的坐标及四边形 PBOC 面积的最大值;若不存在,请说明理由. (3)如图 2,若点 M 是抛物线上任

    24、意一点,过点 M 作 y 轴的平行线,交直线 BC 于点 N,当 MN3 时,求点 M 的坐标. 解:解:(1)抛物线 yax2+ 3 2 x+4 的对称轴为:x 3 3 2 224 b aaa 3,a 1 4 ,抛物线的解析式为:y 1 4 x2+ 3 2 x+4,令 y0,得 1 4 x2+ 3 2 x+40,解之,得,x12,x28,点 B 在点 A 的右侧,A(2,0),B(8,0); (2)连接 BC,在抛物线 y 1 4 x2+ 3 2 x+4 中,令 x0,得 y4,C(0,4),OC4,OB8,SOBC16,B(8,0),C(0,4), 设 lBC:ykx+b,得 08k+b,

    25、4b,k 1 2 ,b4,lBC:y 1 2 x+4,过点 P 作 PDy 轴交 BC 于点 D,过点 C 作CE垂直PD于点E,过点B作BFPD于点F,则SPBCSPCD+SPBD 1 2 PDCE+ 1 2 PDBF 1 2 PD(CE+BF) 1 2 PD(xBxC) 1 2 PD84PD,点 P 在抛物线上,设点 P(x, 1 4 x2+ 3 2 x+4),PDy 轴,点 D 在直线 BC 上, D(x, 1 2 x+4),点 P 在 B,C 间的抛物线上运动,PDyPyD 1 4 x2+ 3 2 x+4( 1 2 x+4) 1 4 x2+2x,SPBC 4PD4( 1 4 x2+2x

    26、)x2+8x(x4)2+16, 当 x4 时, SPBC取最大值 16, 此时 S 四边形 OBPCSOBC+ SPBC32; A B D T I G x y C O 1 2 3 4 1 2 3 4 12341234 第 25 题答图 (3)MNy 轴,设 M,N 的横坐标为 m,点 M 在抛物线上,设点 M(m,n),其中 n 1 4 m2+ 3 2 m+4,点 N 在直线 BC 上,N(m, 1 2 m+4),点 M 是抛物线上任意一点,点 M 和点 N 的上下位置关系不确定,MN| 1 4 m2+ 3 2 m+4 ( 1 2 m+4)| 1 4 x2+2x|,MN3,| 1 4 x2+2

    27、x|3,即 1 4 x2+2x3 或 1 4 x2+2x3,解这两个方程,得 m12, m26, m34+2 7, m442 7,n16, n24, n371, n471,M1(2,6), M2(6,4), M3(4+2 7,7 1), M4(42 7,71). 9.(2019 聊城聊城)如图,在平面直角坐标系中,抛物线 yax2+bx+c 与 x 轴交于点 A(2,0),点 B(4,0),与 y 轴交于点 C(0,8),连接 BC,又已知位于 y 轴右侧且垂直于 x 轴的动直线 l,沿 x 轴正方向从 O 运动到 B(不含 O 点和 B 点),且分 别交抛物线,线段 BC 以及 x 轴于点

    28、P,D,E. (1)求抛物线的表达式; (2)连接 AC,AP,当直线 l 运动时,求使得PEA 和AOC 相似的点 P 的坐标; (3)作 PFBC,垂足为 F,当直线 l 运动时,求 RtPFD 面积的最大值. 第 25 题图 解:解:(1)由已知,将 C(0,8)代入 yax2+bx+c,c8,将点 A(2,0)和 B(4,0)代人 yax2+bx+8,得 4280 16480 ab ab ,解 得 1 2 a b ,抛物线的表达式为 yx2+2x+8; (2)A(2,0),C(0,8),OA2,OC8,lx 轴,PEAAOC90,PAECAO,只有当PAE ACO 时,PEAAOC.此

    29、时 AEPE COAO ,AE4PE.设点 P 的纵坐标为 k,则 PEk,AE4k,OE4k2,P 点的 坐标为(4k2,k),将 P(4k2,k)代入 yx2+2x+8,得(4k2)2+2(4k2)+8k,解得 k10(舍去),k2 23 16 ,当 k 23 16 时,4k2 15 4 ,P 点的坐标为( 15 4 , 23 16 ). (3)在 RtPFD 中,PFDCOB90,ly 轴,PDFOCB,RtPFDRtBOC, 2 PFD = SPD SBC BOC , SPFD 2 PD S BC BOC,由 B(4,0)知 OB4,又OC8,BC 22 OBOC4 5,又 SBOC

    30、1 2 OB OC16, SPFD 2 1 5 PD,当 PD 最大时,SPFD最大.由 B(4,0),C(0,8)可解得 BC 所在直线的表达式为 y2x+8,设 P(m, m2+2m+8),则D(m,2m+8),PD(m2)2+4,当m2时,PD取得最大值4,当PD4时,SPFD 16 5 ,为最大值. 10.(2019济宁)如图 1,在矩形 ABCD 中,AB8,AD10,E 是 CD 边上一点,连接 AE,将矩形 ABCD 沿 AE 折叠,顶点 D 恰好落在 BC 边上点 F 处,延长 AE 交 BC 的延长线于点 G (1)求线段 CE 的长; (2)如图 2,M,N 分别是线段 A

    31、G,DG 上的动点(与端点不重合) ,且DMNDAM,设 AMx,DNy 写出 y 关于 x 的函数解析式,并求出 y 的最小值; 是否存在这样的点 M,使DMN 是等腰三角形?若存在,请求出 x 的值;若不存在,请说明理由 解解: (1)由折叠可得 AFAD10,EFED, 矩形 ABCD 中,B90 ,AB2BF2AF2, 2222 1086,BFAFAB CFBCBFADBF1064 设 CEx,则 EFDECDCEABCE8x, EF2CE2CF2(8x)2x242x3,CE3 (2)矩形 ABCD 中,ADBC,DAGAGF, DAGFAG, DAGAGF, FAGAGF,AFFG1

    32、0, BGBFFG61016 矩形 ABCD 中B90 , AB2BG2AG2, 2222 8168 5AGABBG ADFG,ADFG, 四边形 AFGE 是平行四边形, 又ADAF, 平行四边形 AFGE 是菱形, DGDA10, DAGDGA, DMGDMNNAGDAMADM, DMNDAM, NMGADM 在ADM 和MNG 中,ADMNMG, DAGDGA, ADMGMN ADAM MGNG , 10 108 5 x yx , 2 14 5 10 105 yxx, 1 10 0,当 4 5 5 4 5 1 2 10 x 时,y 有最小值为 2 14 5 410 105 2 1 4 1

    33、0 y 关于 x 的函数解析式是: 2 14 5 10 105 yxx,当 x=4 5时,y 有最小值为 2 在DMN 和DMG 中,DMNDGM,MDGMDG,DMN 和DMG 是相似三角形 当DMG 是等腰三角形时,DMN 也是等腰三角形 M 不与 A 重合,DMDG,DMG 是等腰三角形只有 GMGD 或 DMGM 两种情况: (1)如图 3,当DMG 中 GMGD10 时,DMN 也是等腰三角形,即 xAGMG8 510; (2)如图 4,当DMG 中 DMGM 时,DMN 也是等腰三角形,MDGDGM,DAGMDG MDG,ADGDMG, ADAG MGDG , 108 5 108

    34、5x ,x11 5 2 综上:当 x 的值为 2 或11 5 2 时,DMN 是等腰三角形 11.(2019滨州)滨州)如图,抛物线 yx2+x+4 与 y 轴交于点 A,与 x 轴交于点 B,C,将直线 AB 绕点 A 逆时针旋转 90,所得直线与 x 轴交于点 D (1)求直线 AD 的函数解析式; (2)如图,若点 P 是直线 AD 上方抛物线上的一个动点 当点 P 到直线 AD 的距离最大时,求点 P 的坐标和最大距离; 当点 P 到直线 AD 的距离为时,求 sinPAD 的值 解: (1)当 x0 时,y4,则点 A 的坐标为(0,4) ,1 分 当 y0 时,0x2+x+4,解得

    35、 x14,x28, 则点 B 的坐标为(4,0) ,点 C 的坐标为(8,0) , OAOB4,OBAOAB45 将直线 AB 绕点 A 逆时针旋转 90得到直线 AD, BAD90,OAD45,ODA45,OAOD, 点 D 的坐标为(4,0) 2 分 设直线 AD 的函数解析式为 ykx+b, ,得, 即直线 AD 的函数解析式为 yx+44 分 (2)作 PNx 轴交直线 AD 于点 N,如右图所示, 设点 P 的坐标为(t,t2+t+4) ,则点 N 的坐标为(t,t+4) , PN(t2+t+4)(t+4)t2+t,6 分 PNx 轴,PNy 轴,OADPNH45 作 PHAD 于点

    36、 H,则PHN90, PH(t2+t)t(t6)2+, 当 t6 时,PH 取得最大值,此时点 P 的坐标为(6,) ,8 分 即当点 P 到直线 AD 的距离最大时,点 P 的坐标是(6,) ,最大距离是9 分 当点 P 到直线 AD 的距离为时,如右图所示, 则t, 解得 t12,t210,10 分 则 P1的坐标为(2,) ,P2的坐标为(10,) 当 P1的坐标为(2,) ,则 P1A, sinP1AD;12 分 当 P2的坐标为(10,) ,则 P2A, sinP2AD; 由上可得,sinPAD 的值是或14 分 二、填空题二、填空题 16.(2019南充)如图,矩形硬纸片ABCD的

    37、顶点A在y轴的正半轴及原点上滑动,顶点B在x轴的正半轴及 原点上滑动,点E为AB的中点,24AB ,5BC 给出下列结论:点A从点O出发,到点B运动至点O为 止,点E经过的路径长为12;OAB的面积最大值为 144;当OD最大时,点D的坐标为 25 26 ( 26 , 125 26 ) 26 其中正确的结论是 (填写序号) 【答案】【答案】 【解析】【解析】点E为AB的中点,24AB , 1 12 2 OEAB, AB的中点E的运动轨迹是以点O为圆心,12 为半径的一段圆弧, 90AOB,点E经过的路径长为 90 12 6 180 ,故错误; 当OAB的面积最大时,因为24AB ,所以OAB为

    38、等腰直角三角形,即OAOB, E为AB的中点,OEAB, 1 12 2 OEAB, 1 24 12144 2 AOB S,故正确; 如图,当O、E、D三点共线时,OD最大,过点D作DFy轴于点F, 5ADBC, 1 12 2 AEAB, 2222 51213DEADAE,13 1225ODDEOE, 设DFx, 2222 25OFODDFx, 四边形ABCD是矩形,90DAB,DFAAOB ,DAFABO , DFAAOB DFDA OAAB , 5 24 x OA , 24 5 x OA , E为AB的中点,90AOB,AEOE,AOEOAE , DFOBOA, ODOF ABOA , 22

    39、 2525 24 24 5 x x ,解得 25 26 26 x , 25 26 26 x 舍去, 125 26 26 OF , 25 26 125 26 (,) 2626 D故正确 故答案为: 【知识点】【知识点】直角形的性质;矩形的性质;相似三角形的判定和性质 三、解答题三、解答题 17. (2019 镇江)如图,菱形ABCD的顶点B、C在x轴上(B在C的左侧) ,顶点A、D在x轴上方,对角 线BD的长是 2 10 3 ,点( 2,0)E 为BC的中点,点P在菱形ABCD的边上运动当点(0,6)F到EP所在直线的距 离取得最大值时,点P恰好落在AB的中点处,则菱形ABCD的边长等于( )

    40、A10 3 B10 C16 3 D3 【答案】【答案】A 【解析】【解析】如图 1 中,当点P是AB的中点时,作FGPE于G,连接EF ( 2,0)E ,(0,6)F, 2OE,6OF , 22 242 10EF, 90FGE, FG EF, 当点G与E重合时,FG的值最大 如图 2 中,当点G与点E重合时,连接AC交BD于H,PE交BD于J设2BCa PAPB,BEECa, / /PEAC,BJJH, 四边形ABCD是菱形, ACBD, 10 3 BHDH, 10 6 BJ , PEBD, 90BJEEOFPEF , EBJFEO , BJEEOF, BEBJ EFEO , 10 6 22 10 a , 5 3 a, 10 2 3 BCa, 故选:A 【知识点】【知识点】菱形的性质;平面直角坐标系;相似三角形的判定和性质;垂线段最短


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