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    2020年广东省深圳市罗湖区高三第一学期期末质量检测文科数学试题(含答案)

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    2020年广东省深圳市罗湖区高三第一学期期末质量检测文科数学试题(含答案)

    1、一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的,请将答案涂在答题卡上 1设复数 1 i 1i z ,则z A 1 2 B 1 4 C2   D 2 2 2设全集U R,集合 2 280Mx xx,13Nxx ,则  A12xx B23xx C41xx D23xx 3中国古代的五音,一般指五声音阶,依次为:宫、商、角、徵、羽;如果把这五个音 阶全用上,排成一个5个音阶的音序在所有的这些音序中随机抽出一个音序,则这 个音序中宫、羽两音阶在角音阶的同侧的概率为 A 1 2 B 1 3 C 2 3 D 2 5 4已

    2、知平面向量 2,0a ,2b ,2a b ,则2ab A2 3  B3 2  C2 2  D2 7 5为了研究不同性别在处理多任务时的表现差异, 召集了男女志愿者各200名,要求他们同时完成 多个任务,包括解题、读地图、接电话右图表 示了志愿者完成任务所需的时间分布 以下结论, 对志愿者完成任务所需的时间分布 图表理解正确的是 总体看女性处理多任务平均用时更短; 所有女性处理多任务的能力都要优于男性; 男性的时间分布相比女性的时间分布更对称; 女性处理多任务的用时为正数,男性处理多任务的用时为负数 A  B  C  D 高三文科数学试

    3、题 第 2 页(共 4 页) 6已知 n S为等差数列 n a的前n项和,若 9 4a, 15 30S,则 15 a A6  B15  C16  D18 7如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗实线画出的 是某多面体的三视图, 则该多面体的各面中, 面积最 大的面的面积为 A6 B4 2 C2 5 D4 8已知函数( )f x是定义域为 R 的奇函数,当0x 时, 2 ,01 ( ) ln ,1 xxx f x xx 函数 ( )g xf xa ,若 g x存在3个零点,则a的取值范围是 A 1 1 , 4 4 B 1 1 , 2 2 C 1 1 , 2 2 D 1

    4、 1 , 4 4 9记不等式 22 124xy表示的平面区域为D命题:( , ),28px yDxy;命 题: ( , ),21qx yDxy 下面给出了四个命题 pq  pq  pq  pq 这四个命题中,所有真命题的编号是 A  B  C  D 10设函数 cosf xx(0),已知 fx在0, 2 有且仅有2个极小值点,则的取 值范围是 A3,5  B6,8  C 3 5 , 2 2 D6,10 11在ABC中,内角,A B C的对边分别为, ,a b c,已知 222 2cosacbacC且 2 sinab

    5、A,则A A 4 B 6 C 3 D 2 3 12已知双曲线 22 22 :1 xy C ab 的左,右焦点分别为 1 F、 2 F,以 1 F 2 F为直径的圆与C的一 条渐近线交于点P, 1221 2PFFPF F ,则该双曲线的离心率为 A2  B3  C2  D3 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分 13cos1275   14已知( )ln1f xxx,则曲线( )yf x在点2,(2)f处的切线方程是   高三文科数学试题 第 3 页(共 4 页) 15已知直线: =1(0)l y kxk经过抛物线 2 :

    6、2C xpy的焦点F,且l与C交于A、B两 点,l与C的准线交于点E,若EFFB ,则p  ,k  (本题第 一空2分,第二空3分) 16已知三棱锥PABC中PA=PB=PC=3,当三棱锥PABC体积最大值时,三棱锥P ABC的外接球的体积为   三、解答题:共 70 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤第 1721 题为必考 题,每个试题考生都必须作答,第 22,23 为选考题,考生根据要求作答 (一)必考题,共(一)必考题,共 60 分分 17 (12分) 下表是我国2012年至2018年国内生产总值(单位:万亿美元)的数据: 年份 2012 2013

    7、2014 2015 2016 2017 2018 年份代号 x 1 2 3 4 5 6 7 国内生产总值y (单位:万亿美元) 8.5 9.6 10.4 11 11.1 12.1 13.6 (1)从表中数据可知x和y线性相关性较强,求出以x为解释变量y为预报变量的线 性回归方程; (2)已知美国2018年的国内生产总值约为20.5万亿美元,用(1)的结论,求出我 国最早在那个年份才能赶上美国2018年的国内生产总值? 参考数据: 7 i i 1 76.3y , 7 ii i 1 326.2y x , 参考公式:回归方程 ybxa中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为: iiii i 1i 1 2

    8、 22 ii i 1i 1 ()() () nn nn yy xxy xnyx b xxxnx , a ybx 18 (12分) 已知等比数列 n a的各项均为正数, n S为等比数列 n a的前n项和,若 2 2 3 a , 346 2a aa (1) n St恒成立,求t的最小值; (2)设 n n n b a ,求数列 n b的前n项和 n T 高三文科数学试题 第 4 页(共 4 页) 19 (12分) 如图, 四边形ABCD为矩形,22ABBC, E为边CD的中点, 以EB为折痕把CEB折起, 使点C到达点P的位置,且使平面PEB平面 ABED (1)证明:PB平面PEA; (2)求

    9、点E到平面PAD的距离 20 (12分) 已知函数 1 ( )1lnf xax x ,a为常数 (1)讨论函数( )f x的单调区间; (2)若( )0f x恒成立,求实数a的取值范围 21 (12分) 已知圆 22 27 :(3) 2 Mxy的圆心为M,圆 22 3 :(3) 2 Nxy的圆心为N,一 动圆与圆M内切,与圆N外切 (1)求动圆圆心C的轨迹方程; (2)过点(2,0)P的直线l与曲线C交于, A B两点,点Q是直线3x 上任意点,直线 QA,QP,QB的斜率分别为 123 ,k k k,试探求 123 ,k k k的关系,并给出证明 (二)选考题:共(二)选考题:共 10 分请

    10、考生在第分请考生在第 22、23 题中任选一题作答如果多做,则按所做的 第一题计分 题中任选一题作答如果多做,则按所做的 第一题计分 22选修4-4:坐标系与参数方程(10分) 在直角坐标系xOy中,直线 1 l的参数方程为 2xt ykt (t为参数),直线 2 l的参数方程 为 2xm m y k (m为参数),设 1 l与 2 l的交点为P,当k变化时,P的轨迹为曲线 1 C以 坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线 2 C的极坐标方程为4sin (1)写出 1 C的普通方程; (2)求曲线 1 C和曲线 2 C交点的极坐标 23选修4-5:不等式选讲(10分) 已知0ab,

    11、函数 2 1 fxxxa b ab (1)若1,2ba,求函数 fx 的最小值; (2)证明: 4f x 1 20201919- -20202020 学年第一学期期末质量检测学年第一学期期末质量检测  文文科科数学数学评分细则与评分细则与参考答案参考答案  说明:1参考答案与评分标准给出了一种或几种解法供参考,如果考生的解法与参考答案不同,可根据 试题主要考查的知识点和能力比照评分标准给以相应的分数 2对解答题中的计算题,当考生的解答在某一步出现错误时,如果后继部分的解答未改变该题的 内容和难度,可视影响的程度决定后继部分的得分,但所给分数不得超过该部分正确解答应得 分数的

    12、一半;如果后继部分的解答有较严重的错误,就不再给分 一、选择题一、选择题. 每小题每小题5 5分,共分,共6060分。分。 题题号号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案答案 D B C A C C B A B D D A 二、填空题二、填空题:本题共本题共 4 4 小题,每小题小题,每小题 5 5 分,共分,共 2020 分分 13. 62 4 14.  24yx ;  15. p 2, (2 分)k 3 3 (3 分);   16.  9 2 三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。三、解答题:解答应写出文字说明、证

    13、明过程或演算步骤。  17.(1217.(12 分分) )  解: (1) 7 1 10.9 7 i i y y , 1 234567 4 7 x 2 分 1 2 1 ()() 21 0.75 28 () n ii i n i i yy xx b xx ,10.90.75 47.9a 所以回归方程为0.757.9yx 6 分 (2)由(1)可知0.757.920.5yx,     8 分 解得16.8x ,及要在第 17 个年份才能超过 20.5 万亿 10 分 所以用线性回归分析我国最早也要在 2028 年才能赶上美国 2018 年的国内生产总值 12

    14、 分 18(12 分) 解: (1) 34166 2a aaaa,所以 1 2a , 又 2 2 3 a ,所以 1 3 q ,3 分 所以 1 2 1 3 1 3 13 1 3 1 3 n n n S ,所以t的最小值是 3. 6 分 2 (2)由(1)可知 1 2 3 n n a ,所以 1 3 2 n n n b ,     8 分 故  011 1 32 33 222 n n n T   1 12 131 32 33 3 2222 n n n nn T   - 得: 011 1 3333 2 2222 nn n n T   1

    15、0 分 化简 21 31 8 n n n T (形式可以不唯一) 12分 19(12 分) 解析:(1) 由题意 AE=BE=2,又 AB=2,所以 AEBE, 又平面PEB平面ABEDEB,且平面PEB平面ABED,所以 AE平面PEB,   2 分 故 AEPB,又 PBPE,且 AEPE=E,所以PB平面PEA 4 分 (2) 过点 P 在平面 PEB 中向 EB 引垂线,垂足O,连接 DO 和 AO, 又O为EB的中点所以 2 , 2 PO 10 , 2 DOAO 6 分 由平面PEB平面ABED可得PO ABED,所以POOA,POOD, 故 22 210 3, 22 PD

    16、PA 8 分 设F为 AD 的中点,连接FP,在等腰三角形PAD中 22 111 3, 42 PFPAAF         10 分 设点E到平面PAD的距离为h, 由 E PADP ADE VV ,得 111111 333232 PADADE hSPO ShAD PFPOAD DE 解得 22 11 h     12 分 3 20(12 分) 解: (1)由题意0x , 22 1 ( ) axa fx xxx , 1分 当0a 时,( )0fx,函数( )f x在区间0 ,上单调递增,   2分 当0a 时,在区间0a,上

    17、( )0fx,区间a ,上( )0fx, 故当0a 时,在区间0a,上函数单调递减,区间a ,上函数( )f x单调递增,  4分 (2)由(1)可知 当0a 时,函数( )f x在区间0 ,上单调递增, 又 11 ( )ln1ln10fa eea e ee ,与题设矛盾,  6 分 当0a 时,在区间0a,上函数( )f x单调递减,区间a ,上函数( )f x单调递增, 所以函数( )( )1ln0f xf aaa 即可, 8 分 设( )1ln ,0g xxx x , (1)0g, 11 ( )1 x g x xx ,  在区间01 ,上( )0g x,区间

    18、1 ,上( )0g x, 故在区间01 ,上函数( )g x单调递增,区间1 ,上函数( )g x单调递减, 10 分 所以( )(1)0g xg,  综上,只的当1a 时,( )1ln0f aaa ,所以1a 时,( )0f x 恒成立     12 分 21(12 分) 解: (1)设动圆C的半径为 r,则 3 66 |,| 22 CMr CNr. 两式相加得| 2 6CMCNMN,由椭圆定义知,点C的轨迹是以 M、N 为焦点,焦距为2 3, 长轴长为2 6的椭圆其方程为 22 1 63 xy       4分 (2)设 1122

    19、 ( ,), (,)A x yB xy,(3, )Qt, 若l斜率为 0,则(6,0), ( 6,0)AB, 4 得 1 36 t k , 3 36 t k , 2 32 t kt , 所以 132 2kkk, 故猜想 123 ,k k k成等差数列,         6 分 设直线l的方程设为2xmy,  由 22 2 1 63 xmy xy 消去y得 22 (2)420mymy 则有 12 2 4 2 m yy m , 12 2 2 2 y y m 8 分 1 1 1 3 ty k x , 2 3 2 3 ty k x , 2 32 t k

    20、t 1212 13 121212 11 333333 tytyyy kkt xxxxxx 又 11 2xmy, 22 2xmy,所以 11 31xmy , 22 31xmy 2 2 12 222 12121212 22 4 2 21111 2 2 4233111 1 22 m m yy m mmxxmymym yym y y mm 10 分 22 1212 2 12121212 44 22 0 33111 mm yyyy mm xxmymym yym y y 132 22kktk, 故 123 ,k k k成等差数列 12 分 22.选修 4-4:坐标系与参数方程(10 分) 解: (1)由

    21、2xt ykt ,消去参数t得 1 l的普通方程2ykx,   2 分 由 2xm m y k ,消去参数m得 2 l的普通方程 1 2yx k ,     4 分 设 P, x y,由题意得 2 1 2 ykx yx k ,消去k得 22 40xyy, 5 分 5 (2)由()曲线 1 C的坐标方程为20,,      6 分 由题意 4sin 2 得 1 sin 2 ,故 6 或 5 6  所以曲线 1 C和曲线 2 C交点的极坐标为2, 6 或 5 2, 6 10 分 23.选修 4-5:不等式选讲(10 分) 解:(

    22、1)当1,2ba时, 23,1 145,14 23,4 xx fxxxx xx 这时函数 f x的最小值为 5             4 分 (2)由0ab ,故 1 0 b ab , 2 0a 2 222 22 11 2, 111 , 1 2, xax b abb ab fxxxaaxa b abb abb ab xaxa b ab ,8 分 【别解 222 111 xxaxxaa b abb abb ab 8 分】 故 2 1 f xa b ab 又2ababb ab,所以 2 14 b aba , 故 22 2 14 4f xaa b aba ,当且仅当 2 2, 2 ab,时等号成立    


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