1、2020 年中考数学模拟试卷年中考数学模拟试卷 一、选择题 1的倒数是（ ） A B C D 2如图放置的几何体的左视图是（ ） A B C D 3下列计算正确的是（ ） Ax2 x3x6 Bx5+x52x10 C（2x）38x3 D（2x3）（6x2）x 4下列事件中，必然事件是（ ） A抛掷一枚硬币，正面朝上 B打开电视，正在播放广告 C体育课上，小刚跑完 1000 米所用时间为 1 分钟 D袋中只有 4 个球，且都是红球，任意摸出一球是红球 5下列一元二次方程中，有两个相等实数根的是（ ） Ax280 B2x24x+30 C9x2+6x+10 D5x+23x2 6从甲地到乙地有两条公路，
2、一条是全长 450 公里的普通公路，一条是全长 330 公里的高 速公路，某客车在高速公路上行驶的平均速度比在普通公路上快 35 公里/小时，由高速 公路从甲地到乙地所需的时间是由普通公路从甲地到乙地所需时间的一半如果设该客 车由高速公路从甲地到乙地所需时间为 x 小时，那么 x 满足的分式方程是（ ） A 2 B 35 C 35 D 35 7如图，点 A 是双曲线 y在第二象限分支上的一个动点，连接 AO 并延长交另一分 支于点 B，以 AB 为底作等腰ABC，且ACB120，点 C 在第一象限，随着点 A 的 运动，点 C 的位置也不断变化，但点 C 始终在双曲线 y上运动，则 k 的值为
3、（ ） A1 B2 C3 D4 8如图，正方形 ABCD 的边长为 4，点 P、Q 分别是 CD、AD 的中点，动点 E 从点 A 向点 B 运动，到点 B 时停止运动；同时，动点 F 从点 P 出发，沿 PDQ 运动，点 E、F 的 运动速度相同设点 E 的运动路程为 x，AEF 的面积为 y，能大致刻画 y 与 x 的函数关 系的图象是（ ） A B C D 二、填空题（共 8 个小题） 9估计+的运算结果应在哪两个连续自然数之间 10 张老师随机抽取 6 名学生， 测试他们的打字能力， 测得他们每分钟打字个数分别为： 100， 80，70，80，90，60，那么这组数据的中位数是 ，方差
4、是 11如图，ABCD 中，ABAD，AE，BE，CM，DM 分别为DAB，ABC，BCD， CDA 的平分线，AE 与 DM 相交于点 F，BE 与 CM 相交于点 N，连接 EM若ABCD 的 周长为 42cm，FM3cm，EF4cm，则 EM cm，AB cm 12 如图， 在边长为 1 的小正方形组成的网格中， 建立平面直角坐标系， ABO 与AB O是以点 P 为位似中心的位似图形，它们的顶点均在格点（网格线的交点）上，则点 P 的坐标为 13如图，在ABC 中，CACB，ACB90，AB2，点 D 为 AB 的中点，以点 D 为 圆心作圆心角为90的扇形DEF， 点C恰在弧EF上，
5、 则图中阴影部分的面积为 14在ABC 中，AB6cm，AC5cm，点 D、E 分别在 AB、AC 上若ADE 与ABC 相似，且 SADE：S四边形BCED1：8，则 AD cm 15如图，已知点 A（4，0），O 为坐标原点，P 是线段 OA 上任意一点（不含端点 O、A）， 过 P、O 两点的二次函数 y1和过 P、A 两点的二次函数 y2的图象开口均向下，它们的顶 点分别为 B、C，射线 OB 与 AC 相交于点 D当 ODAD3 时，这两个二次函数的最 大值之和等于 16如图，在平面直角坐标系中，A、B 两点分别在 x 轴和 y 轴上，OA1，OB，连接 AB，过 AB 中点 C1分
6、别作 x 轴和 y 轴的垂线，垂足分别是点 A1、B1，连接 A1B1，再过 A1B1中点 C2作 x 轴和 y 轴的垂线，照此规律依次作下去，则点n的坐标为 三、解答题（共三个小题，17 题 6 分，18、19 题各 8 分，共 22 分） 17先化简，再求值： （），请在3，0，1，3 中选择一个适当的数作为 x 值 18近年来，各地“广场舞”噪音干扰的问题倍受关注相关人员对本地区 1565 岁年龄 段的市民进行了随机调查，并制作了如下相应的统计图市民对“广场舞”噪音干扰的 态度有以下五种：A没影响 B影响不大 C有影响，建议做无声运动 D影响很 大，建议取缔 E不关心这个问题 根据以上信
7、息解答下列问题： （1）根据统计图填空：m ，A 区域所对应的扇形圆心角为 度； （2）在此次调查中，“不关心这个问题”的有 25 人，请问一共调查了多少人？ （3）将条形统计图补充完整； （4）若本地共有 14 万市民，依据此次调查结果估计本地市民中会有多少人给出建议？ 19数学课堂上，为了学习构成任意三角形三边需要满足的条件甲组准备 3 根木条，长度 分别是 3cm、8cm、13cm；乙组准备 3 根木条，长度分别是 4cm、6cm、12cm老师先从 甲组再从乙组分别随机抽出一根木条，放在一起组成一组 （1）用画树状图法（或列表法）分析，并列出各组可能（画树状图或列表以及列出可 能时不用写
8、单位） （2）现在老师也有一根木条，长度为 5cm，与（1）中各组木条组成三角形的概率是多 少？ 四、解答题（共两个小题，每小题 8 分，共 16 分） 20快、慢两车分别从相距 180 千米的甲、乙两地同时出发，沿同一路线匀速行驶，相向而 行，快车到达乙地停留一段时间后，按原路原速返回甲地慢车到达甲地比快车到达甲 地早小时，慢车速度是快车速度的一半，快、慢两车到达甲地后停止行驶，两车距各 自出发地的路程 y（千米）与所用时间 x（小时）的函数图象如图所示，请结合图象信息 解答下列问题： （1）请直接写出快、慢两车的速度； （2）求快车返回过程中 y（千米）与 x（小时）的函数关系式； （3）
9、两车出发后经过多长时间相距 90 千米的路程？直接写出答案 21如图，我南海某海域 A 处有一艘捕鱼船在作业时突遇特大风浪，船长马上向我国渔政 搜救中心发出求救信号，此时一艘渔政船正巡航到捕鱼船正西方向的 B 处，该渔政船收 到渔政求救中心指令后前去救援，但两船之间有大片暗礁，无法直线到达，于是决定马 上调整方向，先向北偏东 60方向以每小时 30 海里的速度航行半小时到达 C 处，同时 捕鱼船低速航行到 A 点的正北 1.5 海里 D 处， 渔政船航行到点 C 处时测得点 D 在南偏东 53方向上 （1）求 CD 两点的距离； （2）渔政船决定再次调整航向前去救援，若两船航速不变，并且在点
10、E 处相会合，求 ECD 的正弦值 （参考数据：sin53，cos53，tan53） 五解答题（本题共 8 分） 22如图，在ABC 中，C90，BAC 的平分线交 BC 于点 D，DEAD，交 AB 于 点 E，AE 为O 的直径 （1）判断 BC 与O 的位置关系，并证明你的结论； （2）求证：ABDDBE； （3）若 cosB，AE4，求 CD 六、解答题（本题共 10 分） 23某政府大力扶持大学生创业李明在政府的扶持下投资销售一种进价为每件 20 元的护 眼台灯物价部门规定，这种护眼台灯的销售单价不得高于 32 元销售过程中发现，月 销售量 y（件）与销售单价 x（元）之间的关系可近
11、似的看作一次函数：y10x+n （1）当销售单价 x 定为 25 元时，李明每月获得利润为 w 为 1250 元，则 n ； （2）在（1）的结论下，如果李明想要每月获得 2000 元的利润，那么销售单价应定为多 少元？ （3）在（1）的结论下，当销售单价定为多少元时，每月可获得最大利润？并求最大利 润为多少元 七、解答题（本题共 12 分） 24问题情境：已知，在等边ABC 中，BAC 与ACB 的角平分线交于点 O，点 M、N 分别在直线 AC，AB 上，且MON60，猜想 CM、MN、AN 三者之间的数量关系 方法感悟：小芳的思考过程是在 CM 上取一点，构造全等三角形，从而解决问题；
12、小丽的思考过程是在 AB 取一点，构造全等三角形，从而解决问题； 问题解决：（1）如图 1，M、N 分别在边 AC，AB 上时，探索 CM、MN、AN 三者之间 的数量关系，并证明； （2）如图 2，M 在边 AC 上，点 N 在 BA 的延长线上时，请你在图 2 中补全图形，标出 相应字母，探索 CM、MN、AN 三者之间的数量关系，并证明 八、解答题（本题共 12 分） 25如图，抛物线 yax2+bx+c 与 x 轴交于 A（1，0）、B（3，0）两点，与 y 轴交于点 C （0，3），抛物线的对称轴与直线 BC 交于点 D （1）求抛物线的表达式； （2）在抛物线的对称轴上找一点 M，
13、使|BMCM|的值最大，求出点 M 的坐标； （3）点 E 为直线 BC 上一动点，过点 E 作 y 轴的平行线 EF，与抛物线交于点 F 问是否 存在点 E，使得以 D、E、F 为顶点的三角形与BCO 相似？若存在，直接写出点 E 的坐 标 参考答案 一、选择题（共 8 个小题，每小题 2 分，共 16 分） 1的倒数是（ ） A B C D 【分析】根据乘积为 1 的两个数互为倒数，可得答案 解：的倒数是，故 D 正确， 故选：D 2如图放置的几何体的左视图是（ ） A B C D 【分析】根据从左边看得到的图形是左视图，可得答案 解：左视图可得一个正方形，上半部分有条看不到的线，用虚线表
14、示 故选：C 3下列计算正确的是（ ） Ax2 x3x6 Bx5+x52x10 C（2x）38x3 D（2x3）（6x2）x 【分析】A、原式利用同底数幂的乘法法则计算得到结果，即可做出判断； B、原式合并同类项得到结果，即可做出判断； C、原式利用积的乘方运算法则计算得到结果，即可做出判断； D、原式利用单项式除以单项式法则计算得到结果，即可做出判断 解：A、原式x5，错误； B、原式2x5，错误； C、原式8x3，错误； D、原式x，正确， 4下列事件中，必然事件是（ ） A抛掷一枚硬币，正面朝上 B打开电视，正在播放广告 C体育课上，小刚跑完 1000 米所用时间为 1 分钟 D袋中只有
15、 4 个球，且都是红球，任意摸出一球是红球 【分析】必然事件就是一定发生的事件，即发生的概率是 1 的事件 解：A、是可能发生也可能不发生的事件，属于不确定事件，故 A 不符合题意； B、是可能发生也可能不发生的事件，属于不确定事件，故 B 不符合题意； C、是可能发生也可能不发生的事件，属于不确定事件，故 C 不符合题意； D、袋中只有 4 个球，且都是红球，任意摸出一球是红球，是必然事件，故 D 符合题意 故选：D 5下列一元二次方程中，有两个相等实数根的是（ ） Ax280 B2x24x+30 C9x2+6x+10 D5x+23x2 【分析】 分别计算四个方程的判别式的值， 然后根据判别
16、式的意义判断各方程根的情况 解：A、x280， 这里 a1，b0，c8， b24ac0241（8）320， 方程有两个不相等的实数根，故本选项错误； B、2x24x+30， 这里 a2，b4，c3， b24ac（4）242380， 方程没有实数根，故本选项错误； C、9x2+6x+10， 这里 a9，b6，c1， b24ac624910， 方程有两个相等的实数根，故本选项正确； D、5x+23x2， 3x25x20， 这里 a3，b5，c2， b24ac（5）243（2）490， 方程有两个不相等的实数根，故本选项错误； 故选：C 6从甲地到乙地有两条公路，一条是全长 450 公里的普通公路，
17、一条是全长 330 公里的高 速公路，某客车在高速公路上行驶的平均速度比在普通公路上快 35 公里/小时，由高速 公路从甲地到乙地所需的时间是由普通公路从甲地到乙地所需时间的一半如果设该客 车由高速公路从甲地到乙地所需时间为 x 小时，那么 x 满足的分式方程是（ ） A 2 B 35 C 35 D 35 【分析】设出未知数，根据客车在高速公路上行驶的平均速度比在普通公路上快 35 公里 /小时，列出方程即可 解：设该客车由高速公路从甲地到乙地所需时间为 x 小时，那么由普通公路从甲地到乙 地所需时间为 2x， 由题意得，35， 故选：D 7如图，点 A 是双曲线 y在第二象限分支上的一个动点
18、，连接 AO 并延长交另一分 支于点 B，以 AB 为底作等腰ABC，且ACB120，点 C 在第一象限，随着点 A 的 运动，点 C 的位置也不断变化，但点 C 始终在双曲线 y上运动，则 k 的值为（ ） A1 B2 C3 D4 【分析】 根据题意得出AODOCE， 进而得出， 即可得出 kECEO 2 解：连接 CO，过点 A 作 ADx 轴于点 D，过点 C 作 CEx 轴于点 E， 连接 AO 并延长交另一分支于点 B，以 AB 为底作等腰ABC，且ACB120， COAB，CAB30， 则AOD+COE90， DAO+AOD90， DAOCOE， 又ADOCEO90， AODOCE
19、， tan60，则3， 点 A 是双曲线 y在第二象限分支上的一个动点， |xy|AD DO63， kECEO1， 则 ECEO2 故选：B 8如图，正方形 ABCD 的边长为 4，点 P、Q 分别是 CD、AD 的中点，动点 E 从点 A 向点 B 运动，到点 B 时停止运动；同时，动点 F 从点 P 出发，沿 PDQ 运动，点 E、F 的 运动速度相同设点 E 的运动路程为 x，AEF 的面积为 y，能大致刻画 y 与 x 的函数关 系的图象是（ ） A B C D 【分析】分 F 在线段 PD 上，以及线段 DQ 上两种情况，表示出 y 与 x 的函数解析式， 即可做出判断 解：当 F
20、在 PD 上运动时，AEF 的面积为 yAE AD2x（0x2）， 当 F 在 AD 上运动时，AEF 的面积为 yAE AFx（6x）x2+3x（2x 4）， 图象为： 故选：A 二、填空题（共 8 个小题，每小题 3 分，共 24 分） 9估计+的运算结果应在哪两个连续自然数之间 6 和 7 【分析】先把各二次根式化为最简二次根式，再进行计算，然后估算出无理数的大小即 可 解：+2+32+3， 435， 62+37， +的运算结果应在 6 和 7 两个连续自然数之间； 故答案为：6 和 7 10 张老师随机抽取 6 名学生， 测试他们的打字能力， 测得他们每分钟打字个数分别为： 100，
21、80，70，80，90，60，那么这组数据的中位数是 80 ，方差是 【分析】根据中位数的定义求出这组数据的中位数，再根据平均数的计算公式求出这组 数据的平均数，然后代入方差公式 S2（x1 ）2+（x2 ）2+（xn ）2，进 行计算即可得出答案 解：这组数据按从小到大的顺序排列为：60，70，80，80，90，100， 则中位数为：（80+80）80； 平均数是（100+80+70+80+90+60）80， 则方差是（10080） 2+2（8080）2+（7080）2+（6080）2+（9080）2 ； 故答案为：80， 11如图，ABCD 中，ABAD，AE，BE，CM，DM 分别为DA
22、B，ABC，BCD， CDA 的平分线，AE 与 DM 相交于点 F，BE 与 CM 相交于点 N，连接 EM若ABCD 的 周长为 42cm，FM3cm，EF4cm，则 EM 5 cm，AB 13 cm 【分析】由条件易证AEBAFDDMC90进而可证到四边形 EFMN 是矩形 及EFM90，由 FM3cm，EF4cm 可求出 EM易证ADFCBN，从而得到 DFBN；易证AFDAEB，从而得到 4DF3AF设 DF3k，则 AF4kAE4 （k+1），BE3（k+1），从而有 AD5k，AB5（k+1）由ABCD 的周长为 42cm 可 求出 k，从而求出 AB 长 解：AE 为DAB 的
23、平分线， DAEEABDAB， 同理：ABECBEABC， BCMDCMBCD， CDMADMADC 四边形 ABCD 是平行四边形， DABBCD，ABCADC，ADBC DAFBCN，ADFCBN 在ADF 和CBN 中， ADFCBN（ASA） DFBN 四边形 ABCD 是平行四边形， ADBC， DAB+ABC180 EAB+EBA90 AEB90 同理可得：AFDDMC90 EFM90 FM3，EF4， ME5（cm） EFMFMNFEN90 四边形 EFMN 是矩形 ENFM3 DAFEAB，AFDAEB， AFDAEB 4DF3AF 设 DF3k，则 AF4k AFD90， A
24、D5k AEB90，AE4（k+1），BE3（k+1）， AB5（k+1） 2（AB+AD）42， AB+AD21 5（k+1）+5k21 k1.6 AB13（cm） 故答案为：5；13 12 如图， 在边长为 1 的小正方形组成的网格中， 建立平面直角坐标系， ABO 与AB O是以点 P 为位似中心的位似图形，它们的顶点均在格点（网格线的交点）上，则点 P 的坐标为 （3，2） 【分析】根据题意得到点 P 的横坐标为3，利用待定系数法求出直线 OO 的解析式， 根据位似图形的定义计算，得到答案 解：ABO 与ABO是以点 P 为位似中心的位似图形， 点 P 为 BB 的延长线与 OO 的延
25、长线的交点， 点 B和点 B 的横坐标为3， 点 P 的横坐标为3， 设直线 OO 的解析式为：ykx， 点 O的坐标为（3，2）， 23k， 解得，k， 直线 OO 的解析式为：yx， 当 x3 时，y2， 点 P 的坐标为：（3，2）， 故答案为：（3，2） 13如图，在ABC 中，CACB，ACB90，AB2，点 D 为 AB 的中点，以点 D 为 圆心作圆心角为 90的扇形 DEF， 点 C 恰在弧 EF 上， 则图中阴影部分的面积为 【分析】连接 CD，作 DMBC，DNAC，证明DMGDNH，则 S四边形DGCHS四边 形DMCN，求得扇形 FDE 的面积，则阴影部分的面积即可求得
26、 解：连接 CD，作 DMBC，DNAC CACB，ACB90，点 D 为 AB 的中点， DCAB1，四边形 DMCN 是正方形，DM 则扇形 FDE 的面积是： CACB，ACB90，点 D 为 AB 的中点， CD 平分BCA， 又DMBC，DNAC， DMDN， GDHMDN90， GDMHDN， 在DMG 和DNH 中， ， DMGDNH（AAS）， S四边形DGCHS 四边形DMCN 则阴影部分的面积是： 故答案为 14在ABC 中，AB6cm，AC5cm，点 D、E 分别在 AB、AC 上若ADE 与ABC 相似，且 SADE：S四边形BCED1：8，则 AD 2 或 cm 【分
27、析】 由于ADE 与ABC 相似， 但其对应角不能确定， 所以应分两种情况进行讨论 解：SADE：S四边形BCED1：8， SADE：SABC1：9， ADE 与ABC 相似比为：1：3， 若AED 对应B 时， 则， AC5cm， ADcm； 当ADE 对应B 时，则， AB6cm， AD2cm； 故答案为： 15如图，已知点 A（4，0），O 为坐标原点，P 是线段 OA 上任意一点（不含端点 O、A）， 过 P、O 两点的二次函数 y1和过 P、A 两点的二次函数 y2的图象开口均向下，它们的顶 点分别为 B、C，射线 OB 与 AC 相交于点 D当 ODAD3 时，这两个二次函数的最
28、大值之和等于 【分析】 过 B 作 BFOA 于 F， 过 D 作 DEOA 于 E， 过 C 作 CMOA 于 M， 则 BF+CM 是这两个二次函数的最大值之和， BFDECM， 求出 AEOE2， DE， 设 P （2x， 0），根据二次函数的对称性得出 OFPFx，推出OBFODE，ACMADE， 得出，代入求出 BF 和 CM，相加即可求出答案 解：过 B 作 BFOA 于 F，过 D 作 DEOA 于 E，过 C 作 CMOA 于 M， BFOA，DEOA，CMOA， BFDECM， ODAD3，DEOA， OEEAOA2， 由勾股定理得：DE， 设 P（2x，0），根据二次函数的
29、对称性得出 OFPFx， BFDECM， OBFODE，ACMADE， ， AMPM（OAOP）（42x）2x， 即， 解得：BFx，CMx， BF+CM 故答案为： 16如图，在平面直角坐标系中，A、B 两点分别在 x 轴和 y 轴上，OA1，OB，连接 AB，过 AB 中点 C1分别作 x 轴和 y 轴的垂线，垂足分别是点 A1、B1，连接 A1B1，再过 A1B1中点 C2作 x 轴和 y 轴的垂线，照此规律依次作下去，则点n的坐标为 【分析】首先利用三角形中位线定理可求出 B1C1的长和 C1A1的长，即 C1的横坐标和纵 坐标，以此类推即可求出点n的坐标 解：过 AB 中点 C1分别
30、作 x 轴和 y 轴的垂线，垂足分别是点 A1、B1， B1C1和 C1A1是三角形 OAB 的中位线， B1C1 OA ，C1A1 OB ， C1的坐标为（ ，）， 同理可求出 B2C2，C2A2 C2的坐标为（ ，）， 以此类推， 可求出 Bnn，nAn ， 点n的坐标为， 故答案为： 三、解答题（共三个小题，17 题 6 分，18、19 题各 8 分，共 22 分） 17先化简，再求值： （），请在3，0，1，3 中选择一个适当的数作为 x 值 【分析】先把括号内通分，再把分子分母因式分解和除法运算化为乘法运算，然后约分 得到原式3x+15，再根据分式有意义的条件把 x1 代入计算即可
31、解：原式 3x+15， 当 x1 时，原式3+1518 18近年来，各地“广场舞”噪音干扰的问题倍受关注相关人员对本地区 1565 岁年龄 段的市民进行了随机调查，并制作了如下相应的统计图市民对“广场舞”噪音干扰的 态度有以下五种：A没影响 B影响不大 C有影响，建议做无声运动 D影响很 大，建议取缔 E不关心这个问题 根据以上信息解答下列问题： （1）根据统计图填空：m 32 ，A 区域所对应的扇形圆心角为 72 度； （2）在此次调查中，“不关心这个问题”的有 25 人，请问一共调查了多少人？ （3）将条形统计图补充完整； （4）若本地共有 14 万市民，依据此次调查结果估计本地市民中会有
32、多少人给出建议？ 【分析】（1）用 1 减去 A，D，B，E 的百分比即可，运用 A 的百分比乘 360即可 （2）用不关心的人数除以对应的百分比可得 （3）求出 2535 岁的人数再绘图 （4）用 14 万市民乘 C 与 D 的百分比的和求解 解：（1）m%133%20%5%10%32%， 所以 m32， A 区域所对应的扇形圆心角为：36020%72， 故答案为：32，72 （2）一共调查的人数为：255%500（人） （3）500（32%+10%）210（人） 2535 岁的人数为：2101030407060（人） （4）14（32%+10%）5.88（万人） 答：估计本地市民中会有 5
33、.88 万人给出建议 19数学课堂上，为了学习构成任意三角形三边需要满足的条件甲组准备 3 根木条，长度 分别是 3cm、8cm、13cm；乙组准备 3 根木条，长度分别是 4cm、6cm、12cm老师先从 甲组再从乙组分别随机抽出一根木条，放在一起组成一组 （1）用画树状图法（或列表法）分析，并列出各组可能（画树状图或列表以及列出可 能时不用写单位） （2）现在老师也有一根木条，长度为 5cm，与（1）中各组木条组成三角形的概率是多 少？ 【分析】（1）根据题意画树状图，然后根据树状图即可求得所有等可能的结果； （2）首先由树状图，求得长度为 5cm，与（1）中各组木条组成三角形的情况，然后
34、由 概率公式即可求得长度为 5cm，与（1）中各组木条组成三角形的概率 解：（1）画树状图、列表得： 甲 乙 4 6 12 3 （3，4） （3，6） （3，12） 8 （8，4） （8，6） （8，12） 13 （13，4） （13，6） （13，12） 一共有 9 种等可能的结果， 各组可能为：（3，4），（3，6），（3，12），（8，4），（8，6），（8，12），（13， 4），（13，6），（13，12）； （2）与（1）中各组木条组成三角形的有：（3，4），（3，6），（8，4），（8，6）， （8，12），（13，12）共 6 种情况， 与（1）中各组木条组成三角形的概率是 四
35、、解答题（共两个小题，每小题 8 分，共 16 分） 20快、慢两车分别从相距 180 千米的甲、乙两地同时出发，沿同一路线匀速行驶，相向而 行，快车到达乙地停留一段时间后，按原路原速返回甲地慢车到达甲地比快车到达甲 地早小时，慢车速度是快车速度的一半，快、慢两车到达甲地后停止行驶，两车距各 自出发地的路程 y（千米）与所用时间 x（小时）的函数图象如图所示，请结合图象信息 解答下列问题： （1）请直接写出快、慢两车的速度； （2）求快车返回过程中 y（千米）与 x（小时）的函数关系式； （3）两车出发后经过多长时间相距 90 千米的路程？直接写出答案 【分析】（1）根据路程与相应的时间，求得
36、慢车的速度，再根据慢车速度是快车速度的 一半，求得快车速度； （2）先求得点 C 的坐标，再根据点 D 的坐标，运用待定系数法求得 CD 的解析式； （3）分三种情况：在两车相遇之前；在两车相遇之后；在快车返回之后，分别求得时间 即可 解：（1）慢车的速度180（）60 千米/时， 快车的速度602120 千米/时； （2）快车停留的时间：2（小时）， +2（小时），即 C（2，180）， 设 CD 的解析式为：ykx+b，则 将 C（2，180），D（，0）代入，得 ， 解得， 快车返回过程中 y（千米）与 x（小时）的函数关系式为 y120x+420（2x）； （3）相遇之前：120x+6
37、0x+90180， 解得 x； 相遇之后：120x+60x90180， 解得 x； 快车从甲地到乙地需要 180120小时， 快车返回之后：60x90+120（x） 解得 x 综上所述，两车出发后经过或或小时相距 90 千米的路程 21如图，我南海某海域 A 处有一艘捕鱼船在作业时突遇特大风浪，船长马上向我国渔政 搜救中心发出求救信号，此时一艘渔政船正巡航到捕鱼船正西方向的 B 处，该渔政船收 到渔政求救中心指令后前去救援，但两船之间有大片暗礁，无法直线到达，于是决定马 上调整方向，先向北偏东 60方向以每小时 30 海里的速度航行半小时到达 C 处，同时 捕鱼船低速航行到 A 点的正北 1.
38、5 海里 D 处， 渔政船航行到点 C 处时测得点 D 在南偏东 53方向上 （1）求 CD 两点的距离； （2）渔政船决定再次调整航向前去救援，若两船航速不变，并且在点 E 处相会合，求 ECD 的正弦值 （参考数据：sin53，cos53，tan53） 【分析】（1）过点 C、D 分别作 CGAB，DFCG，垂足分别为 G，F，根据直角三角 形的性质得出 CG，再根据三角函数的定义即可得出 CD 的长； （2）如图，设渔政船调整方向后 t 小时能与捕渔船相会合，由题意知 CE30t，DE1.5 2t3t，EDC53，过点 E 作 EHCD 于点 H，根据三角函数表示出 EH，在 RtEHC
39、 中，根据正弦的定义求值即可 解：（1）过点 C、D 分别作 CGAB，DFCG，垂足分别为 G，F， 在 RtCGB 中，CBG906030， CGBC（30）7.5， DAG90， 四边形 ADFG 是矩形， GFAD1.5， CFCGGF7.51.56， 在 RtCDF 中，CFD90， DCF53， COSDCF， CD10（海里） 答：CD 两点的距离是 10； （2）如图，设渔政船调整方向后 t 小时能与捕渔船相会合， 由题意知 CE30t，DE1.52t3t，EDC53， 过点 E 作 EHCD 于点 H，则EHDCHE90， sinEDH， EHEDsin533tt， 在 Rt
40、EHC 中，sinECD 答：sinECD 五解答题（本题共 8 分） 22如图，在ABC 中，C90，BAC 的平分线交 BC 于点 D，DEAD，交 AB 于 点 E，AE 为O 的直径 （1）判断 BC 与O 的位置关系，并证明你的结论； （2）求证：ABDDBE； （3）若 cosB，AE4，求 CD 【分析】（1）结论：BC 与O 相切，连接 OD 只要证明 ODAC 即可 （2）欲证明ABDDBE，只要证明BDEDAB 即可 （3）在 RtODB 中，由 cosB，设 BD2k，OB3k，利用勾股定理列 出方程求出 k，再利用 DOAC，得列出方程即可解决问题 【解答】（1）结论：
41、BC 与O 相切 证明：如图连接 OD OAOD， OADODA， AD 平分CAB， CADDAB， CADADO， ACOD， ACBC， ODBC BC 是O 的切线 （2）BC 是O 切线， ODB90， BDE+ODE90， AE 是直径， ADE90， DAE+AED90， ODOE， ODEOED， BDEDAB， BB， ABDDBE （3）在 RtODB 中，cosB，设 BD2k，OB3k， OD2+BD2OB2， 4+8k29k2， k2， BO6，BD4， DOAC， ， ， CD 六、解答题（本题共 10 分） 23某政府大力扶持大学生创业李明在政府的扶持下投资销售一
42、种进价为每件 20 元的护 眼台灯物价部门规定，这种护眼台灯的销售单价不得高于 32 元销售过程中发现，月 销售量 y（件）与销售单价 x（元）之间的关系可近似的看作一次函数：y10x+n （1）当销售单价 x 定为 25 元时，李明每月获得利润为 w 为 1250 元，则 n 500 ； （2）在（1）的结论下，如果李明想要每月获得 2000 元的利润，那么销售单价应定为多 少元？ （3）在（1）的结论下，当销售单价定为多少元时，每月可获得最大利润？并求最大利 润为多少元 【分析】（1）根据已知得出 w（x20） y 进而代入 x25，W1250 进而求出 n 的 值即可； （2）利用 w（
43、x20） y 得出 W 与 x 之间的函数关系式，令：函数关系式的关系式 10x2+700x100002000，进而求出即可； （3）利用公式法求出 x35 时二次函数取到最值，再利用这种护眼台灯的销售单价不得 高于 32 元得出答案即可 解： （1） y10x+n， 当销售单价 x 定为 25 元时， 李明每月获得利润为 w 为 1250 元， 则 W（2520）（1025+n）1250， 解得：n500； 故答案为：500 （2）由题意，得：w（x20） y， （x20） （10x+500）10x2+700x10000， 令：10x2+700x100002000， 解这个方程得：x130，
44、x240（舍） 答：李明想要每月获得 2000 元的利润，销售单价应定为 30 元 （3）由（2）知：w10x2+700x10000， 100，抛物线开口向下 x32w 随 x 的增大而增大 当 x32 时，w最大2160 答：销售单价定为 32 元时，每月可获得最大利润，最大利润为 2160 元 七、解答题（本题共 12 分） 24问题情境：已知，在等边ABC 中，BAC 与ACB 的角平分线交于点 O，点 M、N 分别在直线 AC，AB 上，且MON60，猜想 CM、MN、AN 三者之间的数量关系 方法感悟：小芳的思考过程是在 CM 上取一点，构造全等三角形，从而解决问题； 小丽的思考过程
45、是在 AB 取一点，构造全等三角形，从而解决问题； 问题解决：（1）如图 1，M、N 分别在边 AC，AB 上时，探索 CM、MN、AN 三者之间 的数量关系，并证明； （2）如图 2，M 在边 AC 上，点 N 在 BA 的延长线上时，请你在图 2 中补全图形，标出 相应字母，探索 CM、MN、AN 三者之间的数量关系，并证明 【分析】（1）在 AC 上截取 CDAN，连接 OD，证明CDOANO，根据全等三角 形的性质得到 ODON，CODAON，证明DMONMO，得到 DMMN，结 合图形证明结论； （2）在 AC 延长线上截取 CDAN，连接 OD，仿照（1）的方法解答 解：（1）CMAN+MN， 理由如下：在 AC 上截取 CDAN，连接 OD， ABC 为等边三角形，
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