1、2019 年上海市奉贤区中考数学二模试卷一、选择题（本大题共 6 题，每题题，每题 4 分，满分分，满分 24 分）分） 1 （4 分）下列各数中，最小的数是（ ） A|2| B （）2 C（2） D （2）0 2 （4 分）电影流浪地球从 2 月 5 日上映以来，凭借其气势磅礴的特效场面与动人的父 子情获得大众的喜爱与支持，截止 3 月底，中国电影票房高达 4559000000 元数据 4559000000 用科学记数法表示为（ ） A45.59108 B45.59109 C4.559109 D4.5591010 3 （4 分）关于反比例函数 y，下列说法正确的是（ ） A函数图象经过点（2
2、，2） B函数图象位于第一、三象限 C当 x0 时，函数值 y 随着 x 的增大而增大 D当 x1 时，y4 4 （4 分）学校环保小组的同学随机调查了某小区 10 户家庭一周内使用环保方便袋的数量， 数据如下（单位：只） ：6，5，7，8，7，5，7，10，6，9利用学过的统计知识，根据 上述数据估计该小区 200 户家庭一周内共需要环保方便袋约（ ） A200 只 B1400 只 C9800 只 D14000 只 5 （4 分）把一副三角尺放在同一水平桌面上，如果它们的两个直角顶点重合，两条斜边平 行（如图所示） ，那么1 的度数是（ ） A75 B90 C100 D105 6 （4 分）
3、如图，已知ABC，点 D、E 分别在边 AC、AB 上，ABDACE，下列条件 中，不能判定ABC 是等腰三角形的是（ ） 第 2 页（共 24 页） AAEAD BBDCE CECBDBC DBECCDB 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 12 题，每题题，每题 4 分，满分分，满分 48 分）分） 7 （4 分）计算：m3（m）2 8 （4 分）不等式组的整数解是 9 （4 分）方程0 的根是 10 （4 分）在四张完全相同的卡片上，分别画有圆、菱形、等边三角形和等腰三角形如 果从中任意抽取 2 张卡片，那么这两张卡片上所画图形恰好都是中心对称图形的概率 是 11 （4 分）如果正
4、比例函数 y（k3）x 的图象经过第一、三象限，那么 k 的取值范围 是 12 （4 分）如果关于 x 的方程 x2+4x+2k0 有两个相等的实数根，那么 k 的值是 13 （4 分）下表是某班所有学生体育中考模拟测试成绩的统计表，表格中的每个分数段含 最小值，不含最大值，根据表中数据可以知道，该班这次体育中考模拟测试成绩的中位 数落在的分数段是 分数段 18 分以下 1822 分 2226 分 2630 分 30 分 人数 3 7 9 13 8 14 （4 分）已知ABC，AB6，AC4，BC9，如果分别以 AB、AC 为直径画圆，那么 这两个圆的位置关系是 15 （4 分）如图，某水库大
5、坝的横断面是梯形 ABCD，坝顶宽 AD 是 6 米，坝高 4 米，背水 坡 AB 和迎水坡 CD 的坡度都是 1：0.5，那么坝底宽 BC 是 米 第 3 页（共 24 页） 16 （4 分）已知ABC，点 D、E 分别在边 AB、AC 上，DEBC，DE如果设 ， ，那么 （用向量 、 的式子表示） 17 （4 分）在证明“勾股定理”时，可以将 4 个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的 一个大正方形（如图所示） 如果小正方形的面积是 25，大正方形的面积为 49，直角三 角形中较小的锐角为 ，那么 tan 的值是 18 （4 分）如图，矩形 ABCD，ADa，将矩形 ABCD 绕着顶点
6、B 顺时针旋转，得到矩形 EBGF，顶点 A、D、C 分别与点 E、F、G 对应（点 D 与点 F 不重合） 如果点 D、E、F 在同一条直线上，那么线段 DF 的长是 （用含 a 的代数式表示） 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 7 题，满分题，满分 78 分）分） 19 （10 分）先化简，再求值：，其中 x 20 （10 分）解方程组： 21 （10 分）如图，已知梯形 ABCD 中，ADBC，ABC90，BC2AB8，对角线 AC 平分BCD，过点 D 作 DEAC，垂足为点 E，交边 AB 的延长线于点 F，联结 CF （1）求腰 DC 的长； （2）求BCF 的余弦值 第
7、4 页（共 24 页） 22 （10 分）Elearning 即为在线学习，是一种新型的学习方式某网站提供了 A、B 两种 在线学习的收费方式A 种：在线学习 10 小时（包括 10 小时）以内，收取费用 5 元， 超过 10 小时时，在收取 5 元的基础上，超过部分每小时收费 0.6 元（不足 1 小时按 1 小 时计） ；B 种：每月的收费金额 y（元）与在线学习时间是 x（时）之间的函数关系如图所 示 （1）按照 B 种方式收费，当 x5 时，求 y 关于 x 的函数关系式 （2）如果小明三月份在这个网站在线学习，他按照 A 种方式支付了 20 元，那么在线学 习的时间最多是多少小时？如
8、果该月他按照 B 种方式付费，那么他需要多付多少元？ 23 （12 分）已知：如图，正方形 ABCD，点 E 在边 AD 上，AFBE，垂足为点 F，点 G 在线段 BF 上，BGAF （1）求证：CGBE； （2）如果点 E 是 AD 的中点，联结 CF，求证：CFCB 24 （12 分）如图，已知平面直角坐标系 xOy，抛物线 yax2+bx+2 与 x 轴交于点 A（2， 0）和点 B（4，0） 第 5 页（共 24 页） （1）求这条抛物线的表达式和对称轴； （2）点 C 在线段 OB 上，过点 C 作 CDx 轴，垂足为点 C，交抛物线与点 D，E 是 BD 中点，联结 CE 并延长
9、，与 y 轴交于点 F 当 D 恰好是抛物线的顶点时，求点 F 的坐标； 联结 BF，当DBC 的面积是BCF 面积的时，求点 C 的坐标 25 （14 分）如图，已知ABC，AB，BC3，B45，点 D 在边 BC 上，联结 AD， 以点 A 为圆心，AD 为半径画圆，与边 AC 交于点 E，点 F 在圆 A 上，且 AFAD （1）设 BD 为 x，点 D、F 之间的距离为 y，求 y 关于 x 的函数解析式，并写出定义域； （2）如果 E 是的中点，求 BD：CD 的值； （3）联结 CF，如果四边形 ADCF 是梯形，求 BD 的长 第 6 页（共 24 页） 2019 年上海市奉贤区
10、中考数学二模试卷年上海市奉贤区中考数学二模试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题（本一、选择题（本大题共大题共 6 题，每题题，每题 4 分，满分分，满分 24 分）分） 1 （4 分）下列各数中，最小的数是（ ） A|2| B （）2 C（2） D （2）0 【分析】根据实数的大小比较法则即可求出答案 【解答】解： （A）原式2； （B）原式2； （C）原式2； （D）原式1； 故选：A 【点评】本题考查实数的大小比较，解题的关键是正确化简原数，本题属于基础题型 2 （4 分）电影流浪地球从 2 月 5 日上映以来，凭借其气势磅礴的特效场面与动人的父 子情获得大众的喜爱与支持
11、，截止 3 月底，中国电影票房高达 4559000000 元数据 4559000000 用科学记数法表示为（ ） A45.59108 B45.59109 C4.559109 D4.5591010 【分析】科学记数法的表示形式为 a10n 的形式，其中 1|a|10，n 为整数确定 n 的值时，要看把原数变成 a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相 同当原数绝对值10 时，n 是正数；当原数的绝对值1 时，n 是负数 【解答】解：45590000004.559109， 故选：C 【点评】本题考查了科学记数法表示较大的数，正确移动小数点位数是解题的关键 3 （4 分）关于反比
12、例函数 y，下列说法正确的是（ ） A函数图象经过点（2，2） B函数图象位于第一、三象限 C当 x0 时，函数值 y 随着 x 的增大而增大 D当 x1 时，y4 【分析】直接利用反比例函数的性质分别分析得出答案 第 7 页（共 24 页） 【解答】解：A、关于反比例函数 y，函数图象经过点（2，2） ，故此选项错误； B、关于反比例函数 y，函数图象位于第二、四象限，故此选项错误； C、 关于反比例函数 y， 当 x0 时， 函数值 y 随着 x 的增大而增大， 故此选项正确； D、关于反比例函数 y，当 x1 时，y4，故此选项错误； 故选：C 【点评】此题主要考查了反比例函数的性质，正
13、确掌握相关函数的性质是解题关键 4 （4 分）学校环保小组的同学随机调查了某小区 10 户家庭一周内使用环保方便袋的数量， 数据如下（单位：只） ：6，5，7，8，7，5，7，10，6，9利用学过的统计知识，根据 上述数据估计该小区 200 户家庭一周内共需要环保方便袋约（ ） A200 只 B1400 只 C9800 只 D14000 只 【分析】直接求出每户使用环保方便袋的数量，进而求出答案 【解答】解：某小区 10 户家庭一周内使用环保方便袋的数量，数据如下（单位：只） ： 6，5，7，8，7，5，7，10，6，9， 平均每户使用方便袋的数量为：（6+5+7+8+7+5+7+10+6+9
14、）7（只） ， 该小区 200 户家庭一周内共需要环保方便袋约：72001400（只） 故选：B 【点评】此题主要考查了用样本估计总体，正确求出平均数是解题关键 5 （4 分）把一副三角尺放在同一水平桌面上，如果它们的两个直角顶点重合，两条斜边平 行（如图所示） ，那么1 的度数是（ ） A75 B90 C100 D105 【分析】通过在1 的顶点作斜边的平行线可得1105 【解答】解：如图：过1 的顶点作斜边的平行线， 利用平行线的性质可得，160+45105 第 8 页（共 24 页） 故选：D 【点评】本题考查了平行线的性质，利用了转化的数学思想 6 （4 分）如图，已知ABC，点 D、
15、E 分别在边 AC、AB 上，ABDACE，下列条件 中，不能判定ABC 是等腰三角形的是（ ） AAEAD BBDCE CECBDBC DBECCDB 【分析】添加 AEAD、BDCE、ECBDBC 可利用 AAS 判定ABDACE，进 而可得 ABAC，从而可得ABC 是等腰三角形；添加BECCDB 不能判定ABD ACE，因此也不能证明 ABAC，进而不能证明ABC 是等腰三角形 【解答】解：A、添加 AEAD， 在ABD 和ACE 中， ABDACE（AAS） ， ABAC， ABC 为等腰三角形，故此选项不合题意； B、添加 BDCE， 在ABD 和ACE 中， ABDACE（AAS
16、） ， ABAC， ABC 为等腰三角形，故此选项不合题意； C、添加ECBDBC， 第 9 页（共 24 页） 又ABDACE， ABCACB， ABAC， ABC 为等腰三角形，故此选项不合题意； D、添加BECCDB，不能证明ABDACE，因此也不能证明 ABAC，进而得 不到ABC 为等腰三角形，故此选项符合题意； 故选：D 【点评】此题主要考查了等腰三角形的判定，关键是掌握判定三角形全等的方法 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 12 题，每题题，每题 4 分，满分分，满分 48 分）分） 7 （4 分）计算：m3（m）2 m 【分析】根据同底数幂相除，底数不变，指数相减即可
17、【解答】解：m3（m）2m3m2m 故答案为 m 【点评】本题考查了同底数幂相除，正确运用同底数幂相除法则是解题的关键 8 （4 分）不等式组的整数解是 2 【分析】先解不等式组，然后取整数解即可 【解答】解： 由得 x1， 由得 x， ， x 取整数， x2 故答案为 2 【点评】本题考查了解不等式组，能根据不等式的解集找出不等式组的解集是解题的关 键 9 （4 分）方程0 的根是 x1 【分析】将无理方程化为一元二次方程，然后求解即可 第 10 页（共 24 页） 【解答】解：原方程变形为 x（x1）0， x0 或 x10， x0 或 x1， x0 时，被开方数 x110， x0 不符合题
18、意，舍去， 方程的根为 x1， 故答案为 x1 【点评】本题考查了无理方程，将无理方程化为一元二次方程是解题的关键 10 （4 分）在四张完全相同的卡片上，分别画有圆、菱形、等边三角形和等腰三角形如 果从中任意抽取 2 张卡片，那么这两张卡片上所画图形恰好都是中心对称图形的概率是 【分析】画树状图展示所有 12 种等可能的结果数，再根据中心对称图形的定义找出这两 张卡片上所画图形恰好都是中心对称图形的结果数，然后根据概率公式求解 【解答】解：画树状图为： 共有 12 种等可能的结果数， 其中这两张卡片上所画图形恰好都是中心对称图形的结果数 为 2， 所以这两张卡片上所画图形恰好都是中心对称图形
19、的概率 故答案为 【点评】本题考查了中心对称图形和列表法与树状图法求概率 11 （4 分）如果正比例函数 y（k3）x 的图象经过第一、三象限，那么 k 的取值范围是 k3 【分析】根据正比例函数 y（k3）x 的图象经过第一、三象限得出 k 的取值范围即可 【解答】解：因为正比例函数 y（k3）x 的图象经过第一、三象限， 第 11 页（共 24 页） 所以 k30， 解得：k3， 故答案为：k3 【点评】此题考查一次函数问题，关键是根据正比例函数 y（k3）x 的图象经过第一、 三象限解答 12 （4 分）如果关于 x 的方程 x2+4x+2k0 有两个相等的实数根，那么 k 的值是 2
20、【分析】x 的方程 x2+4x+2k0 有两个相等的实数根，即b24ac0，代入即可求 k 值 【解答】解： x 的方程 x2+4x+2k0 有两个相等的实数根， b24ac4242k0，解得 k2 故答案为：2 【点评】此题主要考查一元二次方程的根的判别式，一元二次方程 ax2+bx+c0（a0） 的根与根的判别式b24ac 有如下关系：当0 时，方程有两个不相等的实数 根；当0 时，方程有两个相等的实数根；当0 时，方程无实数根上述结 论反过来也成立 13 （4 分）下表是某班所有学生体育中考模拟测试成绩的统计表，表格中的每个分数段含 最小值，不含最大值，根据表中数据可以知道，该班这次体育
21、中考模拟测试成绩的中位 数落在的分数段是 2630 分 分数段 18 分以下 1822 分 2226 分 2630 分 30 分 人数 3 7 9 13 8 【分析】直接利用利用表格得出数据个数，再利用中位数的定义求出答案 【解答】解：由表格中数据可得本班一共有：3+7+9+13+840（人） ， 故中位数是第 20 个和第 21 个数据的平均数， 则该班这次体育中考模拟测试成绩的中位数落在的分数段是 2630 分 故答案为：2630 分 【点评】此题主要考查了中位数，正确把握中位数的定义是解题关键 14 （4 分）已知ABC，AB6，AC4，BC9，如果分别以 AB、AC 为直径画圆，那么
22、这两个圆的位置关系是 相交 第 12 页（共 24 页） 【分析】设以 AB 为直径的圆的圆心为 D，以 AC 为直径的圆的圆心为 E，根据三角形中 位线性质得 DE，而D 的半径为 3，E 的半径为 2，所以 323+2，然后根 据圆与圆的位置关系的判定方法可确定D 与E 相交 【解答】解：设以 AB 为直径的圆的圆心为 D，以 AC 为直径的圆的圆心为 E，则 DE 为 ABC 的中位线， DEBC， D 的半径为 3，E 的半径为 2， 323+2， D 与E 相交 故答案为相交 【点评】本题考查了圆和圆的位置关系：两圆的圆心距为 d，两圆半径分别为 R、r，当 两圆外离dR+r；两圆外
23、切dR+r；两圆相交RrdR+r（Rr） ；两圆内切 dRr（Rr） ；两圆内含dRr（Rr） 15 （4 分）如图，某水库大坝的横断面是梯形 ABCD，坝顶宽 AD 是 6 米，坝高 4 米，背水 坡 AB 和迎水坡 CD 的坡度都是 1：0.5，那么坝底宽 BC 是 10 米 【分析】直接利用坡比的定义得出 BE，FC 的长，进而求出答案 【解答】解：过点 A 作 AEBC，DFBC， 由题意可得：ADEF6m，AEDF4m， 背水坡 AB 和迎水坡 CD 的坡度都是 1：0.5， BEFC2m， BCBE+FC+EF6+2+210（m） 故答案为：10 第 13 页（共 24 页） 【点
24、评】此题主要考查了解直角三角形的应用，正确得出 BE，FC 的长是解题关键 16 （4 分）已知ABC，点 D、E 分别在边 AB、AC 上，DEBC，DE如果设 ， ，那么 （用向量 、 的式子表示） 【分析】根据平行向量的性质求出，再根据+，求出即可 【解答】解：如图， DEBC，DEBC， ， 3 ， +， +3 ， 故答案为 +3 【点评】本题考查平面向量，平行向量的性质，三角形法则等知识，解题的关键是熟练 掌握基本知识，属于中考常考题型 17 （4 分）在证明“勾股定理”时，可以将 4 个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的 一个大正方形（如图所示） 如果小正方形的面积是 25，大正
25、方形的面积为 49，直角三 角形中较小的锐角为 ，那么 tan 的值是 【分析】 首先求出小正方形的边长和大正方形的边长然后再求出 BD 和 DE 的长， 进而可 得 tan 的值 【解答】解：小正方形的面积是 25， EB5， 第 14 页（共 24 页） ABCDEB， ABDE， 大正方形的面积为 49， AD7， DB+DE7， 设 BDx， 则 DE7x， 在 RtBDE 中：x2+（7x）252， 解得：x14，x23， 当 x4 时，7x3， 当 x3 时，7x4， 为较小的锐角， BD4，DE3， tan， 故答案为： 【点评】此题主要考查了勾股定理和锐角三角形函数，关键是掌握
26、勾股定理的应用 18 （4 分）如图，矩形 ABCD，ADa，将矩形 ABCD 绕着顶点 B 顺时针旋转，得到矩形 EBGF，顶点 A、D、C 分别与点 E、F、G 对应（点 D 与点 F 不重合） 如果点 D、E、F 在同一条直线上，那么线段 DF 的长是 2a （用含 a 的代数式表示） 【分析】 连接 BD， 证明 RtEDBRtCBD， 可得 DEBCADa， 因为 EFADa， 根据 DFDE+EF 即可得出 DF 的长 【解答】解：如图，连接 BD， 第 15 页（共 24 页） 将矩形 ABCD 绕着顶点 B 顺时针旋转，得到矩形 EBGF，且 D、E、F 在同一条直线上， DE
27、BC90，BEABCD， DBBD， RtEDBRtCBD（HL） ， DEBCADa， EFADa， DFDE+EFa+a2a 故答案为：2a 【点评】本题考查图形的旋转，三角形全等的判定和性质，解题的关键是掌握图形旋转 的性质 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 7 题，满分题，满分 78 分）分） 19 （10 分）先化简，再求值：，其中 x 【分析】根据分式的混合运算法则把原式化简，把 x代入，根据分母有理化法则计 算即可 【解答】解：原式 ， 当 x时，原式3+3 【点评】本题考查的是分式的化简求值，掌握分式的混合运算法则是解题的关键 20 （10 分）解方程组： 【分析】先对
28、 x23xy+2y20 分解因式转化为两个一元一次方程，然后联立，组成两 第 16 页（共 24 页） 个二元一次方程组，解之即可 【解答】解：将方程 x23xy+2y20 的左边因式分解，得 x2y0 或 xy0， 原方程组可以化为或， 解这两个方程组得或， 所以原方程组的解是 【点评】本题考查了高次方程组，将高次方程化为一次方程是解题的关键 21 （10 分）如图，已知梯形 ABCD 中，ADBC，ABC90，BC2AB8，对角线 AC 平分BCD，过点 D 作 DEAC，垂足为点 E，交边 AB 的延长线于点 F，联结 CF （1）求腰 DC 的长； （2）求BCF 的余弦值 【分析】
29、（1）根据勾股定理求出 AC，求出 CE，解直角三角形求出 DE，根据勾股定理求 出 DC 即可； （2）根据相似三角形的性质和判定求出 AF，求出 CF，解直角三角形求出即可 【解答】解： （1）ABC90，BC2AB8， AB4，AC4， ADBC， DACBCA， AC 平分BCD， DCAACB， DACDCA， ADCD， 第 17 页（共 24 页） DEAC， CEAC2， 在 RtDEC 中，DEC90，tanDCE， 在 RtABC 中，ABC90，tanACB， ， CE2， DE， 在 RtDEC 中，由勾股定理得：DC5； 即腰 DC 的长是 5； （2）设 DF 与
30、BC 相交于点 Q， FBCFEC90，BQFEQC， 由三角形内角和定理得：AFEACB， FADABC90， AFDBCA， ， ADDC5， ， 解得：AF10， AECE，FEAC， CFAF10， 在 RtBCF 中，CBF90，cosBCF 【点评】本题考查了相似三角形的性质和判定，等腰三角形的性质和判定，勾股定理， 解直角三角形等知识点，能综合运用定理进行推理是解此题的关键 22 （10 分）Elearning 即为在线学习，是一种新型的学习方式某网站提供了 A、B 两种 在线学习的收费方式A 种：在线学习 10 小时（包括 10 小时）以内，收取费用 5 元， 超过 10 小时
31、时，在收取 5 元的基础上，超过部分每小时收费 0.6 元（不足 1 小时按 1 小 第 18 页（共 24 页） 时计） ；B 种：每月的收费金额 y（元）与在线学习时间是 x（时）之间的函数关系如图所 示 （1）按照 B 种方式收费，当 x5 时，求 y 关于 x 的函数关系式 （2）如果小明三月份在这个网站在线学习，他按照 A 种方式支付了 20 元，那么在线学 习的时间最多是多少小时？如果该月他按照 B 种方式付费，那么他需要多付多少元？ 【分析】 （1）当 x5 时，y 关于 x 的函数经过点（5，0） ， （20，15） ，设函数解析式为： ykx+b，求出 k，b 值即可 （2）
32、按照 A 种方式可列出方程 5+（x10）0.620，解出 x 的值，即可求学习的时长， 再代入（1）中的解析式，即可求按 B 种方式应付多少元 【解答】解： （1）当 x5 时，设 y 与 x 之间的函数关系式是：ykx+b（k0） 它经过点（5，0） ， （20，15） ， ，解得 yx5 （2）按照 A 种收费方式，设小明三月份在线学习时间为 x 小时， 得 5+（x10）0.620解得 x35 当 x35 时，yx535530 302010（元） 答：如果小明 3 月份按照 A 种方式支付了 20 元，那么他三月份在线学习的时间最多是 35 小时，如果该月他按照 B 种方式付费，那么他
33、需要多付 10 元 【点评】此题考查一次函数的应用，解决此类题，要认真的审题，同时，要读懂图象， 这是解答的突破口，此外，灵活地运用一次函数的解析式，是解题的关键 23 （12 分）已知：如图，正方形 ABCD，点 E 在边 AD 上，AFBE，垂足为点 F，点 G 在线段 BF 上，BGAF （1）求证：CGBE； 第 19 页（共 24 页） （2）如果点 E 是 AD 的中点，联结 CF，求证：CFCB 【分析】 （1）证明AFBBGC，通过角的代换即可得到BGC90，即 CGBE； （2）先证明AEBFAB，得到，根据中点线段关系结合比例式推导出 FG BG，又 CGBE，所以 CFC
34、B 【解答】证明： （1）四边形 ABCD 是正方形， ABBC，ABC90 AFBE， FAB+FBA90 FBA+CBG90， FABCBG 又AFBG， AFBBGC（SAS） AFBBGC BGC90，CGBE （2）ABFEBA，AFBBAE90， AEBFAB 点 E 是 AD 的中点，ADAB， AFBG， ，即 FGBG CGBE， CFCB 【点评】本题主要考查正方形的性质、全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和 第 20 页（共 24 页） 性质难度中等，熟练掌握全等三角形、相似三角形的判定方法是解题的关键 24 （12 分）如图，已知平面直角坐标系 xOy，抛物线 y
35、ax2+bx+2 与 x 轴交于点 A（2， 0）和点 B（4，0） （1）求这条抛物线的表达式和对称轴； （2）点 C 在线段 OB 上，过点 C 作 CDx 轴，垂足为点 C，交抛物线与点 D，E 是 BD 中点，联结 CE 并延长，与 y 轴交于点 F 当 D 恰好是抛物线的顶点时，求点 F 的坐标； 联结 BF，当DBC 的面积是BCF 面积的时，求点 C 的坐标 【分析】 （1）用待定系数法求解； （2）求出顶点坐标，得出 DC、OC、BC 长度，在 RtDCB 和 RtOFC 中，利用三 角函数求出 OF 值即可； 通过面积比找到 DC 与 OF 比值，证明DCBFOC，借助比例式
36、求解 OB，从而得 到 OC 长 【解答】解： （1）由题意得，抛物线 yax2+bx+2 经过点 A（2，0）和点 B（4，0） ， 代入得，解得 因此，这条抛物线的表达式是 y 它的对称轴是直 x1 （2）由抛物线的表达式 y，得顶点 D 的坐标是（1，） DC，OC1，BC413 D 是抛物线顶点，CDx 轴，E 是 BD 中点， CEBE 第 21 页（共 24 页） EBCECB ECBOCF，EBCOCF 在 RtDCB 中，DCB90，cotEBC 在 RtOFC 中，FOC90，cotOCF ，OF 点 F 的坐标是（0，） SDBC，SBCF， DBC 的面积是BCF 面积的
37、， 由得BDCOFC，又DCBFOC90， DCBFOC 又 OB4， ， OC 即点 C 坐标是（，0） 【点评】本题主要考查抛物线与 x 轴交点、二次函数性质、相似三角形的判定和性质、 待定系数法求函数解析式 25 （14 分）如图，已知ABC，AB，BC3，B45，点 D 在边 BC 上，联结 AD， 以点 A 为圆心，AD 为半径画圆，与边 AC 交于点 E，点 F 在圆 A 上，且 AFAD （1）设 BD 为 x，点 D、F 之间的距离为 y，求 y 关于 x 的函数解析式，并写出定义域； （2）如果 E 是的中点，求 BD：CD 的值； （3）联结 CF，如果四边形 ADCF 是
38、梯形，求 BD 的长 第 22 页（共 24 页） 【分析】 （1）过点 A 作 AHBC，垂足为点 H构造直角三角形，利用解直角三角形和 勾股定理求得 AD 的长度 联结 DF， 点 D、 F 之间的距离 y 即为 DF 的长度， 在 RtADF 中，利用锐角三角形函数的定义求得 DF 的长度，易得函数关系式 （2）由勾股定理求得：AC设 DF 与 AE 相交于点 Q，通过解 RtDCQ 和 RtAHC 推知故设 DQk，CQ2k，AQDQk，所以再次利用勾股定理 推知 DC 的长度，结合图形求得线段 BD 的长度，易得答案 （3）如果四边形 ADCF 是梯形，则需要分类讨论：当 AFDC、
39、当 ADFC根据 相似三角形的判定与性质，结合图形解答 【解答】解： （1）过点 A 作 AHBC，垂足为点 H B45，AB， BHAHABcosB1 BDx，DH|x1| 在 RtADH 中，AHD90， AD 联结 DF，点 D、F 之间的距离 y 即为 DF 的长度 点 F 在圆 A 上，且 AFAD， ADAF，ADF45 在 RtADF 中，DAF90， DF y （0x3） （2）E 是的中点， 第 23 页（共 24 页） AEDF，AE 平分 DF BC3， HC312 AC 设 DF 与 AE 相交于点 Q，在 RtDCQ 中，DCQ90，tanDCQ 在 RtAHC 中，
40、AHC90，tanACH DCQACH， 设 DQk，CQ2k，AQDQk， 3k，k， DC BDBCCD， （3）如果四边形 ADCF 是梯形 则当 AFDC 时，AFDFDC45 ADF45， ADBC，即点 D 与点 H 重合 BD1 当 ADFC 时，ADFCFD45 B45， BCFD B+BADDF+FDC， BADFDC ABDDFC DFAD，DCBCCD 第 24 页（共 24 页） AD2BCBD即（）23x 整理得 x2x10，解得 x（负数舍去） 综上所述，如果四边形 ADCF 是梯形，BD 的长是 1 或 【点评】此题属于圆的综合题，涉及了平行四边形的性质、相似三角形的判定与性质、 三角函数值以及勾股定理等知识，综合性较强，解答本题需要我们熟练各部分的内容， 对学生的综合能力要求较高，一定要注意将所学知识贯穿起来
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