1、2018 年广东省广州二中中考数学二模试卷一、选择题（本大题共 10 小题，每小题小题，每小题 3 分，满分分，满分 30 分在每小题给出的四个选项，只分在每小题给出的四个选项，只 有一项是符合题目要求的）有一项是符合题目要求的） 1 （3 分）下列运算正确的是（ ） A B C|2|2 D 2 （3 分）将两个全等的直角三角形纸片构成如下的四个图形，这四个图形中是中心对称图 形的是（ ） A B C D 3 （3 分）中国倡导的“一带一路”建设将促进我国与世界各国的互利合作，根据规划， “一 带一路”地区覆盖总人口约为 4 400 000 000 人，这个数用科学记数法表示为（
2、） A44108 B4.4109 C4.4108 D4.41010 4 （3 分）把抛物线 yx2向右平移 1 个单位，所得抛物线的函数表达式为（ ） Ayx2+1 By（x+1）2 Cyx21 Dy（x1）2 5 （3 分）已知点 P（a1，a+2）在平面直角坐标系的第二象限内，则 a 的取值范围在数 轴上可表示为（ ） A B C D 6 （3 分）如图，把一块含有 45角的直角三角板的两个顶点放在直尺的对边上如果1 第 2 页（共 27 页） 20，那么2 的度数是（ ） A30 B25 C20 D15 7 （3 分）某县为发展教育事业，加强了对教育经
3、费的投入，2015 年投入 3 千万元，预计 2017 年投入 5 千万元 设教育经费的年平均增长率为 x， 则下面所列方程正确的是 （ ） A3（1+x）25 B3x25 C3（1+x%）25 D3（1+x）+3（1+x）25 8 （3 分）如图是某几何体的三视图及相关数据，则该几何体的侧面积是（ ） A B Cab Dac 9 （3 分）如图，O 中，弦 AB、CD 相交于点 P，若A30，APD70，则B 等于（ ） A30 B35 C40 D50 10 （3 分）如图，在 RtAOB 中，两直角边 OA，OB 分别在 x 轴的负半轴和 y 轴的正半轴 上，将AO
4、B 绕点 B 逆时针旋转 90后得到AOB若反比例函数 y的图象恰 好经过斜边 AB 的中点 C，且 SAOB4，tanABO，则 k 的值为（ ） 第 3 页（共 27 页） A3 B4 C6 D8 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 6 小题，每小题小题，每小题 3 分，满分分，满分 18 分）分） 11 （3 分）使有意义的 x 的取值范围是 12 （3 分）因式分解：a2bb 13（3 分） 如图ABC 中， BE 平分ABC， DEBC， 若 DE2AD， AE2， 那么 AC 14 （3 分）如图，已知正方形 ABCD 的
5、边长为 3，E 为 CD 边上一点，DE1以点 A 为中 心，把ADE 顺时针旋转 90，得ABE，连接 EE，则 EE的长等于 15 （3 分）分式方程+2 的解是 16 （3 分）如图，AB 是O 的弦，AB8，点 C 是O 上的一个动点，且ACB45， 若点 M、N 分别是 AB、AC 的中点，则 MN 长的最大值是 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 9 小题，满分小题，满分 102 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17 （9 分）解方程组： 18 （9 分）如图，点 E，
6、F 是平行四边形 ABCD 的对角线 AC 上的点，CEAF，求证：BE DF 第 4 页（共 27 页） 19 （10 分）先化简，再求值：，其中 a2，b1 20 （10 分）为测山高，在点 A 处测得山顶 D 的仰角为 31，从点 A 向山方向前进 140 米 到达点 B，在 B 处测得山顶 D 的仰角为 62（如图） （1）在所给的图中尺规作图：过点 D 作 DCAB，交 AB 的延长线于点 C； （2）山高 DC 是多少（结果取整数）？ 21 （12 分）某完全中学（含初、高中）篮球队 12 名队员的年龄情况如下： 年龄/岁 14 15 16 17 18 人数 1 4 3 2 2 （
7、1）这个队队员年龄的众数是 ，中位数是 ，平均数是 （2）若把这个队队员年龄的分布情况绘成扇形统计图，请求出年龄为 15 岁的队员人数 所对应的圆心角的度数 （3）为了检查队员们的训练水平，教练要从年龄为 15 岁的 4 名队员（用 A、B、C、D 表示）中随机抽取 2 人，请用列表法或树形图法求出恰好选中 B、D 的概率 22 （12 分）如图，四边形 ABCD 是正方形，点 A 的坐标是（0，1） ，点 B 的坐标是（0， 2） ，反比例函数 y的图象经过点 C，一次函数 yax+b 的图象经过 A、C 两点，两 函数图象的另一个交点 E 的坐标是
8、（m，3） （1）分别求出一次函数与反比例函数的解析式 （2） 求出 m 的值， 并根据图象回答： 当 x 为何值时， 一次函数的值大于反比例函数的值 （3）若点 P 是反比例函数图象上的一点，AOP 的面积恰好等于正方形 ABCD 的面积， 求点 P 坐标 第 5 页（共 27 页） 23 （12 分）如图 1，AB 是O 的直径，AC 是O 的切线 （1）连接 BC，BC 交O 于点 E，连接 AE 若 D 为 AC 的中点，连接 DE，证明：DE 是O 的切线 若 BE3EC，求 tanABC （2）如图 2，CF 是圆 O 的另一条切线，F 为切点，OC 与圆 O 交于点
9、G，求证：点 G 是三角形 ACF 的内心 24 （14 分）已知抛物线 yax2+bx+c 经过 A（0，2） ，B（2，2）两点 （1）用含 a 的式子表示 b （2）当 a时，yax2+bc+c 的函数值为正整数，求满足条件的 x 值 （3）若 a0，线段 AB 下方的抛物线上有一点 E，求证：不管 a 取何值，当EAB 的面 积最大时，E 点的横坐标为定值 25 （14 分）如图 1，在矩形 ABCD 中，AB4，AD6，M 是 AD 的中点，点 E 是线段 AB 上一动点，连接 EM 并延长交直线 CD 于点 F，过 M 作 MNEF，交射线 BC 于点 N，连 接 NF，点 P 是
10、线段 NF 的中点 （1）连接图 1 中的 PM，PC，求证：PMPC （2）如图 2，当点 N 与 C 重合时，求 AE 的长 （3）当点 E 从点 A 运动到点 B 时，求点 P 经过的路径长 第 6 页（共 27 页） 第 7 页（共 27 页） 2018 年广东省广州二中中考数学二模试卷年广东省广州二中中考数学二模试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 10 小题，每小题小题，每小题 3 分，满分分，满分 30 分在每小题给出的四个选项，只分在每小题给出的四个选项，只 有一项是符合题目要求的）有一项是符合题目要求的） 1 （3 分）下列运算
11、正确的是（ ） A B C|2|2 D 【分析】根据算术平方根、负整数指数幂、绝对值性质、立方根的定义逐一计算可得 【解答】解：A、2，此选项错误； B、 （） 24，此选项错误； C、|2|2，此选项错误； D、，此选项正确； 故选：D 【点评】本题主要考查实数的运算，解题的关键是掌握算术平方根、负整数指数幂、绝 对值性质、立方根的定义 2 （3 分）将两个全等的直角三角形纸片构成如下的四个图形，这四个图形中是中心对称图 形的是（ ） A B C D 【分析】根据中心对称图形的概念求解 【解答】解：A、不是中心对称图形，故此选项错误； B、不是中心对称图形，故此选项错误； C、是
12、中心对称图形，故此选项正确； D、不是中心对称图形，故此选项错误； 第 8 页（共 27 页） 故选：C 【点评】此题主要考查了中心对称图形，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转 180 度 后两部分重合 3 （3 分）中国倡导的“一带一路”建设将促进我国与世界各国的互利合作，根据规划， “一 带一路”地区覆盖总人口约为 4 400 000 000 人，这个数用科学记数法表示为（ ） A44108 B4.4109 C4.4108 D4.41010 【分析】科学记数法的表示形式为 a10n的形式，其中 1|a|10，n 为整数确定 n 的值时，要看把原数变成 a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对
13、值与小数点移动的位数相 同当原数绝对值1 时，n 是正数；当原数的绝对值1 时，n 是负数 【解答】解：4 400 000 0004.4109， 故选：B 【点评】此题考查科学记数法的表示方法科学记数法的表示形式为 a10n的形式，其 中 1|a|10，n 为整数，表示时关键要正确确定 a 的值以及 n 的值 4 （3 分）把抛物线 yx2向右平移 1 个单位，所得抛物线的函数表达式为（ ） Ayx2+1 By（x+1）2 Cyx21 Dy（x1）2 【分析】易得新抛物线的顶点，根据顶点式及平移前后二次项的系数不变可得新抛物线 的解析式 【解答】解：原抛物线的顶点为（0，0） ，向右平移 1
14、个单位，那么新抛物线的顶点为（1， 0） ； 可设新抛物线的解析式为 y（xh）2+k 代入得：y（x1）2， 故选：D 【点评】抛物线平移不改变二次项的系数的值，解决本题的关键是得到新抛物线的顶点 坐标 5 （3 分）已知点 P（a1，a+2）在平面直角坐标系的第二象限内，则 a 的取值范围在数 轴上可表示为（ ） A B 第 9 页（共 27 页） C D 【分析】根据第二象限内点的特征，列出不等式组，求得 a 的取值范围，然后在数轴上 分别表示出 a 的取值范围 【解答】解：点 P（a1，a+2）在平面直角坐标系的第二象限内， 则有 解得2a1 故选：
15、C 【点评】在数轴上表示不等式的解集时，大于向右，小于向左，有等于号的画实心原点， 没有等于号的画空心圆圈第二象限的点横坐标为0，纵坐标0 6 （3 分）如图，把一块含有 45角的直角三角板的两个顶点放在直尺的对边上如果1 20，那么2 的度数是（ ） A30 B25 C20 D15 【分析】本题主要利用两直线平行，内错角相等作答 【解答】解：根据题意可知，两直线平行，内错角相等， 13， 3+245， 1+245 120， 225 故选：B 第 10 页（共 27 页） 【点评】本题主要考查了两直线平行，内错角相等的性质，需要注意隐含条件，直尺的 对边平行，等腰直角三角板的锐角是 45的利用
16、 7 （3 分）某县为发展教育事业，加强了对教育经费的投入，2015 年投入 3 千万元，预计 2017 年投入 5 千万元 设教育经费的年平均增长率为 x， 则下面所列方程正确的是 （ ） A3（1+x）25 B3x25 C3（1+x%）25 D3（1+x）+3（1+x）25 【分析】设教育经费的年平均增长率为 x，根据某地 2015 年投入教育经费 3 千万元，预 计 2017 年投入 5 千万元可列方程 【解答】解：设教育经费的年平均增长率为 x， 则 2016 的教育经费为：3（1+x） 2017 的教育经费为：3（1+x）2 那么可得方程：3（1+x）25 故
17、选：A 【点评】本题考查了一元二次方程的应用，解此类题一般是根据题意分别列出不同时间 按增长率所得教育经费与预计投入的教育经费相等的方程 8 （3 分）如图是某几何体的三视图及相关数据，则该几何体的侧面积是（ ） A B Cab Dac 【分析】易得此几何体为圆锥，侧面积 【解答】解：由题意得底面直径为 a，母线长为 c， 几何体的侧面积为ac， 故选：B 【点评】本题需先确定几何体的形状，关键是找到等量关系里相应的量 9 （3 分）如图，O 中，弦 AB、CD 相交于点 P，若A30，APD70，则B 等于（ ） 第 11 页（共 27 页） A30 B35 C40 D50 【分析】欲求B
18、的度数，需求出同弧所对的圆周角C 的度数；APC 中，已知了A 及外角APD 的度数，即可由三角形的外角性质求出C 的度数，由此得解 【解答】解：APD 是APC 的外角， APDC+A； A30，APD70， CAPDA40； BC40； 故选：C 【点评】此题主要考查了三角形的外角性质及圆周角定理的应用 10 （3 分）如图，在 RtAOB 中，两直角边 OA，OB 分别在 x 轴的负半轴和 y 轴的正半轴 上，将AOB 绕点 B 逆时针旋转 90后得到AOB若反比例函数 y的图象恰 好经过斜边 AB 的中点 C，且 SAOB4，tanABO，则 k 的值为（ ） A3 B4 C6 D8
19、【分析】先根据三角函数设未知数，根据面积求 B 和 A'的坐标，根据中点坐标公式可得 C 的坐标，从而计算 k 的值； 【解答】解：tanABO， 设 OAx，则 OB2x， 则 SABOOAOBx2x4， 第 12 页（共 27 页） x2， B（0，4） ，A'（4，2） ， 点 C 为斜边 AB 的中点， C（2，3） ， k236； 故选：C 【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键在于读懂题意， 作出合适的辅助线， 求出点 C 的坐标， 然后根据点 C 的横纵坐标之积等于 k 值求解即可 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 6
20、小题，每小题小题，每小题 3 分，满分分，满分 18 分）分） 11 （3 分）使有意义的 x 的取值范围是 x1 【分析】根据二次根式的被开方数为非负数，即可得出 x 的范围 【解答】解：有意义， 1x0， 解得：x1 故答案为：x1 【点评】此题考查了二次根式有意义的条件，属于基础题，解答本题的关键是熟练掌握 二次根式的被开方数为非负数 12 （3 分）因式分解：a2bb b（a+1） （a1） 【分析】先提取公因式 b，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解 【解答】解：a2bbb（a21）b（a+1） （a1） 故答案为：b（a+1） （a1） 【点评】本题考查了用提公因式法和公式法进
21、行因式分解的知识一个多项式有公因式 首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，注意因式分解要彻底 13（3 分） 如图ABC 中， BE 平分ABC， DEBC， 若 DE2AD， AE2， 那么 AC 6 【分析】首先证明 BDDE2AD，再由 DEBC，可得，求出 EC 即可解决问 第 13 页（共 27 页） 题； 【解答】解：DEBC， DEBEBC， BE 平分ABC， ABEEBC， DEBDBE， DBDE， DE2AD， BD2AD， DEBC， ， ， EC4， ACAE+EC2+46， 故答案为 6 【点评】本题考查平行线分线段成比例定理，角平分线的定义，等
22、腰三角形的判定和性 质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型 14 （3 分）如图，已知正方形 ABCD 的边长为 3，E 为 CD 边上一点，DE1以点 A 为中 心，把ADE 顺时针旋转 90，得ABE，连接 EE，则 EE的长等于 【分析】根据旋转的性质得到：BEDE1，在直角EEC 中，利用勾股定理即可 求解 【解答】解：根据旋转的性质得到：BEDE1，在直角EEC 中：ECDCDE 2，CEBC+BE4 根据勾股定理得到：EE2 第 14 页（共 27 页） 【点评】本题主要运用了勾股定理，能根据旋转的性质得到 BE的长度，是解决本题的 关键 15 （3 分）
23、分式方程+2 的解是 x4 【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到 x 的值，经检验即可 得到分式方程的解 【解答】解：去分母得：1+x12x4， 解得：x4， 经检验 x4 是分式方程的解 故答案为：x4 【点评】此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想” ，把分式方程转 化为整式方程求解解分式方程一定注意要验根 16 （3 分）如图，AB 是O 的弦，AB8，点 C 是O 上的一个动点，且ACB45， 若点 M、N 分别是 AB、AC 的中点，则 MN 长的最大值是 4 【分析】根据中位线定理得到 MN 的长最大时，BC 最大，当 BC 最大时是直径，从而
24、求 得直径后就可以求得最大值 【解答】解：如图，点 M，N 分别是 AB，AC 的中点， MNBC， 当 BC 取得最大值时，MN 就取得最大值，当 BC 是直径时，BC 最大， 连接 BO 并延长交O 于点 C，连接 AC， BC是O 的直径， BAC90 ACB45，AB8， ACB45， 第 15 页（共 27 页） BC， MN最大4 故答案为：4 【点评】本题考查了三角形的中位线定理、等腰直角三角形的性质及圆周角定理，解题 的关键是了解当什么时候 MN 的值最大，难度不大 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 9 小题，满分小题，满分 102 分解答应写出文字说明、证明过程或演算
25、步骤）分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17 （9 分）解方程组： 【分析】方程组利用加减消元法求出解即可 【解答】解：3+得：11x11，即 x1， 把 x1 代入得：y1， 则方程组的解为 【点评】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元 法与加减消元法 18 （9 分）如图，点 E，F 是平行四边形 ABCD 的对角线 AC 上的点，CEAF，求证：BE DF 【分析】利用平行四边形的性质和平行线的性质可以得到相等的线段和相等的角，从而 可以证明BCEDAF，进而证得结论 【解答】证明：四边形 ABCD 是平行四边形， CBAD，CBAD
26、， BCEDAF， 在BCE 和DAF， 第 16 页（共 27 页） ， BCEDAF， BEDF 【点评】本题考查了平行四边形的性质和全等三角形的判定及性质，本题的难点在于第 一步的猜想，学生在解题时往往只考虑一种关系 19 （10 分）先化简，再求值：，其中 a2，b1 【分析】根据提公因式法和分式的除法可以化简题目中的式子，再将 a、b 的值代入化简 后的式子即可解答本题 【解答】解： ab， 当 a2，b1 时，原式2（1）2+13 【点评】本题考查分式的化简求值，解答本题的关键是明确分式化简求值的方法 20 （10 分）为测山高，在点 A 处测得山顶 D 的仰角为 31，从点 A
27、向山方向前进 140 米 到达点 B，在 B 处测得山顶 D 的仰角为 62（如图） （1）在所给的图中尺规作图：过点 D 作 DCAB，交 AB 的延长线于点 C； （2）山高 DC 是多少（结果取整数）？ 【分析】 （1）以 D 为圆心，大于 DC 长度为半径作弧，与 AB 及其延长线相交于 E、F， 分别以 E、F 为圆心，ED 为半径作弧，相交于 G，过 D、G 作垂线即可； （2）根据角的度数判断出 ABDB，利用三角函数求出 DC 即可 第 17 页（共 27 页） 【解答】解： （1）如图， （2）如图， DBC62，DAB31， BDADAB31， ABDB， AB140 米，
28、 DB140 米， 在 RtDCB 中，C90，sinDBC， DC140sin62124 米 答：山高 124 米 【点评】本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题，将实际问题转化到三角形 中是解题的关键 21 （12 分）某完全中学（含初、高中）篮球队 12 名队员的年龄情况如下： 年龄/岁 14 15 16 17 18 人数 1 4 3 2 2 （1）这个队队员年龄的众数是 15 ，中位数是 16 ，平均数是 16 （2）若把这个队队员年龄的分布情况绘成扇形统计图，请求出年龄为 15 岁的队员人数 所对应的圆心角的度数 （3）为了检查队员们的训练水平，教练要从年龄为 15 岁的 4 名队
29、员（用 A、B、C、D 表示）中随机抽取 2 人，请用列表法或树形图法求出恰好选中 B、D 的概率 【分析】 （1）众数就是出现次数最多的数，而中位数就是大小处于中间位置的数，根据 定义即可求解、利用求平均数公式计算即可； 第 18 页（共 27 页） （2）年龄为 15 岁所占的百分比，乘以 360 即可得到结果 （3）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与恰好选中 B、D 两人进行比赛的情况，再利用概率公式即可求得答案 【解答】解： （1）15 岁出现了 4 次，次数最多，因而众数是：15； 12 个数，处于中间位置的都是 16，因而中位数是：16 这个队队员的平均年龄
30、（141+154+163+172+182）16， 故答案为 15、16、16； （2）年龄为 15 岁的队员人数所对应的圆心角的度数 360120； （3）画树状图得： 一共有 12 种可能出现的结果，它们都是等可能的，符合条件的有两种， 恰好选中 B、D 的概率为 【点评】此题主要考查了扇形统计图与条形统计图的综合应用以及利用列表法求概率等 知识，利用条形统计图与扇形统计图得出正确信息是解题关键 22 （12 分）如图，四边形 ABCD 是正方形，点 A 的坐标是（0，1） ，点 B 的坐标是（0， 2） ，反比例函数 y的图象经过点 C，一次函数 yax+b 的图象经过 A、C 两点，两
31、函数图象的另一个交点 E 的坐标是（m，3） （1）分别求出一次函数与反比例函数的解析式 （2） 求出 m 的值， 并根据图象回答： 当 x 为何值时， 一次函数的值大于反比例函数的值 （3）若点 P 是反比例函数图象上的一点，AOP 的面积恰好等于正方形 ABCD 的面积， 求点 P 坐标 第 19 页（共 27 页） 【分析】 （1）先根据 A 点和 B 点坐标得到正方形的边长，则 BC3，于是可得到 C（3， 2） ，然后利用待定系数法求反比例函数与一次函数的解析式； （2）将点 E 的坐标（m，3）代入反比例函数的解析式即可求出 m 的值，根据图象找出 一次函数落在反比例函
32、数图象上方的部分对应的自变量的取值范围即可； （3）设 P（t，） ，根据三角形面积公式和正方形面积公式得到1|t|33，然 后解绝对值方程求出 t 即可得到 P 点坐标 【解答】解： （1）点 A 的坐标为（0，1） ，点 B 的坐标为（0，2） ， AB1+23， 四边形 ABCD 为正方形， BCAB3， C（3，2） ， 把 C（3，2）代入 y，得 k3（2）6， 反比例函数解析式为 y； 把 C（3，2） ，A（0，1）代入 yax+b， 得，解得， 一次函数解析式为 yx+1； （2）反比例函数 y的图象过点 E（m，3） ， m2， E 点的坐标为（2，3） ； 由图象可知，当
33、 x2 或 0x3 时，一次函数落在反比例函数图象上方， 即当 x2 或 0x3 时，一次函数的值大于反比例函数的值； 第 20 页（共 27 页） （3）设 P（t，） ， AOP 的面积恰好等于正方形 ABCD 的面积， 1|t|33，解得 t18 或 t18， P 点坐标为（18，）或（18，） 【点评】本题考查了正方形的性质，反比例函数与一次函数的交点问题，运用待定系数 法求反比例函数以及一次函数的解析式，三角形的面积运用数形结合思想以及方程思 想是解题的关键 23 （12 分）如图 1，AB 是O 的直径，AC 是O 的切线 （1）连接 BC，BC 交O 于点 E，连接 AE 若 D
34、 为 AC 的中点，连接 DE，证明：DE 是O 的切线 若 BE3EC，求 tanABC （2）如图 2，CF 是圆 O 的另一条切线，F 为切点，OC 与圆 O 交于点 G，求证：点 G 是三角形 ACF 的内心 【分析】 （2）根据切线的性质和圆周角定理得出CABAEBAEC90，根 据等腰三角形的性质得出DEADAE，OEAEAO，求出DEODAO 90，根据切线的判定得出即可 由EAC+EAB90，EBA+EAB90，证得EACEBA，可证得EAC EBA，根据相似三角形的性质可求出 EA，根据正切函数的定义即可求得 tan ABC 的值 （2）如图 2，连接 AG，BG证得 AG
35、平分CAF 即可推知点 G 是三角形 ACF 的内心 【解答】证明： （1）连接 OE，如图 1 所示 AC 是O 的切线，AB 是O 的直径， 第 21 页（共 27 页） CABAEBAEC90， 又D 为 AC 中点， DECDDA， DEADAE， OEOA， OEAEAO， DEA+OEADAE+EAO 即DEODAO90， 点 E 在O 上， DE 与O 相切 在直角EAC 与直角EBA 中， EAC+EAB90，EBA+EAB90， EACEBA， EACEBA， ，EA2EBEC， 设 EC1，则 EB3， EA2EBEC3， EA， tanABC （2）如图 2，
36、连接 AG，BG AC，FC 都是圆 O 的切线， ACFC，AFOC OC 平分ACO 又 AC 是圆 O 的切线， CAGABG 又 AB 是直径， AGB90 GAFOGB OGBOBG， 第 22 页（共 27 页） CAGGAF AG 是CAF 的角平分线， 点 G 是三角形 ACF 的内心 【点评】本题主要考查了切线的性质和判定定理，全等三角形的判定和性质，正切三角 函数的定义，三角形的内心等知识，综合能力强，熟练掌握切线的性质和判定是解决问 题的关键 24 （14 分）已知抛物线 yax2+bx+c 经过 A（0，2） ，B（2，2）两点 （1）用含 a 的式子表示 b （2）当
37、 a时，yax2+bc+c 的函数值为正整数，求满足条件的 x 值 （3）若 a0，线段 AB 下方的抛物线上有一点 E，求证：不管 a 取何值，当EAB 的面 积最大时，E 点的横坐标为定值 【分析】 （1）利用待定系数法建立方程组求解即可得出结论； （2）先求出抛物线解析式，进而根据函数值为正数求出 x 的范围，再根据整数即可得出 结论； （3）根据三角形的面积的计算方法建立函数关系式，即可得出结论 【解答】解： （1）抛物线 yax2+bx+c 经过 A（0，2） ，B（2，2） ， ， ， 即：b2a2； 第 23 页（共 27 页） （2）由（1）知，c2，b2a2， a， b1，
38、抛物线解析式为 yx2x+2（x+1）2+， yax2+bc+c 的函数值为正数， （x+1）2+0， （x+1）250， 1x1， yax2+bc+c 的函数值为整数， 即（x+1）2+为整数， （x+1）2是奇数， x 为偶数， x2 或 x0； （3）由（1）知，c2，b2a2， 抛物线的解析式为 yax2（2a+2）x+2， A（0，2） ，B（2，2） ， 直线 AB 的解析式为 y2x+2， 点 E 在线段 AB 下方的抛物线上， 设点 E（m，am2（2a+2）m+2） ， 过点 E 作 y 轴的平行线，交 AB 于 F， F（m，2m2） ， EF2m2am2（2a+2）m+2
39、a（m1）2+a， SEABEF|xBxA|EFa（m1）2+a， a0， a0， m1 时，EAB 面积最大， 第 24 页（共 27 页） 即：不管 a 取大于 0 的何值，当EAB 的面积最大时，E 点的横坐标为定值，定值为 1 【点评】此题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法，解不等式的方法，三角形的 面积的计算方法，函数极值的确定方法，表示出 EF 是解本题的关键 25 （14 分）如图 1，在矩形 ABCD 中，AB4，AD6，M 是 AD 的中点，点 E 是线段 AB 上一动点，连接 EM 并延长交直线 CD 于点 F，过 M 作 MNEF，交射线 BC 于点 N，
40、连 接 NF，点 P 是线段 NF 的中点 （1）连接图 1 中的 PM，PC，求证：PMPC （2）如图 2，当点 N 与 C 重合时，求 AE 的长 （3）当点 E 从点 A 运动到点 B 时，求点 P 经过的路径长 【分析】 （1）如图 1 中，连接 PM、PC利用直角三角形斜边中线定理证明即可； （2）如图 2 中，连接 EC，设 AEx首先证明 AEDF，在 RtECM 中，利用勾股定 理构建方程即可解决问题； （3）如图 3 中，点 P 的运动轨迹是线段 PP1作 PHAD 于 H利用勾股定理求出 PP1 即可解决问题； 【解答】解： （1）如图 1 中，连接 PM、PC 第 25
41、 页（共 27 页） 四边形 ABCD 是矩形， FCN90， PFFN， PCFN， NMEF， FMN90， FPFN， PMFN， PMPC （2）如图 2 中，连接 EC，设 AEx ABDF， AEMF， AMMD，AMDDMF， 第 26 页（共 27 页） AMEDMF， AEDFx，EMFM， NMEF， ECCF4+x， 在 RtEBC 中，EB2+BC2EC2， （4x）2+62（x+4）2， x AE （3）如图 3 中，点 P 的运动轨迹是线段 PP1作 PHAD 于 H 当点 E 与 A 重合时，点 P 是矩形 CDMN 的中点，易知 PH2，DH， 当点 E 与 B 重合时，点 P1在 AD 的延长线上，设 BN1F1N1m， 在 RtCF1N1中，m2（m6）2+82， m， CN16， DP1CN1， HP1+， 第 27 页（共 27 页） 在 RtHPP1中，PP1， 点 P 的运动路径为 【点评】本题考查四边形综合题、全等三角形的判定和性质、线段的垂直平分线的性质、 直角三角形的斜边中线定理、勾股定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问 题，学会添加常用辅助线，属于中考压轴题
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