1、 1 1 离散型随机变量及其分布列 离散型随机变量 如果在试验中， 试验可能出现的结果可以用一个变量X来表示， 并且X是随着试验的结 果的不同而变化的，我们把这样的变量X叫做一个随机变量随机变量常用大写字母 ,X Y表示 如果随机变量X的所有可能的取值都能一一列举出来，则称X为离散型随机变量 离散型随机变量的分布列 将离散型随机变量X所有可能的取值 i x与该取值对应的概率 i p(1, 2,)in列表表示： X 1 x 2 x i x n x P 1 p 2 p i p n p 我们称这个表为离散型随机变量X的概率分布，或称为离散型随机变量X的分布列 2几类典型的随机分布 两点分布两点分布
2、如果随机变量X的分布列为 X 1 0 P p q 其中01p，1qp ，则称离散型随机变量X服从参数为p的二点分布 二点分布举例：某次抽查活动中，一件产品合格记为1，不合格记为0，已知产品的合格率 为80%，随机变量X为任意抽取一件产品得到的结果，则X的分布列满足二点分布 X 1 0 P 0.8 0.2 两点分布又称01分布，由于只有两个可能结果的随机试验叫做伯努利试验，所以这种分 布又称为伯努利分布 超几何分布超几何分布 一般地， 设有总数为N件的两类物品， 其中一类有M件， 从所有物品中任取n件()nN， 这n件中所含这类物品件数X是一个离散型随机变量，它取值为m时的概率为 CC () C
3、 mn m MN M n N P Xm (0ml，l为n和M中较小的一个) 我们称离散型随机变量X的这种形式的概率分布为超几何分布，也称X服从参数为N， M，n的超几何分布在超几何分布中，只要知道N，M和n，就可以根据公式求出X 知识内容 条件概率 2 取不同值时的概率()P Xm，从而列出X的分布列 二项分布二项分布 1独立重复试验 如果每次试验，只考虑有两个可能的结果A及A，并且事件A发生的概率相同在相同 的条件下，重复地做n次试验，各次试验的结果相互独立，那么一般就称它们为n次独 立 重 复 试 验 n次 独 立 重 复 试 验 中 ， 事 件A恰 好 发 生k次 的 概 率 为 ( )
4、C(1) kkn k nn P kpp (0,1, 2,)kn 2二项分布 若将事件A发生的次数设为X，事件A不发生的概率为1qp ，那么在n次独立重复 试验中，事件A恰好发生k次的概率是()Ck kn k n P Xkp q ，其中0, 1, 2,kn于 是得到X的分布列 X 0 1 k n P 00 C n n p q 111 C n n p q Ck kn k n p q 0 Cn n n p q 由于表中的第二行恰好是二项展开式 001110 ()CCCC nnnkknknn nnnn qppqpqpqpq 各对应项的值，所以称这样的散型随机变量X服从参数为n，p的二项分布， 记作(
5、,)XB n p 二项分布的均值与方差： 若离散型随机变量X服从参数为n和p的二项分布，则 ()E Xnp，( )D xnpq(1)qp 正态分布正态分布 1 概率密度曲线：样本数据的频率分布直方图，在样本容量越来越大时， 直方图上面的折线所接近的曲线在随机变量中，如果把样本中的任一数据看作随机变 量X，则这条曲线称为X的概率密度曲线 曲线位于横轴的上方，它与横轴一起所围成的面积是1，而随机变量X落在指定的两个 数a b，之间的概率就是对应的曲边梯形的面积 2正态分布 定义：如果随机现象是由一些互相独立的偶然因素所引起的，而且每一个偶然因素 在总体的变化中都只是起着均匀、 微小的作用， 则表示
6、这样的 随机现象的随机变量的概率分布近似服从正态分布 服从正态分布的随机变量叫做正态随机变量，简称正态变量 正态变量概率密度曲线的函数表达式为 2 2 () 2 1 ( ) 2 x f xe ， xR，其中，是参数，且0， 式中的参数和分别为正态变量的数学期望和标准差期望 为、标准差为的正态分布通常记作 2 ( ,)N 正态变量的概率密度函数的图象叫做正态曲线 标准正态分布：我们把数学期望为0，标准差为1的正态分布叫做标准正态分布 重要结论： 正态变量在区间(,)，(2 ,2 )，(3 ,3 ) 内，取值的概率分 别是68.3%，95.4%，99.7% 正态变量在() ，内的取值的概率为1，
7、在区间(33 )，之外的取值的概率 是0.3%， 故正态变量的取值几乎都在距x三倍标准差之内， 这就是正态分布的3原 x= O y x 3 则 若 2 ()N ，( )f x为其概率密度函数， 则称( )()( ) x F xPxf t dt 为概率分布 函数，特别的， 2 (0 1 )N ，称 2 2 1 ( ) 2 t x xedt 为标准正态分布函数 ()() x Px 标准正态分布的值可以通过标准正态分布表查得 分布函数新课标不作要求，适当了解以加深对密度曲线的理解即可 3离散型随机变量的期望与方差 1离散型随机变量的数学期望 定义：一般地，设一个离散型随机变量X所有可能的取的值是 1
8、 x， 2 x， n x，这些 值对应的概率是 1 p， 2 p， n p，则 1122 ( ) nn E xx px px p，叫做这个离散型随 机变量X的均值或数学期望（简称期望） 离散型随机变量的数学期望刻画了这个离散型随机变量的平均取值水平 2离散型随机变量的方差 一般地，设一个离散型随机变量X所有可能取的值是 1 x， 2 x， n x，这些值对应的 概率是 1 p， 2 p， n p，则 222 1122 ()( )( )( ) nn D XxE xpxE xpxE xp叫 做这个离散型随机变量X的方差 离散型随机变量的方差反映了离散随机变量的取值相对于期望的平均波动的大小 （离散
9、 程度） ()D X的算术平方根( )D x叫做离散型随机变量X的标准差，它也是一个衡量离散型随 机变量波动大小的量 3X为随机变量，a b，为常数，则 2 ()()()()E aXbaE Xb D aXba D X，； 4 典型分布的期望与方差： 二点分布：在一次二点分布试验中，离散型随机变量X的期望取值为p，在n次二 点分布试验中，离散型随机变量X的期望取值为np 二项分布：若离散型随机变量X服从参数为n和p的二项分布，则()E Xnp， ( )D xnpq(1)qp 超几何分布：若离散型随机变量X服从参数为NMn， ，的超几何分布， 则() nM E X N ， 2 ()() () (1
10、) n Nn NM M D X NN 4事件的独立性 如果事件A是否发生对事件B发生的概率没有影响，即(|)( )P B AP B， 这时，我们称两个事件A，B相互独立，并把这两个事件叫做相互独立事件 如果事件 1 A， 2 A， n A相互独立，那么这n个事件都发生的概率，等于每个事件发 生的概率的积， 即 1212 ()()()() nn P AAAP AP AP A， 并且上式中任意多个事 件 i A换成其对立事件后等式仍成立 5条件概率 对于任何两个事件A和B，在已知事件A发生的条件下，事件B发生的概率叫做条件概 率， 用符号“(|)P B A”来表示 把由事件A与B的交 （或积） ，
11、 记做DAB（或DAB） 4 【例1】 把一枚硬币抛掷两次， 事件A“第一次出现正面”， 事件B “第二次出现反面”， 则()_P B A 【考点】条件概率 【难度】2 星 【题型】填空 【关键字】无 【解析】 11()1 ( )()(|) 24( )2 P AB P AP ABP B A P A ， 【答案】 1 2 ； 【例2】 抛掷一颗骰子两次，在第一次掷得向上一面点数是偶数的条件下，则第二次掷 得向上一面点数也是偶数的概率为 【考点】条件概率 【难度】2 星 【题型】填空 【关键字】无 【解析】设第一次掷得向上一面点数是偶数的事件为A，第二次掷得向上一面点数是偶数 的事件为B，则 11
12、 ( )() 24 P AP AB，所求概率为 ()1 (|) ( )2 P AB P B A P A 【答案】 1 2 ； 【例3】 掷两枚均匀的骰子， 记A“点数不同”，B “至少有一个是6点”， 求( | )P A B与 (|)P B A 【考点】条件概率 【难度】3 星 【题型】解答 【关键字】无 【解析】略 【答案】法一： 由题意得： 655 ( ) 666 P A ； 5 511 ( )1( )1 6636 P BP B ； 55 ()2 6618 P AB （在第一次或第二次得到6点） ； 故 ()1 (|) ( )3 P AB P B A P A ； ()10 (|) ( )1
13、1 P AB P A B P B 典例分析 5 法二： 掷两枚骰子的所有基本事件有： (1 1)(1 2)(1 6) (2 1) (2 2)(2 6) (6 1) (6 2)(6 6) ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 且每个基本事件发生的概率相同 两次点数不同包含36630个基本事件，其中至少含有一个6点的有10个， 故 101 (|) 303 P B A ； 在含有6的11个基本事件中，两个点数不同的情况包含其中的10个，故 10 (|) 11 P A B 【例4】 设某种动物活到20岁以上的概率为0.7，活到25岁以上的概率为0.4，求现龄 为2
14、0岁的这种动物能活到25岁以上的概率 【考点】条件概率 【难度】2 星 【题型】解答 【关键字】无 【解析】略 【答案】设这种动物活到20岁以上的事件为A，活到25岁以上的事件为B，则 ( )0.7P A ，且()( )0.4P ABP B，故在事件A发生的条件下B发生的概率为 ()0.4 (|)0.5714 ( )0.7 P AB P B A P A 【例5】 某地区气象台统计，该地区下雨的概率是 4 15 ，刮风的概率是 2 15 ，既刮风又下 雨的概率是 1 10 ，设A“刮风”，B “下雨”，求()()P B AP A B， 【考点】条件概率 【难度】2 星 【题型】解答 【关键字】无
15、 【解析】略 【答案】由题意知： 2 ( ) 15 P A ， 4 ( ) 15 P B ， 1 () 10 P AB ； ()3 () ( )4 P AB P B A P A ； ()3 () ( )8 P AB P A B P B 【例6】 设某批产品有4%是废品，而合格品中的75%是一等品，任取一件产品是一等 品的概率是 【考点】条件概率 【难度】2 星 【题型】填空 6 【关键字】无 【解析】设A“任取一件产品为一等品”，B “任取一件产品为合格品”，所求概率为 ( )( )(|)(1 0.04) 0.750.72P AP BP A B 【答案】0.72； 【例7】 甲、乙两班共有 7
16、0 名同学，其中女同学 40 名设甲班有 30 名同学，而女生 15 名，问在碰到甲班同学时，正好碰到一名女同学的概率? 【考点】条件概率 【难度】2 星 【题型】解答 【关键字】无 【解析】略 【答案】 设 A 表示事件“碰到甲班同学”， B 表示事件“碰到女同学”， 问题即为求(|)P B A 15 () 70 P AB ， 30 ( ) 70 P A ，由公式得 () (|)0.5 ( ) P AB P B A P A 当然直接求的话，就是 15 (|)0.5 30 P B A 【例8】 在 10 个球中有 6 个红球，4 个白球（各不相同），不放回的依次摸出 2 个球， 在第 1 次摸
17、出红球的条件下，第 2 次也摸出红球的概率是（ ） A 3 5 B 2 3 C 5 9 D 1 3 【考点】条件概率 【难度】2 星 【题型】选择 【关键字】无 【解析】法一：用条件概率考虑，二次都摸出红球的概率为 2 6 2 10 C1 C3 ，第一次摸出红球 的概率为 63 105 ，故所求的概率为 1 5 3 3 9 5 ； 法二：第一次摸出红球后还剩下5个红球和4个白球，故再次摸出红球的概率 为 5 9 【答案】C； 【例9】 从1100个整数中，任取一数，已知取出的数是不大于50的数，求它是 2 或 3 的倍数的概率 【考点】条件概率 【难度】3 星 【题型】解答 7 【关键字】无
18、【解析】略 【答案】用 A 表示“取出的数50”，B 表示“取出的数是 2 或 3 的倍数”，问题即为求 (|)P B A不大于50的数中 2 或 3 的倍数共有 505050 33 236 个（ x表示 不超过x的最大整数） ，于是 33 () 100 P AB ，而 50 ( ) 100 P A ，因此由公式 () (|)0.66 ( ) P AB P B A P A 直接求的话就是 33 (|)0.66 50 P B A 【例10】 袋中装有21n个白球，2n个黑球，一次取出n个球，发现都是同一种颜色的， 问这种颜色是黑色的概率是多少? 【考点】条件概率 【难度】3 星 【题型】解答 【
19、关键字】无 【解析】略 【答案】设 A 表示“取出n个球是同一种颜色”，B 表示“n个球的颜色是黑色的”， 问题即为求(|)P B A 2 41 C () C n n n n P AB ， 212 4 C+C ( ) C nn nn n n P A ， 因此由公式 2 212 C()2 (|) ( )C+C3 n n nn nn P AB P B A P A 直接求的话就是 2 212 C2 (|) C+C3 n n nn nn P B A 【例11】 一袋中装有 10 个球，其中 3 个黑球，7 个白球，先后两次从袋中各取一球（不 放回） 已知第一次取出的是黑球，求第二次取出的仍是黑球的概率
20、； 已知第二次取出的是黑球，求第一次取出的也是黑球的概率； 已知第一次取出的是黑球，求第二次取出的是白球的概率 【考点】条件概率 【难度】3 星 【题型】解答 【关键字】无 【解析】略 【答案】设 A 表示事件“第一次取出的是黑球”，B 表示事件“第二次取出的是黑球”，C 表示事件“第二次取出的是白球”则 3 ( )( ) 10 P AP B 7 ( ) 10 P C 问题即求条件概率(|)P B A， 2 3 2 10 1 () 15 P AB ， 所以 ()2 (|) ( )9 P AB P B A P A ()2 (|) ( )9 P AB P A B P B 8 问题即求概率(|)P
21、C A， 11 37 2 10 7 ()( )() 30 P ACP AP AB ， 所以 ()7 (|) ( )9 P AC P C A P A ， 从结果可以看出(|)1(|)P C AP B A 【例12】 有两箱同类零件，第一箱内装 50 件，其中 10 件是一等品；第二箱内装 30 件， 其中 18 件是一等品现从两箱中随意挑出一箱，然后从该箱中先后随机取出 两个零件（取出的零件均不放回） ，试求： 先取出的零件是一等品的概率； 在先取出的零件是一等品的条件下后取出的仍然是一等品的概率 （保留三位有 效数字） 【考点】条件概率 【难度】3 星 【题型】解答 【关键字】无 【解析】略
22、【答案】两个箱子被挑到的概率都是0.5，两个箱子先取出的是一等品的概率分别为 1018 ( 0.2)( 0.6) 5030 ，故先取出的是一等品的概率为0.5 0.20.5 0.60.4 设A表示“第一次取出的是一等品”，B表示“第二次取出的是一等品”，问题即为 求(|)P B A 两个箱子“两次抽到的都是一等品”的概率分别为： 22 1018 22 5030 951 245145 ， 因此 951 ()0.50.5 245145 P A B 故由公式 () (|) ( ) P A B P B A P A 0.486 【例13】 设有来自三个地区的各10名、15名和25名考生的报名表，其中女生
23、的报名表 分别为 3 份、7 份和 5 份随机地取一个地区的报名表，从中先后抽出两份， 求先抽到的一份是女生表的概率p 己知后抽到的一份是男生表，求先抽到的是女生的概率q 【考点】条件概率 【难度】3 星 【题型】解答 【关键字】无 【解析】略 【答案】三个地区的报名表被抽到的概率都是 1 3 ，三个地区的报名表第一个被抽到的 是女生的概率分别为 375 101525 ， ，因此先抽到的一份是女生表的概率为： 13171529 3 103 153 2590 p ； 9 设A表示“第二次抽到的是男生表”，B 表示“第一次抽到的是女生表”，问题即为 求(|)P B A 三个地区“先后抽出的是女生表
24、和男生表”的概率分别为： 111111 3778520 222 101525 785 303030 ， 于是 17181520 () 3 303 303 3090 P A B 类似于 1 782061 ( )() 3 10152590 P A 因此由公式 ()20 (|) ( )61 P A B P B A P A 【例14】 一辆飞机场的交通车载有 25 名乘客途经 9 个站，每位乘客都等可能在这 9 站 中任意一站下车（且不受其他乘客下车与否的影响） ，交通车只在有乘客下车 时才停车， 求交通车在第i站停车的概率以及在第i站不停车的条件下在第j站 停车的概率，并判断“第i站停车”与“第j站
25、停车”两个事件是否独立 【考点】条件概率 【难度】5 星 【题型】解答 【关键字】无 【解析】略 【答案】不妨记事件 i A：交通车在第i站停车（1, 2, 3, 4, ., 9i ） 我们考虑事件 i A的对立情形，即所有 25 名乘客都在其余的 8 个站下车， 其概率为 25 8 9 于是 25 8 1 9 i P A 在第i站不停车的条件下在第j站停车的概率 ij ji i P AA P A A P A i ij i P AP A A P A 而 252525 887 , 999 ijji P AP AP A A ， 代入有 25 7 1 8 ji P A A 由 25 7 1 8 ji
26、j P A AP A ， 说明事件 j A与 i A不独立， 于是事件 j A与 i A不独 立 【例15】 在 5 道题中有 3 道理科题和 2 道文科题如果不放回地依次抽取 2 道题，求： 1 次抽到理科题的概率； 10 1 次和第 2 次都抽到理科题的概率； 第 1 次抽到理科题的条件下，第 2 次抽到理科题的概率 【考点】条件概率 【难度】3 星 【题型】解答 【关键字】无 【解析】略 【答案】设第 1 次抽到理科题为事件A，第 2 次抽到理科题为事件B，则第 1 次和第 2 次都抽到理科题为事件AB 5 道题中不放回地依次抽取 2 道的事件数为 3 5 20A 根据分步乘法计数原理，
27、 11 34 12n AAA 于是 123 ( ) 205 P A 因n AB 2 3 6A ，所以 63 () 2010 P AB 解法 1 ：由可得，在第 1 次抽到理科题的条件下， 第 2 次抽到理科题的概率 3 ()1 10 (|) 3 ( )2 5 P AB P B A P A 解法 2： 因为6n AB ， 12n A ，所以 ()61 (|) ( )122 P AB P B A P A 【例16】 一张储蓄卡的密码共位数字，每位数字都可从 09 中任选一个某人在银行 自动提款机上取钱时，忘记了密码的最后一位数字，求： 任意按最后一位数字，不超过 2 次就按对的概率； 如果他记得密
28、码的最后一位是偶数，不超过 2 次就按对的概率 【考点】条件概率 【难度】3 星 【题型】解答 【关键字】无 【解析】略 【答案】设第i次按对密码为事件 i A，1, 2i ，则 112 ()AAA A表示不超过 2 次就按 对密码 因为事件 1 A与事件 12 A A互斥，由概率的加法公式得 112 19 11 ( )()() 101095 P AP AP A A 用 B 表示最后一位按偶数的事件，则 11 112 (|)(|)(|)P A BP A BP A AB 14 12 5545 【例17】 由以往的临床记录，某种诊断癌症的试验具有如下效果：被诊断者有癌症，试 验反应为阳性的概率为
29、095；被诊断者没有癌症，试验反应为阴性的概率为 0 950 005， 求：已知试验反应为阳性，该被诊断者确有癌症的概率 【考点】条件概率 【难度】5 星 【题型】解答 【关键字】无 【解析】略 【答案】设A表示“患有癌症” ，A表示“没有癌症” ，B表示“试验反应为阳性” ，则 由条件得 0.005P A ， 0.995P A ， 0.95P B A ， 0.95P B A 由此 1 0.950.05P B A ( ) ()( ) ()P BP ABP ABP A P B AP A P B A 于是有 ( ) ()P A P B A P A B P B ( ) () 0.087 ( ) ()( ) () P A P B A P ABP ABP A P B AP A P B A
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