1、2018-2019 学年吉林省吉林市吉化一中高二（下）3 月月考数学月月考数学试卷（文科）一、选择题（共 11 小题，每小题小题，每小题 5 分，满分分，满分 55 分）分） 1 （5 分）101（2）化为十进制数是（ ） A4 B5 C6 D7 2 （5 分）抛掷一枚骰子，记事件 A 为“落地时向上的数是奇数” ，事件 B 为“落地时向上 的数是偶数” ，事件 C 为“落地时向上的数是 3 的倍数” ，事件 D 为“落地时向上的数是 2 或 4” ，则下列每对事件是互斥事件但不是对立事件的是（ ） AA 与 B BB 与 C CA 与 D DB 与 D 3 （5 分）如图给出的是计算 1+的
2、值的一个程序框图（2） ，则图中执行框 处和判断框处应填的语句是（ ） ASS+n，i15？ BSS+，i15？ CSS+，i15？ DnS+n，i15？ 4 （5 分）用系统抽样法从 160 名学生中抽取容量为 20 的样本，将 160 名学生从 1160 编号，按编号顺序平均分成 20 组（18 号，916 号，153160 号） 若第 16 组应抽出的号码为 126，则第一组中用抽签方法确定的号码是（ ） 第 2 页（共 23 页） A4 B5 C6 D7 5 （5 分）完成下列两项调查：从某社区 70 户高收入家庭、335 户中等收入家庭、95 户 低收入家庭中选出 100
3、 户， 调查社会购买能力的某项指标； 从某中学的 15 名艺术特长 生中选出 3 名调查学习负担情况这两项调查宜采用的抽样方法依次是（ ） A简单随机抽样，系统抽样 B分层抽样，简单随机抽样 C系统抽样，分层抽样 D都用分层抽样 6 （5 分）在某次测量中得到的 A 样本数据如下：82，84，84，86，86，86，88，88，88， 88若 B 样本数据恰好是 A 样本数据每个都加 2 后所得数据，则 A，B 两样本的下列数 字特征对应相同的是（ ） A众数 B平均数 C中位数 D标准差 7（5 分） 已知 x 与 y 之间的几组数据如表： 则 y 与 x
4、 的线性回归方程 x+ 必过点 （ ） x 0 1 2 3 y 0 2 5 7 A （1，2） B （2，6） C （，） D （3，7） 8 （5 分）阅读程序框图，如果输出的函数值在区间内，则输入的实数 x 的取 值范围是（ ） A （，2 B2，1 C1，2 D2，+） 9 （5 分） 在区间， 内随机取两个数分别记为 a， b， 则使得函数 f （x） x2+2axb2+2 第 3 页（共 23 页） 有零点的概率为（ ） A1 B1 C1 D1 10 （5 分）交通管理部门为了解机动车驾驶员（简称驾驶员）对某新法规的知晓情况，对 甲、乙、丙、丁四个社区做分层抽样调查假设四
5、个社区驾驶员的总人数为 N，其中甲 社区有驾驶员 96 人若在甲、乙、丙、丁四个社区抽取驾驶员的人数分别为 12，21，25， 43，则这四个社区驾驶员的总人数 N 为（ ） A101 B808 C1212 D2012 11 （5 分）甲乙两名运动员在某项测试中的 8 次成绩如茎叶图所示，分别表示甲 乙两名运动员这项测试成绩的平均数， s1， s2分别表示甲乙两名运动员这项测试成绩的标 准差，则有（ ） A，s1s2 B，s1s2 C，s1s2 D，s1s2 二、填空题（共二、填空题（共 5 小题，每小题小题，每小题 5 分，满分分，满分 25 分）分） 12 （5 分）117，1
6、82 的最大公约数是 13 （5 分）对任意非零实数 a，b，若 ab 的运算原理如程序框图所示，则 lg10000（） 2 第 4 页（共 23 页） 14 （5 分）设集合 Px，1，Qy，1，2，PQ，x，y1，2，3，4，5，6，7，8， 9，且在直角坐标平面内，从所有满足这些条件的有序实数对（x，y）表示的点中，任 取一个，其落在圆 x2+y2r2内（不含边界）的概率恰为，则 r2的所有可能的正整数值 是 15 （5 分） 点 A 为周长等于 3 的圆周上的一个定点， 若在该圆周上随机取一点 B， 则劣弧 的长度小于 1 的概率为
7、; 16 （5 分）在利用整数随机数进行随机模拟试验中，a 到 b 之间的每个整数出现的可能性 是 三、解答题（共三、解答题（共 6 小题，满分小题，满分 70 分）分） 17 （10 分）某公司有一批专业技术人员，对他们进行年龄状况和接受教育程度（学历）的 调查，其结果（人数分布）如表： 学历 35 岁以下 3550 岁 50 岁以上 本科 80 30 20 研究生 x 20 y （）用分层抽样的方法在 3550 岁年龄段的专业技术人员中抽取一个容量为 10 的样 本，将该样本看成一个总体，从中任取 3 人，求至少有 1 人的学历为研究生的概率； （）在这个公司的专业技术人员中
8、按年龄状况用分层抽样的方法抽取 N 个人，其中 35 岁以下 48 人，50 岁以上 10 人，再从这 N 个人中随机抽取出 1 人，此人的年龄为 50 岁 以上的概率为，求 x、y 的值 18 （12 分）某校为了解学生对食堂伙食的满意程度，组织学生给食堂打分（分数为整数， 满分为 100 分） ， 从中随机抽取一个容量为 120 的样本， 发现所有数据均在40， 100内 现 将这些分数分成以下 6 组：40，50） ，50，60） ，60，70） ，70，80） ，80，90） ，90， 100，并画出了样本的频率分布直方图，部分图形如图所示观察图形，回答下列问题： （l）算
9、出第三组60，70）的频数，并补全频率分布直方图； （2）请根据频率分布直方图，估计样本的众数和平均数， 第 5 页（共 23 页） 19 （12 分）某高校在 2012 年的自主招生考试成绩中随机抽取 100 名中学生的笔试成绩， 按成绩分组，得到的频率分布表如所示 组号 分组 频数 频率 第 1 组 160，165） 5 0.050 第 2 组 165，170） 0.350 第 3 组 170，175） 30 第 4 组 175，180） 20 0.200 第 5 组 180，185） 10 0.100 合计 100 1.00 （1）请先求出频率分布表中、位置的相应数据，再完成
10、频率分布直方图； （2）为了能选拔出最优秀的学生，高校决定在笔试成绩高的第 3、4、5 组中用分层抽样 抽取 6 名学生进入第二轮面试，求第 3、4、5 组每组各抽取多少名学生进入第二轮面试； （3）在（2）的前提下，学校决定在 6 名学生中随机抽取 2 名学生接受 A 考官进行面试， 求：第 4 组至少有一名学生被考官 A 面试的概率 20 （12 分） 某城市理论预测 2014 年到 2018 年人口总数 y （单位：十万）与年份（用 2014+x 表示）的关系如表所示： 年份中的 x 0 1 2 3 4 第 6 页（共 23 页） 人口总数 y 5 7 8 11 19 （1）
11、请画出上表数据的散点图； （2）请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出 y 关于 x 的回归方程 bx+a； （3）据此估计 2019 年该城市人口总数 （参考数据：05+17+28+311+419132，02+12+22+32+4230） 参考公式：线性回归方程为，其中 21 （12 分）已知直线 l 经过点 P（1，1） ，且 l 的斜率 k1 （）写出直线 l 的参数方程； （）设 l 与圆 x2+y29 相交于两点 A、B，求点 P 到 A、B 两点间的距离之积 22 （12 分）在直角坐标系 xOy 中，曲线 C1的参数方程为（ 为参数）M 是 C1上的动点，P 点满足2
12、，P 点的轨迹为曲线 C2 （）求 C2的方程； （）在以 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线 与 C1的异于极点 的交点为 A，与 C2的异于极点的交点为 B，求|AB| 第 7 页（共 23 页） 2018-2019 学年吉林省吉林市吉化一中高二（下）学年吉林省吉林市吉化一中高二（下）3 月月考数学月月考数学 试卷（文科）试卷（文科） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题（共一、选择题（共 11 小题，每小题小题，每小题 5 分，满分分，满分 55 分）分） 1 （5 分）101（2）化为十进制数是（ ） A4 B5 C6 D7 【分析】由二进制转化为十进制的方
13、法，我们只要依次累加各位数字上的数该数位的 权重，即可得到结果 【解答】解：101（2）120+021+1225， 故选：B 【点评】本题考查的知识点是算法的概念，进制转换为十进制的方法是依次累加各位数 字上的数该数位的权重，本题属于基础题 2 （5 分）抛掷一枚骰子，记事件 A 为“落地时向上的数是奇数” ，事件 B 为“落地时向上 的数是偶数” ，事件 C 为“落地时向上的数是 3 的倍数” ，事件 D 为“落地时向上的数是 2 或 4” ，则下列每对事件是互斥事件但不是对立事件的是（ ） AA 与 B BB 与 C CA 与 D DB 与 D 【分析】利用对立事件、互斥事件的定义直接求解
14、 【解答】解：抛掷一枚骰子，记事件 A 为“落地时向上的数是奇数” ， 事件 B 为“落地时向上的数是偶数” ，事件 C 为“落地时向上的数是 3 的倍数” ， 事件 D 为“落地时向上的数是 2 或 4” ， 在 A 中，A 与 B 是对立事件，故 A 错误； 在 B 中，B 与 C 能同时发生，故 B 与 C 不是互斥事件，故 B 错误； 在 C 中， A 与 D 不能同时发生， 且不是对立事件， 故 A 与 D 是互斥事件但不是对立事件， 故 C 正确； 在 D 中，B 与 D 能同时发生，故 B 与 D 不是互斥事件，故 D 错误 故选：C 【点评】本题考查命题真假的判断，考查对立事件
15、、互斥事件的定义等基础知识，考查 运算求解能力，是基础题 第 8 页（共 23 页） 3 （5 分）如图给出的是计算 1+的值的一个程序框图（2） ，则图中执行框 处和判断框处应填的语句是（ ） ASS+n，i15？ BSS+，i15？ CSS+，i15？ DnS+n，i15？ 【分析】根据程序框图的条件，利用模拟运算法进行判断即可 【解答】解：的用途是计算各项倒数和的，则 SS+， 的用途为直到型循环结构满足条件跳出循环的条件， 分母从 1 到 29 共有 15 项， 则条件 i15， 故对应的条件为 SS+，i15， 故选：B 【点评】本题主要考查程序框图的识别和判断，利用模拟
16、运算法是解决本题的关键，比 较基础 4 （5 分）用系统抽样法从 160 名学生中抽取容量为 20 的样本，将 160 名学生从 1160 编号，按编号顺序平均分成 20 组（18 号，916 号，153160 号） 若第 16 组应抽出的号码为 126，则第一组中用抽签方法确定的号码是（ ） 第 9 页（共 23 页） A4 B5 C6 D7 【分析】按照此题的抽样规则我们可以得到抽出的这 20 个数成等差数列，a1x，a16 126，d8（d 是公差） 【解答】解：设在第一组中抽取的号码是 x（1x8） 由题意可得分段间隔是 8 又第 16 组应抽出的号码为 126 x+158126 解得
17、 x6 第一组中用抽签方法确定的号码是 6 【点评】系统抽样形象地讲是等距抽样，系统抽样适用于总体中的个体数较多的情况， 系统抽样属于等可能抽样 5 （5 分）完成下列两项调查：从某社区 70 户高收入家庭、335 户中等收入家庭、95 户 低收入家庭中选出 100 户， 调查社会购买能力的某项指标； 从某中学的 15 名艺术特长 生中选出 3 名调查学习负担情况这两项调查宜采用的抽样方法依次是（ ） A简单随机抽样，系统抽样 B分层抽样，简单随机抽样 C系统抽样，分层抽样 D都用分层抽样 【分析】利用分层抽样、简单随机抽样的性质直接求解 【解答】解：在中，
18、从某社区 70 户高收入家庭、335 户中等收入家庭、95 户低收入家 庭中选出 100 户，调查社会购买能力的某项指标， 应该采用分层抽样； 在中，从某中学的 15 名艺术特长生中选出 3 名调查学习负担情况 应该采用的同学虚报的机抽样 故选：B 【点评】本题考查抽样方法的判断，考查运算求解能力，是基础题 6 （5 分）在某次测量中得到的 A 样本数据如下：82，84，84，86，86，86，88，88，88， 88若 B 样本数据恰好是 A 样本数据每个都加 2 后所得数据，则 A，B 两样本的下列数 字特征对应相同的是（ ） A众数 B平均数 C中位数 D标准差 第 10 页（共 23
19、页） 【分析】利用众数、平均数、中位标准差的定义，分别求出，即可得出答案 【解答】解：A 样本数据：82，84，84，86，86，86，88，88，88，88 B 样本数据 84，86，86，88，88，88，90，90，90，90 众数分别为 88，90，不相等，A 错 平均数 86，88 不相等，B 错 中位数分别为 86，88，不相等，C 错 A 样本方差 S2（8286）2+2（8486）2+3（8686）2+4（8886）24， B 样本方差 S2（8488）2+2（8688）2+3（8888）2+4（9088）24， 故两组数据的标准差均为 2，D 正确 故
20、选：D 【点评】本题考查众数、平均数、中位数，标准差的定义，根据相应的公式是解决本题 的关键 7（5 分） 已知 x 与 y 之间的几组数据如表： 则 y 与 x 的线性回归方程 x+ 必过点 （ ） x 0 1 2 3 y 0 2 5 7 A （1，2） B （2，6） C （，） D （3，7） 【分析】求出样本平均数 ， ，即可得到结论 【解答】解： （0+1+2+3）， （0+2+5+7）， 即 y 与 x 的线性回归方程 x+ 必过点（，） ， 故选：C 【点评】本题主要考查回归直线方程的性质，求出样本中心（ ， ）是解决本题的关键 8 （5 分）阅读程序框图
21、，如果输出的函数值在区间内，则输入的实数 x 的取 值范围是（ ） 第 11 页（共 23 页） A （，2 B2，1 C1，2 D2，+） 【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序 的作用是计算分段函数 f（x）的函数值根据函数 的解析式，结合输出的函数值在区间内，即可得到答案 【解答】解：分析程序中各变量、各语句的作用 再根据流程图所示的顺序，可知： 该程序的作用是计算分段函数 f（x）的函数值 又输出的函数值在区间内， x2，1 故选：B 【点评】本题考查的知识点是选择结构，其中根据函数的流程图判断出程序的功能是解 答本题的关键 9 （5 分） 在区间
22、， 内随机取两个数分别记为 a， b， 则使得函数 f （x） x2+2axb2+2 有零点的概率为（ ） A1 B1 C1 D1 【分析】本题考查的知识点是几何概型，我们要求出区间，内随机取两个数分别 记为 a，b，对应平面区域的面积，再求出满足条件使得函数 f（x）x2+2axb2+2有零 点对应的平面区域的面积，然后代入几何概型公式，即可求解 第 12 页（共 23 页） 【解答】解：若使函数有零点，必须（2a）24（b2+2）0，即 a2+b22 在坐标轴上将 a，b 的取值范围标出，有如图所示 当 a，b 满足函数有零点时，坐标位于正方形内圆外的部分 于是概率为 11 故选：B 【点
23、评】几何概型的概率估算公式中的“几何度量” ，可以为线段长度、面积、体积等， 而且这个“几何度量”只与“大小”有关，而与形状和位置无关解决的步骤均为：求 出满足条件 A 的基本事件对应的“几何度量”N（A） ，再求出总的基本事件对应的“几 何度量”N，最后根据 P求解 10 （5 分）交通管理部门为了解机动车驾驶员（简称驾驶员）对某新法规的知晓情况，对 甲、乙、丙、丁四个社区做分层抽样调查假设四个社区驾驶员的总人数为 N，其中甲 社区有驾驶员 96 人若在甲、乙、丙、丁四个社区抽取驾驶员的人数分别为 12，21，25， 43，则这四个社区驾驶员的总人数 N 为（ ） A101 B808 C12
24、12 D2012 【分析】根据甲社区有驾驶员 96 人，在甲社区中抽取驾驶员的人数为 12 求出每个个体 被抽到的概率，然后求出样本容量，从而求出总人数 【解答】解：甲社区有驾驶员 96 人，在甲社区中抽取驾驶员的人数为 12 每个个体被抽到的概率为 样本容量为 12+21+25+43101 这四个社区驾驶员的总人数 N 为808 故选：B 【点评】本题主要考查了分层抽样，分层抽样是最经常出现的一个抽样问题，这种题目 第 13 页（共 23 页） 一般出现在选择或填空中，属于基础题 11 （5 分）甲乙两名运动员在某项测试中的 8 次成绩如茎叶图所示，分别表示甲 乙两名运动员这项测试成绩的平均
25、数， s1， s2分别表示甲乙两名运动员这项测试成绩的标 准差，则有（ ） A，s1s2 B，s1s2 C，s1s2 D，s1s2 【分析】从茎叶图看出两组数据，分别做出两组数据的平均数，发现两组数据的平均数 相等，用所求出的平均数，做出两组数据的标准差，得到标准差之间的关系 【解答】解：x115， x215， x1x2 s1 s2， s1s2 故选：B 【点评】茎叶图的特征： （1）两个优点：一是原始数据没有丢失；二是图中的数据可以 随时记录，随时添加，方便记录与表示茎叶图只便于表示两位有效数字的数据，而且 只方便记录两组数据，两组以上的数据也能够记录，但没有两组数据直观、清晰
26、二、填空题（共二、填空题（共 5 小题，每小题小题，每小题 5 分，满分分，满分 25 分）分） 12 （5 分）117，182 的最大公约数是 13 【分析】本题考查的知识点是辗转相除法，根据辗转相除法的步骤，将 117 和 182 代入 易得到答案 【解答】解：1821117+65， 第 14 页（共 23 页） 117165+52， 65152+13， 52413， 故 117，182 的最大公约数是 13， 故答案为：13 【点评】对任意整数 a，b，b0，存在唯一的整数 q，r，使 abq+r，其中 0rb，这 个事实称为带余除法定理，若 c|a，c|b，则称 c 是 a，b 的公因
27、数若 d 是 a，b 的公因数， 且 d 可被 a，b 的任意公因数整除则称 d 是 a，b 的最大公因数当 d0 时，d 是 a，b 公因数中最大者若 a，b 的最大公因数等于 1，则称 a，b 互素累次利用带余除法可以 求出 a，b 的最大公因数，这种方法常称为辗转相除法 13 （5 分）对任意非零实数 a，b，若 ab 的运算原理如程序框图所示，则 lg10000（） 2 【分析】根据程序框图的条件，了解程序的功能，利用模拟运算法进行计算即可 【解答】解：程序对应的表达式为 y， lg100004， （） 24， 则 ab， 则 lg10000（） 2 ， 第 15 页（共 23 页）
28、故答案为： 【点评】本题主要考查程序框图的识别和判断，了解程序的功能，利用模拟运算法是解 决本题的关键比较基础 14 （5 分）设集合 Px，1，Qy，1，2，PQ，x，y1，2，3，4，5，6，7，8， 9，且在直角坐标平面内，从所有满足这些条件的有序实数对（x，y）表示的点中，任 取一个，其落在圆 x2+y2r2内（不含边界）的概率恰为，则 r2的所有可能的正整数值 是 30，31 【分析】根据两个集合之间的关系，写出 x，y 可能的取值，也就是得到试验发生包含的 事件数，根据所给的概率的值，求出满足条件的事件数，把所有点的坐标的平方和比较， 选出 6 个较小的，得到结果 【解答】解：集合
29、 Px，1，Qy，1，2，PQ， x，y1，2，3，4，5，6，7，8，9， x2，y3，4，5，6，7，8，9 这样在坐标系中共组成 7 个点， 当 xy 时，也满足条件共有 7 个， 所有的事件数是 7+714 点落在圆 x2+y2r2内（不含边界）的概率恰为， 有 4 个点落在圆内， （2，3） （2，4） （3，3） （2，5）是落在圆内的点， 由于 22+5229， 32r229， 而落在圆内的点不能多于 4 个， r230，31 故答案为：30，31 【点评】本题考查等可能事件的概率和集合间的关系，本题解题的关键是看出 x，y 的可 能的取值，注意列举时做到不重不漏 15 （5 分
30、） 点 A 为周长等于 3 的圆周上的一个定点， 若在该圆周上随机取一点 B， 则劣弧 的长度小于 1 的概率为 第 16 页（共 23 页） 【分析】本题考查的知识点是几何概型的意义，关键是要找出事件： “劣弧的长度小 于 1”对应的弧长大小，然后将其代入几何概型的计算公式进行求解 【解答】解：如图所示， 劣弧1， 劣弧1， 则劣弧的长度小于 1 的概率为 P 故答案为： 【点评】本题考查的知识点是几何概型的意义，简单地说，如果每个事件发生的概率只 与构成该事件区域的长度（面积或体积）成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型， 简称为几何概型 16 （5 分）在利用整数随机数进行随机模拟试验
31、中，a 到 b 之间的每个整数出现的可能性是 【分析】a，b之间每个整数出现的可能性相等，算出个数，即可得到对应的可能性 【解答】解：因为a，b之间每个整数出现的可能性相等，而a，b之间的整数共有 b a+1 个，故， 故填： 【点评】本题考查了整数型随机数、古典概型的概率计算，属于基础题 三、解答题（共三、解答题（共 6 小题，满分小题，满分 70 分）分） 17 （10 分）某公司有一批专业技术人员，对他们进行年龄状况和接受教育程度（学历）的 调查，其结果（人数分布）如表： 学历 35 岁以下 3550 岁 50 岁以上 本科 80 30 20 第 17 页（共 23 页） 研究生 x 2
32、0 y （）用分层抽样的方法在 3550 岁年龄段的专业技术人员中抽取一个容量为 10 的样 本，将该样本看成一个总体，从中任取 3 人，求至少有 1 人的学历为研究生的概率； （）在这个公司的专业技术人员中按年龄状况用分层抽样的方法抽取 N 个人，其中 35 岁以下 48 人，50 岁以上 10 人，再从这 N 个人中随机抽取出 1 人，此人的年龄为 50 岁 以上的概率为，求 x、y 的值 【分析】 （） 设抽取学历为本科的人数为 m，由题意可得 ，由此解得 m6， 可得抽取了学历为研究生 4 人，学历为本科 6 人，故从中任取 3 人，至少有 1 人的教育 程度为研究生的概率为 （）依题
33、意得：，解得 N 的值，可得 3550 岁中被抽取的人数，再根据分层 抽样的定义和性质列出比例式，求得、xy 的值 【解答】 （） 解：设抽取学历为本科的人数为 m，由题意可得 ，解得 m6 抽取了学历为研究生 4 人，学历为本科 6 人，从中任取 3 人，至少有 1 人的教育程 度为研究生的概率为 （）解：依题意得：，解得 N78 3550 岁中被抽取的人数为 78481020 ，解得 x40，y5 【点评】本题主要考查古典概型及其概率计算公式的应用，分层抽样的定义和方法，属 于基础题 18 （12 分）某校为了解学生对食堂伙食的满意程度，组织学生给食堂打分（分数为整数， 满分为
34、 100 分） ， 从中随机抽取一个容量为 120 的样本， 发现所有数据均在40， 100内 现 将这些分数分成以下 6 组：40，50） ，50，60） ，60，70） ，70，80） ，80，90） ，90， 100，并画出了样本的频率分布直方图，部分图形如图所示观察图形，回答下列问题： （l）算出第三组60，70）的频数，并补全频率分布直方图； （2）请根据频率分布直方图，估计样本的众数和平均数， 第 18 页（共 23 页） 【分析】 （1）频率分布直方图中，小矩形的面积等于这一组的频率，而频率的和等于 1， 可求出分数在60，70）内的频率，即可求出矩形的高，画出图象即
35、可； （2）同一组数据常用该组区间的中点值作为代表，将中点值与每一组的频率相差再求出 它们的和即可求出本次考试的平均分；根据众数是频率分布直方图中最高矩形的底边中 点的横坐标 【解答】解： （1）因为各组的频率之和等于 1，所以分数在60，70）内的频率为： f110（0.005+0.015+0.030+0.025+0.010）0.15，（3 分） 所以第三组60，70）的频数为 1200.1518（人） （4 分） 完整的频率分布直方图如图（6 分） （2）因为众数的估计值是频率分布直方图中最高矩形的中点， 从图中可看出众数的估计值为 75 分（8 分） 又根据频率分布直方图，样本的平均数的
36、估计值为： 45（100.005）+55（100.015）+65（100.015） +75（100.03）+85（100.025）+95（100.01）73.5（分） （11 分） 所以，样本的众数为 75 分，平均数为 73.5 分（12 分） 【点评】本题主要考查了频率及频率分布直方图，以及平均数和概率的有关问题，考查 运用统计知识解决简单实际问题的能力，数据处理能力和运用意识 19 （12 分）某高校在 2012 年的自主招生考试成绩中随机抽取 100 名中学生的笔试成绩， 按成绩分组，得到的频率分布表如所示 第 19 页（共 23 页） 组号 分组 频数 频率 第 1 组 160，16
37、5） 5 0.050 第 2 组 165，170） 0.350 第 3 组 170，175） 30 第 4 组 175，180） 20 0.200 第 5 组 180，185） 10 0.100 合计 100 1.00 （1）请先求出频率分布表中、位置的相应数据，再完成频率分布直方图； （2）为了能选拔出最优秀的学生，高校决定在笔试成绩高的第 3、4、5 组中用分层抽样 抽取 6 名学生进入第二轮面试，求第 3、4、5 组每组各抽取多少名学生进入第二轮面试； （3）在（2）的前提下，学校决定在 6 名学生中随机抽取 2 名学生接受 A 考官进行面试， 求：第 4 组至少
38、有一名学生被考官 A 面试的概率 【分析】 （1）由频率分布直方图能求出第 2 组的频数，第 3 组的频率，从而完成频率分 布直方图 （2）第 3、4、5 组共有 60 名学生，由此利用分层抽样在 60 名学生中抽取 6 名学生进入 第二轮面试，能求出第 3、4、5 组分别抽取进入第二轮面试的人数 （3）设第 3 组的 3 位同学为 A1，A2，A3，第 4 组的 2 位同学为 B1，B2，第 5 组的 1 位 同学为 C1，利用列举法能出从这六位同学中抽取两位同学，第 4 组至少有一名学生被考 官 A 面试的概率 【解答】解： （1）由题可知，第 2 组的频数为 0.3510035 人， 第
39、 3 组的频率为0.300， 频率分布直方图如图所示， 第 20 页（共 23 页） （4 分） （2）因为第 3、4、5 组共有 60 名学生， 所以利用分层抽样在60名学生中抽取6名学生进入第二轮面试， 每组抽取的人数分别为： 第 3 组：63 人， 第 4 组：62 人， 第 5 组：61 人， 所以第 3、4、5 组分别抽取 3 人、2 人、1 人进入第二轮面试 （7 分） （3）设第 3 组的 3 位同学为 A1，A2，A3，第 4 组的 2 位同学为 B1，B2，第 5 组的 1 位 同学为 C1， 则从这六位同学中抽取两位同学有 15 种选法，分别为： （A1，A2）
40、 ， （A1，A3） ， （A1，B1） ， （A1，B2） ， （A1，C1） ， （A2，A3） ， （A2，B1） ， （A2， B2） ， （A2，C1） ， （A3，B1） ， （A3，B2） ， （A3，C1） ， （B1，B2） ， （B1，C1） ， （B2，C1） ， 其中第 4 组的 2 位同学 B1，B2中至少有一位同学入选的有 9，分别为： （A1，B1） ， （A1，B2） ， （A2，B1） ， （A2，B2） ， （A3，B1） ， （A3，B2） ， （B1，B2） ， （B1， C1） ， （B2，C1） ， 第 4 组至少有一名学生被考官 A 面试的概率为
41、（12 分） 【点评】本题考查频率分直方图、分层抽样的应用，考查概率的求法，考查数据处理能 力、运算求解能力，考查数形结合思想、函数与方程思想，是基础题 20 （12 分） 某城市理论预测 2014 年到 2018 年人口总数 y （单位：十万）与年份（用 2014+x 表示）的关系如表所示： 年份中的 x 0 1 2 3 4 第 21 页（共 23 页） 人口总数 y 5 7 8 11 19 （1）请画出上表数据的散点图； （2）请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出 y 关于 x 的回归方程 bx+a； （3）据此估计 2019 年该城市人口总数 （参考数据：05+17+28+311+41
42、9132，02+12+22+32+4230） 参考公式：线性回归方程为，其中 【分析】 （1）根据表格画出散点图：可得 y 与 x 是正相关 （2）根据所给的数据求出 ， ，可依据公式求得 b 和 a 的值，从而求得回归方程 （3）在回归直线的方程中，令 x5，求得对应的 y 值，可得结论 【解答】解： （1）根据表格画出散点图：可得 y 与 x 是正相关 概据题中数表画出数据的散点图如下图所示 （2）由题中数表，知： （0+1+2+3+4）2， （5+7+8+11+19）10， b3.2，a b 3.6，回归方程为 y3.2x+3.6 （3）当 x5 时，求得 y19.6（十万）
43、196（万） 答：估计 2019 年该城市人口总数约为 196 万 【点评】本题主要考查两个变量的相关关系，线性回归问题，求回归直线的方程以及回 归方程的应用，属于基础题 第 22 页（共 23 页） 21 （12 分）已知直线 l 经过点 P（1，1） ，且 l 的斜率 k1 （）写出直线 l 的参数方程； （）设 l 与圆 x2+y29 相交于两点 A、B，求点 P 到 A、B 两点间的距离之积 【分析】 （）因为直线 l 的斜率为 1，所以其倾斜角为，所以直线 l 的参数方程为 （t 为参数） （）联立直线 l 与圆，利用参数 t 的几何意义可得 【解答】解： （）因为直线 l 的斜率为
44、 1，所以其倾斜角为， 所以直线 l 的参数方程为（t 为参数） （）将直线 l 的参数方程为代入 x2+y29 并整理得：t2+270， 设 A，B 对应的参数分别为 t1，t2， 则|PA|PB|t1|t2|t1t2|7 【点评】本题考查了直线的参数方程，属中档题 22 （12 分）在直角坐标系 xOy 中，曲线 C1的参数方程为（ 为参数）M 是 C1上的动点，P 点满足2，P 点的轨迹为曲线 C2 （）求 C2的方程； （）在以 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线 与 C1的异于极点 的交点为 A，与 C2的异于极点的交点为 B，求|AB| 【分析】 （I）先设出点 P
45、 的坐标，然后根据点 P 满足的条件代入曲线 C1的方程即可求出 曲线 C2的方程； （II）根据（I）将求出曲线 C1的极坐标方程，分别求出射线 与 C1的交点 A 的极 径为 1，以及射线 与 C2的交点 B 的极径为 2，最后根据|AB|21|求出所求 【解答】解： （I）设 P（x，y） ，则由条件知 M（，） 由于 M 点在 C1上， 第 23 页（共 23 页） 所以即 从而 C2的参数方程为 （ 为参数） （）曲线 C1的极坐标方程为 4sin，曲线 C2的极坐标方程为 8sin 射线 与 C1的交点 A 的极径为 14sin， 射线 与 C2的交点 B 的极径为 28sin 所以|AB|21| 【点评】本题考查点的极坐标和直角坐标的互化，以及轨迹方程的求解和线段的度量， 属于中档题
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