1、2018-2019 学年江苏省无锡市江阴市四校高二（下）期中数学试卷（文科）一、填空题：每小题 5 分，共分，共 70 分分.请把答案直接填写在答题卷相应位置请把答案直接填写在答题卷相应位置. 1 （5 分）已知集合 A1，2，4，B2，4，6，则 AB 2 （5 分）命题“xR，x220”的否定是 3 （5 分）函数 f（x）的定义域为 4 （5 分）已知复数 z（1+i） （1+3i） ，其中 i 是虚数单位，则|z|的值是 5 （5 分）已知幂函数的图象关于 y 轴对称，且在 x（0，+）上是减 函数，则 m 6 （5 分）如图，一个类似杨辉三角的数阵，请写出第 n（n2）行的第 2 个
2、数为 7 （5 分）若复数 z 满足|z|1（i 为虚数单位） ，则|z2i|的最小值是 8 （5 分）偶函数 yf（x）的图象关于直线 x2 对称，f（3）3，则 f（1） 9 （5 分）若 x（1，m）是不等式 2x2x30 成立的充分不必要条件，则实数 m 的范 围是 10 （5 分）定义在 R 上的函数 f（x）满足 f（x）3x 1（3x0） ，f（x）f（x+3） ， 则 f（2019） 11 （5 分）已知函数为 R 上的单调减函数，则实数 a 的取值范 围是 12 （5 分）若函数 f（x）|2x4|a 存在两个零点，且一个为正数，另一个为负数，则 a 的取值范围为 13 （5
3、 分）设函数若 f（x）f（1）恒成立，则实数 a 的取 值范围为 第 2 页（共 16 页） 14 （5 分）函数 f（x）的定义域为 D，若满足f（x）在 D 内是单调函数，存在a，bD， 使 f （x） 在a， b上的值域为b， a， 那么 yf （x） 叫做对称函数， 现有 是对称函数，那么实数 k 的取值范围是 二、解答题：本大题共二、解答题：本大题共 6 小题，共计小题，共计 90 分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文 字说明、证明或演算步骤字说明、证明或演算步骤. 15 （14 分）已知命题 Ax|x22x80，B （1）若 A
4、B（2，4） ，求 m 的值； （2）若 BA，求 m 的取值范围 16 （14 分）已知命题 p：指数函数 f（x）（2a6）x在 R 上单调递减，命题 q：关于 x 的方程 x23ax+2a2+10 的两个实根均大于 3若 p 或 q 为真，p 且 q 为假，求实数 a 的取值范围 17（14 分） 已知函数是定义在1， 1的奇函数 （其中 e 是自然对数的底数） （1）求实数 m 的值； （2）若 f（a1）+f（2a2）0，求实数 a 的取值范围 18 （16 分）如图，在长为 10 千米的河流 OC 的一侧建一条观光带，观光带的前一部分为 曲线段 OAB，设曲线段 OAB 为函数 y
5、ax2+bx+c（a0） ，x0，6（单立：千米）的图 象，且图象的最高点为 A（4，4） ；观光带的后一部分为线段 BC （1）求函数为曲线段 OABC 的函数 yf（x） ，x0，10的解析式； （2）若计划在河流 OC 和观光带 OABC 之间新建一个如图所示的矩形绿化带 MNPQ，绿 化带由线段 MQ，QP，PN 构成，其中点 P 在线段 BC 上，当 OM 长为多少时，绿化带的 总长度最长？ 19 （16 分）已知函数 f（x）loga（a0 且 a1） （1）当 a2，x10，15时求 f（x）的值域； （2）设 g（x）loga（x3） ，若方程 f（x）1g（x）有实根，求 a
6、 的取值范围 第 3 页（共 16 页） 20 （16 分）已知函数 f（x）x|xa|+bx（a，bR） （1）当 b1 时，函数 f（x）恰有两个不同的零点，求实数 a 的值； （2）当 b1 时， 若对于任意 x1，3，恒有，求 a 的取值范围； 若 a0，求函数 f（x）在区间0，2上的最大值 g（a） 第 4 页（共 16 页） 2018-2019 学年江苏省无锡市江阴市四校高二（下）期中数学试学年江苏省无锡市江阴市四校高二（下）期中数学试 卷（文科）卷（文科） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、填空题：每小题一、填空题：每小题 5 分，共分，共 70 分分.请把答案直接填写
7、在答题卷相应位置请把答案直接填写在答题卷相应位置. 1 （5 分）已知集合 A1，2，4，B2，4，6，则 AB 1，2，4，6 【分析】由题意，A，B 两个集合的元素已经给出，故由并集的运算规则直接得到两个集 合的并集即可 【解答】解：A1，2，4，B2，4，6， AB1，2，4，6 故答案为1，2，4，6 【点评】本题考查并集运算，属于集合中的简单计算题，解题的关键是理解并的运算定 义 2 （5 分）命题“xR，x220”的否定是 xR，x220 【分析】直接利用特称命题的否定是全称命题写出结果即可 【解答】解：因为特称命题的否定是全称命题，所以，命题“xR，x220”的否定 是：xR，x
8、220 故答案为：xR，x220 【点评】本题考查命题的否定，特称命题与全称命题的否定关系，是基础题 3 （5 分）函数 f（x）的定义域为 1，2）（2，+） 【分析】根据函数 f（x）的解析式，列出使解析式有意义的不等式组，求出解集即可 【解答】解：函数 f（x）， ， 解得 x1 或 x2， f（x）的定义域为1，2）（2，+） 故答案为：1，2）（2，+） 【点评】本题考查了根据函数解析式求定义域的应用问题，是基础题 4 （5 分）已知复数 z（1+i） （1+3i） ，其中 i 是虚数单位，则|z|的值是 第 5 页（共 16 页） 【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数模
9、的计算公式求解 【解答】解：z（1+i） （1+3i）2+4i， |z| 故答案为：2 【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数模的求法，是基础题 5 （5 分）已知幂函数的图象关于 y 轴对称，且在 x（0，+）上是减 函数，则 m 1 【分析】根据幂函数的图象与性质，求出 m 的值，再验证是否满足题意 【解答】解：幂函数在 x（0，+）上是减函数， m290，解得3m3； 当 m1 时，yy 8，满足题意； 当 m2 时，yx 5，不满足题意； 综上，m1 故答案为：1 【点评】本题考查了幂函数的定义与应用问题，是基础题 6 （5 分）如图，一个类似杨辉三角的数阵，请写出第 n（n
10、2）行的第 2 个数为 n2+2 【分析】由三角形数阵看出，从第二行开始起，每一行的第二个数与它前一行的第二个 数的差构成以 2 为公差的等差数列，然后利用累加的办法求得第 n 行的第二个数 【解答】解：由图看出 a（1，2）3，a（2，2）6，a（3，2）11，a（4，2）18 由此看出 a（2，2）a（1，2）3， a（3，2）a（2，2）5， a（4，2）a（3，2）7， a（n，2）a（n1，2）2n1 第 6 页（共 16 页） 以上 n1 个式子相加得：a（n，2）a（1，2）3+5+7+（2n1） n21 所以 a（n，2）n21+3n2+2 故答案为：n2+2 【点评】本题考查
11、了类比推理，考查了数列的函数特性，解答此题的关键是找出有效的 规律，即从第二行开始起，每一行的第二个数与它前一行的第二个数的差构成以 2 为公 差的等差数列，此题是中档题型 7 （5 分）若复数 z 满足|z|1（i 为虚数单位） ，则|z2i|的最小值是 1 【分析】复数 z 满足|z|1（i 为虚数单位） ，设 zcos+isin，0，2） 利用复数模 的计算公式与三角函数求值即可得出 【解答】解：复数 z 满足|z|1（i 为虚数单位） ， 设 zcos+isin，0，2） 则|z2i|cos+i（sin2）|1，当且仅当 sin1 时取等号 故答案为：1 【点评】本题考查了复数的运算法
12、则、模的计算公式及其三角函数求值，考查了推理能 力与计算能力，属于基础题 8 （5 分）偶函数 yf（x）的图象关于直线 x2 对称，f（3）3，则 f（1） 3 【分析】根据函数奇偶性和对称性的性质，得到 f（x+4）f（x） ，即可得到结论 【解答】解：法 1：因为偶函数 yf（x）的图象关于直线 x2 对称， 所以 f（2+x）f（2x）f（x2） ， 即 f（x+4）f（x） ， 则 f（1）f（1+4）f（3）3， 法 2：因为函数 yf（x）的图象关于直线 x2 对称， 所以 f（1）f（3）3， 因为 f（x）是偶函数， 所以 f（1）f（1）3， 故答案为：3 【点评】 本题主
13、要考查函数值的计算， 利用函数奇偶性和对称性的性质得到周期性 f （x+4） 第 7 页（共 16 页） f（x）是解决本题的关键，比较基础 9 （5 分）若 x（1，m）是不等式 2x2x30 成立的充分不必要条件，则实数 m 的范 围是 （1， 【分析】求出不等式的等价条件，结合充分条件和必要条件的定义转化为不等式关系进 行求解 【解答】解：由 2x2x30 得（x+1） （2x3）0， 得1x， 若（1，m）是不等式 2x2x30 成立的充分不必要条件， 则1m， 即实数 m 的取值范围是（1， 故答案为： （1， 【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的应用，结合充分条件和必要条件与不
14、等式 的关系进行转化是解决本题的关键 10 （5 分）定义在 R 上的函数 f（x）满足 f（x）3x 1（3x0） ，f（x）f（x+3） ， 则 f（2019） 【分析】 根据题意， 由函数的解析式可得 f （x） 是周期为 3 的周期函数， 进而可得 f （2019） f（0） ，结合函数的解析式计算可得答案 【解答】解；根据题意，由 f（x）f（x+3） ，则函数 f（x）是周期为 3 的周期函数， f（2019）f（0+6733）f（0） ， 又由 f（0）3 1 ； 故 f（2019）； 故答案为： 【点评】本题考查函数的周期性的应用，涉及函数的解析式，属于基础题 11 （5 分）
15、已知函数为 R 上的单调减函数，则实数 a 的取值范 围是 ） 第 8 页（共 16 页） 【分析】由题意利用函数的单调性的性质，可得关于 a 的不等式组，由此求得 a 的范围 【解答】解：函数 f（x）是 R 上的单调递减函数， ， 求得a2，则实数 a 的范围是，2） ， 故答案为：） 【点评】本题主要函数的单调性的性质，属于基础题 12 （5 分）若函数 f（x）|2x4|a 存在两个零点，且一个为正数，另一个为负数，则 a 的取值范围为 （3，4） 【分析】由题意可得|2x4|a 有两个不等实根，作出函数 y|2x4|的图象，观察图象 特点，平移直线 ya，即可得到所求范围 【解答】解
16、：函数 f（x）|2x4|a 存在两个零点，即为 |2x4|a 有两个不等实根， 作出函数 y|2x4|的图象， 可得图象经过点（0，3） ，当 x0 时，图象趋向于直线 y4， 由直线 ya，平移可得当 3a4 时， 函数 y|2x4|的图象与直线 ya 有两个交点， 一个交点的横坐标为正，另一个交点的横坐标为负的， 故答案为： （3，4） 【点评】本题考查函数方程的转化思想，考查数形结合思想方法，以及图象变换能力， 属于基础题 第 9 页（共 16 页） 13 （5 分）设函数若 f（x）f（1）恒成立，则实数 a 的取 值范围为 1，2 【分析】求解 f（1）（1a）21；由题意转化为（
17、xa）21（1a）21 在 x 1 恒成立；在 lnx（1a）21 在 x1 恒成立；求解 a 的取值范围； 【解答】解：由题意 f（1）（1a）21； f（x）f（1）恒成立， （xa）21（1a）21 在 x1 恒成立； 可得（x+12a） （x1）0 在 x1 恒成立； 当 x1 时，aR， 当 x1 时， 2ax+12 则 a1； 在 lnx（1a）21 在 x1 恒成立； 即 0（1a）21， 解得：0a2， 得 a 的取值范围1，2； 故答案为：1，2 【点评】本题考查不等式恒成立问题，考查二次函数在闭区间上的单调性和运用，考查 分类讨论的思想方法 14 （5 分）函数 f（x）的
18、定义域为 D，若满足f（x）在 D 内是单调函数，存在a，bD， 使 f （x） 在a， b上的值域为b， a， 那么 yf （x） 叫做对称函数， 现有 是对称函数，那么实数 k 的取值范围是 4，） 【分析】根据题意，分析函数的定义域，又由在其定义域上为减函数， 分析可得 f（a）ka，f（b）kb，则 a、b 是方程k x 在（，4上的两个根，令 t，则 x4t2，t0，则 kt2+t+4（t ）2+，必有直线 yk 与函数 yt2+t+4，x0，+）有两个不同的交点，结合 二次函数的性质分析可得答案 【解答】解：根据题意，的定义域为（，4， 第 10 页（共 16 页） 又由在其定义域
19、上为减函数，故满足， 若 f（x）在a，b上的值域为b，a，则 f（a）ka，f（b）k b， 则 a、b 是方程kx 在（，4上的两个根， 令 t，则 x4t2，t0， 则 kt2+t+4（t）2+，必有直线 yk 与函数 yt2+t+4，x0，+）有 两个不同的交点， 故 k 的取值范围为4，） ； 故答案为：4，） 【点评】本题考查函数与方程的应用，涉及函数的单调性的性质以及应用，关键是分析 得到 a、b 的是方程的两个根 二、解答题：本大题共二、解答题：本大题共 6 小题，共计小题，共计 90 分，请在答题卡指定区域内作答，解分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文答时应写出文 字
20、说明、证明或演算步骤字说明、证明或演算步骤. 15 （14 分）已知命题 Ax|x22x80，B （1）若 AB（2，4） ，求 m 的值； （2）若 BA，求 m 的取值范围 【分析】分别化简得 Ax|2x4，Bx|m3xm （1）由 AB（2，4）可得 m32 且 m4，解出即可 （2）由 BA，即，解得即可 【解答】解：化简得 Ax|2x4，Bx|m3xm （1）AB（2，4） ，m32 且 m4，则 m5 （2）BA，即，解得 1m4 m 的取值范围是1，4 【点评】本题考查了集合的运算性质、不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属 于基础题 16 （14 分）已知命题 p：指数函数
21、 f（x）（2a6）x在 R 上单调递减，命题 q：关于 x 的方程 x23ax+2a2+10 的两个实根均大于 3若 p 或 q 为真，p 且 q 为假，求实数 a 的取值范围 第 11 页（共 16 页） 【分析】根据指数函数的单调性求出命题 p 为真命题时 a 的范围，利用二次方程的实根 分布求出命题 q 为真命题时 a 的范围； 据复合命题的真假与构成其简单命题真假的关系将“p 或 q 为真，p 且 q 为假”转化为 pq 的真假，列出不等式解得 【解答】解：若 p 真，则 f（x）（2a6）x在 R 上单调递减， 则 02a61，3a 若 q 真，令 f（x）x23ax+2a2+1，
22、则应满足 ，a， 又由题意应有 p 真 q 假或 p 假 q 真 若 p 真 q 假，则，a 无解 若 p 假 q 真，则，所以或， a 的取值范围为 【点评】本题考查复合命题的真假与简单命题真假的关系；考查二次方程实根分布 17（14 分） 已知函数是定义在1， 1的奇函数 （其中 e 是自然对数的底数） （1）求实数 m 的值； （2）若 f（a1）+f（2a2）0，求实数 a 的取值范围 【分析】 （1）根据题意，由奇函数的性质可得 f（0）0，解可得 m 的值，验证即可得答 案； （2）根据题意，求出函数的导数，由函数导数与单调性的关系分析可得函数 f（x）在 1，1单调递增，据此原不
23、等式变形可得有，解可得 a 的取值范围，即可 得答案 第 12 页（共 16 页） 【解答】解： （1）根据题意，是定义在1，1的奇函数， 则 f（0）1m0，解可得 m1， 当 m1 时，则有，f（x）为奇函数，符合题意； （2）根据题意， 又由，则 f（x）0，函数 f（x）在1，1单调递增， f（a1）+f（2a2）0f（2a2）f（a1）f（2a2）f（1a） ， 则有，解可得： 【点评】本题考查函数的奇偶性与单调性的判断以及性质的应用，关键是求出 m 的值， 属于基础题 18 （16 分）如图，在长为 10 千米的河流 OC 的一侧建一条观光带，观光带的前一部分为 曲线段 OAB，设
24、曲线段 OAB 为函数 yax2+bx+c（a0） ，x0，6（单立：千米）的图 象，且图象的最高点为 A（4，4） ；观光带的后一部分为线段 BC （1）求函数为曲线段 OABC 的函数 yf（x） ，x0，10的解析式； （2）若计划在河流 OC 和观光带 OABC 之间新建一个如图所示的矩形绿化带 MNPQ，绿 化带由线段 MQ，QP，PN 构成，其中点 P 在线段 BC 上，当 OM 长为多少时，绿化带的 总长度最长？ 【分析】 （1）曲线段 OAB 过点 O，且最高点为 A（4，4） ，可得，求出 a， b，c，可得 x0，6时的解析式；后一部分为线段 BC，B（6，3） ，C（10
25、，0） ，可得 x6， 10时的解析式； （2）求出绿化带的总长度，可得二次函数，即可得出结论 第 13 页（共 16 页） 【解答】解： （1）因为曲线段 OAB 过点 O，且最高点为 A（4，4） ， 所以，解得 所以，当 x0，6时，（3 分） 因为后一部分为线段 BC，B（6，3） ，C（10，0） ，当 x6，10时，（6 分） 综上，（8 分） （2）设 OMt（0t2） ，则 由，得， 所以点 （11 分） 所以，绿化带的总长度yMQ+QP+PN （13 分） 当 t1 时， 所以，当 OM 长为 1 千米时，绿化带的总长度最长 （16 分） 【点评】本题考查函数解析式的确定，考
26、查学生利益数学知识解决实际问题，属于中档 题 19 （16 分）已知函数 f（x）loga（a0 且 a1） （1）当 a2，x10，15时求 f（x）的值域； （2）设 g（x）loga（x3） ，若方程 f（x）1g（x）有实根，求 a 的取值范围 【分析】 （1）利用分离系数，结合对数函数的性质即可求解； （ 2 ） 由 方 程在 （ 5 ， + ） 上 有 解 ， 可 转 化 为 在（5，+）上有交点，结合二次函数的性质进行分类求解 方法二、由方程 f（x）1g（x）有实根可知在（5，+）上 第 14 页（共 16 页） 有解，分离参数，转化函数图象有交点，结合对勾函数的图象及 性质可
27、求 【解答】解： （1）， （4 分） f（x）log23，1（6 分） （2）方程在（5，+）上有解，（9 分） 设，对称轴 即，则 h（5）0，无解（12 分） 即， 则0 解得 （15 分） 综上（16 分） 方法二、由方程 f（x）1g（x）有实根可知在（5，+）上 有解， 分离参数， 令 F（x）， 令 tx5 则 t0， F（t）t，结合对勾函数的图象及性质可知， 解可得 0 【点评】本主要考查了对数函数值域的求解，方程的根与函数图象交点的相互转化是求 解本题的关键 20 （16 分）已知函数 f（x）x|xa|+bx（a，bR） （1）当 b1 时，函数 f（x）恰有两个不同的零
28、点，求实数 a 的值； （2）当 b1 时， 若对于任意 x1，3，恒有，求 a 的取值范围； 第 15 页（共 16 页） 若 a0，求函数 f（x）在区间0，2上的最大值 g（a） 【分析】 （1）当 b1 时，f（x）x|xa|xx（|xa|1） ，求解 x，结合函数 f（x） 恰有两个不同的零点，即可求实数 a 的值； （2）当 b1 时，f（x）x|xa|+x， 对于任意 x1，3，恒有，转化为|xa|，可得 ， 令 t换元，然后利用配方法求得 a 的取值范围； ，然后对 a 分类讨论 即可求得函数 f（x）在区间0，2上的最大值 g（a） 【解答】解： （1）当 b1 时，f（x）
29、x|xa|xx（|xa|1） ， 由 f（x）0，解得 x0 或|xa|1， 由|xa|1，解得 xa+1 或 xa1 f（x）恰有两个不同的零点且 a+1a1， a+10 或 a10，得 a1； （2）当 b1 时，f（x）x|xa|+x， 对于任意 x1，3，恒有， 即，即|xa|， x1，3时， ， 即恒有， 令 t，当 x1，3时，t，xt21 ， ， 综上，a 的取值范围是0，； 第 16 页（共 16 页） 当 0a1 时， 这时 yf（x）在0，2上单调递增， 此时 g（a）f（2）62a； 当 1a2 时，0a2， ff（x）在0，上单调递增，在，a上单调递减，在a，2上单调递增， g（a）maxf（） ，f（2），f（2）62a， 而， 当 1a时，g（a）f（2）62a； 当a2 时，g（a）f（）； 当 2a3 时，2a， 这时 yf（x）在0，上单调递增，在，2上单调递减， 此时 g（a）f（）； 当 a3 时，2，yf（x）在0，2上单调递增， 此时 g（a）f（2）2a2 综上所述，x0，2时， 【点评】本题考查函数零点的判定，考查恒成立问题的求解方法，体现了数学转化、分 类讨论等数学思想方法，考查逻辑思维能力与推理运算能力，是难题
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