1、2018-2019 学年吉林省吉林市普通高中友好学校联合体高二（下）期末数学试卷（理科）一、选择题：本题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分分.在每小题给出的四个选项中，只有一在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的项是符合题目要求的. 1 （5 分）复数的共轭复数 （ ） A1+i B1i C1+i D1i 2 （5 分）有一段演绎推理是这样的： “指数函数都是增函数；已知 y（）x是指数函数； 则 y（）x是增函数”的结论显然是错误的，这是因为（ ） A大前提错误 B小前提错误 C推理形式错误 D非以上错误 3 （5 分）两个变量 y 与 x 的回归模
2、型中，分别选择了 4 个不同模型，它们对应的 R21 的值如下，其中拟合效果最好的模型是（ ） A模型 1 对应的 R20.48 B模型 3 对应的 R20.15 C模型 2 对应的 R20.96 D模型 4 对应的 R20.30 4 （5 分）设随机变量 服从正态分布 N（3，4） ，若 P（2a3）P（a+2） ，则 a 的值为（ ） A B C5 D3 5 （5 分）用数学归纳法证明“1+n（nN*） ”时，由假设 nk（k1， kN“）不等式成立，推证 nk+1 不等式成立时，不等式左边应增加的项数是（ ） A2k 1 B2k1 C2k D2k+1 6 （5 分）曲线 y在点（1，1）
3、处的切线方程为（ ） Ay2x+1 By2x1 Cy2x3 Dy2x2 7 （5 分）用数字 1，2，3，4，5 组成没有重复数字的五位数，其中奇数的个数为（ ） A24 B48 C60 D72 第 2 页（共 18 页） 8 （5 分）定积分dx（ ） A+1 B1 Ce D1 9 （5 分）已知函数 f（x）x2sinx+xcosx，则其导函数 f（x）的图象大致是（ ） A B C D 10 （5 分）已知，则 P（AB）等于（ ） A B C D 11 （5 分）某大学安排 5 名学生去 3 个公司参加社会实践活动，每个公司至少 1 名同学， 安排方法共有多少种（ ） A60 B90
4、C120 D150 12 （5 分）设函数 f（x）是奇函数 f（x） （xR）的导函数，f（1）0，当 x0 时， xf（x）f（x）0，则使得 f（x）0 成立的 x 的取值范围是（ ） A （，1）（0，1） B （1，0）（1，+） C （，1）（1，0） D （0，1）（1，+） 二、填空题（共二、填空题（共 4 道小题，每小题道小题，每小题 5 分，共分，共 20 分）分） 13 （5 分）观察下列等式照此规律，第 n 个等式为 11 2+3+49 3+4+5+6+725 4+5+6+7+8+9+1049 14 （5 分）某企业节能降耗技术改造后，在生产某产品过程中记录的产量 x（
5、吨）与相应的 第 3 页（共 18 页） 生产能耗 y（吨）的几组对应数据如表所示： x 3 4 5 6 y 2.5 3 4 a 若根据表中数据得出 y 关于 x 的线性回归方程为 y0.7x+0.35， 则表中 a 的值为 15 （5 分） （+x） （1）6的展开式中 x 的系数是 16 （5 分）某种树苗成活的概率都为，现种植了 1000 棵该树苗，且每棵树苗成活与否 相互无影响，记未成活的棵数记为 X，则 X 的方差为 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 70 分，解答须写出文字说明，证明过程和演算步骤） 分，解答须写出文字说明，证明过程和演算步骤） 17 （10 分）已知（3x
6、1）7a0x7+a1x6+a2x5+a3x4+a4x3+a5x2+a6x+a7 （1）求 a0+a1+a2+a3+a4+a5+a6+a7的值； （2）求 a1+a3+a5+a7的值 18 （12 分）某中学拟在高一下学期开设游泳选修课，为了了解高一学生喜欢游泳是否与性 别有关，该学校对 100 名高一新生进行了问卷调查，得到如下 22 列联表： 喜欢游泳 不喜欢游泳 合计 男生 10 女生 20 合计 已知在这 100 人中随机抽取 1 人抽到喜欢游泳的学生的概率为 （1）请将上述列联表补充完整； （2）并判断是否有 99%的把握认为喜欢游泳与性别有关？并说明你的理由； （3）已知在被调查的学
7、生中有 5 名来自甲班，其中 3 名喜欢游泳，现从这 5 名学生中随 机抽取 2 人，求恰好有 1 人喜欢游泳的概率 下面是临界值表仅供参考： P（K2k） 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 k 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 参考公式：K2的观测值：（其中 na+b+c+d） 19 （12 分）若函数 f（x）ax2+2xlnx 在 x1 处取得极值 第 4 页（共 18 页） （1）求 a 的值； （2）求函数 f（x）的单调区间及极值 20 （12 分）某学生参加某高校的自主招生考试，须依次
8、参加 A、B、C、D、E 五项考试， 如果前四项中有两项不合格或第五项不合格，则该考生就被淘汰，考试即结束；考生未 被淘汰时，一定继续参加后面的考试已知每一项测试都是相互独立的，该生参加 A、B、 C、D 四项考试不合格的概率均为，参加第五项不合格的概率为， （1）求该生被录取的概率； （2）记该生参加考试的项数为 X，求 X 的分布列和期望 21 （12 分）设 a0，b0，且求证： （1）a+b2； （2）a2+a2 与 b2+b2 不可能同时成立 22 （12 分）已知函数 f（x）x2mlnx，h（x）x2x+a （1）当 a0 时，f（x）h（x）在（1，+）上恒成立，求实数 m 的
9、取值范围； （2）当 m2 时，若函数 k（x）f（x）h（x）在区间（1，3）上恰有两个不同零点， 求实数 a 的取值范围 第 5 页（共 18 页） 2018-2019 学年吉林省吉林市普通高中友好学校联合体高二 （下）学年吉林省吉林市普通高中友好学校联合体高二 （下） 期末数学试卷（理科）期末数学试卷（理科） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题：本题共一、选择题：本题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分分.在每小题给出的四个选项中，只有一在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的项是符合题目要求的. 1 （5 分）复数的共轭复数 （ ）
10、A1+i B1i C1+i D1i 【分析】根据所给的复数的表示形式，进行复数的除法运算，分子和分母同乘以分母的 共轭复数，整理出最简形式，把虚部的符号变成相反的符号得到结果 【解答】解：1+i 1i 故选：D 【点评】本题考查复数的代数形式的运算和复数的基本概念，本题解题的关键是整理出 复数的代数形式的最简形式，本题是一个基础题 2 （5 分）有一段演绎推理是这样的： “指数函数都是增函数；已知 y（）x是指数函数； 则 y（）x是增函数”的结论显然是错误的，这是因为（ ） A大前提错误 B小前提错误 C推理形式错误 D非以上错误 【分析】根据题意，由指数函数的性质分析可得该演绎推理的大前提
11、指数函数都是增函 数是错误的，分析选项即可得答案 【解答】解：根据题意，指数函数 yax（a0 且 a1）是 R 上的增函数， 这个说法是错误的，要根据所给的底数的取值不同分类说出函数的不同的单调性， 大前提是错误的， 得到的结论是错误的， 故选：A 【点评】本题考查演绎推理的基本方法，解题的关键是理解演绎推理的三段论原理，在 大前提和小前提中，若有一个说法是错误的，则得到的结论就是错误的 第 6 页（共 18 页） 3 （5 分）两个变量 y 与 x 的回归模型中，分别选择了 4 个不同模型，它们对应的 R21 的值如下，其中拟合效果最好的模型是（ ） A模型 1 对应的 R20.48 B模
12、型 3 对应的 R20.15 C模型 2 对应的 R20.96 D模型 4 对应的 R20.30 【分析】根据回归分析中相关指数 R2越接近于 1，拟合效果越好，即可得出答案 【解答】解：回归分析中，相关指数 R2越接近于 1，拟合效果越好； 越接近 0，拟合效果越差， 由模型 2 对应的 R2最大，其拟合效果最好 故选：C 【点评】本题考查了利用相关指数判断模型拟合效果的应用问题，是基础题 4 （5 分）设随机变量 服从正态分布 N（3，4） ，若 P（2a3）P（a+2） ，则 a 的值为（ ） A B C5 D3 【分析】根据随机变量符合正态分布，又知正态曲线关于 x3 对称，得到两个概
13、率相等 的区间关于 x3 对称，得到关于 a 的方程，解方程即可 【解答】解：随机变量 服从正态分布 N（3，4） ， P（2a3）P（a+2） ， 2a3 与 a+2 关于 x3 对称， 2a3+a+26， 3a7， a， 故选：A 【点评】本题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，本题主要考查曲线关于 x 3 对称，考查关于直线对称的点的特点，本题是一个基础题，若出现是一个得分题目 5 （5 分）用数学归纳法证明“1+n（nN*） ”时，由假设 nk（k1， kN“）不等式成立，推证 nk+1 不等式成立时，不等式左边应增加的项数是（ ） 第 7 页（共 18 页） A2k 1 B2k
14、1 C2k D2k+1 【分析】分别写出 nk 时的不等式，以及 nk+1 时，要证的不等式的左边与 nk 时， 不等式左边的关系，可得所求结论 【解答】解：nk（k1，kN“）不等式成立， 即有 1+k， 当 nk+1 时，即证 1+k+1， 由此可得左边与 nk 时的不等式左边增加了+， 共 2k+112k+12k项， 故选：C 【点评】本题考查数学归纳法的运用，注意由 nk 命题成立，推得 nk+1，命题也成立 时，必须运用假设，注意区别，考查推理能力，属于基础题 6 （5 分）曲线 y在点（1，1）处的切线方程为（ ） Ay2x+1 By2x1 Cy2x3 Dy2x2 【分析】欲求在点
15、（1，1）处的切线方程，只须求出其斜率的值即可，故先利用导 数求出在 x1 处的导函数值，再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率从而问题 解决 【解答】解：y， y， 所以 ky|x12，得切线的斜率为 2，所以 k2； 所以曲线 yf（x）在点（1，1）处的切线方程为： y+12（x+1） ，即 y2x+1 故选：A 【点评】本小题主要考查直线的斜率、导数的几何意义、利用导数研究曲线上某点切线 方程等基础知识，考查运算求解能力属于基础题 7 （5 分）用数字 1，2，3，4，5 组成没有重复数字的五位数，其中奇数的个数为（ ） A24 B48 C60 D72 【分析】用 1、2、3、4、5
16、组成无重复数字的五位奇数，可以看作是填 5 个空，要求个 位是奇数，其它位置无条件限制，因此先从 3 个奇数中任选 1 个填入，其它 4 个数在 4 第 8 页（共 18 页） 个位置上全排列即可 【解答】解：要组成无重复数字的五位奇数，则个位只能排 1，3，5 中的一个数，共有 3 种排法， 然后还剩 4 个数，剩余的 4 个数可以在十位到万位 4 个位置上全排列，共有24 种排 法 由分步乘法计数原理得，由 1、2、3、4、5 组成的无重复数字的五位数中奇数有 324 72 个 故选：D 【点评】本题考查了排列、组合及简单的计数问题，此题是有条件限制排列，解答的关 键是做到合理的分布，是基
17、础题 8 （5 分）定积分dx（ ） A+1 B1 Ce D1 【分析】利用微积分基本定理即可求得答案 【解答】解：dxlnxlneln11， 故选：B 【点评】本题考查微积分基本定理，属基础题，准确记忆该定理内容是解决问题的关键 9 （5 分）已知函数 f（x）x2sinx+xcosx，则其导函数 f（x）的图象大致是（ ） A B C D 【分析】先求导，再根据函数的奇偶性排除 A，C，再根据函数值得变化趋势得到答案 【解答】解：f（x）x2sinx+xcosx， 第 9 页（共 18 页） f（x）x2cosx+cosx， f（x）（x）2cos（x）+cos（x）x2cosx+cosx
18、f（x） ， 其导函数 f（x）为偶函数，图象关于 y 轴对称，故排除 A，B， 当 x+时，f（x）+，故排除 D， 故选：C 【点评】本题考查了导数的运算法则和函数图象的识别，属于中档题 10 （5 分）已知，则 P（AB）等于（ ） A B C D 【分析】根据条件概率公式得 P（AB）P（A）P（B|A） ，结合题中 的数据代入即可求得本题的答案 【解答】解：，且 P（AB）P（A）P（B|A） 故选：C 【点评】本题给出事件 A 发生的条件下事件 B 发生的概率，在已知事件 A 发生的概率情 况下求事件 AB 发生的概率着重考查了条件概率的公式及其应用的知识，属于基础题 11 （5
19、分）某大学安排 5 名学生去 3 个公司参加社会实践活动，每个公司至少 1 名同学， 安排方法共有多少种（ ） A60 B90 C120 D150 【分析】根据题意，分 2 步分析：先将 5 名学生分成 3 组，分 2 种情况分类讨论，再将 分好的三组全排列，对应三个公司，由分步计数原理计算可得答案 【解答】解：根据题意，分 2 步进行分析： ，先将 5 名学生分成 3 组， 若分成 1、2、2 的三组，有15 种分组方法， 若分成 1、1、3 的三组，有10 种分组方法， 则有 10+1525 种分组方法； 第 10 页（共 18 页） ，再将分好的三组全排列，对应三个公司，有 A336 种
20、情况， 则有 256150 种不同的安排方式； 故选：D 【点评】本题考查排列、组合的应用，涉及分步计数原理的应用，属于基础题 12 （5 分）设函数 f（x）是奇函数 f（x） （xR）的导函数，f（1）0，当 x0 时， xf（x）f（x）0，则使得 f（x）0 成立的 x 的取值范围是（ ） A （，1）（0，1） B （1，0）（1，+） C （，1）（1，0） D （0，1）（1，+） 【分析】由已知当 x0 时总有 xf（x）f（x）0 成立，可判断函数 g（x）为 减函数，由已知 f（x）是定义在 R 上的奇函数，可证明 g（x）为（，0）（0，+ ）上的偶函数，根据函数 g（x
21、）在（0，+）上的单调性和奇偶性，模拟 g（x）的图 象，而不等式 f（x）0 等价于 xg（x）0，数形结合解不等式组即可 【解答】解：设 g（x），则 g（x）的导数为：g（x）， 当 x0 时总有 xf（x）f（x）成立， 即当 x0 时，g（x）恒小于 0， 当 x0 时，函数 g（x）为减函数， 又g（x）g（x） ， 函数 g（x）为定义域上的偶函数 又g（1）0， 函数 g（x）的图象性质类似如图： 数形结合可得，不等式 f（x）0xg（x）0 或， 0x1 或 x1 故选：A 第 11 页（共 18 页） 【点评】本题主要考查了利用导数判断函数的单调性，并由函数的奇偶性和单调性
22、解不 等式，属于综合题 二、填空题（共二、填空题（共 4 道小题，每小题道小题，每小题 5 分，共分，共 20 分）分） 13 （5 分）观察下列等式照此规律，第 n 个等式为 n+（n+1）+（n+2）+（3n2） （2n1）2 11 2+3+49 3+4+5+6+725 4+5+6+7+8+9+1049 【分析】由图知，第 n 个等式的等式左边第一个数是 n，共 2n1 个连续整数的和，右边 是奇数 2n1 的平方，即可得结果 【解答】解：观察下列等式 11 2+3+49 3+4+5+6+725 4+5+6+7+8+9+1049 由图知，第 n 个等式的等式左边第一个数是 n，共 2n1
23、个连续整数的和，右边是奇数 2n1 的平方， 故有 n+（n+1）+（n+2）+（3n2）（2n1）2 故答案为：n+（n+1）+（n+2）+（3n2）（2n1）2 第 12 页（共 18 页） 【点评】本题考查归纳推理的运用，关键是从所给的式子中，发现变化的规律 14 （5 分）某企业节能降耗技术改造后，在生产某产品过程中记录的产量 x（吨）与相应的 生产能耗 y（吨）的几组对应数据如表所示： x 3 4 5 6 y 2.5 3 4 a 若根据表中数据得出 y 关于 x 的线性回归方程为 y0.7x+0.35，则表中 a 的值为 4.5 【分析】由线性回归方程必过样本中心点（ ， ） ，则
24、3.5，得到关于 a 的方程，解 出即可 【解答】解：由题意可知：产量 x 的平均值为 （3+4+5+6）4.5， 由线性回归方程为 0.7x+0.35，过样本中心点（ ， ） ， 则 0.7 +0.350.74.5+0.353.5，解得： 3.5， 由 （2.5+3+4+a）3.5，解得：a4.5， 表中 a 的值为 4.5， 故答案为：4.5 【点评】本题考查线性回归方程的应用，考查线性回归方程必过样本中心点（ ， ） ， 考查计算能力，属于基础题 15 （5 分） （+x） （1）6的展开式中 x 的系数是 31 【分析】求出（1）6 的展开式，可得（+x） （1）6的展开式中 x 的系
25、数 【解答】解：（1）6 +， （+x） （1）6的展开式中 x 的系数是 2+131， 故答案为：31 【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式，求展开式中某项 的系数，属于中档题 16 （5 分）某种树苗成活的概率都为，现种植了 1000 棵该树苗，且每棵树苗成活与否 相互无影响，记未成活的棵数记为 X，则 X 的方差为 90 【分析】直接利用独立重复试验的方差公式求解即可 第 13 页（共 18 页） 【解答】解：由题意可得 XB（1000，0.9） ， 则 X 的方差为：100090 故答案为：90 【点评】本题考查独立重复试验的方差的求法，考查计算能力 三、解答题
26、（本大题共三、解答题（本大题共 70 分，解答须写出文字说明，证明过程和演算步骤） 分，解答须写出文字说明，证明过程和演算步骤） 17 （10 分）已知（3x1）7a0x7+a1x6+a2x5+a3x4+a4x3+a5x2+a6x+a7 （1）求 a0+a1+a2+a3+a4+a5+a6+a7的值； （2）求 a1+a3+a5+a7的值 【分析】 （1）在所给的等式中，令 x1，求得 a0+a1+a2+a3+a4+a5+a6+a7的值 （2）在所给的等式中，再令 x1，可得a0+a1a2+a3a4+a5a6+a7的值，把这 2 个式子相加并除以 2 可得要求式子的值 【解答】解： （1）（3x
27、1）7a0x7+a1x6+a2x5+a3x4+a4x3+a5x2+a6x+a7， 令 x1，求得 a0+a1+a2+a3+a4+a5+a6+a727128 ； （2）再令 x1，可得a0+a1a2+a3a4+a5a6+a7（4）716384 ， 把和相加并除以 2 可得 a1+a3+a5+a78128 【点评】本题主要考查二项式定理的应用，注意分析所给代数式的特点，通过给二项式 的 x 赋值，求展开式的系数和，可以简便的求出答案，属于基础题 18 （12 分）某中学拟在高一下学期开设游泳选修课，为了了解高一学生喜欢游泳是否与性 别有关，该学校对 100 名高一新生进行了问卷调查，得到如下 22
28、 列联表： 喜欢游泳 不喜欢游泳 合计 男生 10 女生 20 合计 已知在这 100 人中随机抽取 1 人抽到喜欢游泳的学生的概率为 （1）请将上述列联表补充完整； （2）并判断是否有 99%的把握认为喜欢游泳与性别有关？并说明你的理由； （3）已知在被调查的学生中有 5 名来自甲班，其中 3 名喜欢游泳，现从这 5 名学生中随 机抽取 2 人，求恰好有 1 人喜欢游泳的概率 第 14 页（共 18 页） 下面是临界值表仅供参考： P（K2k） 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 k 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.8
29、79 10.828 参考公式：K2的观测值：（其中 na+b+c+d） 【分析】 （1）根据题意，求出对应的数据，填写列联表即可； （2）根据表中数据，计算观测值 K2，对照临界值得出结论； （3）用列举法求出基本事件数，计算对应的概率值 【解答】解： （1）因为在 100 人中随机抽取 1 人抽到喜欢游泳的学生的概率为， 所以喜欢游泳的学生人数为 10060 人 其中女生有 20 人，则男生有 40 人，列联表补充如下： 喜欢游泳 不喜欢游泳 合计 男生 40 10 50 女生 20 30 50 合计 60 40 100 （2）根据表中数据，计算 K216.6710.828， 所以有 99.
30、9%的把握认为喜欢游泳与性别有关； （3）5 名学生中喜欢游泳的 3 名学生记为 a，b，c，另外 2 名学生记为 1，2， 任取 2 名学生，则所有可能情况为 （a，b） 、 （a，c） 、 （a，1） 、 （a，2） 、 （b，c） 、 （b，1） 、 （b，2） 、 （c，1） 、 （c，2） 、 （1，2）共 10 种； 其中恰有 1 人喜欢游泳的可能情况为 （a，1） 、 （a，2） 、 （b，1） 、 （c，1） 、 （c，2）共 6 种； 所以，恰好有 1 人喜欢游泳的概率为 P 【点评】本题考查了独立性检验和列举法求古典概型的概率问题，是中档题 19 （12 分）若函数 f（x
31、）ax2+2xlnx 在 x1 处取得极值 （1）求 a 的值； （2）求函数 f（x）的单调区间及极值 第 15 页（共 18 页） 【分析】 （1）求出原函数的导函数，由函数在 x1 时的导数为 0 列式求得 a 的值； （2）把（1）中求出的 a 值代入 f（x）ax2+2xlnx，求其导函数，得到导函数的零 点，由导函数的零点对定义域分段，利用导函数在不同区间段内的符号求单调期间，进 一步求得极值点，代入原函数求得极值 【解答】解： （1）函数 f（x）ax2+2xlnx 在 x1 处取得极值， f（1）0， 又， ，解得：a； （2）f（x）x2+2xlnx， 函数的定义域为（0，+
32、） ， 由0， 解得：x11，x22 当 x（0，1） ， （2，+）时，f（x）0； 当 x（1，2）时，f（x）0 f（x）的单调减区间为 x（0，1） ， （2，+） ； 单调增区间为 x（1，2） f（x）的极小值为 f（1）； f（x）的极大值为 f（2） 【点评】本题考查了利用导数求过曲线上某点处的切线方程，考查了利用导数研究函数 的单调性，训练了函数极值的求法，是中档题 20 （12 分）某学生参加某高校的自主招生考试，须依次参加 A、B、C、D、E 五项考试， 如果前四项中有两项不合格或第五项不合格，则该考生就被淘汰，考试即结束；考生未 被淘汰时，一定继续参加后面的考试已知每一
33、项测试都是相互独立的，该生参加 A、B、 C、D 四项考试不合格的概率均为，参加第五项不合格的概率为， （1）求该生被录取的概率； （2）记该生参加考试的项数为 X，求 X 的分布列和期望 【分析】 （1）该生被录取，则必须答对前四项中的三项和第五项或者答对所有的项 第 16 页（共 18 页） （2）分析此问题时要注意有顺序，所以 X 的所有取值为：2，3，4，5分别计算其概率 得出分布列，以及它的期望值 【解答】解： （1）该生被录取，则 A、B、C、D 四项考试答对 3 道或 4 道，并且答对第 五项 所以该生被录取的概率为 P（ ）4+（）3， （2）该生参加考试的项数 X 的所有取值
34、为：2，3，4，5 P（X2）；P（X3）；P（X4） （ ）2 ； P（X5）1 该生参加考试的项数 的分布列为： X 2 3 4 5 P EX2+3+4+5 【点评】本题主要考查了离散型随机变量及其分布列，数学期望此题把二项分布和回 合制问题有机的结合在一起，增加了试题的难度解决此问题应注意顺序 21 （12 分）设 a0，b0，且求证： （1）a+b2； （2）a2+a2 与 b2+b2 不可能同时成立 【分析】 （1）由已知等式可得 ab1，再由基本不等式即可得证； （2）运用反证法证明，结合不等式的性质，即可得到矛盾，进而得到证明 【解答】证明： （1）由，得 ab1， 由基本不等式
35、及 ab1，有，即 a+b2 （2）假设 a2+a2 与 b2+b2 同时成立， 则 a2+a2 且 b2+b2，则 a2+a+b2+b4， 即： （a+b）2+a+b2ab4，由（1）知 ab1 因此（a+b）2+a+b6 而 a+b2，因此（a+b）2+a+b6，因此矛盾， 因此假设不成立，原结论成立 第 17 页（共 18 页） 【点评】本题考查不等式的证明，注意运用基本不等式和反证法证明，考查运算能力和 推理能力，属于中档题 22 （12 分）已知函数 f（x）x2mlnx，h（x）x2x+a （1）当 a0 时，f（x）h（x）在（1，+）上恒成立，求实数 m 的取值范围； （2）当
36、 m2 时，若函数 k（x）f（x）h（x）在区间（1，3）上恰有两个不同零点， 求实数 a 的取值范围 【分析】 （1）分离参数，构造函数，利用导数求出函数的最小值，即可求出 m 的取值范 围； （2）相当于函数 （x）x2lnx 与直线 ya 有两个不同的交点，构造函数，求导， 求出函数的最值，即可得到 a 的取值范围 【解答】解： （1）由 f（x）h（x） ，得 m在（1，+）上恒成立 令 g（x），则 g（x）， 当 x（1，e）时，g（x）0； 当 x（e，+）时，g（x）0， 所以 g（x）在（1，e）上递减，在（e，+）上递增 故当 xe 时，g（x）的最小值为 g（e）e 所
37、以 me 即 m 的取值范围是（，e （2）由已知可得 k（x）x2lnxa函数 k（x）在（1，3）上恰有两个不同零点，相 当于函数 （x）x2lnx 与直线 ya 有两个不同的交点 （x）1， 当 x（1，2）时，（x）0，（x）递减， 当 x（2，3）时，（x）0，（x）递增 又 （1）1，（2）22ln2，（3）32ln3， 要使直线 ya 与函数 （x）x2lnx 有两个交点，则 22ln2a32ln3 即实数 a 的取值范围是（22ln2，32ln3） 【点评】本题主要考查了利用导数研究函数的极值，以及函数的零点等有关基础知识， 考查运算求解能力、推理论证能力，考查数形结合思想、化归与转化思想，属于中档题
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