1、 高三数学试卷 第 1 页(共 7 页) 20192020 学年度高三年级四月份测试题 数学试卷数学试卷 B 2020.4 (考试时间 120 分钟 满分 150 分) 本试卷分为选择题(共 40 分)和非选择题(共 110 分)两部分 考生务必将答案答在答题卡上,在试卷上作答无效.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回. 第一部分(选择题 共 40 分) 一、选择题共 10 小题,每小题 4 分,共 40 分。在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项。 (1)已知命题p:x R,e1 x ,那么命题p的否定为 (A) 0 xR, 0 e1 x (B)x R,e1 x (C) 0 xR,
2、 0 e1 x (D)x R,e1 x (2)设集合 2 |340ZAxxx, 2 |e1 x Bx ,则AB= (A) 1,0,1,2 (B) 1,2) (C) 1,0,1 (D) 1,2 (3)下列函数中既是奇函数,又在区间(0,1)上单调递减的是 (A) 3 ( )2f xx (B) 1 2 ( )log |f xx (C) 3 ( )3f xxx (D)( )sinf xx (4)已知 3 log2a, 0.2 log0.3b, 11 tan 3 c,则a,b,c的大小关系是 (A)cba (B)bac (C)cab (D)bca (5)为了宣传今年9月即将举办的“第十八届中国西部博览
3、会”(简称“西博会”) ,组委会举办了“西博 会”知识有奖问答活动. 在活动中,组委会对会议举办地参与活动的1565岁市民进行随机抽样, 各年龄段人数情况如下: 高三数学试卷 第 2 页(共 7 页) 组号 分组 各组人数 各组人数频率分布直方图 第1组 15,25) 10 第2组 25,35) a 第3组 35,45) b 第4组 45,55) c 第5组 55,65 d 根据以上图表中的数据可知图表中a和x的值分别为 (A)20,0.15 (B)15,0.015 (C)20,0.015 (D)15,0.15 (6)已知向量(2,2 3)a,若 16 = 3 a b,则b在a上的投影是 (A
4、) 3 4 (B) 3 4 (C) 4 3 (D) 4 3 (7)某三棱锥的三视图如图所示,则这个三棱锥中最长的棱的长度为 (A)5 (B) 3 (C)6 (D)2 3 (8)已知ABC,则“sincosAB”是“ABC是直角三角形”的 (A)充分而不必要条件 (B)必要而不充分条件 (C)充分必要条件 (D)既不充分也不必要条件 (9)“杨辉三角”是中国古代重要的数学成就,它比西方的“帕斯卡三角形”早了300多年.如图是由“杨 辉三角”拓展而成的三角形数阵,记 n a为图中虚线上的数1, 3, 6,10, 构成的数列 n a的第n项, 则 100 a的值为 (A)5049 (B)5050 高
5、三数学试卷 第 3 页(共 7 页) (C)5051 (D)5101 (10)关于函数 2 ( )(1)exf xxax,有以下三个结论: 函数恒有两个零点,且两个零点之积为1; 函数的极值点不可能是1; 函数必有最小值. 其中正确结论的个数有 (A)0 个 (B)1 个 (C)2 个 (D)3 个 第二部分(非选择题 共 110 分) 二、填空题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分。 (11)在 5 2 ()x x 的二项展开式中, 3 x 的系数为_ (用数字作答) (12)已知复数z在复平面内对应的点位于第一象限,且满足| | 5z ,6zz,则z的实部为_, 虚部为 (13)设无
6、穷等比数列 n a的各项为整数,公比为q,且| 1q , 231 2aaa,写出数列 n a的一个 通项公式_ (14)在平面直角坐标系中,已知点(0,1)A,(1,1)B,P为直线AB上的动点,A关于直线OP的对称点记 为Q,则线段BQ的长度的最大值是_ (15)关于曲线 22 :4C xxyy,给出下列三个结论: 曲线C关于原点对称,但不关于x轴、y轴对称; 曲线C恰好经过 4 个整点(即横、纵坐标均为整数的点); 曲线C上任意一点到原点的距离都不大于2 2 其中,正确结论的序号是_ 注:本题给出的结论中,有多个符合题目要求。全部选对得 5 分,不选或有错选得分,其他得 3 分。 0 高三
7、数学试卷 第 4 页(共 7 页) 三、解答题共 6 小题,共 85 分。解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程。 (16) (本小题 13 分) 已知:函数 1 ( )cossin()(0) 64 f xxx ; 向量( 3sin,cos2)xxm, 11 ( cos, ) 24 xn,且0,( )f x m n; 函数 1 ( )sin(2)(0,|) 22 f xx 的图象经过点 1 (, ) 6 2 请在上述三个条件中任选一个,补充在下面问题中,并解答. 已知_,且函数( )f x的图象相邻两条对称轴之间的距离为 2 ()若0 2 ,且 1 sin 2 ,求( )f的值; ()求函数(
8、 )f x在0,2 上的单调递减区间. 注:如果选择多个条件分别解答,按第一个解答计分 高三数学试卷 第 5 页(共 7 页) (17) (本小题 14 分) 体温是人体健康状况的直接反应,一般认为成年人腋下温度T(单位:C)平均在36 C37 C之间 即为正常体温, 超过37.1 C即为发热 发热状态下, 不同体温可分成以下三种发热类型: 低热:37.138T; 高热:3840T;超高热(有生命危险) :40T. 某位患者因患肺炎发热,于 12 日至 26 日住院治疗. 医生根据病情变化,从 14 日开始,以 3 天为一个 疗程,分别用三种不同的抗生素为该患者进行消炎退热. 住院期间,患者每
9、天上午 8:00 服药,护士每天下 午 16:00 为患者测量腋下体温记录如下: 抗生素使用 情况 没有使用 使用“抗生素抗生素 A”治疗 使用“抗生素抗生素 B”治疗 日期 12 日 13 日 14 日 15 日 16 日 17 日 18 日 19 日 体温(C) 38.7 39.4 39.7 40.1 39.9 39.2 38.9 39.0 抗生素使用 情况 使用“抗生素抗生素 C”治疗 没有使用 日期 20 日 21 日 22 日 23 日 24 日 25 日 26 日 体温(C) 38.4 38.0 37.6 37.1 36.8 36.6 36.3 ()请你计算住院期间该患者体温不低于
10、39 C的各天体温平均值; () 在19日23日期间, 医生会随机选取3天在测量体温的同时为该患者进行某一特殊项目 “项目” 的检查,记X为高热体温下做“项目”检查的天数,试求X的分布列与数学期望; ()抗生素治疗一般在服药后 2-8 个小时就能出现血液浓度的高峰,开始杀灭细菌,达到消炎退热效果. 假设三种抗生素治疗效果相互独立, 请依据表中数据, 判断哪种抗生素治疗效果最佳, 并说明理由 高三数学试卷 第 6 页(共 7 页) (18) (本小题 15 分) 在四棱锥PABCD中,平面PAD 平面ABCD底面ABCD为梯形,ABCD,ABAD, 且1AB ,2PAADDC,2 2PD ()求
11、证:ABPD; ()求二面角PBCD的余弦值; ()若M是棱PA的中点,求证:对于棱BC上任意一点F, MF与PC都不平行. (19) (本小题 14 分) 已知椭圆 22 22 :1(0) xy Cab ab 的离心率为 1 2 , 过椭圆右焦点F的直线l与椭圆交于A,B两 点,当直线l与x轴垂直时,| 3AB . ()求椭圆C的标准方程; () 当直线l与x轴不垂直时, 在x轴上是否存在一点P(异于点F) , 使x轴上任意点到直线PA,PB 的距离均相等?若存在,求P点坐标;若不存在,请说明理由. 高三数学试卷 第 7 页(共 7 页) (20) (本小题 15 分) 已知函数 2 ( )
12、e() x f xax aR ()若曲线( )yf x在(1,(1)f处的切线与x轴平行,求a; ()已知( )f x在0,1上的最大值不小于2,求a的取值范围; ()写出( )f x所有可能的零点个数及相应的a的取值范围 (请直接写出结论) (21) (本小题 14 分) 已知集合 12 |( ,),0,1,1,2, (2) nni SX Xx xxxin n, 对于 12 ( ,) n Aa aa n S, 12 ( ,) nn Bb bbS,定义A与B的差为 1122 (|,|,|) nn ABababab;A与B之间的 距离为 1122 ( , )=|+| nn d A Bababab
13、 ()若(0,1)AB,试写出所有可能的A,B; (), , n A B CS,证明:(,)( , )d A C B Cd A B; (), , n A B CS,( , ), ( , ), ( , )d A B d A C d B C三个数中是否一定有偶数?证明你的结论. 高三数学参考答案 第 1 页(共 10 页) 20192020 学年度学年度高三年级四月份高三年级四月份测试题测试题 数学数学 B 参考答案参考答案 2020.4 第一部分(选择题第一部分(选择题 共共 40 分)分) 一、选择题(共一、选择题(共 10 小题,每小题小题,每小题 4 分,共分,共 40 分。在每小题列出的
14、四个选项中,选出符合题目要求的一项)分。在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项) (1) A (2) C (3)C (4) A (5) C (6) D (7) B (8)D (9) B (10) D 第二部分(非选择题第二部分(非选择题 共共 110 分)分) 二、填空题(共二、填空题(共 5 小题,每小题小题,每小题 5 分,共分,共 25 分)分) (11)80 (12)3, 4 (13) 1* 2() n n an N(答案不唯一) (14)21 (15) 三、解答题(共三、解答题(共 6 小题,共小题,共 85 分。解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程)分。解答应写出文字说
15、明、演算步骤或证明过程) (16)(本小题 13 分) 解:方案一:选条件 因为 1 ( )cossin() 64 f xxx 1 cos(sincoscossin) 664 xxx 2 311 sincoscos 224 xxx 31 sin2cos2 44 xx 3 分 131 (sin2cos2) 222 xx 1 sin(2) 26 x , 又 2 2 T ,所以1,所以 1 ( )sin(2) 26 f xx . 5 分 高三数学参考答案 第 2 页(共 10 页) 方案二:选条件 因为( 3sin,cos2)xxm, 11 ( cos, ) 24 xn, 所以 311 ( )sin
16、coscos2sin(2) 2426 f xxxxx m n . 又 2 2 T ,所以1,所以 1 ( )sin(2) 26 f xx . 5 分 方案三:选条件 由题意可知, 2 2 T ,所以1,所以 1 ( )sin(2) 26 f xx . 1 分 又因为函数( )f x图象经过点 1 (, ) 6 2 ,所以 11 sin(2) 226 . 3 分 因为| 2 ,所以 6 ,所以 1 ( )sin(2) 26 f xx . 5 分 ()因为0 2 , 1 sin 2 ,所以 6 . 7 分 所以 11 ( )( )sin 6222 ff . 9 分 ()由 3 222, 262 k
17、xkk Z, 得 2 , 63 kxkk Z 12 分 令0k ,得 2 63 x ,令1k ,得 75 63 x , 所以函数( )f x在0,2 上的单调递减区间为 2 , 63 , 75 , 63 . 13 分 高三数学参考答案 第 3 页(共 10 页) (17)(本小题 14 分) 解:() 由表可知,该患者共 6 天的体温不低于39 C,记平均体温为x, 1 分 1 (39.439.740.1 39.939.2+39.0)39.55 C 6 x 4 分 所以,患者体温不低于39 C的各天体温平均值为39.55 C. ()X的所有可能取值为0,1,2 5 分 30 32 3 5 1
18、(0) 10 C C P X C , 6 分 21 32 3 5 63 (1) 105 C C P X C , 7 分 12 32 3 5 3 (2) 10 C C P X C 8 分 则X的分布列为: 9 分 X 0 1 2 P 1 10 3 5 3 10 所以 1336 ()012 105105 E X 11 分 ()“抗生素 C”治疗效果最佳可使用理由: “抗生素 B”使用期间先连续两天降温 1.0C又回升 0.1C,“抗生素 C”使用期间持续 降温共计 1.2C,说明“抗生素 C”降温效果最好,故“抗生素 C”治疗效果最佳 抗生素 B” 治疗期间平均体温 39.03C, 方差约为0.0
19、156; “抗生素 C” 平均体温 38C, 方差约为0.1067,“抗生素 C”治疗期间体温离散程度大,说明存在某个时间节点降温 效果明显,故“抗生素 C”治疗效果最佳 14 分 “抗生素 B”治疗效果最佳可使用理由: (不说使用“抗生素不说使用“抗生素 B”治疗才开始持续降温扣”治疗才开始持续降温扣 1 分分) 自使用“抗生素 B”开始治疗后,体温才开始稳定下降,且使用“抗生素 B”治疗当天共降 温 0.7C,是单日降温效果最好的一天,故“抗生素 B”治疗效果最佳 14 分 (开放型(开放型问题问题,答案不唯一,但答答案不唯一,但答“抗生素“抗生素 A”效果最好不得分效果最好不得分,理由与
20、结果不匹配不得分理由与结果不匹配不得分,不用数据不得分)不用数据不得分) (18)(本小题 14 分) 高三数学参考答案 第 4 页(共 10 页) 解:()因为平面ABCD 平面PAD, 1 分 平面ABCD平面PADAD, 2 分 AB 平面ABCD, ABAD, 3 分 所以AB 平面PAD, 4 分 又因为PD平面PAD, 所以ABPD 5 分 ()因为2PAAD,2 2PD ,所以PAAD 由()得AB 平面PAD,所以ABPA, 故,AB AD AP两两垂直 如图,以A为原点,,AB AD AP所在直线分别为, ,x y z轴, 建立空间直角坐标系Axyz, 则(0,0,2)P,(
21、1,0,0)B,(2,2,0)C,(0,2,0)D 6 分 因为PA平面BCD,所以平面BCD的一个法向量是(0,0,1)n 而(1,0, 2)PB ,(2,2, 2)PC , 设平面PBC的一个法向量为( , , )x y zm 则由 0, 0, PB PC m m 得 20, 2220. xz xyz 取1z ,有(2, 1,1)m, 8 分 所以 16 cos, 66 n m n m n m 10 分 由题知,二面角PBCD为锐角, 所以二面角PBCD的余弦值为 6 6 11 分 ()假设棱BC上存在点F,/MFPC,设,0,1BFBC 12 分 依题意,可知(0,0,1)M,(1,2,
22、0)BC ,(1,2 ,0)F, 13 分 M F 高三数学参考答案 第 5 页(共 10 页) 所以(1,2 , 1)MF,(2,2, 2)PC 14 分 根据假设,有 12 , 22 , 12 , 而此方程组无解,故假设错误,问题得证 15 分 (19)(本小题 14 分) 解:()由题意得: 2 222 2 3, 1 , 2 , b a c a abc 1 分 解得:2,3,1abc 2 分 所以椭圆的标准方程为: 22 1 43 xy 3 分 (II)依题意,若直线l的斜率不为零,可设直线:1(0)l xmym, 1122 ( ,), (,)A x yB x y 假设存在点P,设 0
23、(,0)P x,由题设, 0 1x ,且 01 xx, 02 xx. 设直线,PA PB的斜率分别为 12 ,k k, 则 12 12 1020 , yy kk xxxx 4 分 因为 1122 ( ,), (,)A x yB x y在1xmy上, 故 1122 1,1xmyxmy 5 分 而x轴上任意点到直线,PA PB距离均相等等价于“PF平分APB”, 继而等价于 12 0kk 6 分 则 12 12 1020 yy kk xxxx 1221012 1020 () ()() x yx yxyy xxxx 12012 1020 2(1)() 0 ()() my yxyy xxxx 8 分
24、高三数学参考答案 第 6 页(共 10 页) 联立 22 1 43 1 xy xmy ,消去x,得: 22 (34)690mymy, 有 1212 22 69 , 3434 m yyy y mm 10 分 则 00 12 22 10201020 1866246 0 (34)()()(34)()() mmmxmmx kk mxxxxmxxxx , 即 0 40mmx,故 0 4x 或0m(舍) 13 分 当直线l的斜率为零时,(4,0)P也符合题意 故存在点(4,0)P,使得x轴上任意点到直线,PA PB距离均相等 14 分 (20)(本小题 15 分) 解: () 因为 2 ( )e() x
25、f xax aR, 故( )e2 x fxax 1 分 依题意(1)e20fa ,即 e 2 a 2 分 当 e 2 a 时, e (1)0 2 f,此时切线不与x轴重合,符合题意,因此 e 2 a 3 分 () 由()知,( )e2 x fxax, 当0a 时,因为0,1x,e0 x ,20ax, 故( )0fx,即( )f x单增,因此 max ( )(1)ef xfa 依题意,当0a 时, max ( )=ee2f xa,所以0a 符合题意 5 分 当0a 时,( )e2 x fxa,令( )0fx,有ln2xa 6 分 ( )fx,( )fx变化如下: x (,ln2 )a ln2a
26、(ln2 ,)a ( )fx 0 + ( )fx 极小值 故 min ( )22 ln22 (1 ln2 )f xaaaaa 7 分 当1 ln20a时,即 e 0 2 a时,( )0fx ,( )f x单调递增, 因此 max ( )(1)ef xfa 高三数学参考答案 第 7 页(共 10 页) 依题意,令e2a,有0e2a 8 分 当1 ln20a时,即 e 2 a 时,(1)e20fa ,(0)10 f , 故存在唯一 0 (0,1)x 使 0 ()0fx 9 分 此时有 0 0 e20 x ax,即 0 0 e2 x ax,( )fx,( )f x变化如下: 10 分 x 0 (0,
27、)x 0 x 0 (,1)x ( )fx + 0 ( )f x 极大值 所以 0 00 2 0 max00 e ( )()ee 2 x xx x f xf xax , 0 (0,1)x 11 分 依题意,令 e ( )e 2 x x x g x ,(0,1)x,则 (1)e ( )0 2 x x g x ,( )g x在(0,1)单调递增, 所以 e ( )(1)2 2 g xg , 所以 max ( )2f x,此时不存在符合题意的a 综上所述,当(,e2a ,( )f x在0,1上的最大值不小于2, 若(,e2a ,则( )f x在0,1上的最大值小于2, 所以a的取值范围为(,e2 12
28、 分 解法二: ()当0,1x时,( )f x最大值不小于 2,等价于 2 ( )e2 x f xax在0,1x上有解,显然0x 不是解, 即 2 e2 x a x 在(0,1x上有解, 4 分 设 2 e2 ( ) x g x x , (0,1x, 则3 e2e4 ( ) xx x g x x 5 分 设( )e2e4 xx h xx ,(0,1x, 则( )e (1)0 x h xx 所以( ) h x在(0,1单调递减, ( )(1)4 e0h xh , 7 分 所以 ( )0g x ,所以g( ) x在(0,1单调递增, 9 分 高三数学参考答案 第 8 页(共 10 页) 所以 ma
29、x g( )(1)e2xg 10 分 依题意需e2a , 所以a的取值范围为(,e2 12 分 解法三: ()由()知,( )e2 x fxax, (1)当 e 2 a 时,( )e2ee xx fxaxx, 设( )ee0,1 x h xx x,( )ee0 x h x , 所以( )h x在0,1单调递减,故( )(1)0h xh 5 分 所以( )0fx,所以( )f x在0,1单调递增, 因此 max ( )(1)ef xfa 7 分 依题意,令e2a,得e2a 8 分 (2)当 e 2 a 时, 22 e ( )ee 2 xx f xaxx, 设 2 e ( )e 2 x xx,0,
30、1x , 则( )ee( )0 x xxh x , 所以( )x在0,1单调递增, 10 分 故 max ee ( )(1)e2 22 x ,即( )2f x ,不符合题意 11 分 综上所述,a的取值范围为(,e2 12 分 (III)当0a 时,( )yf x有 0 个零点;当 2 e 0 4 a 时,( )yf x有 1 个零点 当 2 e 4 a 时,( )yf x有 2 个零点;当 2 e 4 a 时,( )yf x有 3 个零点 15 分 高三数学参考答案 第 9 页(共 10 页) (21) (本小题 14 分) 解:() (0, 0),(0,1)AB; (0,1),(0, 0)
31、AB; 1 分 (1, 0),(1,1)AB; 2 分 (1,1),(1, 0)AB. 3 分 () 令 121212 ( ,),( ,),( ,) nnn Aa aaBb bbCc cc, 对1,2,in, 当0 i c 时,有| | iiiiii acbcab; 4 分 当1 i c 时,有| |1(1)| | iiiiiiii acbcabab 5 分 所以 11222222 (,)|+|+| nnnn d A C BCacbcacbcacbc 1122 |( , ) nn abababd A B 6 分 (), , n A B CS,( , ), ( , ), ( , )d A B d
32、 A C d B C三个数中一定有偶数. 理由如下: 解法一: 设 121212 ( ,),( ,),( ,) nnnn Aa aaBb bbCc ccS, ( , ), ( , ), ( , )d A Bk d A Cl d B Ch, 记0(0,0,0) n S由()可知: ( , )(,)(0,)d A Bd AA BAdBAk, ( , )(,)(0,)d A Cd AA CAdCAl,( , )(,)d B Cd BA CAh. 8 分 所以(1,2, ) ii bain中 1 的个数为k,(1,2, ) ii cain中 1 的个数为l. 设t是使1 iiii baca成立的i的个
33、数,则2hlkt . 10 分 由此可知,, ,k l h三个数不可能都是奇数, 即( , ), ( , ), ( , )d A B d A C d B C三个数中一定有偶数. 14 分 解法二: 因为()()()0 iiiiii abbcca, 高三数学参考答案 第 10 页(共 10 页) 且()()() iiiiii abbcca与| iiiiii abbcca奇偶性相同. 8 分 所以| iiiiii abbcca为偶数, 故( , )( , )( , )d A Bd B Cd A C为偶数, 10 分 所以( , ), ( , ), ( , )d A B d A C d B C三个数不可能都是奇数, 即( , ), ( , ), ( , )d A B d A C d B C三个数中一定有偶数. 14 分