高三理科数学暑期讲义 第5讲.等差数列与等比数列 教师版

1、 48 本讲不分节，建议用时3课时复习重点为等差数列与等比数列的基本量、常用性质以及对定义的 深入理解其中共 6 道例题，等差数列与等比数列的基本量各一道例题，等差数列与等比数列的性质 各一道例题，等差数列与等比数列的判定共两道例题 一、等差数列 1定义：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个 数列就叫做等差数列这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母d表示 通项公式： 1 (1)() nm aandanm d； 前n项和公式： 1 1 ()(1) 22 n n n aan n Snad 2等差数列 n a的性质（其中公差为d，前n项和为 n S） ：

2、() nm aanm d， nm aa d nm ； 若pqmn，则有 pqmn aaaa；若2mp q，则有2 mpq aaa（p，q，m，n N） ； 等距离取出若干项也构成一个等差数列，即 n a， n m a ， 2nm a ，为等差数列，公差为md； 等差数列的连续n项和也构成等差数列， 即 232nnnnn SSSSS，为等差数列， 公差为 2 n d； 对于奇数项和有 121 21 () (21)(21) 2 n nn aa Snna ； 知识梳理 知识结构图 第 5 讲 等差数列与 等比数列 49 对于偶数项和有 12 21 () 2() 2 n nnn aa Snn aa ；

3、 若 n b也为等差数列，记 n S为其前n项和，则 21 (21) nn Snb ， 21 21 nn n n aS b S 二、等比数列 3定义：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个 数列就叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母(0)q q 表示等比数列 中的项不为0 通项公式： 1 1 nn m nm aaqa q ；前n项和公式： 1 11 1 (1) 1 11 n n n naq S aa qaq q qq ， ， 4等比数列 n a的性质（其中公比为q） ： n m nm aa q ， n n m m a q a ； 若pq

4、mn，则有 pqmn aaaa；若2mpq，则有 2 mpq aaa； 等距离取出若干项也构成一个等比数列，即 n a， n m a ， 2nm a ，为等比数列，公比为 m q 等比数列的连续n项和也构成等比数列，即 232nnnnn SSSSS，为等比数列，公比为 n q （2012 北京理 10） 已知 n a为等差数列， n S为其前n项和若 1 1 2 a ， 23 Sa，则 2 a ； n S 【解析】 1； 2 4 nn ； （2011 北京理 11） 在等比数列 n a中，若 1 1 2 a ， 4 4a ，则公比q ； 12n aaa 【解析】 2； 1 1 2 2 n ；

5、1、 在等比数列 n a中， 4 4a ，则 26 aa等于（ ） A 4 B 8 C 16 D 32 2、 等差数列 n a的前n项和为 n S，且 3 6S ， 3 4a ，则公差d等于（ ） A1 B 5 3 C2 D3 3、 已知数列 n a的前n项和为 2 9 n Snn，第k项满足58 k a，则k等于（ ） A9 B8 C7 D6 4、 已知 n a为等差数列， 135 105aaa， 246 99aaa， 以 n S表示 n a的前n项和， 小题热身 真题再现 50 则使得 n S达到最大值的n是（ ） A21 B20 C19 D18 5、 等差数列 n a的前n项和为 n S

6、，已知 5 8a ， 3 6S ，则 107 SS的值是（ ） A24 B36 C48 D72 6、 设 n a是等比数列，则“1q ”是“数列 n a是递增数列”的（ ） A充分而不必要条件 B必要而不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件 7、 已知数列 n a的前n项和为 n n Saq（0a ，1q ，q为非零常数） ， 则 n a为 （ ） A等差数列 B等比数列 C既是等差数列，又是等比数列 D既不是等差数列，又不是等比数列 8、 等比数列 n a的前n项和为 n S，且 123 4, 2,aaa成等差数列若 1 1a ，则 4 S （ ） A7 B8 C15 D16 9

7、、 已知数列 n a为等比数列， n S是它的前n项和，若 231 2aaa，且 4 a与 7 2a的等差中 项为 5 4 ，则 5 S （ ） A35 B33 C31 D29 10、 已知等比数列 n a的公比为q，前n项和为 n S，且 396 ,SSS成等差数列，则 3 q等于 （ ） A1 B 1 2 C1或 1 2 D1或 1 2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 C C B B C D D C C B 【教师备案】由于最近几年北京高考的最后一题已经固定为创新题，以集合或数列题型出现，因此常 规的等差等比数列题型除了在期末一模二模的大题偶有涉及，一般只在小题中出现而 在小题中

8、的考察就以考察基本量和基本性质为主 等差数列的基本量： 1 a，d，n， n a， n S；知道其中任意三个就可以确定另外两个； 等比数列的基本量： 1 a，q，n， n a， n S；同样也是知道其中三个就可以确定另外两个 考点：等差数列的基本量 【例1】 （2010 辽宁 14）设 n S为等差数列 n a的前n项和，若 36 324SS，则 9 a （2010 海淀一模理 6）已知等差数列1,ab，等比数列3 ,2 ,5ab，则该等差数列 的公差为（ ） A3或3 B3或1 C3 D3 已知数列 n a是非零等差数列，又 1 a， 3 a， 9 a组成一个等比数列的前三项，则 139 2

9、410 aaa aaa 的值是（ ） A1 B 13 16 C1或 13 16 D不能确定 【解析】 15； C； C 考点：等比数列的基本量 经典精讲 51 【例2】 （2010 福建理 11）在等比数列 n a中，若公比4q ，且前 3 项之和等于 21，则该数列 的通项公式 n a （2010 湖北文 7）已知等比数列 n a中，各项都是正数，且 1 a、 3 1 2 a、 2 2a成等差数列， 则 910 78 aa aa （ ） A12 B12 C32 2 D32 2 （2011 年上半学期西城高三期末统考理 6）设等比数列 n a的前n项和为 n S，若 25 80aa，则下列式子

10、中数值不能确定的是（ ） A 5 3 a a B 5 3 S S C 1n n a a D 1n n S S （2010 天津理 6）已知 n a是首项为 1 的等比数列， n S是 n a的前n项和，且 36 9SS， 则数列 1 n a 的前 5 项和为（ ） A 15 8 或 5 B 31 16 或 5 C 31 16 D15 8 【解析】 1 4n； C D C 【拓1】 （2009 江苏卷 14）设 n a是公比为q的等比数列，1q ，令1(12) nn ban ， ，若数 列 n b有连续四项在集合5323 193782， ，中，则6q 【解析】 9 【教师备案】小题中对于等差数列

11、性质的考查，常着手于以下方面： n a是等差数列 n a是n不超过一次的多项式（因为 1 () n adnad） ； n S是n不超过二次的多项式且常数项必定为0（因为 2 1 22 n dd Snan ） ； n S n 是等差数列，且公差为 2 d （因为 1 22 n Sdd na n ） ； n S的最值： 若0d ，则 n S有最小值：若 1 0a ，则最小值就是 1 S；若 1 0a ，则最小值就是前面 全体非正项的和； 反之，若0d ，则 n S有最大值：若 1 a 0，则最大值就是 1 S；若 1 0a ，则最大值就 是前面全体非负项的和； 实际考试中，对 1 0a d 的情形

12、的考查，是比较常见的 考点：等差数列的性质 【例3】 （2010 全国卷 II 理 4） 如果等差数列 n a中，3 45 12aaa， 那么 127 aaa （ ） A14 B21 C28 D35 （2010 福建理 3）设等差数列 n a的前n项和为 n S，若 1 11a ， 46 6aa ，则当 n S取 最小值时，n等于（ ） A6 B7 C8 D9 在等差数列 n a中， 147 39aaa， 369 27aaa，则数列 n a的前 9 项之和 9 S等 于（ ） 52 A66 B99 C144 D297 设 n S是等差数列 n a的前n项和，若 4 8 1 3 S S ，则 8

13、 16 S S 等于（ ） A 3 10 B 1 3 C 1 9 D 1 8 已知两个等差数列 n a和 n b的前n项和分别为 n A和 n B， 且 74 5 3 n n An Bn ， 则使得 n n a b 为 整数的正整数n的个数是（ ） A2 B3 C4 D5 【解析】 C； A ； B；A； D 【拓2】 等差数列 n a的前n项和为 n S，已知 2 11 0 mmm aaa ， 21 38 m S ，则m _ 设等差数列 n a的前n项和为 n S，若 36 936SS，则 789 aaa（ ） A63 B45 C36 D27 （2010 西城二模理 7）等差数列 n a的前

14、n项和为 n S，若 7 0a ， 8 0a ，则下列结论正确 的是（ ） A 78 SS B 1516 SS C 13 0S D 15 0S 【解析】 10； B； C 考点：等比数列的性质 【例4】 （2010 全国卷理 4）已知各项均为正数的等比数列 n a， 123 5a a a ， 789 10a a a ， 则 456 a a a （ ） A5 2 B7 C6 D4 2 （2009 广东理 4） 已知等比数列 n a满足0 n a ，12n ， ， ，且 2 525 2 (3) n n aan ， 则当1n时， 2123221 logloglog n aaa （ ） A 2 (1)

15、n B 2 n C 2 (1)n D(21)nn 设等比数列 n a的公比1q ，前n项和为 n S，已知 3 2a ， 42 5SS，则 n a的通项公 式为 各项均为正数的等比数列 n a的前n项和为 n S，若2 n S ， 3 14 n S，则 4n S等于（ ） A16 B26 C30 D80 【解析】 A； B； 2 ( 2)n n a 或者 1 2 ( 1)n n a C 【拓3】 （2010 安徽理 10） 设 n a是任意等比数列， 它的前n项和， 前2n项和与前3n项和分别为X， Y，Z，则下列等式中恒成立的是（ ） A2XZY BY YXZ ZX C 2 YXZ DY Y

16、XX ZX 【解析】 D 53 【教师备案】等差、等比数列在大题中出现时，前面的一二小问除了经常求通项求和式以外，还常出 现根据题干已给的递推结构，证明某个变形的数列是等差或等比数列的情况 对于等差数列或等比数列的判定与证明，通常来说，只需考虑从以下角度入手： 等差数列的等价条件等差数列的等价条件： n a是等差数列 定义： * n N， 1nn aad ，d为常数； 等差中项： * n N， 211nnnn aaaa ； 通项公式： * n N， n aknb，,k b为常数； 前n项和公式： * n N， 2 n SAnBn，,A B为常数； 前n项平均值： * n N， n S n 是等

17、差数列 等比数列的等价条件等比数列的等价条件： n a是等比数列 定义： * n N， 1nn aqa ，q为非零常数； 等比中项： * n N， 21 1 nn nn aa aa ， 12 0 nnn aaa ； 通项公式： * n N， n n acq，0cq ，为常数 前n项和公式： * n N， n Sn（常数列）或者(1) n n Sq，001q， 考点：等差数列与等比数列的判定 【例5】 已知数列 n a满足 1 4a ， 1 4 4(2) n n an a ，令 1 2 n n b a 求证：数列 n b是等差数列；求数列 n a的通项公式 【解析】 由已知得： 1 2 n n

18、b a ， 1 1 1 2 n n b a ， 2n， 1 1 11 22 nn nn bb aa 1 111 1 1111 4 22(2)22 42 n nnn n a aaa a ， 1 1 11 22 b a ， 故 n b是首项为 1 2 ，公差为 1 2 的等差数列 2 2 n a n 【例6】 设 数 列 n a的 首 项 1 1 4 aa， 且 1 1 2 1 4 n n n an a an ， 为偶数 ， 为奇数 ， 记 21 1 4 nn ba ， 123n ， ， ， 求 23 aa，与 123 bbb，（用a表示） ； 判断数列 n b是否为等比数列，并证明你的结论 【解

19、析】 23 111 428 aaaa， 123 11111 42444 bababa ， 54 因为 1212 111 424 nnn baa 2121 111111 () 244242 nnn aab n N， 且 1 1 0 4 ba， 所以 n b是首项为 1 4 a ，公比为 1 2 的等比数列 一、选择题 1、 已知等差数列 n a的公差0d ，它的第1517， ，项顺次成等比数列，则这个等比数列 的公比是（ ） A3q B1q C2q 或1q D2q 或1q 【解析】 A 2、 设等比数列 n a的前n项和为 n S，若 105 1 2SS ，则 155 SS （ ） A3 4 B

20、2 3 C1 2 D1 3 【解析】 A 3、 设等差数列 n a的前n项和为 n S，已知 3 77 1201211aa， 3 20062006 1201211aa，则下列结论正确的是（ ） A 201220127 2012Saa， B 201220127 2012Saa， C 201220127 2012Saa ， D 201220127 2012Saa ， 【解析】 A； 4、 （2011 西城二模） 已知数列 n a的通项公式为13 n an， 那么满足 119 102 kkk aaa 的整数k（ ） A有 3 个 B有 2 个 C有 1 个 D不存在 【解析】 B 5、 （2012

21、天津和平区高三下第二次质量调查理 4）等差数列 n a、 n b的前n项和分别 为 n S与 n T，若 21 33 n n Sn Tn ，则 10 10 a b 等于（ ） A 2 3 B 7 9 C 13 18 D 41 57 【解析】 C 二、填空题 6、 已知等差数列 n a的首项 1 1a ，前三项之和 3 9S ，则 n a的通项_ n a 【解析】 21n 课后习题 55 7、 （2012 广东文 12）等比数列 n a满足 24 1 2 a a ，则 2 1 35 a a a _ 【解析】 1 4 8、 在各项均为正数的等比数列 n a中，若 56 9aa，则 3132310

22、logloglogaaa 【解析】 10 9、 传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家经常在沙滩上面画点或用小石子表示数他们研 究过如图所示的三角形数： 将三角形数 1，3， 6，10，记为数列 n a，将可被 5 整除的三角形数按从小到大的顺序 组成一个新数列 n b，可以推测： 2012 b是数列 n a中的第 项； 21k b （用k表示） 【解析】 5030； 5 (51) 2 kk ； 三、解答题 10、 已知等差数列 n a满足 123 15aaa， 123 80a a a ，求 111213 aaa 【解析】 11 1213 aaa的值为105或75 11、 设等差数列 n a的前n项和为 n S 若 24 6aa，求 5 S 若 45 18aa，求 8 S 【解析】 15 72 12、 数列 n a， n b是各项均为正数的等比数列，设() n n n b cn a * N 数列 n c是否为等比数列？证明你的结论； 设数列ln n a，ln n b的前n项和分别为 n S， n T若 1 2a ， 21 n n Sn Tn ，求数列 n c前 n项和 【解析】 n c是等比数列 4 41 3 n