1、绝密启用前绝密启用前 2020 年北京市丰台区中考数学年北京市丰台区中考数学一模试卷一模试卷（4 月份）月份） 注意事项： 1答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2请将答案正确填写在答题卡上，在试卷上作答无效，选择题需使用 2B 铅笔填涂 一、选择题（本题共一、选择题（本题共 16 分，每小题分，每小题 2 分）第分）第 1-8 题均有四个选项，符合题意的选项只有一个题均有四个选项，符合题意的选项只有一个 1 （2 分）如图是某个几何体的三视图，该几何体是（ ） A长方体 B圆锥 C圆柱 D三棱柱 2（2 分） 为应对疫情， 许多企业跨界抗疫， 生产口罩 截至 2 月 29 日， 全国口
2、罩日产量达到 116000000 只将 116000000 用科学记数法表示应为（ ） A116106 B11.6107 C1.16107 D1.16108 3 （2 分）实数 a，b，c 在数轴上的对应点的位置如图所示，则正确的结论是（ ） Aab Bab0 Cac0 D|a|c| 4 （2 分）下列图形中，是轴对称图形但不是中心对称图形的是（ ） A B C D 5 （2 分）如果一个正多边形的一个外角为 30，那么这个正多边形的边数是（ ） A6 B11 C12 D18 6 （2 分）如果 a+b2，那么代数（a） 的值是（ ） A2 B2 C D 7 （2 分）使用家用燃气灶烧开同一壶
3、水所需的燃气量 y（单位：m3）与旋钮的旋转角度 x（单位： 度） （0x90）近似满足函数关系 yax2+bx+c（a0） 如图记录了某种家用燃气灶烧开 同一壶水的旋钮角度 x 与燃气量 y 的三组数据，根据上述函数模型和数据，可推断出此燃气灶烧 开一壶水最节省燃气的旋钮角度约为（ ） A18 B36 C41 D58 8 （2 分）为了保障艺术节表演的整体效果，某校在操场中标记了几个关键位置，如图是利用平面 直角坐标系画出的关键位置分布图，若这个坐标系分别以正东、正北方向为 x 轴、y 轴的正方向， 表示点 A 的坐标为（1，1） ，表示点 B 的坐标为（3，2） ，则表示其他位置的点的坐标
4、正确的是 （ ） AC（1，0） BD（3，1） CE（2，5） DF（5，2） 二、填空题（本题共二、填空题（本题共 16 分，每小题分，每小题 2 分）分） 9 （2 分）要使二次根式有意义，则 x 的取值范围是 10 （2 分）如图所示的网格是正方形网格，点 A，B，C 均在格点上，则BAC+BCA 11 （2 分）某校准备从甲、乙、丙、丁四个科创小组中选出一组，参加区青少年科技创新大赛，表 格反映的是各组平时成绩的平均数 （单位：分）及方差 S2，如果要选出一个成绩较好且状态稳 定的组去参赛，那么应选的组是 甲 乙 丙 丁 7 8 8 7 s2 1 1.2 0.9 1.8 12 （2
5、分）如图，AD 为ABC 的外接圆O 的直径，若BAD50，则ACB 13 （2 分） 孙子算经中有一道题： “今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之， 不足一尺，木长几何？”译文大致是： “用一根绳子去量一根木条，绳子剩余 4.5 尺；将绳子对折 再量木条，木条剩余 1 尺，问木条长多少尺？”如果设木条长 x 尺，绳子长 y 尺，可列方程组 为 14 （2 分）设 A（x1，y1） ，B（x2，y2）是反比例函数 y图象上的两点，若 x1x20，则 y1 与 y2之间的关系是 15 （2 分）如图，在正方形 ABCD 中，对角线 AC，BD 相交于点 O，E 是 OB 的中点，连
6、接 AE 并 延长交 BC 于点 F若BEF 的面积为 1，则AED 的面积为 16 （2 分）完全相同的 3 个小球上面分别标有数2、1、1，将其放入一个不透明的盒子中后摇 匀，再从中随机摸球两次（第一次摸出球后放回摇匀） ，两次摸到的球上数之和是负数的概率 是 三、解答题（本题共三、解答题（本题共 68 分，第分，第 17-21 题，每小题题，每小题 5 分，第分，第 22-24 题，每小题题，每小题 5 分，第分，第 25 题题 5 分，分， 第第 26 题题 6 分，第分，第 27-28 题，每小题题，每小题 5 分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程分）解答应写出文字说明、演算步
7、骤或证明过程 17 （5 分）下面是小明设计的“过直线外一点作已知直线的平行线”的尺规作图过程 已知：如图 1，直线 l 及直线 l 外一点 P 求作：直线 PQ，使 PQl 作法：如图 2， 在直线 l 上取一点 O，以点 O 为圆心，OP 长为半径画半圆，交直线 l 于 A、B 两点； 连接 PA，以 B 为圆心，AP 长为半径画弧，交半圆于点 Q； 作直线 PQ； 所有直线 PQ 就是所求作的直线 根据小明设计的尺规作图过程 （1）使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹） （2）完成下面的证明： 证明：连接 PB、QB PAQB， PBAQPB（ ） （填推理的依据） PQl（ ） （填
8、推理的依据） 18 （5 分）计算： 19 （5 分）解不等式组： 20 （5 分）若关于 x 的一元二次方程 x23x+a20 有实数根 （1）求 a 的取值范围； （2）当 a 为符合条件的最大整数，求此时方程的解 21 （5 分）如图，在四边形 ABCD 中，ABDC，ABAD，对角线 AC，BD 交于点 O，AC 平分 BAD，过点 C 作 CEAB 交 AB 的延长线于点 E，连接 OE （1）求证：四边形 ABCD 是菱形； （2）若 AB，BD2，求 OE 的长 22 （6 分）为了调查学生对垃圾分类及投放知识的了解情况，从甲、乙两校各随机抽取 40 名学生 进行了相关知识测试，
9、获得了他们的成绩（百分制） ，并对数据（成绩）进行了整理、描述和分 析下面给出了部分信息 a甲、乙两校 40 名学生成绩的频数分布统计表如下： 成绩 x 学校 50x60 60x70 70x80 80x90 90x100 甲 4 11 13 10 2 乙 6 3 15 14 2 （说明：成绩 80 分及以上为优秀，7079 分为良好，6069 分为合格，60 分以下为不合格） b甲校成绩在 70x80 这一组的是：70 70 70 71 72 73 73 73 74 75 76 77 78 c甲、乙两校成绩的平均分、中位数、众数如下： 学校 平均分 中位数 众数 甲 74.2 n 85 乙 7
10、3.5 76 84 根据以上信息，回答下列问题： （1）写出表中 n 的值； （2）在此次测试中，某学生的成绩是 74 分，在他所属学校排在前 20 名，由表中数据可知该学 生是 校的学生（填“甲”或“乙” ） ，理由是 ； （3）假设乙校 800 名学生都参加此次测试，估计成绩优秀的学生人数 23 （6 分）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，直线 yx+2 与函数 y（k0）的图象交于 A，B 两点，且点 A 的坐标为（1，a） （1）求 k 的值； （2）已知点 P（m，0） ，过点 P 作平行于 y 轴的直线，交直线 yx+2 于点 C，交函数 y（k 0）的图象于点 D 当 m2 时
11、，求线段 CD 的长； 若 PCPD，结合函数的图象，直接写出 m 的取值范围 24 （6 分）如图，在 RtACB 中，C90，AC3，BC4，O 是 BC 的中点，到点 O 的距离 等于BC 的所有点组成的图形记为 G，图形 G 与 AB 交于点 D （1）补全图形并求线段 AD 的长； （2）点 E 是线段 AC 上的一点，当点 E 在什么位置时，直线 ED 与图形 G 有且只有一个交点？ 请说明理由 25 （5 分）如图，C 是上的一定点，D 是弦 AB 上的一定点，P 是弦 CB 上的一动点，连接 DP， 将线段 PD 绕点 P 顺时针旋转 90得到线段 PD，射线 PD与交于点 Q
12、已知 BC6cm， 设 P，C 两点间的距离为 xcm，P，D 两点间的距离为 y1cm，P，Q 两点间的距离为 y2cm 小石根据学习函数的经验，分别对函数 y1，y2随自变量 x 的变化而变化的规律进行了探究，下面 是小石的探究过程，请补充完整： （1）按照下表中自变量 x 的值进行取点、画图、测量，分别得到了 y1，y2与 x 的几组对应值： x/cm 0 1 2 3 4 5 6 y1/cm 4.29 3.33 1.65 1.22 1.50 2.24 y2/cm 0.88 2.84 3.57 4.04 4.17 3.20 0.98 （2）在同一平面直角坐标系 xOy 中，描出补全后的表中
13、各组数据所对应的点（x，y1） ， （x，y2） ， 并画出函数 y1，y2的图象； （3） 结合函数图象， 解决问题： 连接DQ， 当DPQ为等腰三角形时， PC的长度约为 cm（结 果保留一位小数） 26 （6 分） 在平面直角坐标系 xOy 中， 直线 y4x+4 与 x 轴， y 轴分别交于点 A， B， 抛物线 yax2+bx 3a 经过点 A，将点 B 向右平移 5 个单位长度，得到点 C （1）求点 C 的坐标； （2）求抛物线的对称轴； （3）若抛物线与线段 BC 恰有一个公共点，结合函数图象，求 a 的取值范围 27 （7 分）已知ABC 为等边三角形，点 D 是线段 AB
14、上一点（不与 A、B 重合） 将线段 CD 绕点 C 逆时针旋转 60得到线段 CE连结 DE、BE （1）依题意补全图 1 并判断 AD 与 BE 的数量关系 （2）过点 A 作 AFEB 交 EB 延长线于点 F用等式表示线段 EB、DB 与 AF 之间的数量关系并 证明 28 （7 分）在平面直角坐标系 xOy 中，O 的半径为 r（r0） 给出如下定义：若平面上一点 P 到 圆心 O 的距离 d，满足r，则称点 P 为O 的“随心点” （1）当O 的半径 r2 时，A（3，0） ，B（0，4） ，C（，2） ，D（，）中，O 的“随 心点”是 ； （2）若点 E（4，3）是O 的“随心
15、点” ，求O 的半径 r 的取值范围； （3）当O 的半径 r2 时，直线 yx+b（b0）与 x 轴交于点 M，与 y 轴交于点 N，若线段 MN 上存在O 的“随心点” ，直接写出 b 的取值范围 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题（本一、选择题（本题共题共 16 分，每小题分，每小题 2 分）第分）第 1-8 题均有四个选项，符合题意的选项只有一个题均有四个选项，符合题意的选项只有一个 1 （2 分）如图是某个几何体的三视图，该几何体是（ ） A长方体 B圆锥 C圆柱 D三棱柱 【解答】解：俯视图是三角形的，因此这个几何体的上面、下面是三角形的，主视图和左视图是 长方形的，
16、且左视图的长方形的宽较窄，因此判断这个几何体是三棱柱， 故选：D 2（2 分） 为应对疫情， 许多企业跨界抗疫， 生产口罩 截至 2 月 29 日， 全国口罩日产量达到 116000000 只将 116000000 用科学记数法表示应为（ ） A116106 B11.6107 C1.16107 D1.16108 【解答】解：将 116000000 用科学记数法表示应为 1.16108 故选：D 3 （2 分）实数 a，b，c 在数轴上的对应点的位置如图所示，则正确的结论是（ ） Aab Bab0 Cac0 D|a|c| 【解答】解：根据数轴的性质可知：ab0c，且|c|b|a|； 所以 ab，
17、ab0，ac0 错误；|a|c|正确； 故选：D 4 （2 分）下列图形中，是轴对称图形但不是中心对称图形的是（ ） A B C D 【解答】解：A、是轴对称图形但不是中心对称图形，故本选项正确； B、是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项错误； C、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项错误； D、是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项错误 故选：A 5 （2 分）如果一个正多边形的一个外角为 30，那么这个正多边形的边数是（ ） A6 B11 C12 D18 【解答】解：这个正多边形的边数：3603012， 故选：C 6 （2 分）如果 a+b2，那么代数（a） 的值是（ ） A2
18、B2 C D 【解答】解：a+b2， 原式a+b2 故选：A 7 （2 分）使用家用燃气灶烧开同一壶水所需的燃气量 y（单位：m3）与旋钮的旋转角度 x（单位： 度） （0x90）近似满足函数关系 yax2+bx+c（a0） 如图记录了某种家用燃气灶烧开 同一壶水的旋钮角度 x 与燃气量 y 的三组数据，根据上述函数模型和数据，可推断出此燃气灶烧 开一壶水最节省燃气的旋钮角度约为（ ） A18 B36 C41 D58 【解答】解：由图象可得， 该函数的对称轴 x且 x54， 36x54， 故选：C 8 （2 分）为了保障艺术节表演的整体效果，某校在操场中标记了几个关键位置，如图是利用平面 直角
19、坐标系画出的关键位置分布图，若这个坐标系分别以正东、正北方向为 x 轴、y 轴的正方向， 表示点 A 的坐标为（1，1） ，表示点 B 的坐标为（3，2） ，则表示其他位置的点的坐标正确的是 （ ） AC（1，0） BD（3，1） CE（2，5） DF（5，2） 【解答】解：根据点 A 的坐标为（1，1） ，表示点 B 的坐标为（3，2） ， 可得： C（0，0） ，D（3，1） ，E（5，2） ，F（5，3） ， 故选：B 二、填空题（本题共二、填空题（本题共 16 分，每小题分，每小题 2 分）分） 9 （2 分）要使二次根式有意义，则 x 的取值范围是 x2 【解答】解：由题意得，x20
20、， 解得 x2 故答案为：x2 10 （2 分）如图所示的网格是正方形网格，点 A，B，C 均在格点上，则BAC+BCA 45 【解答】解：过点 A 作直线 BC 的垂线，垂足为 D，则 ADBD， ADB90， ABD45， BAC+BCAABD45， 故答案为：45 11 （2 分）某校准备从甲、乙、丙、丁四个科创小组中选出一组，参加区青少年科技创新大赛，表 格反映的是各组平时成绩的平均数 （单位：分）及方差 S2，如果要选出一个成绩较好且状态稳 定的组去参赛，那么应选的组是 丙 甲 乙 丙 丁 7 8 8 7 s2 1 1.2 0.9 1.8 【解答】解：因为乙组、丙组的平均数比甲组、丁
21、组大，而丙组的方差比乙组的小， 所以丙组的成绩比较稳定， 所以丙组的成绩较好且状态稳定，应选的组是丙组 故答案为：丙 12 （2 分）如图，AD 为ABC 的外接圆O 的直径，若BAD50，则ACB 40 【解答】解：连接 BD，如图， AD 为ABC 的外接圆O 的直径， ABD90， D90BAD905040， ACBD40 故答案为 40 13 （2 分） 孙子算经中有一道题： “今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之， 不足一尺，木长几何？”译文大致是： “用一根绳子去量一根木条，绳子剩余 4.5 尺；将绳子对折 再量木条，木条剩余 1 尺，问木条长多少尺？”如果设木条长
22、x 尺，绳子长 y 尺，可列方程组为 【解答】解：根据题意得：； 故答案为： 14 （2 分）设 A（x1，y1） ，B（x2，y2）是反比例函数 y图象上的两点，若 x1x20，则 y1 与 y2之间的关系是 y2y10 【解答】解：反比例函数 y中，k20， 函数图象的两个分支位于二、四象限，且在每一象限内 y 随 x 的增大而增大， x1x20， y2y10 故答案为：y2y10 15 （2 分）如图，在正方形 ABCD 中，对角线 AC，BD 相交于点 O，E 是 OB 的中点，连接 AE 并 延长交 BC 于点 F若BEF 的面积为 1，则AED 的面积为 9 【解答】解：四边形 A
23、BCD 是正方形， OBOD，ADBC， BEFDEA， ， E 是 OB 的中点， ， ， ， BEF 的面积为 1， AEB 的面积为 3， ， ， AED 的面积为 9， 故答案为：9 16 （2 分）完全相同的 3 个小球上面分别标有数2、1、1，将其放入一个不透明的盒子中后摇 匀，再从中随机摸球两次（第一次摸出球后放回摇匀） ，两次摸到的球上数之和是负数的概率是 【解答】解：画树状图如下： 由树状图可知共有 9 种等可能结果，其中两次摸到的球上数之和是负数的有 6 种结果， 所以两次摸到的球上数之和是负数的概率为， 故答案为： 三、解答题（本题共三、解答题（本题共 68 分，第分，第
24、 17-21 题，每小题题，每小题 5 分，第分，第 22-24 题，每小题题，每小题 5 分，第分，第 25 题题 5 分，分， 第第 26 题题 6 分，第分，第 27-28 题，每小题题，每小题 5 分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程 17 （5 分）下面是小明设计的“过直线外一点作已知直线的平行线”的尺规作图过程 已知：如图 1，直线 l 及直线 l 外一点 P 求作：直线 PQ，使 PQl 作法：如图 2， 在直线 l 上取一点 O，以点 O 为圆心，OP 长为半径画半圆，交直线 l 于 A、B 两点； 连接 PA，以 B 为圆心，A
25、P 长为半径画弧，交半圆于点 Q； 作直线 PQ； 所有直线 PQ 就是所求作的直线 根据小明设计的尺规作图过程 （1）使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹） （2）完成下面的证明： 证明：连接 PB、QB PAQB， PBAQPB（ 等弧所对圆周角相等 ） （填推理的依据） PQl（ 内错角相等，两直线平行 ） （填推理的依据） 【解答】解： （1）如图所示： （2）证明：连接 PB、QB PAQB， PBAQPB（等弧所对圆周角相等） PQl（内错角相等，两直线平行） 故答案为：，等弧所对圆周角相等，内错角相等，两直线平行 18 （5 分）计算： 【解答】解：原式 19 （5 分）解不等
26、式组： 【解答】解： 解不等式，得 x2， 解不等式，得 x， 原不等式组的解集为5x2 20 （5 分）若关于 x 的一元二次方程 x23x+a20 有实数根 （1）求 a 的取值范围； （2）当 a 为符合条件的最大整数，求此时方程的解 【解答】解： （1）关于 x 的一元二次方程 x23x+a20 有实数根， 0，即（3）24（a2）0，解得 a； （2）由（1）可知 a， a 的最大整数值为 4， 此时方程为 x23x+20， 解得 x1 或 x2 21 （5 分）如图，在四边形 ABCD 中，ABDC，ABAD，对角线 AC，BD 交于点 O，AC 平分 BAD，过点 C 作 CEA
27、B 交 AB 的延长线于点 E，连接 OE （1）求证：四边形 ABCD 是菱形； （2）若 AB，BD2，求 OE 的长 【解答】解： （1）ABCD， OABDCA， AC 为DAB 的平分线， OABDAC， DCADAC， CDADAB， ABCD， 四边形 ABCD 是平行四边形， ADAB， ABCD 是菱形； （2）四边形 ABCD 是菱形， OAOC，BDAC，CEAB， OEOAOC， BD2， OBBD1， 在 RtAOB 中，AB，OB1， OA2， OEOA2 22 （6 分）为了调查学生对垃圾分类及投放知识的了解情况，从甲、乙两校各随机抽取 40 名学生 进行了相关知
28、识测试，获得了他们的成绩（百分制） ，并对数据（成绩）进行了整理、描述和分 析下面给出了部分信息 a甲、乙两校 40 名学生成绩的频数分布统计表如下： 成绩 x 学校 50x60 60x70 70x80 80x90 90x100 甲 4 11 13 10 2 乙 6 3 15 14 2 （说明：成绩 80 分及以上为优秀，7079 分为良好，6069 分为合格，60 分以下为不合格） b甲校成绩在 70x80 这一组的是：70 70 70 71 72 73 73 73 74 75 76 77 78 c甲、乙两校成绩的平均分、中位数、众数如下： 学校 平均分 中位数 众数 甲 74.2 n 85
29、 乙 73.5 76 84 根据以上信息，回答下列问题： （1）写出表中 n 的值； （2）在此次测试中，某学生的成绩是 74 分，在他所属学校排在前 20 名，由表中数据可知该学 生是 甲 校的学生（填“甲”或“乙” ） ，理由是 甲这名学生的成绩为 74 分，大于甲校样本 数据的中位数 72.5 分，小于乙校样本数据的中位数 76 分， ； （3）假设乙校 800 名学生都参加此次测试，估计成绩优秀的学生人数 【解答】解： （1）这组数据的中位数是第 20、21 个数据的平均数， 所以中位数 n72.5； （2）甲这名学生的成绩为 74 分，大于甲校样本数据的中位数 72.5 分，小于乙校
30、样本数据的中位 数 76 分， 所以该学生在甲校排在前 20 名，在乙校排在后 20 名，而这名学生在所属学校排在前 20 名，说 明这名学生是甲校的学生 故答案为：甲，甲这名学生的成绩为 74 分，大于甲校样本数据的中位数 72.5 分，小于乙校样本 数据的中位数 76 分 （3）在样本中，乙校成绩优秀的学生人数为 14+216 假设乙校 800 名学生都参加此次测试，估计成绩优秀的学生人数为 23 （6 分）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，直线 yx+2 与函数 y（k0）的图象交于 A，B 两点，且点 A 的坐标为（1，a） （1）求 k 的值； （2）已知点 P（m，0） ，过点
31、P 作平行于 y 轴的直线，交直线 yx+2 于点 C，交函数 y（k 0）的图象于点 D 当 m2 时，求线段 CD 的长； 若 PCPD，结合函数的图象，直接写出 m 的取值范围 【解答】解： （1）点 A（1，a）在直线 yx+2 上， a1+23， 点 A 的坐标为（1，3） ，代入函数 y中，得 k133 （2）当 m2 时，P（2，0） 直线 yx+2，反比例函数的解析式为 y C（2，4） ，D（2，） ， CD4 如图， 解得或， B（3，1） ， 由图象可得：当 m3，或 m1 时，PCPD 24 （6 分）如图，在 RtACB 中，C90，AC3，BC4，O 是 BC 的中
32、点，到点 O 的距离 等于BC 的所有点组成的图形记为 G，图形 G 与 AB 交于点 D （1）补全图形并求线段 AD 的长； （2）点 E 是线段 AC 上的一点，当点 E 在什么位置时，直线 ED 与图形 G 有且只有一个交点？ 请说明理由 【解答】 解： （1） 如图所示， 在 RtACB 中，AC3cm， BC4cm， ACB90，AB5cm； 连接 CD，BC 为直径， ADCBDC90； AA，ADCACB， RtADCRtACB； ， AD； （2）当点 E 是 AC 的中点时，ED 与O 相切； 证明：连接 OD， DE 是 RtADC 的中线； EDEC， EDCECD；
33、OCOD， ODCOCD； EDOEDC+ODCECD+OCDACB90； EDOD， ED 与O 相切 25 （5 分）如图，C 是上的一定点，D 是弦 AB 上的一定点，P 是弦 CB 上的一动点，连接 DP， 将线段 PD 绕点 P 顺时针旋转 90得到线段 PD，射线 PD与交于点 Q已知 BC6cm， 设 P，C 两点间的距离为 xcm，P，D 两点间的距离为 y1cm，P，Q 两点间的距离为 y2cm 小石根据学习函数的经验，分别对函数 y1，y2随自变量 x 的变化而变化的规律进行了探究，下面 是小石的探究过程，请补充完整： （1）按照下表中自变量 x 的值进行取点、画图、测量，
34、分别得到了 y1，y2与 x 的几组对应值： x/cm 0 1 2 3 4 5 6 y1/cm 4.29 3.33 1.65 1.22 1.50 2.24 y2/cm 0.88 2.84 3.57 4.04 4.17 3.20 0.98 （2）在同一平面直角坐标系 xOy 中，描出补全后的表中各组数据所对应的点（x，y1） ， （x，y2） ， 并画出函数 y1，y2的图象； （3）结合函数图象，解决问题：连接 DQ，当DPQ 为等腰三角形时，PC 的长度约为 1.3 或 5.7 cm （结果保留一位小数） 【解答】解： （1）观察图象发现规律可知： 表格数据为：2.44； （2）如图所示：
35、即为两个函数 y1，y2的图象； （3）观察图象可知： 两个图象的交点的横坐标即为DPQ 为等腰三角形时，PC 的长度， 两个交点的横坐标为 1.3 和 5.7 故答案为：1.3 或 5.7 26 （6 分） 在平面直角坐标系 xOy 中， 直线 y4x+4 与 x 轴， y 轴分别交于点 A， B， 抛物线 yax2+bx 3a 经过点 A，将点 B 向右平移 5 个单位长度，得到点 C （1）求点 C 的坐标； （2）求抛物线的对称轴； （3）若抛物线与线段 BC 恰有一个公共点，结合函数图象，求 a 的取值范围 【解答】解： （1）与 y 轴交点：令 x0 代入直线 y4x+4 得 y4
36、， B（0，4） ， 点 B 向右平移 5 个单位长度，得到点 C， C（5，4） ； （2）与 x 轴交点：令 y0 代入直线 y4x+4 得 x1， A（1，0） ， 点 B 向右平移 5 个单位长度，得到点 C， 将点 A（1，0）代入抛物线 yax2+bx3a 中得 0ab3a，即 b2a， 抛物线的对称轴 x1； （3）抛物线 yax2+bx3a 经过点 A（1，0）且对称轴 x1， 由抛物线的对称性可知抛物线也一定过 A 的对称点（3，0） ， a0 时，如图 1， 将 x0 代入抛物线得 y3a， 抛物线与线段 BC 恰有一个公共点， 3a4， a， 将 x5 代入抛物线得 y1
37、2a， 12a4， a， a； a0 时，如图 2， 将 x0 代入抛物线得 y3a， 抛物线与线段 BC 恰有一个公共点， 3a4， a； 当抛物线的顶点在线段 BC 上时，则顶点为（1，4） ，如图 3， 将点（1，4）代入抛物线得 4a2a3a， 解得 a1 综上所述，a或 a或 a1 27 （7 分）已知ABC 为等边三角形，点 D 是线段 AB 上一点（不与 A、B 重合） 将线段 CD 绕点 C 逆时针旋转 60得到线段 CE连结 DE、BE （1）依题意补全图 1 并判断 AD 与 BE 的数量关系 （2）过点 A 作 AFEB 交 EB 延长线于点 F用等式表示线段 EB、DB
38、 与 AF 之间的数量关系并 证明 【解答】解： （1）补全图形如图 1 所示，ADBE，理由如下： ABC 是等边三角形， ABBCAC，AB60， 由旋转的性质得：ACBDCE60，CDCE， ACDBCE， 在ACD 和BCE 中， ACDBCE（SAS） ， ADBE； （2）EB+DBAF；理由如下： 由（1）得：ACDBCE， ADBE，CBECAD60， ABF180ABCCBE60， AFEB， AFB90， 在 RtABF 中，sin60， ABAFAF， AD+DBAB， EB+DBAB， EB+DBAF 28 （7 分）在平面直角坐标系 xOy 中，O 的半径为 r（r0
39、） 给出如下定义：若平面上一点 P 到 圆心 O 的距离 d，满足r，则称点 P 为O 的“随心点” （1）当O 的半径 r2 时，A（3，0） ，B（0，4） ，C（，2） ，D（，）中，O 的“随 心点”是 A，C ； （2）若点 E（4，3）是O 的“随心点” ，求O 的半径 r 的取值范围； （3）当O 的半径 r2 时，直线 yx+b（b0）与 x 轴交于点 M，与 y 轴交于点 N，若线段 MN 上存在O 的“随心点” ，直接写出 b 的取值范围 【解答】解： （1）O 的半径 r2， 3，1， 1d3， A（3，0） ， OA3，在范围内 点 A 是O 的“随心点” ， B（0，
40、4） ， OB4，而 43，不在范围内， B 是不是O 的“随心点” ， C（，2） ， OC，在范围内， 点 C 是O 的“随心点” ， D（， ） ， OD1，不在范围内， 点 D 不是O 的“随心点” ， 故答案为：A，C （2）点 E（4，3）是O 的“随心点” OE5，即 d5 若， r10， 若 5， ， ； （3）如图 abcd，O 的半径 r2，随心点范围 ， 1d3， 直线 MN 的解析式为 yx+b， OMON， 点 N 在 y 轴正半轴时， 当点 M 是O 的“随心点” ，此时，点 M（1，0） ， 将 M（1，0）代入直线 MN 的解析式 yx+b 中，解得，b1， 即：b 的最小值为 1， 过点 O 作 OGMN于 G， 当点 G 是O 的“随心点”时，此时 OG3， 在 RtONG 中，ONG45， GO3 在 RtGNN中，NN， b 的最大值为 3， 1b3， 当点 N 在 y 轴负半轴时，同的方法得出3b1 综上所述，b 的取值范围是：1b3或3b1
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