1、 1 【典例分析】 例 1 如图，在平面直角坐标系中，直线 AB 和抛物线交于点 A（-4，0） ，B（0，4） ，且点 B 是抛物线的顶 点 （1）求直线 AB 和抛物线的解析式 （2）点 P 是直线上方抛物线上的一点，求当PAB 面积最大时点 P 的坐标 （3）M 是直线 AB 上一动点，在平面直角坐标系内是否存在点 N，使以 O、B、M、N 为顶点的四边形是 菱形？若存在，请求出点 N 的坐标；若不存在，请说明理由 例 2 如图，抛物线的图象经过点 A（2，0） ，点 B（4，0） ，点 D（2，4） ，与 y 轴交于点 C，作直线 BC，连接 AC，CD 来源:Z。xx。k.Com （
2、1）求抛物线的函数表达式； （2）E 是抛物线上的点，求满足ECD=ACO 的点 E 的坐标； （3）点 M 在 y 轴上且位于点 C 上方，点 N 在直线 BC 上，点 P 为第一象限内抛物线上一点，若以点 C， M，N，P 为顶点的四边形是菱形，求菱形的边长 例 3 如图，已知点 A (2，4) 和点 B (1，0)都在抛物线 2 ymx2mx n上. 2 （1）求 m、n； （2）向右平移上述抛物线，记平移后点 A 的对应点为 A，点 B 的对应点为 B，若四边形 A ABB 为菱形， 求平移后抛物线的表达式； （3）记平移后抛物线的对称轴与直线 AB 的交点为 C，试在 x 轴上找一个
3、点 D，使得以点 B、C、D 为顶 点的三角形与ABC 相似. 例 4 如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与 轴交于 O 点、A 点，B 为抛物线上一点， C 为 y 轴上一点，连接 BC，且 BC/OA，已知点 O（0，0） ，A（6，0） ，B（3，m） ，AB=. （1）求 B 点坐标及抛物线的解析式.， （2）M 是 CB 上一点，过点 M 作 y 轴的平行线交抛物线于点 E，求 DE 的最大值； （3）坐标平面内是否存在一点 F，使得以 C、B、D、F 为顶点的四边形是菱形？若存在，求出符合条件的 点 F 坐标；若不存在，请说明理由. 例 5 如图，抛物线 y= x2+bx+c 与
4、 x 轴交于 A、B 两点，与 y 轴交于点 C，其对称轴交抛物线于点 D，交 x 轴于点 E，已知 OB=OC=6 （1）求抛物线的解析式及点 D 的坐标； （2）连接 BD，F 为抛物线上一动点，当FAB=EDB 时，求点 F 的坐标； （3）平行于 x 轴的直线交抛物线于 M、N 两点，以线段 MN 为对角线作菱形 MPNQ，当点 P 在 x 轴上，且 PQ= MN 时，求菱形对角线 MN 的长 3 例 6 如图(1)， 已知菱形的边长为， 点在 轴负半轴上， 点 在坐标原点， 点的坐标为 （， ） ，抛物线顶点在边上，并经过边的中点 （1）求这条抛物线的函数解析式； （2）点关于直线的
5、对称点是，求点到点的最短距离； （3）如图（2）将菱形以每秒 个单位长度的速度沿轴正方向匀速平移，过点 作于点 ， 交抛物线于点 ，连接、设菱形平移的时间为 秒（） ，问是否存在这样的 ，使与 相似？若存在，求出 的值；若不存在，请说明理由 【变式训练】 1 如图， 在平面直角坐标系中， 点 A （， 0） 是 轴上一点， 以 OA 为对角线作菱形 OBAC， 使得60 ， 现将抛物线沿直线 OC 平移到，则当抛物线与菱形的 AB 边有公共点时，则 m 的取 值范围是（ ） A B C D 4 2直线 1 2 2 yx与y轴交于点 A，与直线 1 2 yx 交于点 B，以 AB 为边向右作菱形
6、 ABCD，点 C 恰与 原点 O 重合，抛物线 2 yxhk的顶点在直线 1 2 yx 上移动，若抛物线与菱形的边 AB、BC 都有 公共点，则h的取值范围是（ ） A 1 2 2 h B21h C 3 1 2 h D 1 1 2 h 3如图 1，菱形 ABCD 的对角线交于点 O，AC=2BD，点 P 是 AO 上一个动点，过点 P 作 AC 的垂线交菱 形的边于 M，N 两点设 APx，OMN 的面积为 y，表示 y 与 x 的函数关系大致如图 2 所示的抛物线 （1）图 2 所示抛物线的顶点坐标为（ ， ） ； （2）菱形 ABCD 的周长为 4二次函数 2 2 3 yx的图象如图所示
7、，自原点开始依次向上作内角为 60 度、120 度的菱形（其中两个顶点 在抛物线上另两 个顶点在 y 轴上，相邻的菱形在 y 轴上有一个公共点） ，则第 2017 个菱形的周长 =_ 5如图，在平面直角坐标系中，菱形 ABCD 的三个顶点 A，B，D 均在抛物线 y=ax24ax+3（a0）上若 点 A 是抛物线的顶点，点 B 是抛物线与 y 轴的交点，则点 D 的坐标为_ 5 6如图，在平面直角坐标系中，O 是坐标原点，菱形 OABC 的顶点 A（3，4） ，C 在 x 轴的负半轴，抛物 线 y= （x2）2+k 过点 A （1）求 k 的值； （2）若把抛物线 y= （x2）2+k 沿 x
8、 轴向左平移 m 个单位长度，使得平移后的抛物线经过菱形 OABC 的顶点 C试判断点 B 是否落在平移后的抛物线上，并说明理由 7如图,已知点 A (-2,4) 和点 B (1,0)都在抛物线 y=mx2+2mx+n 上 （1）求 m、n 值； （2） 向右平移上述抛物线,记平移后点 A 的对应点为 A,点 B 的对应点为 B,若四边形AA B B 为菱形,求平移 后抛物线的表达式； （3）试求出菱形AA B B 的对称中心点 M 的坐标 8如图 1，抛物线 2 21yaxax，其中(0)a ，点 A（-2，m）在该抛物线上，过点 A 作直线 lx B A O 1 1 x y 6 轴，与抛物
9、线交于另一点 B，与 y 轴交于点 C. （1）求 m 的值. （2）当 a=2 时，求点 B 的坐标. （3）如图 2，以 OB 为对角线作菱形 OPBQ，顶点 P 在直线 l 上，顶点 Q 在 x 轴上. 若 PB=2AP，求 a 的值. 菱形 OPBQ 的面积的最小值是 . 9如图，抛物线 C1：y= 4 9 （x+3）2与 x，y 轴分别相交于点 A，B，将抛物线 C1沿对称轴向上平移，记 平移后的抛物线为 C2，抛物线 C2的顶点是 D，与 y 轴交于点 C，射线 DC 与 x 轴相交于点 E， （1）求 A，B 点的坐标； （2）当 CE：CD=1：2 时，求此时抛物线 C2的顶点
10、坐标； （3）若四边形 ABCD 是菱形 此时抛物线 C2的解析式； 点 F 在抛物线 C2的对称轴上，且点 F 在第三象限，点 M 在抛物线 C2上，点 P 是坐标平面内一点，是否 存在以 A，F，P，M 为顶点的四边形与菱形 ABCD 相似，并且这个菱形以 A 为顶点的角是钝角，若存在求 出点 F 的坐标，若不存在请说明理由 7 10如图，抛物线4 2 1 2 xxy与坐标轴相交于A、B、C三点，P是线段AB上一动点（端点除外） ， 过P作ACPD/，交BC于点D，连接CP （1）直接写出A、B、C的坐标； （2）求抛物线4 2 1 2 xxy的对称轴和顶点坐标； （3）求PCD面积的最大
11、值，并判断当PCD的面积取最大值时，以PA、PD为邻边的平行四边形是否 为菱形 11如图，在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 y=ax2+bx+c（a0）与 x 轴交于点 O、M对称轴为直线 x=2， 以 OM 为直径作圆 A，以 OM 的长为边长作菱形 ABCD，且点 B、C 在第四象限，点 C 在抛物线对称轴上， 点 D 在 y 轴负半轴上； （1）求证：4a+b=0； （2）若圆 A 与线段 AB 的交点为 E，试判断直线 DE 与圆 A 的位置关系，并说明你的理由； （3）若抛物线顶点 P 在菱形 ABCD 的内部且OPM 为锐角时，求 a 的取值范围 8 12如图，在平面直角坐标系
12、 xOy 中，已知抛物线 y=x2+bx+c 经过 A（0，3） ，B（1，0）两点，顶点为 M （1）求 b、c 的值； 来源:ZXXK （2）若只沿 y 轴上下平移该抛物线后与 y 轴的交点为 A1，顶点为 M1，且四边形 AMM1A1是菱形，写出平 移后抛物线的表达式 13如图，已知抛物线 2 yxbxc与 x 轴交于点 A，B，AB=2，与 y 轴交于点 C，对称轴为直线 x=2 （1）求抛物线的函数表达式； （2）设 P 为对称轴上一动点，求APC 周长的最小值； （3）设 D 为抛物线上一点，E 为对称轴上一点，若以点 A，B，D，E 为顶点的四边形是菱形，则点 D 的 坐标为 来
13、源:Z_xx_k.Com来源:+网 Z+X+X+K 14如图，的顶点坐标分别为 ，把沿直线翻折，点 的对应点为 ， 抛物线经过点 ，顶点 在直线上 证明四边形是菱形，并求点 的坐标； 求抛物线的对称轴和函数表达式； 9 在抛物线上是否存在点 ，使得与的面积相等？若存在，直接写出点 的坐标；若不存在， 请说明理由 15如图 1，已知菱形 ABCD 的边长为2 3，点 A 在 x 轴负半轴上，点 B 在坐标原点点 D 的坐标为（- 3，3） ，抛物线 y=ax 2+b（a0）经过 AB、CD 两边的中点 （1）求这条抛物线的函数解析式； （2）将菱形 ABCD 以每秒 1 个单位长度的速度沿 x
14、轴正方向匀速平移（如图 2） ，过点 B 作 BECD 于点 E，交抛物线于点 F，连接 DF、AF设菱形 ABCD 平移的时间为 t 秒（0t 3 ） 是否存在这样的 t，使ADF 与DEF 相似？若存在，求出 t 的值；若不存在，请说明理由； 连接 FC，以点 F 为旋转中心，将FEC 按顺时针方向旋转 180 ，得FEC，当FEC落在 x 轴与抛物线 在 x 轴上方的部分围成的图形中（包括边界）时，求 t 的取值范围 （写出答案即可） 16如图，已知抛物线 y=ax2+bx4 与 x 轴交于 A（2，0） ，B（8，0）两点，与 y 轴交于点 C，连接 BC， 以 BC 为一边，作菱形
15、BDEC，使其对角线在坐标轴上，点 P 是 x 轴上的一个动点，设点 P 的坐标为（m， 0） ，过点 P 作 x 轴的垂线 l 交抛物线于点 Q （1）求抛物线的解析式； （2）将抛物线向上平移 n 个单位，使其顶点在菱形 BDEC 内（不含菱形的边） ，求 n 的取值范围； （3）当点 P 在线段 OB 上运动时，直线 l 交 BD 于点 M试探究 m 为何值时，四边形 CQMD 是平行四边 形，并说明理由 10 17已知抛物线 m 的顶点为（1，0） ，且经过点（0，1） （1）求该抛物线对应的函数的解析式； （2）将该抛物线向下平移 m 个单位，设得到的抛物线的顶点为 A，与 x 轴的
16、两个交点为 B、C（点 B 在点 C 的左侧） ，若ABC 为等边三角形 求 m 的值； 设点 A 关于 x 轴的对称点为点 D，在抛物线上是否存在点 P，使得以点 P、C、B、D 为顶点构成的四边 形是菱形？若存在，请写出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由 18 如图 12， 已知抛物线 2 yaxc=+过点( ) 2,2- ，( ) 4,5， 过定点 () 0,2F 的直线: 2l ykx=+ 与抛物线交于A， B两点，点B在点A的右侧，过点B作x轴的垂线，垂足为C. (1)求抛物线的解析式； (2)当点B在抛物线上运动时，判断线段BF与BC的数量关系(、0)个单位， 设得到的抛物线的顶
17、点为 A， 与 x 轴的两个交点为 B、 C， 若ABC 为等边三角形 求 m 的值； 来源:Zxxk.Com 设点 A 关于 x 轴的对称点为点 D，在抛物线上是否存在点 P，使四边形 CBDP 为菱形？若存在，写出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由 20如图，已知点 A (0，4) 和点 B (3，0)都在抛物线上 （1）求 、n； （2）向右平移上述抛物线，记平移后点 A 的对应点为 D，点 B 的对应点为 C，若四边形 A BCD 为菱形， 求平移后抛物线的表达式； （3）记平移后抛物线的对称轴与直线 AC 的交点为点 E，试在 轴上找点 F，使得以点 C、E、F 为顶点的三 角形与 ABE 相似。
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