1、 1 备战备战 20192019 年中考数学压轴题之二次函数年中考数学压轴题之二次函数 专题专题 09 09 二次函数背景下的动点问题探究二次函数背景下的动点问题探究 【方法综述】【方法综述】动点是常见的综合问题中的构成要件，通过点的运动命动点是常见的综合问题中的构成要件，通过点的运动命 题者可以构造各种问题情景。动点的呈现方式从动点个数往往有单动点或双动点，从运动呈现方式分为无题者可以构造各种问题情景。动点的呈现方式从动点个数往往有单动点或双动点，从运动呈现方式分为无 速度动点和有速度动点，从动点的引起的变化分为单个动点变化和以动点驱动的图形运动。速度动点和有速度动点，从动点的引起的变化分为
2、单个动点变化和以动点驱动的图形运动。 【典例示范】【典例示范】 类型一类型一 常规单动点问题常规单动点问题 例例 1 1： （广东省深圳市）已知二次函数y=ax 2+bx+3 的图象分别与 x轴交于点A（3，0） ，C（-1，0） ，与y轴 交于点B点D为二次函数图象的顶点 （1）如图所示，求此二次函数的关系式： （2）如图所示，在x轴上取一动点P（m，0） ，且 1m3，过点P作x轴的垂线分别交二次函数图象、 线段AD，AB于点Q、F，E，求证：EF=EP； 例例 2 2： （2019 年广西）如图，抛物线y=x 2-2x-3 与 x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，其对称轴与抛物线 相交于
3、点M，与x轴相交于点N，点P是线段MN上的一个动点，连接CP，过点P作PECP交x轴于点E （1）求抛物线的顶点M的坐标； （2）当点E与原点O的重合时，求点P的坐标； （3）求动点E到抛物线对称轴的最大距离是多少？ 2 针对训练针对训练 1（山东省济南市历下区） 如图， 在平面直角坐标系中， 抛物线 = 1 2 2 + + ， 经过点(1,3)、 (0,1)， 过 点作轴的平行线交抛物线于另一点 (1)求抛物线的表达式及其顶点坐标； (2)如图，点是第一象限中上方抛物线上的一个动点，过点作 于点，作 轴于点， 交于点，在点运动的过程中，的周长是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，
4、 请说明理由； (3)如图，连接，在轴上取一点，使和相似，请求出符合要求的点坐标 2 （四川省简阳市 2019 届九年级） 如图 1，在平面直角坐标系中， 抛物线 = ( )( 4)( 0)与 x 轴相交 于 A，B 两点，点 P 是抛物线上一点，且PB = AB，PBA = 120 (1)求该抛物线的表达式； (2)设点M(m,n)为抛物线上的一个动点，当点 M 在曲线 BA 之间(含端点)移动时，求|m| + |n|的最大值及取 得最大值时点 M 的坐标 类型二类型二 双动点问题双动点问题 例例 3 3（重庆市大渡口区 2019 届九年级第二次诊断考试） 如图， 抛物线 y=-3 5 （x
5、-2） 2+n与 x 轴交于点 A （m-2， 0）和 B（2m+3，0） （点 A 在点 B 的左侧） ，与 y 轴交于点 C，连结 BC （1）求 m、n 的值； （2）如图，点 N 为抛物线上的一动点，且位于直线 BC 上方，连接 CN、BN求NBC 面积的最大值； （3）如图，点 M、P 分别为线段 BC 和线段 OB 上的动点，连接 PM、PC，是否存在这样的点 P，使PCM 为等 腰三角形，PMB 为直角三角形同时成立？若存在，求出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由 5 针对训练针对训练 1（河北省 2019 届九年级毕业生升学文化课考试模拟） 如图， 已知在平面直角坐标系中，
6、四边形是 矩形， = 4， = 3，动点从点出发，沿射线方向以每秒2个单位长度的速度运动；同时动点从 点出发，沿轴正半轴方向以每秒1个单位长度的速度运动.设点，点的运动时间为(). （1）当 = 1时，按要求回答下列问题 tan =_； 求经过， ， 三点的抛物线的解析式， 若将抛物线在轴上方的部分图象记为1， 已知直线 = 1 2 + 与1有两个不同的交点，求的取值范围； （2）连接，点，在运动过程中，记与矩形重叠部分的面积为，求与的函数解析式. 2 （重庆一中 2019 届九年级（上)期中数学试卷）在平面直角坐标系中，二次函数 yax 2+bx8 的图象与 x 轴交于 A、B 两点，与 y
7、 轴交于点 C，直线 ykx+5 3（k0）经过点 A，与抛物线交于另一点 R，已知 OC 2OA，OB3OA （1）求抛物线与直线的解析式； （2）如图 1，若点 P 是 x 轴下方抛物线上一点，过点 P 做 PHAR 于点 H，过点 P 做 PQx 轴交抛物线于点 Q，过点 P 做 PHx 轴于点 H，K 为直线 PH上一点，且 PK23PQ，点 I 为第四象限内一点，且在直 6 线 PQ 上方，连接 IP、IQ、IK，记 l13 2 PH 1 4PQ，mIP+IQ+IK，当 l 取得最大值时，求出点 P 的坐标，并 求出此时 m 的最小值 （3）如图 2，将点 A 沿直线 AR 方向平移
8、 13 个长度单位到点 M，过点 M 做 MNx 轴，交抛物线于点 N，动点 D 为 x 轴上一点，连接 MD、DN，再将MDN 沿直线 MD 翻折为MDN（点 M、N、D、N在同一平面内） ，连 接 AN、AN、NN，当ANN为等腰三角形时，请直接写出点 D 的坐标 3 （江苏省扬州市宝应县 2019 届九年级上学期期末）已知，如图 1，二次函数yax 2+2ax3a（a0）图 象的顶点为C与x轴交于A、B两点（点A在点B左侧） ，点C、B关于过点A的直线l：ykx+3对称 （1）求A、B两点坐标及直线l的解 析式； （2）求二次函数解析式； （3） 如图 2， 过点B作直线BDAC交直线l
9、于D点，M、N分别为直线AC和直线l上的两个动点， 连接CN， MM、MD，求CN+NM+MD的最小值 4 （江苏省句容市第二中学）如图，在平面直角坐标系中，二次函数 y 1 3x 2+bx+c 的图象与坐标轴交于 7 A，B，C 三点，其中点 A 的坐标为（3，0） ，点 B 的坐标为（4，0） ，连接 AC，BC动点 P 从点 A 出发， 在线段 AC 上以每秒 1 个单位长度的速度向点 C 作匀速运动；同时，动点 Q 从点 O 出发，在线段 OB 上以每 秒 1 个单位长度的速度向点 B 作匀速运动，当其中一点到达终点时，另一点随之停止运动，设运动时间为 t 秒连接 PQ （1）填空：b
10、 ，c ； （2）在点 P，Q 运动过程中，APQ 可能是直角三角形吗？请说明理由； （3）点 M 在抛物线上，且AOM 的面积与AOC 的面积相等，求出点 M 的坐标。 类型三类型三 以动点驱动的图形运动以动点驱动的图形运动 例例 4 4： （浙江省金衢十二校 2019 届九年级下学期 3 月联合模拟） 如图， 抛物线1= 4 3 2 4 3 + 2与轴 交于点， （点在点的左侧） ， 过轴上的点(0,4)， 直线2= + 3交轴， 轴于点， ， 且 = . 图（1） 图（2） （1）求出与的值. （2）抛物线的对称轴交轴于点，在轴上方的对称轴上找一点，使与相似，求出的长. （3）如图，过抛
11、物线上动点作 轴于点，交直线2= + 3于点，若点是点关于直线的 对称点，是否存在点（不与点重合） ，使点落在轴上，若存在，请直接写出点的横坐标；若不存在， 请说明理由. 针对训练针对训练 1 （湖北省鄂州市梁子湖区 2019 届九年级下学期期中）如图，抛物线 = 1 3 2 + + 经过ABC 的三个 顶点，其中点 A(0，-1)，点 B(9，-10)，ACx 轴，点 P 是直线 AC 上方抛物线上的动点 8 (1)求抛物线的解析式； (2)过点 P 且与 y 轴平行的直线 l 与直线 AB，AC 分别交于点 E，F，当四边形 AECP 的面积最大时，求点 P 的 坐标； (3)当点 P 为
12、抛物线的顶点时，在直线 AC 上是否存在点 Q，使得以 C，P，Q 为顶点的三角形与ABC 相似？ 若存在，求出点 Q 的坐标；若不存在，请说明理由 2 （广东省广州市天河区 2019 届九年级（上)期末）如图，直线 yx3 与 x 轴、y 轴分别交于点 B、点 C， 经过 B、C 两点的抛物线 yx 2+mx+n 与 x 轴的另一个交点为 A，顶点为 P (1)求 3m+n 的值； (2)在该抛物线的对称轴上是否存在点 Q，使以 C，P，Q 为顶点的三角形为等腰三角形？若存在，求出有符 合条件的点 Q 的坐标；若不存在，请说明理由 (3)将该抛物线在 x 轴上方的部分沿 x 轴向下翻折，图象的其余部分保持不变，翻折后的图象与原图象 x 轴 下方的部分组成一个“M“形状的新图象，若直线 yx+b 与该“M”形状的图象部分恰好有三个公共点，求 b 的值
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