1、 1 专题专题 5：角平分线性质的应用：角平分线性质的应用 【典例引领】【典例引领】 例： 在等腰ABC 中，B=90 ，AM 是ABC 的角平分线，过点 M 作 MNAC 于点 N，EMF=135 将 EMF 绕点 M 旋转，使EMF 的 两边交直线 AB 于点 E，交直线 AC 于点 F，请解答下列问题： （1）当EMF 绕点 M 旋转到如图的位置时，求证：BE+CF=BM； （2）当EMF 绕点 M 旋转到如图，图的位置时，请分别写出线段 BE，CF，BM 之间的数量关系，不 需要证明； （3）在（1）和（2）的条件下，tanBEM=3，AN=2+1，则 BM= ，CF= 【答案】【答案
2、】 （1）证明见解析（2）见解析（3）1，1+ 3 3 或 1 3 3 【分析】 (1)由等腰ABC中， B=90 ， AM是ABC的角平分线， 过点M作MNAC于点N， 可得BM=MN， BMN=135 ，又EMF=135 ，可证明的BMENMF，可得 BE=NF，NC=NM=BM 进而得出结论； （2）如图时，同（1）可证BMENMF，可得 BECF=BM， 如图时，同（1）可证BMENMF，可得 CFBE=BM； (3) 在 RtABM 和 RtANM 中， 可得 RtABMRtANM，后分别求出 AB、 AC、 CN 、BM、 BE 的长，结合（1） （2）的结论对图 进行讨论可得 C
3、F 的长. 【解答】 （1）证明：ABC 是等腰直角三角形， BAC=C=45 ， AM 是BAC 的平分线，MNAC， BM=MN， 在四边形 ABMN 中，BMN=360 90 90 45 =135 ， ENF=135 ， ， BME=NMF， BMENMF， BE=NF， 2 MNAC，C=45 ， CMN=C=45 ， NC=NM=BM， CN=CF+NF， BE+CF=BM； （2）针对图 2，同（1）的方法得，BMENMF， BE=NF， MNAC，C=45 ， CMN=C=45 ， NC=NM=BM， NC=NFCF， BECF=BM； 针对图 3，同（1）的方法得，BMENMF
4、， BE=NF， MNAC，C=45 ， CMN=C=45 ， NC=NM=BM， NC=CFNF， CFBE=BM； （3）在 RtABM 和 RtANM 中， 3 RtABMRtANM（HL） ， AB=AN=+1， 在 RtABC 中，AC=AB=+1， AC=AB=2+ ， CN=ACAN=2+（+1）=1， 在 RtCMN 中，CM=CN=， BM=BCCM=+1=1， 在 RtBME 中，tanBEM=， BE=， 由（1）知，如图 1，BE+CF=BM， CF=BMBE =1 由（2）知，如图 2，由 tanBEM=， 此种情况不成立； 由（2）知，如图 3，CFBE=BM， C
5、F=BM+BE=1+， 故答案为 1，1+或 1 【强化训练】【强化训练】 1（2017 辽宁省葫芦岛市）如图，MAN=60 ，AP 平分MAN，点 B 是射线 AP 上一定点，点 C 在直线 AN 上运动，连接 BC，将ABC（0 ABC120 ）的两边射线 BC 和 BA 分别绕点 B 顺时针旋转 120 ， 旋转后角的两边分别与射线 AM 交于点 D 和点 E 4 （1）如图 1，当点 C 在射线 AN 上时，请判断线段 BC 与 BD 的数量关系，直接写出结论； 请探究线段 AC，AD 和 BE 之间的数量关系，写出结论并证明； （2）如图 2，当点 C 在射线 AN 的反向延长线上时
6、，BC 交射线 AM 于点 F，若 AB=4，AC=3，请直接写 出线段 AD 和 DF 的长 【答案】【答案】（1）BC=BD；AD+AC=3BE；（2）AD=53，DF=3 3 【分分析】析】（1）结论：BC=BD只要证明BGDBHC 即可结论：AD+AC=3BE只要证明 AD+AC=2AG=2EG，再证明 EB= 3 BE 即可解决问题； （2）如图 2 中，作 BGAM 于 G，BHAN 于 H，AKCF 于 K由（1）可知，ABGABH，BGD BHC， 易知 BH， AH， BC， CH， AD 的长， 由 sinACH= ， 推出 AK 的长， 设 FG=y， 则 AF=23y，
7、 BF=4 ，由AFKBFG，可得 ，可得关于 y 的方程，求出 y 即可解决问题 【解答】（1）结论：BC=BD， 理由：如图 1 中，作 BGAM 于 G，BHAN 于 H， MAN=60 ，PA 平分MAN，BGAM 于 G，BHAN 于 H，BG=BH，GBH=CBD=120 ， CBH=GBD，BGD=BHC=90 ，BGDBHC，BD=BC； 结论：AD+AC=3BE， 5 ABE=120 ， BAE=30 ， BEA=BAE=30 ， BA=BE， BGAE， AG=GE， EG=BEcos30= 3 BE， BGDBHC， DG=CH， AB=AB， BG=BH， RtABGR
8、tABH， AG=AH， AD+AC=AG+DG+AH CH=2AG=3BE，AD+AC=3BE； （2）如图 2 中，作 BGAM 于 G，BHAN 于 H，AKCF 于 K， 由（1）可知，ABGABH，BGDBHC， 易知 BH=GB=2，AH=AG=EG=23，BC=BD= =3 ，CH=DG=33， AD=53，sinACH= ， 3 3 ，AK= 3 3 ， 设 FG=y，则 AF=23y，BF=4 ， AFK=BFG，AKF=BGF=90 ， AFKBFG， ， 3 ，解得 y= 3 或3 （舍弃）， DF=GF+DG= 3 33，即 DF=3 3 2（2017 辽宁省抚顺市，第
9、 25 题，12 分）如图，OF 是MON 的平分线，点 A 在射线 OM 上，P，Q 是 直线 ON 上的两动点，点 Q 在点 P 的右侧，且 PQ=OA，作线段 OQ 的垂直平分线，分别交直线 OF、ON 交 于点 B、点 C，连接 AB、PB （1）如图 1，当 P、Q 两点都在射线 ON 上时，请直接写出线段 AB 与 PB 的数量关系； （2）如图 2，当 P、Q 两点都在射线 ON 的反向延长线上时，线段 AB，PB 是否还存在（1）中的数量关系？ 若存在，请写出证明过程；若不存在，请说明理由； （3） 如图 3， MON=60 ， 连接 AP， 设 AP OQ =k， 当 P 和
10、 Q 两点都在射线 ON 上移动时， k 是否存在最小值？ 若存在，请直接写出 k 的最小值；若不存在，请说明理由 6 【答案】【答案】（1）AB=PB；（2）存在；（3）k=0.5 【分分析】析】试题分析：（1）结论：AB=PB连接 BQ，只要证明AOBPQB 即可解决问题； （2）存在证明方法类似（1）； （3）连接 BQ只要证明ABPOBQ，即可推出 AP OQ = AB OB ，由AOB=30 ，推出当 BAOM 时， AB OB 的值最小，最小值为 0.5，由此即可解决问题； 【解答】解：（1）连接：AB=PB理由：如图 1 中，连接 BQ BC 垂直平分 OQ，BO=BQ，BOQ=
11、BQO，OF 平分MON，AOB=BQO，OA=PQ， AOBPQB，AB=PB （2）存在，理由：如图 2 中，连接 BQ BC 垂直平分 OQ， BO=BQ， BOQ=BQO， OF 平分MON， BOQ=FON， AOF=FON= BQC，BQP=AOB，OA=PQ，AOBPQB，AB=PB （3）连接 BQ 7 易证ABOPBQ，OAB=BPQ， AB=PB，OPB+BPQ=180 ，OAB+OPB=180 ，AOP+ ABP=180 ，MON=60 ，ABP=120 ，BA=BP，BAP=BPA=30 ，BO=BQ，BOQ= BQO=30 ，ABPOBQ， AP OQ = AB OB
12、 ，AOB=30 ，当 BAOM 时， AB OB 的值最小，最小 值为 0.5，k=0.5 3如图，已知正方形 ABCD 的边长为2，连接 AC、BD 交于点 O，CE 平分ACD 交 BD 于点 E， （1）求 DE 的长； （2）过点 EF 作 EFCE，交 AB 于点 F，求 BF 的长； （3）过点 E 作 EGCE，交 CD 于点 G，求 DG 的长 【答案】【答案】（1）2-2；（2）2-2；（3）32-4. 【分析】 （1）求出 ，根据勾股定理求出 ，即可求出 ； （2）求出 ，根据全等三角形的性质得出 即可； （3）延长 交 于 ，证 ，得出比例式，代入即可求出答案. 【解答
13、】 解：（1）四边形 ABCD 是正方形， ABC=ADC=90 ， DBC=BCA=ACD=45 ， 8 CE 平分DCA， ACE=DCE=ACD=22.5 ， BCE=BCA+ACE=45 +22.5 =67.5 ， DBC=45 ， BEC=180 67.5 45 =67.5 =BCE， BE=BC=， 在 RtACD 中，由勾股定理得：BD=2， DE=BDBE=2； （2）FECE， CEF=90 ， FEB=CEFCEB=90 67.5 =22.5 =DCE， FBE=CDE=45 ，BE=BC=CD， FEBECD， BF=DE=2； （3）延长 GE 交 AB 于 F， 由（
14、2）知：DE=BF=2， 由（1）知：BE=BC=， 四边形 ABCD 是正方形， ABDC， DGEBFE， =， 9 =， 解得：DG=34 4已知AOB90 ，在AOB 的平分线 OM 上有一点 C，将一个三角板的直角顶点与 C 重合，它的两条 直角边分别与 OA，OB(或它们的反向延长线)相交于点 D，E. 当三角板绕点 C 旋转到 CD 与 OA 垂直时(如图)，易证：ODOE2OC； 当三角板绕点 C 旋转到 CD 与 OA 不垂直时，即在图，图这两种情况下，上述结论是否仍然成立？若 成立， 请给予证明： 若不成立， 线段 OD， OE， OC 之间又有怎样的数量关系？请写出你的猜
15、想， 不需证明 【答案】【答案】图中 ODOE2OC 成立证明见解析;图不成立，有数量关系：OEOD2OC 【分分析】析】 当三角板绕点 C 旋转到 CD 与 OA 不垂直时， 易得CKDCHE， 进而可得出证明； 判断出结果 解 此题的关键是根据题意找到全等三角形或等价关系， 进而得出 OC 与 OD、 OE 的关系； 最后转化得到结论 【解答】图中 ODOE2OC 成立 证明：过点 C 分别作 OA，OB 的垂线，垂足分别为 P，Q . 有CPDCQE， DPEQ， OPODDP，OQOEEQ， 又OPOQ2OC， 即 ODDPOEEQ2OC， ODOE2OC. 图不成立， 有数量关系：OEOD2OC 10 过点 C 分别作 CKOA， CHOB， OC 为AOB 的角平分线，且 CKOA，CHOB， CK=CH，CKD=CHE=90 ， 又KCD 与HCE 都为旋转角， KCD=HCE， CKDCHE， DK=EH， OE-OD=OH+EH-OD=OH+DK-OD=OH+OK， 由（1）知：OH+OK=2OC， OD，OE，OC 满足 OE-OD=2OC
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