1、 1 专题专题 07 动点折叠类问题中图形存在性动点折叠类问题中图形存在性及落点及落点“有迹性有迹性”问题问题 一、基础知识点综述一、基础知识点综述 动点型问题是指题设中的图形中存在一个或多个动点，它们在线段、射线、直线、抛物线、双曲线、弧线等上运 动的一类非常具有开放性的题目. 而从其中延伸出的折叠问题， 更能体现其解题核心动中求静， 灵活运用相关数学 知识进行解答，有时需要借助或构造一些数学模型来解答. 实行新课标以来，各省（市）的中考数学试卷都会有此类题目，这些题目往往出现在选择、填空题的压轴部分， 题型繁多，题意新颖，具有创新力. 其主要考查的是学生的分析问题及解决问题的能力. 要求学
2、生具备：运动观点；方程思想；数形结合思想；分类讨论思想；转化思想等等. 存在性问题存在性问题 主要有等腰三角形存在性、直角三角形存在性、特殊落点存在性等问题，常用的数学解题模型有“一线三直角”等 模型，作图方法是借助圆规化动为静找落点. 解题思路：分析题目解题思路：分析题目依据落点定折痕依据落点定折痕建立模型建立模型设出未知数列方程求解设出未知数列方程求解得到结论得到结论. 落点落点“有迹性有迹性”问题问题 该类问题是题目中给了旋转或翻折条件，落点落在某该类问题是题目中给了旋转或翻折条件，落点落在某条直线、射线、弧线或图形的边上，求未知线段的长度条直线、射线、弧线或图形的边上，求未知线段的长度
3、. 解题思路：借助圆规，以不动线段为切入点，作出图形，进而利用等腰三角形性质、勾股定理、三角函数、相似解题思路：借助圆规，以不动线段为切入点，作出图形，进而利用等腰三角形性质、勾股定理、三角函数、相似 三角形等知识求解三角形等知识求解. 我们选取部分真题及模考题，逐一分析此类题目的解题思路与方法，希望能带给各位老师及同学一些帮助. 二二、精品例题解析、精品例题解析 题型一：题型一：折叠问题中等腰三角形存在性问题折叠问题中等腰三角形存在性问题 例例 1.（2019金水区校级模拟金水区校级模拟）如图，AOB=90 ，点 P 为AOB 内部一点，作射线 OP，点 M 在射线 OB 上，且 OM= 3
4、，点 M 与点 M关于射线 OP 对称，且直线 MM与射线 OA 交于点 N，当ONM为等 腰三角形时，ON 的长为 . 【分析】分三种情况讨论： 2 当 M落在线段 ON 的垂直平分线上时，即 MN=MO， 设ONM=x ，通过三角形外角定理及三角形内角和定理求得 x=30 ，进而利用三角函数求得 ON 的长； 当 MN=ON 时，作出图形，得到ONM度数，利用三角函数求解； 当 MO=ON=OM=3，此时 M、M、N 点不在一条直线上，与题意不符，此种情况不存在. 【答案】1 或 3. 【解析】解：由ONM为等腰三角形，分以下三种情况讨论： 当 M落在线段 ON 的垂直平分线上时，即 MN
5、=MO，如图所示， OB M A N P M H 设ONM=x ，则OMM=OMM =2x , AOB=90 ， x+2x=90，解得：x=30， 在 RtNOM 中，ON= =3 tan30 OM ； 当 MN=ON 时，如下图所示， O BM A N P M H 由知：NOM=30， 过 M作 MHOA 于 H， HM= 13 OM= 22 , 在 RtHNM中，NM= =1 cos30 HM ， 即 ON=1； 3 当 MO=ON=OM=3， O BM A N P M 此时 M、M、N 点不在一条直线上，与题意不符，此种情况不存在. 故答案为：1 或 3. 例例 2.（2019 春包河区
6、校级月考）春包河区校级月考）如图所示，ABC 中，ACB=90 ，ACBC，将ABC 沿 EF 折叠，使 点 A 落在直角边 BC 上的 D 点，设 EF 与 AB、AC 分别交于点 E、点 F，如果折叠后CDF 与BDE 均为 等腰三角形，则B= . 【分析】由题意知，CDF 是等腰三角形，则 CD=CF， BDE 是等腰三角形时，分三种情况讨论： 当 DE=BD 时，设B=x ，通过翻折性质及三角形内角和定理求得 x=45； 当 BD=BE 时，作出图形，设B=x ，通过翻折性质及三角形内角和定理求得 x=30； 当 BE=DE 时，得FDB=90 ，FDB+CDF=135180，此时 C
7、、D、B 点不在一条直线上，与题 意不符，此种情况不存在. 【答案】45 或 30 . 【解析】解： 由题意知，CDF 是等腰三角形，则 CD=CF，CDF=CFD=45 ， FDB=135 ， BDE 是等腰三角形时，分以下三种情况讨论： 当 DE=BD 时，见下图 4 C A B E D F 设B=x ， 则DEB=x，EDB=180 2x， 由折叠知：A=FDE=90 x， 1802x+90x =135，解得：x=45， 即B=45 ； 当 BD=BE 时，如下图所示， C A EB D F 设B=x ， 则EDB= 180 2 x ， 由折叠知：A=FDE=90 x， 180 2 x
8、+90x =135，解得：x=30， 即B=30 ； 当 BE=DE 时，得B=EDB， FDB=FDE+EDB=A+B=90 ，FDB+CDF=135180，此时 C、D、B 点不在一条直线 上，与题意不符，此种情况不存在. 故答案为：45 或 30 . 例例 3 （ （2019河南）河南）如图，在矩形 ABCD 中，AB=1，BC=a，点 E 在边 BC 上，且 BE= 3 5 a. 连接 AE， 将ABE 沿 AE 折叠，若点 B 的对应点 B落在矩形 ABCD 的边上，则 a 的值为 5 【分析】由题意知，B 的落点 B只能落在矩形 ABCD 的边 AD 或 CD 上，因此要分两种情况
9、讨论；先确 定落点 B位置，再确定折痕，借助图形利用全等三角形及相似三角形（一线三直角模型）来达到解决问题 的目的. 【答案】45 或 30 . 【解析】解： （1）当点 B落在边 AD 上时，如下图所示， A B C D B E 由题意知： 四边形 ABEB为正方形，BE=AB=1， 即 3 =1 5 a， a= 5 3 ； （2）当点 B落在边 CD 上时，如下图所示， A B C D E B 由题意知： ADBECB， = ABDBAD B ECEB C , 6 即： 1 = 32 55 DBa B C aa ， 解得：DB= 2 3 ，BC= 1 3 , a= 5 3 故答案为： 5
10、3 或 5 3 . 例例 4 （ （2019卧龙区二模）卧龙区二模）如图，在矩形 ABCD 中，AB=5，BC=3，点 E 为射线 BC 上一动点，将ABE 沿 AE 折叠，得到ABE. 点 B恰好落在射线 CD 上，则 BE 的长为 . 【分析】首先作出射线 CD，以 A 为圆心以 AB 为半径画弧，弧与射线 CD 的交点即为 B的位置，再 作出BAB的平分线，即为折痕；然后根据勾股定理等知识求解. D AB C BB 【答案】 5 3 或 15. 【解析】解： （1）当 B落在线段 CD 上时，如下图所示， D AB C B E 由折叠知：AB=AB=5，AD=3， 7 在 Rt ADB中
11、，由勾股定理得：DB=4， BC=1， 设 BE=x，则 CE=3x， 在 Rt BCE 中，由勾股定理得： 2 2 31xx， 解得：x= 5 3 ，即 BE= 5 3 ； （2）当 B落在线段 CD 延长线时，如下图所示， D AB C B E 由折叠知：AB=5，AD=3，由勾股定理得：BD=4， BC=9， 设 BE=x，则 BE=x，EC=x3， 在 Rt BEC 中，由勾股定理得： 2 22 39xx， 解得：x=15，即 BE=15； 故答案为： 5 3 或 15. 例例 5. 如图，在等边 ABC 中，AB=2 32，点 D 在边 AB 上，且 AD=2，点 E 是 BC 边上
12、一动点，将 B 沿 DE 折叠，当点 B 的对应点 B落在 ABC 的边上时，BE 的长为 . 8 【分析】首先根据题意确定出落点 B的位置，再确定折痕，求得 BE.确定落点的方法，以 D 为圆心， 以 DB 长为半径画弧，与 ABC 的边的交点即为 B位置，如下图所示. A B C D B B 【答案】 3或 6-23. 【解析】解： （1）当点 B在 BC 边上时，如下图所示， A B C D B E 由题意知：BD=DB=2 3，B=60 ， BDB是等边三角形，DEBB， BE= 1 2 BD=3； （2）当点 B在 AC 边上时，如下图所示， A B C D E B F 过 D 作
13、DFAC 于 F， A=60 ，AD=2， DF= 3, 9 又 DB=DB=23=2DF， DBF=30 ， EBC=30 ， 则 EC= 2 3 3 EB， BE+EC=23+2， 即 BE+ 2 3 3 BE=23+2， 解得：BE=6-23； 故答案为：3或 6-23. 例例 6. 如图，在等腰直角 ABC 中，AB=BC=3，点 P 在边 AB 上，且 BP=1，点 Q 为边 AC 上的任意一 点（不与 A、C 重合） ，将 APQ 沿 PQ 折叠，当点 A 的对应点 A落在 ABC 的边上时，AQ 的长为 【分析】首先根据题意确定出落点 A的位置，再确定折痕 PQ 的位置，利用勾股
14、定理、三角函数等求 得 AQ. 确定落点的方法，以 P 为圆心，以 AP 长为半径画弧，与 ABC 的边的交点即为 A位置，如下图所 示. P BC A A 10 【答案】 2或3 26 . 【解析】解： （1）当点 A落在边 AC 上时，如下图所示， A P BC A Q AB=BC=3，B=90 ，BP=1 A=C=45 ，AP=2 由折叠知：APQ=QPA=45 ， AQ=PQ= 2 2 2 AP ; （2）当点 A落在边 BC 上时，如下图所示， P BC A Q H 由题意知：BP=1，AP=AP=2， PAB=30 ， BPA=APQ=QPA=60， 过 Q 作 QHAP 于 H，
15、 设 AH=QH=x，则 PH= 3 3 x， x+ 3 3 x=2，解得：x=33， AQ= 23 26x ; 故答案为： 2或3 26 . 11 例例 7 （ （2018红旗区校级一模）红旗区校级一模）如图，在 Rt ABC 中，ABC=90 ，AB=5，BC=8，点 P 是射线 BC 上 一动点，连接 AP，将 ABP 沿 AP 折叠，当点 B 的对应点 B落在线段 BC 的垂直平分线上时，则 BP 的长 等于 【分析】线段 BC 的垂直平分线为一条直线，此题应先确定 B位置，再确定折痕，求解. 确定落点的方 法：作出线段 BC 的垂直平分线 MN，以 A 为圆心，以 AB 为半径画弧，
16、弧与直线 MN 的交点即为点 B的位 置.如下图所示， A B C B B M N 【答案】 5 2 或 10. 【解析】解：由图可知点 B落点有两个位置符合要求， （1）点 B落在靠下位置时，如下图所示， A B C B P H G 过 A 作 AHMN 于 H，设 MN 与 BC 交于点 G， 易知： AH=BG=4，AB=AB=5， 由勾股定理得：BH=3， GH=AB=5，BG=2 12 设 BP=x，则 BP=x，PG=4x， 在 Rt PBG 中，由勾股定理得： 2 22 24xx， 解得： 5 = 2 x，即 BP= 5 2 ; （2）点 B落在靠上位置时，如下图所示， A B
17、C B M N P H G 过 A 作 AHMN 于 H， AB=AB=5，AH=4，GH=5, BH=3，BG=8， 设 BP=x，则 BP=x，PG=x4， 在 Rt PGB中，由勾股定理得： 2 22 84xx， 解得：=10x，即 BP=10; 故答案为： 5 2 或 10. 例例 8. 矩形纸片 ABCD，AB=9，BC=6，在矩形边上有一点 P，且 DP=3，将矩形纸片折叠，使点 B 与点 P 重合，折痕所在的直线交矩形两边于点 E、F，则 EF 长为 . 【分析】矩形边上存在两个点使得 DP=3，此题有两种不同情况，即 P 在 AD 上或 CD 上. 依据题意画 出图形，借助勾股
18、定理等知识求解. 【答案】62或2 10. 【解析】 （1）当 P 点在边 CD 上时，如下图所示， 13 A B C(F) D P E 由题意知：四边形 BEPF 是正方形， 可得：EF=2BE=62； （2）当点 P 在边 AD 上时，如下图所示， A B C D P E F H 过 F 作 FHAB 于 H， 设 AE=x, 则 BE=PE=9x， 在 Rt AEP 中，由勾股定理，得： 2 22 39xx，解得：x=4， 即 AE=4，BE=PE=5， 设 FC=y，则 DF=9x， 在 Rt PDF 和 Rt BFC 中，由勾股定理得： 2 222 396xx，解得：x=3， 即 F
19、C=BH=3， EH=2，FH=6， 在 Rt EFH 中，由勾股定理得：EF=2 10， 故答案为：62或2 10. 例例 9. 在矩形 ABCD 中，AB4，BC3，点 P 在 AB 上若将 DAP 沿 DP 折叠，使点 A 落在矩形对 角线上的 A处，则 AP 的长为 【分析】矩形对角线有两条，故此题分两种情况讨论，以 D 为圆心，以 AD 长为半径画弧，弧与对角 线交点即为 A，在画出折痕求解即可. 14 【答案】 39 24 或. 【解析】解：（1）点 A 落在矩形对角线 BD 上，如下图所示， AB4，BC3， 由勾股定理得：BD5， 由折叠得：ADAD3，APAP，APAD90
20、， BA2， 设 APx，则 BP4x， BP2BA2+PA2， 即（4x）2x2+22， 解得：x 3 2 ； （2）点 A 落在矩形对角线 AC 上，如下图所示， 根据折叠的性质可知 DPAC， DAPABC， 得：AP 9 4 ADBC AB 故答案为： 39 24 或 例例 10（2019三门峡二模）三门峡二模）在矩形 ABCD 中，AB6，BC12，点 E 在边 BC 上，且 BE2CE，将 矩形沿过点 E 的直线折叠，点 C，D 的对应点分别为 C，D，折痕与边 AD 交于点 F，当点 B，C，D恰好 在同一直线上时，AF 的长为 【答案】82 3或82 3 15 【解答】解：由折
21、叠的性质得，ECDC90 ，CECE， 由题意知：BCE90 ， BC12，BE2CE， 得：BE8，CECE4， 在 Rt BCE 中，CBE30 ， （1）当点 C在 BC 的上方时， 过 E 作 EGAD 于 G，延长 EC交 AD 于 H，则四边形 ABEG 是矩形， EGAB6，AGBE8， CBE30 ，BCE90 ， BEC60 ， 由折叠的性质得，CEFCEF， CEFCEF60 ， ADBC HFECEF60 ， EFH 是等边三角形， 在 Rt EFG 中，EG6， GF23，AF8+23； 当点 C在 BC 的下方时，过 F 作 FGAD 于 G，DF 交 BE 于 H， 可得，四边形 ABGF 是矩形， EFH 是等边三角形， AFBG，FGAB6，FEH60 ， 16 在 Rt EFG 中，GE23， BE8， BG823，AF823， 故答案为：82 3或82 3
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