1、 1 中考中考压轴题全揭秘压轴题全揭秘 专题专题 15 15 规律性问题规律性问题 一、单选题一、单选题 1将全体正奇数排成一个三角形数阵 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29 根据以上排列规律，数阵中第 25 行的第 20 个数是（ ） A639 B637 C635 D633 2按一定规律排列的一列数依次为：2，3，10，15，26，35，按此规律排列下去，则这列数中的第 100 个数是（ ） A9999 B10000 C10001 D10002 3下列图形都是由同样大小的黑色正方形纸片组成，其中第个图中有 3 张黑色正方形纸片，第个图中 有 5张黑
2、色正方形纸片，第个图中有 7 张黑色正方形纸片，按此规律排列下去第个图中黑色正方形 纸片的张数为（ ） A11 B13 C15 D17 4如图，在平面直角坐标系中，将正方形 OABC 绕点 O 逆时针旋转 45 后得到正方形 OA1B1C1，依此方式， 绕点O连续旋转 2018次得到正方形OA2018B2018C2018， 如果点A的坐标为 （1， 0） ， 那么点 B2018的坐标为 （ ） 2 A （1，1） B （0，） C （） D （1，1） 5如图，已知直线 l：y=2x，分别过 x轴上的点 A1（1，0） 、A2（2，0） 、An（n，0） ，作垂直于 x轴的 直线交 l于点 B
3、1、B2、Bn，将OA1B1，四边形 A1A2B2B1、四边形 An1AnBnBn1的面积依次记为 S1、 S2、Sn，则 Sn=（） An2 B2n+1 C2n D2n1 6计算 + +的值为（ ） A B C D 7如图，小正方形是按一定规律摆放的，下面四个选项中的图片，适合填补图中空白处的是（ ） A B C D 8如图所示，下列图形都是由相同的玫瑰花按照一定的规律摆成的，按此规律摆下去， 第 n个图形中有 120 朵玫瑰花，则 n 的值为（ ） 3 A28 B29 C30 D31 9 1261年， 我国南宋数学家杨辉用图中的三角形解释二项和的乘方规律， 比欧洲的相同发现要早三百多年，
4、我们把这个三角形称为“杨辉三角”，请观察图中的数字排列规律，则 a，b，c的值分别为（ ） Aa=1，b=6，c=15 Ba=6，b=15，c=20 Ca=15，b=20，c=15 Da=20，b=15，c=6 10观察下列算式: , , , , , , , , 则的未位数字是( ) A8 B6 C4 D0 11按一定规律排列的单项式：a，a2，a3，a4，a5，a6，第 n 个单项式是（ ） Aan Ban C （1）n+1an D （1）nan 12 我们将如图所示的两种排列形式的点的个数分别称作“三角形数” （如 1， 3， 6， 10） 和“正方形数” （如 1，4，9，16） ，在小
5、于 200 的数中，设最大的“三角形数”为 m，最大的“正方形数”为 n，则 m+n 的值为（ ） 4 A33 B301 C386 D571 13在平面直角坐标系中，一个智能机器人接到如下指令：从原点 O 出发，按向右，向上，向右，向下的 方向依次不断移动，每次移动 1m其行走路线如图所示，第 1 次移动到 A1，第 2次移动到 A2，第 n 次 移动到 An则OA2A2018的面积是（ ） A504m2 Bm2 Cm2 D1009m2 14如图，是按一定规律排成的三角形数阵，按图中数阵的排列规律，第 9 行从左至右第 5 个数是（ ） A2 B C5 D 15定义一种对正整数 n的“F”运算
6、：当 n 为奇数时，F（n）=3n+1；当 n为偶数时，F（n）=（其中 k 是使 F（n）为奇数的正整数），两种运算交替重复进行，例如，取 n=24，则： 若 n=13，则第 2018次“F”运算的结果是（ ） A1 B4 C2018 D42018 16如图，正方形 ABCD的边长为 1，以对角线 AC为边作第二个正方形 ACEF，再以对角线 AE为边作第 三个正方形 AEGH，依此下去，第 n 个正方形的面积为（ ） 5 A （）n1 B2n1 C （）n D2n 二、填空题二、填空题 17观察下列一组由排列的“星阵”，按图中规律，第 n 个“星阵”中的的个数是_ 18观察下列运算过程：S
7、=1+3+32+33+32017+32018 ， 3 得 3S=3+32+33+32018+32019 ， 得 2S=320191，S= 运用上面计算方法计算：1+5+52+53+52018=_ 19如图，下列图案是由火柴棒按某种规律搭成的，第个图案中有 2个正方形，第个图案中有 5 个正 方形，第个图案中有 8 个正方形，则第个图案中有_个正方形，第 n 个图案中有_个正 方形 20在平面直角坐标系中，点 A(，1)在射线 OM 上，点 B(，3)在射线 ON 上，以 AB 为直角边作 Rt ABA1，以 BA1为直角边作第二个 RtBA1B1，以 A1B1为直角边作第三个 RtA1B1A2
8、， ，依此规律，得 到 RtB2017A2018B2018，则点 B2018的纵坐标为_ 6 21观察下列运算过程： 请运用上面的运算方法计算： =_ 22 如图， 等边三角形 ABC的边长为 1， 顶点 B与原点 O 重合， 点 C在 x轴的正半轴上， 过点 B 作 BA1AC 于点 A1,过点 A1作 A1B1OA,交 OC 于点 B1；过点 B1作 B1A2AC 于点 A2，过点 A2作 A2B2OA,交 OC 于点 B2；，按此规律进行下去，点 A2020的坐标是_. 23如图,点的坐标为,过点作不轴的垂线交直于点以原点 为圆心,的长为半径断弧 交 轴正半轴于点；再过点作 轴的垂线交直
9、线 于点,以原点 为圆心,以的长为半径画弧交 轴正 半轴于点；按此作法进行下去,则的长是_ 7 24如图：图象均是以 P0为圆心，1 个单位长度为半径的扇形，将图形分别沿东北，正南， 西北方向同时平移，每次移动一个单位长度，第一次移动后图形的圆心依次为 P1P2P3，第二次移动后 图形的圆心依次为 P4P5P6，依此规律，P0P2018=_个单位长度 25如图是各大小型号的纸张长宽关系裁剪对比图，可以看出纸张大小的变化规律：A0 纸长度方向对折一 半后变为 A1纸；A1纸长度方向对折一半后变为 A2纸；A2纸长度方向对折一半后变为 A3纸；A3纸长度方向 对折一半后变为 A4纸A4规格的纸是我
10、们日常生活中最常见的，那么有一张 A4的纸可以裁_张 A8 的纸. 26如图，在平面直角坐标系中，点 A1的坐标为（1，2） ，以点 O 为圆心，以 OA1长为半径画弧，交直线 y= x 于点 B1过 B1点作 B1A2y轴，交直线 y=2x 于点 A2，以 O为圆心，以 OA2长为半径画弧，交直线 y= x 于点 B2；过点 B2作 B2A3y轴，交直线 y=2x 于点 A3，以点 O为圆心，以 OA3长为半径画弧，交直 线 y= x 于点 B3；过 B3点作 B3A4y轴，交直线 y=2x于点 A4，以点 O为圆心，以 OA4长为半径画弧，交 直线 y= x 于点 B4，按照如此规律进行下
11、去，点 B2018的坐标为_ 8 27如下表，从左到右在每个小格子中都填入一个整数，使得其中任意三个相邻格子中所填整数之和都相 等，则第个格子的数为_. 28 如图， 在平面直角坐标系中， 点 A1， A2， A3， 和 B1， B2， B3， 分别在直线 y= x+b和 x 轴上 OA1B1， B1A2B2，B2A3B3，都是等腰直角三角形如果点 A1（1，1） ，那么点 A2018的纵坐标是_ 29每一层三角形的个数与层数的关系如图所示，则第 2018 层的三角形个数为_ 30如图，在平面直角坐标系中，直线 l 为正比例函数 y=x 的图象，点 A1的坐标为（1，0） ，过点 A1作 x
12、轴的垂线交直线 l于点 D1，以 A1D1为边作正方形 A1B1C1D1；过点 C1作直线 l的垂线，垂足为 A2，交 x轴 于点 B2，以 A2B2为边作正方形 A2B2C2D2；过点 C2作 x 轴的垂线，垂足为 A3，交直线 l于点 D3，以 A3D3 为边作正方形 A3B3C3D3，按此规律操作下所得到的正方形 AnBnCnDn的面积是_ 9 31将从 1 开始的连续自然数按以下规律排列： 第 1 行 1 第 2 行 2 3 4 第 3 行 9 8 7 6 5 第 4 行来源: 10 11 12 13 14 15 16 第 5 行 25 24 23 22 21 20 19 18 17
13、则 2018 在第_行 32如图，直线与两坐标轴分别交于 、 两点，将线段分成 等份，分点分别为，P3, ， ，过每个分点作 轴的垂线分别交直线于点， ，用， 分别表示， ，的面积， 则_. 10 33如图，在平面直角坐标系中，函数和的图象分别为直线 ， ，过点作 轴的垂线 交 于点，过点作 轴的垂线交 于点，过点作 轴的垂线交 于点，过点作 轴的垂线交 于 点， 依次进行下去，则点的横坐标为_ 34 在 RtABC中， AB=1， A=60 ， ABC=90 ， 如图所示将 RtABC沿直线 l无滑动地滚动至 RtDEF， 则点 B所经过的路径与直线 l所围成的封闭图形的面积为_ （结果不取
14、近似值） 11 35 如图， 在平面直角坐标系中， 等腰直角三角形 OAA1的直角边 OA在 x轴上， 点 A1在第一象限， 且 OA=1， 以点 A1为直角顶点，OA1为一直角边作等腰直角三角形 OA1A2，再以点 A2为直角顶点，OA2为直角边作等 腰直角三角形 OA2A3依此规律，则点 A2018的坐标是_ 36如图，点 A1的坐标为（2，0） ，过点 A1作 x轴的垂线交直线 l：y=x 于点 B1，以原点 O为圆心，OB1 的长为半径画弧交 x 轴正半轴于点 A2；再过点 A2作 x轴的垂线交直线 l于点 B2，以原点 O为圆心，以 OB2 的长为半径画弧交 x 轴正半轴于点 A3；
15、按此作法进行下去，则的长是_ 37如图，射线 OM 在第一象限，且与 x 轴正半轴的夹角为 60 ，过点 D（6,0)作 DAOM于点 A，作线段 OD 的垂直平分线 BE 交 x 轴于点 E,交 AD 于点 B,作射线 OB.以 AB 为边在AOB 的外侧作正方形 ABCA1, 延长A1C交射线OB于点B1,以A1B1为边在A1OB1的外侧作正方形A1B1C1A2,延长A2C1交射线OB于点B2, 以 A2B2为边在A2OB2的外侧作正方形 A2B2C2A3按此规律进行下去， 则正方形 A2017B2017C2017A2018的周 长为_. 12 38如图，已知等边，顶点在双曲线上，点的坐标
16、为过作交 双曲线于点，过作交 轴于点，得到第二个等边；过作交双曲线 于点，过作交 轴于点，得到第三个等边；以此类推， ，则点的坐标为_ 39如图所示，已知：点 A(0，0)，B（，0） ，C（0，1）在ABC 内依次作等边三角形，使一边在 x轴 上， 另一个顶点在BC边上， 作出的等边三角形分别是第 1个AA1B1， 第 2个B1A2B2， 第 3个B2A3B3， ， 则第 个等边三角形的边长等于_ 40如图，MON=30 ，点 B1在边 OM 上，且 OB1=2，过点 B1作 B1A1OM交 ON于点 A1，以 A1B1为边 在 A1B1右侧作等边三角形 A1B1C1； 过点 C1作 OM
17、的垂线分别交 OM、 ON 于点 B2、 A2， 以 A2B2为边在 A2B2 的右侧作等边三角形 A2B2C2；过点 C2作 OM的垂线分别交 OM、ON于点 B3、A3，以 A3B3为边在 A3B3的 右侧作等边三角形 A3B3C3，；按此规律进行下去，则AnBn+1Cn的面积为_ （用含正整数 n的代数式表 示） 13 41如图，已知等边ABC的边长是 2，以 BC边上的高 AB1为边作等边三角形，得到第一个等边AB1C1； 再以等边AB1C1的 B1C1边上的高 AB2为边作等边三角形，得到第二个等边AB2C2；再以等边AB2C2 的 B2C2边上的高 AB3为边作等边三角形，得到第三
18、个等边AB3C3；，记B1CB2的面积为 S1，B2C1B3 的面积为 S2，B3C2B4的面积为 S3，如此下去，则 Sn=_ 42如图，正方形 AOBO2的顶点 A 的坐标为 A（0，2） ，O1为正方形 AOBO2的中心；以正方形 AOBO2的 对角线 AB为边，在 AB的右侧作正方形 ABO3A1，O2为正方形 ABO3A1的中心；再以正方形 ABO3A1的对 角线 A1B 为边，在 A1B 的右侧作正方形 A1BB1O4，O3为正方形 A1BB1O4的中心；再以正方形 A1BB1O4的 对角线 A1B1为边在 A1B1的右侧作正方形 A1B1O5A2，O4为正方形 A1B1O5A2的
19、中心：；按照此规律继续 下去，则点 O2018的坐标为_ 14 三、解答题三、解答题 43问题提出：用若干相同的一个单位长度的细直木棒，按照如图 1 方式搭建一个长方体框架，探究所用 木棒条数的规律 问题探究： 我们先从简单的问题开始探究，从中找出解决问题的方法 探究一 用若干木棒来搭建横长是 m，纵长是 n 的矩形框架（m、n 是正整数） ，需要木棒的条数 如图，当 m=1，n=1 时，横放木棒为 1（1+1）条，纵放木棒为（1+1）1 条，共需 4 条； 如图，当 m=2，n=1 时，横放木棒为 2（1+1）条，纵放木棒为（2+1）1 条，共需 7 条； 如图，当 m=2，n=2 时，横放
20、木棒为 2（2+1） ）条，纵放木棒为（2+1）2 条，共需 12 条；如图， 当 m=3，n=1 时，横放木棒为 3（1+1）条，纵放木棒为（3+1）1 条，共需 10 条； 如图，当 m=3，n=2 时，横放木棒为 3（2+1）条，纵放木棒为（3+1）2 条，共需 17 条 问题（一） ：当 m=4，n=2 时，共需木棒多少条 问题（二） ：当矩形框架横长是 m，纵长是 n 时，横放的木棒为多少条， 纵放的木棒为多少条 探究二 用若干木棒来搭建横长是 m，纵长是 n，高是 s 的长方体框架（m、n、s 是正整数） ，需要木棒的条数 如图，当 m=3，n=2，s=1 时，横放与纵放木棒之和为
21、3（2+1）+（3+1）2（1+1）=34 条，竖放木 棒为（3+1）（2+1）1=12 条，共需 46 条； 如图，当 m=3，n=2，s=2 时，横放与纵放木棒之和为3（2+1）+（3+1）2（2+1）=51 条，竖放木 棒为（3+1）（2+1）2=24 条，共需 75条； 15 如图，当 m=3，n=2，s=3 时，横放与纵放木棒之和为3（2+1）+（3+1）2（3+1）=68 条，竖放木 棒为（3+1）（2+1）3=36 条，共需 104 条 问题（三） ：当长方体框架的横长是 m，纵长是 n，高是 s 时，横放与纵放木棒条数之和为多少条，竖放木 棒条数为多少条 实际应用：现在按探究二
22、的搭建方式搭建一个纵长是 2、高是 4 的长方体框架，总共使用了 170 条木棒，则 这个长方体框架的横长是多少 拓展应用：若按照如图 2 方式搭建一个底面边长是 10，高是 5 的正三棱柱框架，需要木棒多少条 来源:Z.X.X.K 44空间任意选定一点 O，以点 O 为端点，作三条互相垂直的射线 ox、oy、oz.这三条互相垂直的射线分别 称作 x 轴、y 轴、z 轴，统称为坐标轴，它们的方向分别为 ox（水平向前） 、oy（水平向右） 、oz（竖直向上） 方向，这样的坐标系称为空间直角坐标系. 将相邻三个面的面积记为 S1、S2、S3，且 S1S2S3的小长方体称为单位长方体，现将若干个单
23、位长方体在 空间直角坐标系内进行码放，要求码放时将单位长方体 S1所在的面与 x 轴垂直，S2所在的面与 y 轴垂直， S3所在的面与 z 轴垂直，如图 1 所示. 若将 x 轴方向表示的量称为几何体码放的排数，y 轴方向表示的量称为几何体码放的列数，z 轴方向表示的 量称为几何体码放的层数；如图 2 是由若干个单位长方体在空间直角坐标内码放的一个几何体，其中这个 几何体共码放了 1 排 2 列 6 层，用有序数组记作（1,2,6） ，如图 3 的几何体码放了 2 排 3 列 4 层，用有序 数组记作（2,3,4）.这样我们就可用每一个有序数组（x，y，z）表示一种几何体的码放方式. 16 （
24、1）如图是由若干个单位长方体码放的一个几何体的三视图，写出这种码放方式的有序数组，组成这个几 何体的单位长方体的个数为多少个； （2）对有序数组性质的理解，下列说法正确的是哪些； （只写序号） 每一个有序数组（x，y，z）表示一种几何体的码放方式. 有序数组中 x、y、z 的乘积就表示几何体中单位长方体的个数. 有序数组不同，所表示几何体的单位长方体个数不同. 不同的有序数组所表示的几何体的体积不同. 有序数组中 x、y、z 每两个乘积的 2 倍可分别确定几何体表面上 S1、S2、S3的个数. （3）为了进一步探究有序数组（x，y，z）的几何体的表面积公式 S（x,y,z），某同学针对若干个单
25、位长方体进 行码放，制作了下列表格： 几何体 有序数组 单位长方体的 个数 表面上面积为 的个数 表面上面积为 的个数 表面上面积为 的个数 表面积 (1，1，1) 1 2 2 2 2S1+2S2+2S3 (1，2，1) 2 4 2 4 4S1+2S2+4S3 (3，1，1) 3 2 6 6 2S1+6S2+6S3 (2，1，2) 4 4 8 4 4S1+8S2+4S3 (1，5，1) 5 10 2 10 10S1+2S2+10S3 (1，2，3) 6 12 6 4 12S1+6S2+4S3 (1，1，7) 7 14 14 2 14S1+14S2+2S3 (2，2，2) 8 8 8 8 8S1
26、+8S2+8S3 17 来源: 根据以上规律，请写出有序数组（x，y，z）的几何体表面积计算公式 S（x,y,z）； （用 x、y、z、S1、S2、S3表 示） （4）当 S1=2，S2=3，S3=4 时，对由 12 个单位长方体码放的几何体进行打包，为了节约外包装材料，对 12 个单位长方体码放的几何体表面积最小的规律进行探究，根据探究的结果请写出使几何体表面积最小的有 序数组，并用几何体表面积公式求出这个最小面积.（缝隙不计） 45如图，阶梯图的每个台阶上都标着一个数，从下到上的第 1 个至第 4个台阶上依次标着5，2，1，9， 且任意相邻四个台阶上数的和都相等 尝试 （1）求前 4 个台
27、阶上数的和是多少？ （2）求第 5个台阶上的数 x是多少？ 应用 求从下到上前 31 个台阶上数的和 发现 试用含 k（k 为正整数）的式子表示出数“1”所在的台阶数 46“分块计数法”：对有规律的图形进行计数时，有些题可以采用“分块计数”的方法 例如：图 1 有 6个点，图 2 有 12个点，图 3有 18 个点，按此规律，求图 10、图 n 有多少个点？ 我们将每个图形分成完全相同的 6块，每块黑点的个数相同（如图） ，这样图 1中黑点个数是 6 1=6个；图 2 中黑点个数是 6 2=12 个：图 3 中黑点个数是 6 3=18 个；所以容易求出图 10、图 n 中黑点的个数分别 是 、 请你参考以上“分块计数法”，先将下面的点阵进行分块（画在答题卡上） ，再完成以下问题： （1）第 5 个点阵中有 个圆圈；第 n 个点阵中有 个圆圈 18 （2）小圆圈的个数会等于 271 吗？如果会，请求出是第几个点阵 47观察以下等式： 第 1个等式：， 第 2个等式：， 第 3个等式：， 第 4个等式：， 第 5个等式：， 按照以上规律，解决下列问题： （1）写出第 6 个等式： ； （2）写出你猜想的第 n 个等式： (用含 n 的等式表示)，并证明.
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