1、 1 一、单选题一、单选题 1如图，在ABC 中，AB=20cm，AC=12cm，点 P从点 B出发以每秒 3cm速度向点 A 运动，点 Q从点 A 同时出发以每秒 2cm速度向点 C运动，其中一个动点到达端点，另一个动点也随之停止，当APQ是以 PQ 为底的等腰三角形时，运动的时间是( )秒 A2.5 B3 C3.5 D4 【答案】D 【关键点拨】此题主要考查学生对等腰三角形的性质这一知识点的理解和掌握，此题涉及到动点，有一定 的拔高难度，属于中档题 2已知等边ABC 中，在射线 BA上有一点 D，连接 CD，并以 CD为边向上作等边CDE，连接 BE和 AE. 试判断下列结论：AE=BD；
2、 AE与 AB 所夹锐夹角为 60 ；当 D在线段 AB或 BA延长线上时，总有 BDE-AED=2BDC；BCD=90 时，CE2+AD2=AC2+DE2 .正确的序号有（ ） A B C D 【答案】C 【解析】 BCA=DCE=60 ， 2 BCA+ACD=DCE+ACD， BCD=ACE， 又AC=BC，CE=CD， BCDACE， AE=BD，CBA=CAE=60 ，AEC=BDC，正确， BAE=120 ， EAD=60 ，正确， BCD=90 ，BCA=60 ， ACD=ADC=30 ， AC=AD， CE=DE， CE2+AD2=AC2+DE2，正确， 当 D 点在 BA 延长
3、线上时，BDE-BDC=60 ， AEC=BDC， BDC+AED=AEC+AED=CED=60 ， BDE-BDC=BDC+AED BDE-AED=2BDC， 3 故正确的结论有， 故选 C. 【关键点拨】 此题主要考查等边三角形的性质和全等三角形的判定与性质等知识点的理解和掌握 3如图，在ABC中，AB=AC，BAC=120 ，D，E是 BC上的两点，且DAE=30 ，将AEC绕点 A顺 时针旋转 120 后，得到AFB，连接 DF.下列结论中正确的个数有（ ） FBD=60 ；ABEDCA；AE平分CAD；AFD 是等腰直角三角形. A1 个 B2个 C3个 D4 个 【答案】B BAD
4、EAC120DAE90， 4 ABCBAD90， ADC90， DAC60， EAC30， 即DAEEAC，错误； 将AEC 绕点 A顺时针旋转 120后，得到AFB， AFAE，EACBAF， BAC120，DAE30， BADEAC90， DABBAF90， 【关键点拨】 本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质和判定，三角形的外角性质，全等三角形的性质和判定的应用， 主要考查学生综合运用性质进行推理的能力，题目比较典型，但是有一定的难度 4如图，在等边三角形 ABC 中，在 AC边上取两点 M、N，使MBN30若 AMm，MNx，CNn， 则以 x，m，n 为边长的三角形的形状为（ ） A
5、锐角三角形 B直角三角形 C钝角三角形 D随 x，m，n 的值而定 【答案】C 5 【解析】 将ABM 绕点 B 顺时针旋转 60得到CBH连接 HN 【关键点拨】 本题考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定和性质、旋转的性质等知识，解题的关键是学会利用旋 转法添加辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型 5如图，在等腰直角ABC 中，C=90 ，点 O是 AB 的中点，且 AB=，将一块直角三角板的直角顶点 放在点 O 处，始终保持该直角三角板的两直角边分别与 AC、BC相交，交点分别为 D、E，则 CD+CE=（ ） A B C2 D 【答案】A 【解析】 6 6如图，在ABC中
6、，ABC45，CDAB 于 D，BE 平分ABC，且 BEAC 于 E，与 CD 相交于点 F，H是 BC边的中点，连结 DH、BE与相交于点 G，以下结论中正确的结论有（ ） （1）ABC 是等腰三角形； （2）BFAC； （3）BH：BD：BC1：； （4）GE2+CE2BG2 A1 个 B2个 C3个 D4 个 【答案】C 【解析】 （1）BE平分ABC， ABECBE， CDAB， ABE+A90，CBE+ACB90， ABCA， ABBC， ABC是等腰三角形； 故（1）正确； 7 ， BDFCDA（AAS） ， BFAC； 故（2）正确； （3）在BCD中，CDB90，DBC45，
7、 DCB45， BDCD，BCBD 由点 H是 BC的中点， DHBHCH BC， BDBH， BH：BD：BCBH： BH：2BH1：2 故（3）错误； （4）由（2）知：BFAC， BF 平分DBC， ABECBE， 又BEAC， AEBCEB， 在ABE与CBE中， 8 【关键点拨】 本题考查全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的 一半的性质，平行线的性质，勾股定理,熟练掌握三角形全等的判定方法并作辅助线构造出全等三角形是解 题的关键 7如图，AOB=30，OC 为AOB 内部一条射线，点 P 为射线 OC 上一点，OP=4，点 M、N 分别
8、为 OA、OB 边上动点，则MNP 周长的最小值为( ) 9 A2 B4 C D 【答案】B 【解析】 【关键点拨】 本题考查了等边三角形的性质和判定，轴对称-最短路线问题的应用，正确作出辅助线，确定 M、N的位置， 证明OP1P2是等边三角形是解题关键 8如图，点 D、E 为 BC 边上的两点，且，连接 EF、 BF 则下列结论：；，其中正确的有 ( )个 10 A1 B2 C3 D4 【答案】D AEDAEF, AF=AD, , FAB=CAD, AB=AC， ，正确； BAC=DAF=90 ， BAC-BAD=DAF-BAD，即CAD=BAF 在ACD 与ABF 中， ， ACDABF（
9、SAS） ， CD=BF， 由 知AEDAEF， DE=EF 11 在BEF 中，BE+BFEF， BE+DCDE，正确； 由知ACDABF， C=ABF=45 ， ABE=45 ， EBF=ABE+ABF=90正确 故答案为 D 【关键点拨】 本题考查了勾股定理，全等三角形的判定与性质，等腰直角直角三角形的性质，三角形三边关系定理，相 似三角形的判定，此题涉及的知识面比较广，解题时要注意仔细分析，有一定难度 9如图，四边形 ABCD 中，A、B、C、D 的角平分线恰相交于一点 P，记APD、APB、BPC、DPC 的面积分别为 S1、S2、S3、S4，则有（ ） A B C D 【答案】A
10、12 【关键点拨】 本题考查了角平分线性质定理,作高线和理解角平分线性质定理是解题关键. 10如图，已知 AD 为ABC 的高线，AD=BC，以 AB 为底边作等腰 RtABE，连接 ED，EC，延长 CE交 AD 于 F点，下列结论：ADEBCE；CEDE；BD=AF；S BDE =SACE，其中正确的有（ ） A B C D 【答案】C BDE=ADB+ADE，AFE=ADC+ECD，BDE=AFE BED+BEF=AEF+BEF=90 ，BED=AEF 在AEF和BED中，AEFBED（AAS） ，BD=AF；故正确； AD=BC，BD=AF，CD=DF ADBC，FDC是等腰直角三角形
11、 DECE，EF=CE，SAEF=SACE AEFBED，SAEF=SBED，SBDE=SACE故正确 故选 C 13 【关键点拨】 本题考查了全等三角形的判定与性质，本题中求证BFECDE 是解题的关键 11 如图， 等边三角形 ABC边长是定值， 点 O 是它的外心， 过点 O任意作一条直线分别交 AB， BC 于点 D， E将BDE沿直线 DE 折叠，得到BDE，若 BD，BE 分别交 AC于点 F，G，连接 OF，OG，则下列判 断错误的是（ ） AADFCGE BBFG 的周长是一个定值 C四边形 FOEC 的面积是一个定值 D四边形 OGBF的面积是一个定值 【答案】D 【解析】
12、A、连接 OA、OC， 14 由折叠得：BDE=ODF= （DAF+AFD） ， OFD+ODF= （FAD+ADF+DAF+AFD）=120 ， DOF=60 ， 同理可得EOG=60 ， FOG=60 =DOF=EOG， DOFGOFGOE， OD=OG，OE=OF， OGF=ODF=ODB，OFG=OEG=OEB， OADOCG，OAFOCE， AD=CG，AF=CE， ADFCGE， 故选项 A 正确； B、DOFGOFGOE， DF=GF=GE， 15 【关键点拨】本题考查了等边三角形的性质、三角形全等的性质和判定、角平分线的性质和判定、三角形 和四边形面积及周长的确定以及折叠的性质
13、，有难度，本题全等的三角形比较多，要注意利用数形结合， 并熟练掌握三角形全等的判定， 还要熟练掌握角平分线的逆定理的运用， 证明 FO平分DFG 是本题的关键. 12如图，点 D 是等腰直角 ABC 腰 BC 上的中点，点 B 、B 关于 AD 对称，且 BB 交 AD 于 F，交 AC 于 E，连接 FC 、 AB，下列说法： BAD=30 ； BFC=135 ； AF=2B C；正确的个数是 （） A1 B2 C3 D4 【答案】B来源:ZXXK 【解析】 点 D是等腰直角ABC腰 BC上的中点， BD= BC= AB， tanBAD= ， 16 BAD30，故错误； 如图，连接 BD，
14、BF=CB=BF， FCB是等腰直角三角形， CFB=45 ，即BFC=135 ，故正确； 由ABFBCB，可得 AF=BB=2BF=2BC，故正确； AFBF=BC， AEF与CEB不全等， AECE， S AFE S FCE ，故错误； 故选 B 【关键点拨】 本题主要考查了轴对称的性质以及全等三角形的判定与性质的运用，如果两个图形关于某直线对称，那么 对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线 13如图，点 E在DBC的边 DB上，点 A在DBC内部，DAE=BAC=90 ，AD=AE，AB=AC给出 下列结论： 17 BD=CE；ABD+ECB=45 ；BDCE；BE2=2（AD2+A
15、B2）CD2其中正确的是（ ） A B C D 【答案】A 【关键点拨】本题考查全等三角形的判定和性质、勾股定理、等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键 是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考选择题中的压轴题 14如图，在ABC 中，P 是 BC 上的点，作 PQAC 交 AB 于点 Q，分别作 PRAB，PSAC，垂足分别是 R， S，若 PR=PS，则下面三个结论：AS=AR；AQ=PQ；PQRCPS；ACAQ=2SC，其中正确的是 （ ） 18 A B C D 【答案】B 【解析】 如图 【关键点拨】 本题主要考查三角形全等及三角形全等的性质. 15如图，ABAC，BDAC 于 D，CE
16、AB 于 E，BD、CE 交于 O，连结 AO，则图中共有全等三角形 的对数为（ ） A2 对 B3对 C4对 D5 对 19 【答案】C AOEAOD（HL） ， OAC=OAB， B=C，AB=AC，OAC=OAB， AOCAOB.（ASA） B=C，BE=CD，ODC=OEB=90 ， BOECOD（ASA） 综上：共有 4对全等三角形， 故选 C. 【关键点拨】 本题考查三角形全等的判定方法和全等三角形的性质， 判定两个三角形全等的一般方法有： SSS、 SAS、 ASA、 HL注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一 角对应相等时，
17、角必须是两边的夹角做题时要从已知条件开始结合全等的判定方法逐一验证，由易到难， 不重不漏 二、填空题二、填空题来源来源:Z.xx.k.Com 16如图所示，已知：点 A(0，0)，B（，0） ，C（0，1）在ABC 内依次作等边三角形，使一边在 x轴 上， 另一个顶点在 BC 边上， 作出的等边三角形分别是第 1个AA1B1， 第 2 个B1A2B2， 第 3个B2A3B3， ， 则第 个等边三角形的边长等于_ 20 【答案】 【关键点拨】 本题主要考查等边三角形的性质及解直角三角形，从而归纳出边长的规律 17如图，MON=30 ，点 B1在边 OM 上，且 OB1=2，过点 B1作 B1A1
18、OM交 ON于点 A1，以 A1B1为边 在 A1B1右侧作等边三角形 A1B1C1； 过点 C1作 OM 的垂线分别交 OM、 ON 于点 B2、 A2， 以 A2B2为边在 A2B2 的右侧作等边三角形 A2B2C2；过点 C2作 OM的垂线分别交 OM、ON于点 B3、A3，以 A3B3为边在 A3B3的 右侧作等边三角形 A3B3C3，；按此规律进行下去，则AnBn+1Cn的面积为_ （用含正整数 n的代数式表 示） 21 【答案】 （ ）2n2 ， AnBn+1Cn的边长为（ ）n1， AnBn+1Cn的面积为 （ ）n12=（ ）2n2， 故答案为： （ ）2n2. 【关键点拨】本
19、题考查了含 30 度角的直角三角形的性质、等边三角形的面积公式、解直角三角形等知识， 熟练掌握相关性质得出等边三角形的边长的规律是解题的关键. 18如图，已知等边ABC的边长是 2，以 BC边上的高 AB1为边作等边三角形，得到第一个等边AB1C1； 再以等边AB1C1的 B1C1边上的高 AB2为边作等边三角形，得到第二个等边AB2C2；再以等边AB2C2 的 B2C2边上的高 AB3为边作等边三角形，得到第三个等边AB3C3；，记B1CB2的面积为 S1，B2C1B3 22 的面积为 S2，B3C2B4的面积为 S3，如此下去，则 Sn=_ 【答案】 【关键点拨】本题考查了规律题，涉及等边
20、三角形的性质，含 30 度角的直角三角形的性质、勾股定理等， 有一定难度，熟练掌握并灵活运用等边三角形的性质、勾股定理等解本题的关键 19如图，直线与 x 轴、y轴分别交于 A，B两点，C是 OB的中点，D是 AB上一点，四边形 OEDC 是菱形，则OAE的面积为_ 23 【答案】 A(,0); OA=, 设 D(x,) , E(x,- x+2), 延长 DE 交 OA 于点 F， EF=-x+2,OF=x,来源: 在 RtOEF 中利用勾股定理得：, 解得 ：x1=0(舍） ，x2=； EF=1, SAOE= OA EF=2. 故答案为：. 【关键点拨】 本题考查了一次函数图象上点的坐标特征
21、：一次函数 y=kx+b， （k0，且 k，b 为常数）的图 24 象是一条直线它与 x 轴的交点坐标是（- ，0） ；与 y 轴的交点坐标是（0，b） 直线上任意一点的坐标都 满足函数关系式 y=kx+b也考查了菱形的性质. 20如图，等腰ABC 中，CA=CB=4，ACB=120，点 D 在线段 AB 上运动（不与 A、B 重合） ，将CAD 与CBD 分别沿直线 CA、CB 翻折得到CAP 与CBQ，给出下列结论： CD=CP=CQ； PCQ 的大小不变； PCQ 面积的最小值为； 当点 D 在 AB 的中点时，PDQ 是等边三角形，其中所有正确结论的序号是 【答案】 如图，过点 Q 作
22、 QEPC 交 PC 延长线于 E，PCQ=120，QCE=60，在 RtQCE 中，tanQCE=， QE=CQtanQCE=CQtan60=CQ， CP=CD=CQ， S PCQ = CP QE= CPCQ=， CD 最短时， S PCQ 最小， 即： CDAB时， CD 最短， 过点 C 作CFAB， 此时CF就是最短的 CD， AC=BC=4， ACB=120， ABC=30，CF= BC=2，即：CD 最短为 2，S PCQ 最小=，错误； 25 将CAD 与CBD 分别沿直线 CA、 CB 翻折得到CAP 与CBQ， AD=AP， DAC=PAC， DAC=30， APD=60，A
23、PD 是等边三角形，PD=AD，ADP=60，同理：BDQ 是等边三角形，DQ=BD， BDQ=60，PDQ=60，当点 D 在 AB 的中点，AD=BD，PD=DQ，DPQ 是等边三角形，正确， 故答案为： 21如图 1，ABC 中，沿BAC的平分线 AB1折叠，剪掉重叠部分；将余下部分沿B1A1C 的平分线 A1B2 折叠，剪掉重叠部分；将余下部分沿BnAnC的平分线 AnBn+1折叠，点 Bn与点 C 重合，无论折叠多少 次，只要最后一次恰好重合，我们就称BAC 是ABC的好角. （1）如图 2，在ABC 中，BC，若经过两次折叠，BAC 是ABC 的好角，则B 与C 的等量关 系是_；
24、 （2）如果一个三角形的最小角是 20 ，则此三角形的最大角为_时，该三角形的三个角均是此三角形 的好角。 【答案】 140 、120 或 80 （2）如图：根据折叠的性质知，B=AA1B1，C=A2B2C，A1B1C=A1A2B2， 根据三角形的外角定理知，A1A2B2=C+A2B2C=2C； 根据四边形的外角定理知，BAC+B+AA1B1-A1B1C=BAC+2B-2C=180 ， 26 根据三角形 ABC的内角和定理知，BAC+B+C=180 ， B=3C； 【关键点拨】 本题考查了翻折变换（折叠问题） 充分利用三角形内角和定理、三角形外角定理以及折叠的性质是解题关 键 22如图，ABC
25、 的周长为 26，点 D，E 都在边 BC 上，ABC 的平分线垂直于 AE，垂足为 Q，ACB 的平分线垂直于 AD，垂足为 P，若 BC10，则 PQ的长_ 【答案】3 【解析】 ABC的平分线垂直于AE， ACB的平分线垂直于AD 分别是 的 中点。 ABC 的周长为 26, BC=10 则 PQ=3. 27 23如图，在等边ABC 中，AB6，AN2，BAC的平分线交 BC于点 D，M是 AD 上的动点，则 BM+MN 的最小值是_ 【答案】2 【解析】 连接 CN，与 AD交于点 M则 CN 就是 BM+MN的最小值取 BN中点 E，连接 DE，如图所示： MN 是ADE的中位线，
26、DE2MN， CN2DE4MN， CM CN 在直角CDM中，CD BC3，DM AD， CM， CN BM+MNCN， 28 BM+MN 的最小值为 2 故答案是：2 【关键点拨】 考查等边三角形的性质和轴对称及勾股定理等知识的综合应用 24如图，P 为等边三角形 ABC内的一点，且 P 到三个顶点 A，B，C的距离分别为 3，4，5，则ABC的 面积为_ 【答案】 BE=BP=4，AE=PC=5，PBE=60 ， BPE 为等边三角形， PE=PB=4，BPE=60 ，来源:Z+X+X+K 在AEP 中，AE=5，AP=3，PE=4， AE2=PE2+PA2， APE为直角三角形，且APE
27、=90 ， APB=90 +60 =150 ， APF=30 ， 在直角APF中，AF= AP= ，PF=AP=， 29 在直角ABF中，AB2=BF2+AF2=（4+）2+（ ）2=25+12， 则ABC的面积是AB2=（25+12）=9+， 故答案为：9+ 【关键点拨】 本题考查了等边三角形的判定与性质、勾股定理的逆定理以及旋转的性质：旋转前后的两个图形全等，对 应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角，对应点到旋转中心的距离相等 25在中，平分，平分，相交于点 ，且，则 _ 【答案】 在 RtAHF中，AH2+HF2=AF2， 即+2-a2=16， a=， CH=FH=， 30 AC=AE
28、+EH+HC=， 故答案为：. 【关键点拨】本题考查了角平分线的性质，勾股定理的应用等，综合性质较强，正确添加辅助线是解题的 关键. 三、解答题三、解答题 26 将一副三角尺按图 1 摆放， 等腰直角三角尺的直角边 DF 恰好垂直平分AB， 与AC 相交于点 G， （1）求 GC 的长； （2）如图 2，将DEF 绕点 D 顺时针旋转，使直角边 DF 经过点 C，另一直角边 DE 与 AC 相交于点 H，分别 过 H、C 作 AB 的垂线，垂足分别为 M、N，通过观察，猜想 MD 与 ND 的数量关系，并验证你的猜想 （3）在（2）的条件下，将DEF 沿 DB 方向平移得到DEF，当 DE恰好
29、经过（1）中的点 G 时， 请直接写出 DD的长度 【答案】 （1）2； （2）DM=DN； （3） 【解析】 （1）如图 1 31 （3）如图 3中，作 GKDE 交 AB由 K 在AGK中，AG=GK=4，A=GKD=30，作 GHAB于 H 则 AH=AGcos30=2，可得 AK=2AH=4，此时 K 与 B 重合，DD=DB=2 【关键点拨】 本题考查了几何变换综合题、旋转变换平移变换、锐角三角函数等知识，解题的关键是灵活运用所学知识 解决问题，属于中考压轴题 27 （1）如图 1，已知 EK垂直平分 BC，垂足为 D，AB与 EK相交于点 F，连接 CF求证：AFE=CFD （2）
30、如图 2，在 RtGMN中，M=90 ，P 为 MN的中点 用直尺和圆规在 GN边上求作点 Q，使得GQM=PQN（保留作图痕迹，不要求写作法） ； 在的条件下，如果G=60 ，那么 Q 是 GN的中点吗？为什么？ 32 【答案】(1)证明见解析； （2）作图见解析；结论： 是的中点理由见解析. 【解析】 （1）如图 1中， （2）作点 关于的对称点 ，连接交于 ，连接，点 即为所求 理由：垂直平分， ， ， ， 点 即为所求 结论： 是的中点 33 理由：设交于 ， ， ， ， 【关键点拨】 考查作图-复杂作图、线段的垂直平分线的性质、直角三角形斜边中线的性质等知识，解题的关键是灵活运 用所
31、学知识解决问题. 28在等腰ABC 中，B=90，AM 是ABC 的角平分线，过点 M 作 MNAC 于点 N，EMF=135将EMF 绕点 M 旋转，使EMF 的 两边交直线 AB 于点 E，交直线 AC 于点 F，请解答下列问题： （1）当EMF 绕点 M 旋转到如图的位置时，求证：BE+CF=BM； （2）当EMF 绕点 M 旋转到如图，图的位置时，请分别写出线段 BE，CF，BM 之间的数量关系，不需 要证明； （3）在（1）和（2）的条件下，tanBEM=，AN=+1，则 BM= ，CF= 【答案】 （1）证明见解析（2）见解析（3）1，1+或 1 34 （2）针对图 2，同（1）的
32、方法得，BMENMF， BE=NF， MNAC，C=45， CMN=C=45， NC=NM=BM， NC=NFCF， BECF=BM； 针对图 3，同（1）的方法得，BMENMF， BE=NF， MNAC，C=45， CMN=C=45， NC=NM=BM， NC=CFNF， CFBE=BM； 35 由（1）知，如图 1，BE+CF=BM， CF=BMBE =1 由（2）知，如图 2，由 tanBEM=， 此种情况不成立； 由（2）知，如图 3，CFBE=BM， CF=BM+BE=1+， 故答案为 1，1+或 1 【关键点拨】 本题考查三角函数与旋转与三角形全等的综合，难度较大，需综合运用所学知
33、识求解. 29如图，在 RtBCD中，CBD=90 ，BC=BD，点 A 在 CB的延长线上，且 BA=BC，点 E 在直线 BD上 移动，过点 E 作射线 EFEA，交 CD所在直线于点 F 36 （1）当点 E在线段 BD 上移动时，如图（1）所示，求证：AE=EF； （2）当点 E 在直线 BD上移动时，如图（2） 、图（3）所示，线段 AE与 EF又有怎样的数量关系？请直接 写出你的猜想，不需证明 【答案】 （1）证明见解析； （2）AE=EF，证明见解析. 【解析】 （1）如图 1中，在 BA上截取 BH，使得 BH=BE AHEEDF， AE=EF （2）如图 2中，在 BC上截取
34、 BH=BE，同法可证：AE=EF 37 如图 3 中，在 BA上截取 BH，使得 BH=BE同法可证：AE=EF 【关键点拨】 本题考查全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线， 构造全等三角形解决问题 30如图，ABC中，AB=BC，BDAC于点 D，FAC= ABC，且FAC在 AC下方点 P，Q分别是 射线 BD，射线 AF上的动点，且点 P 不与点 B 重合，点 Q 不与点 A重合，连接 CQ，过点 P 作 PECQ于 点 E，连接 DE （1）若ABC=60 ，BP=AQ 如图 1，当点 P 在线段 BD上运动时，请直接写出线段 DE 和线
35、段 AQ的数量关系和位置关系； 如图 2，当点 P 运动到线段 BD的延长线上时，试判断中的结论是否成立，并说明理由； （2）若ABC=260，请直接写出当线段 BP 和线段 AQ 满足什么数量关系时，能使（1）中的结论仍 然成立（用含 的三角函数表示） 38 【答案】 （1）DE= AQ，DEAQ，理由见解析； EAQ，DE= AQ，理由见解析； （2）AQ=2BPsin， 理由见解析. 在BPC和AQC中， BPCAQC（SAS） ， PC=QC，BPC=ACQ， PCQ=PCA+AQC=PCA+BCP=ACB=60 ， PCQ是等边三角形， PECQ， CE=QE， AD=CD， DE=
36、 AQ，DEAQ； DEAQ，DE= AQ， 理由：如图 2，连接 PQ，PC， 同的方法得出 DEAQ，DE= AQ； 39 以点 P 为圆心，PA为半径的圆必过 A，Q，C， APQ=2ACQ， PA=PQ， PAQ=PQA= （180 APQ）=90 ACQ， CAF=ABD，ABD+BAD=90 ， BAQ=90 ， BAP=90 PAQ=90 ACQ， 易知，BCP=BAP， BCP=ACQ， CBP=CAQ， BPCAQC， ， 在 RtBCD中，sin=， =2=2sin， AQ=2BPsin 40 【关键点拨】 本题是三角形综合题，主要考查了等边三角形的判定和性质，等腰三角形的
37、性质，全等三角形的判定和性 质，相似三角形的判定和性质，锐角三角函数，判断出BCP=ACQ 是解本题的关键 31在ABC 中，AB=BC，点 O是 AC的中点，点 P 是 AC上的一个动点（点 P 不与点 A，O，C重合） 过 点 A，点 C 作直线 BP 的垂线，垂足分别为点 E 和点 F，连接 OE，OF （1）如图 1，请直接写出线段 OE与 OF的数量关系； （2）如图 2，当ABC=90 时，请判断线段 OE 与 OF之间的数量关系和位置关系，并说明理由 （3）若|CFAE|=2，EF=2，当POF为等腰三角形时，请直接写出线段 OP的长 【答案】 （1）OF =OE； （2）OFE
38、K，OF=OE，理由见解析； （3）OP 的长为或. 【解析】 （1）如图 1中，延长 EO交 CF于 K， AEBE，CFBE，AECK，EAO=KCO， OA=OC，AOE=COK，AOECOK，OE=OK， 41 EFK是直角三角形，OF= EK=OE； （2）如图 2中，延长 EO交 CF于 K， （3）如图 3中，点 P 在线段 AO 上，延长 EO交 CF于 K，作 PHOF于 H， |CFAE|=2，EF=2，AE=CK，FK=2， 在 RtEFK中，tanFEK=，FEK=30 ，EKF=60 ， EK=2FK=4，OF= EK=2， OPF是等腰三角形，观察图形可知，只有 O
39、F=FP=2， 在 RtPHF中，PH= PF=1，HF=，OH=2， OP=. 42 【关键点拨】本题考查了全等三角形的判定与性质、直角三角形斜边中线等于斜边一半、等腰直角三角形 的判定与性质、解直角三角形等，综合性较强，正确添加辅助线是解题的关键. 32如图，在ABC中，AB=7.5，AC=9，SABC=动点 P 从 A点出发，沿 AB方向以每秒 5个单位长度 的速度向 B 点匀速运动，动点 Q 从 C点同时出发，以相同的速度沿 CA方向向 A点匀速运动，当点 P运动 到 B 点时，P、Q两点同时停止运动，以 PQ为边作正PQM（P、Q、M按逆时针排序） ，以 QC 为边在 AC 上方作正
40、QCN，设点 P运动时间为 t秒 （1）求 cosA的值； （2）当PQM与QCN的面积满足 SPQM= SQCN时，求t的值； （3）当 t为何值时，PQM 的某个顶点（Q 点除外）落在QCN 的边上 【答案】 （1）coaA= ； （2）当 t= 时，满足 SPQM= SQCN； （3）当 t=s 或s 时，PQM 的 某个顶点（Q点除外）落在QCN 的边上 【解析】 （1）如图 1中，作 BEAC于 E 43 （2）如图 2中，作 PHAC于 H PA=5t，PH=3t，AH=4t，HQ=AC-AH-CQ=9-9t， PQ2=PH2+HQ2=9t2+（9-9t）2， SPQM= SQCN
41、， PQ2=CQ2， 9t2+（9-9t）2= （5t）2， 整理得：5t2-18t+9=0， 解得 t=3（舍弃）或 当 t= 时，满足 SPQM= SQCN （3）如图 3 中，当点 M 落在 QN 上时，作 PHAC于 H 44 如图 4中，当点 M在 CQ上时，作 PHAC于 H 同法可得 PH=QH， 3t=（9t-9） ， t=， 综上所述，当 t=s 或s 时，PQM的某个顶点（Q点除外）落在QCN 的边上 【关键点拨】本题考查三角形综合题、等边三角形的性质、勾股定理锐角三角函数、解直角三角形等知识， 解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常
42、考题型 33阅读下面材料： 小明遇到这样一个问题： 如图 1，ABC中，ACB=90 ，点 D在 AB 上，且BAC=2DCB，求证：AC=AD 小明发现，除了直接用角度计算的方法外，还可以用下面两种方法： 45 方法 1：如图 2，作 AE平分CAB，与 CD相交于点 E 方法 2：如图 3，作DCF=DCB，与 AB相交于点 F来源: （1）根据阅读材料，任选一种方法，证明 AC=AD 用学过的知识或参考小明的方法，解决下面的问题： （2） 如图 4， ABC 中， 点 D在 AB 上， 点 E在 BC上， 且BDE=2ABC， 点 F在 BD上， 且AFE=BAC， 延长 DC、FE，相
43、交于点 G，且DGF=BDE 在图中找出与DEF相等的角，并加以证明； 若 AB=kDF，猜想线段 DE 与 DB的数量关系，并证明你的猜想 【答案】 （1）证明见解析； （2）DEF=FDG，证明见解析；结论：BD=kDE理由见解析. 【解析】 （1）方法一：如图 2中，作 AE平分CAB，与 CD相交于点 E AECAED， AC=AD； 方法二：如图 3 中，作DCF=DCB，与 AB相交于点 F 46 （2）如图 4 中，结论：DEF=FDG 理由：在DEF中，DEF+EFD+EDF=180 ， 在DFG 中，GFD+G+FDG=180 ， EFD=GFD，G=EDF， DEF=FDG
44、 结论：BD=kDE， 理由：如图 4中，如图延长 AC到 K，使得CBK=ABC， ABK=2ABC，EDF=2ABC， 47 【关键点拨】 本题考查三角形综合题、 三角形内角和定理、 三角形外角的性质、 全等三角形的判定和性质 相 似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考 压轴题 34已知：ABC和ADE 均为等边三角形，连接 BE，CD，点 F，G，H分别为 DE，BE，CD 中点 （1）当ADE 绕点 A 旋转时，如图 1，则FGH的形状为 ，说明理由； （2）在ADE 旋转的过程中，当 B，D，E 三点共线时，如图 2，若 AB=3，AD=2，求线段 FH 的长； （3）在ADE旋转的过程中，若 AB=a，AD=b（ab0） ，则FGH的周长是否存在最大值和最小值，若 存在，直接写出最大值和最小值；若不存在，说明理由 【答案】 （1）FGH 是等边三角形； （2）； （3）FGH 的周长最大值为 （a+b） ，最小值为 （ab） 【解析】 （1）结论：FGH
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