1、2020 年中考数学评价检测试卷年中考数学评价检测试卷 一、选择题 1在23 的“”中填入一个运算符号使运算结果最小（ ） A+ B C D 2据报道，目前我国“天河二号”超级计算机的运算速度位居全球第一，其运算速度达到 了每秒 338600000 亿次，数字 338600000 用科学记数法可表示为（ ） A3.386109 B0.3386109 C33.86107 D3.386108 3 如图是由 7 个同样大小的正方体摆成的几何体 将正方体移走后， 所得几何体 （ ） A主视图改变，俯视图改变 B左视图改变，俯视图改变 C俯视图不变，左视图改变 D主视图不变，左视图不变 4一元二次方程
2、4x2+13x 的根的情况是（ ） A没有实数根 B只有一个实数根 C有两个相等的实数根 D有两个不相等的实数根 5 如图， 以正五边形 ABCDE 的边 DE 为边作等边三角形 DEF， 使点 F 在其内部， 连结 FC， 则DFE 的大小是（ ） A76 B66 C60 D48 6在ABCD 中，ABBC，对角线 AC 的垂直平分线交 AD 于点 E，连结 CE，若ABCD 的 周长为 20cm，则CDE 的周长为（ ） A20cm B40cm C15cm D10cm 7如图，在平地上种植树木时，要求株距（相邻两树间的水平距离）为 4m如果在坡度为 1：2 的山坡上种树，也要求株距为 4m
3、，那么相邻两树间的坡面距离为（ ） A4m B2m Cm D8m 8如图，在平面直角坐标系中，矩形 OABC 的对角线 OB、AC 相交于点 D，BEAC，AE OB函数（k0，x0）的图象经过点 E若点 A、C 的坐标分别为（3，0）、 （0，2），则 k 的值为（ ） A3 B4 C4.5 D6 二、填空题（共 6 小题） 9计算：a2 a4 10关于 x 的方程 x+2a1 的解是负数，则 a 的取值范围是 11如图，以点 A 为圆心 2cm 长为半径画弧分别交MAN 的两边 AM、AN 于点 B、D； 以点 B 为圆心，AD 长为半径画弧，再以点 D 为圆心，AB 长为半径画弧，两弧交
4、于点 C； 分别连结 BC、CD、AC若MAN60，则ACB 的大小为 12如图，在 RtABC 中，ACB90，点 D、E、F 分别是 AB、AC、AD 的中点，若 AB8，则 EF 13如图所示，如果将矩形纸沿虚线对折后，沿虚线剪开，剪出一个直角三角形，展 开后得到一个等腰三角形则展开后三角形的周长是 14如图，在平面直角坐标系中，点 A、B 的坐标分别为（，2）、 （，2），连结 AB， 若函数 y（xh）2与线段 AB 有交点，则 h 的取值范围是 三、解答题（共 10 小题） 15先化简，再求值：（x1）2x（x3），其中 x1 16一个不透明的口袋中有 1 个红球、1 个黄球、1
5、个篮球，这些球除颜色不同外其他完全 相同，小刚同学从口袋中随机摸出一个球，记下颜色后放回并摇匀；再从口袋中随机摸 出一个球记下颜色，用画树状图或列表格的方法，求小刚同学摸出的小球一次红色一次 黄色的概率 17 我市经济技术开发区某智能手机有限公司接到生产 300 万部智能手机的订单， 为了尽快 交货，增开了一条生产线，实际每月生产能力比原计划提高了 50%，结果比原计划提前 5 个月完成交货，求每月实际生产智能手机多少万部 18如图，ABP 是等边三角形的顶点 A、B 均在O 上，PB 与O 相切于点 B，BC 为O 直径 （1）求证：PA 是O 的切线 （2）连结 OP，若 BC4，则 OP
6、 的长为 19图、图、图都是 66 的网格，每个小正方形的顶点称为格点ABC 顶点 A、 B、C 均在格点上在图、图、图给定网格中按要求作图，并保留作图痕迹 （1）在图中画出ABC 中 BC 边上的中线 AD （2）在图中画出ABC 的 AB 边上确定一点 E，使 AE2BE （3）在图中画出BMN，使得BMN 与ABC 是位似图形，且点 B 为位似中心，点 M、N 分别在 AB、BC 边上，位似比为 20某社区调查社区居民双休日的学习状况，采取下列调查方式： （1）下列调查方式最合理的是 （填序号） 从一幢高层住宅楼中选取 200 名居民； 从不同住宅楼中随机选取 200 名居民； 选取社区
7、内的 200 名在校学生 （2）将最合理的调查方式得到的数据制成了如下扇形统计图和条形统计图 补全条形统计图 在这次调查中，200 名居民中，在家学习的有 人 （3）请估计该社区 2000 名居民中双休日学习时间不少于 4 小时的人数 21某公司计划开发一批新产品，由甲、乙两个工厂同时加工这批产品乙工厂先加工了两 天后，维修设备，当维修完设备时，甲、乙两工厂加工的新产品数量相等，乙工厂再以 原来的工作效率继续加工这批产品 甲、 乙两工厂加工新产品的数量 y甲（件） 、 y乙（件） 与加工新产品的时间 x（天）的函数图象如图所示 （1）甲工厂每天加工 件新产品； （2）乙工厂维修设备的时间是多少
8、天； （3）求乙工厂维修设备后加工新产品的数量 y乙（件）与加工新产品的时间 x（天）的函 数关系式，并写出自变量 x 的取值范围 22【问题情境】 如图，在 RtABC 中，ACB90，ACBC，点 D 为 AB 中点，连结 CD，点 E 为 CB 上一点，过点 E 且垂直于 DE 的直线交 AC 于点 F易知：BECF（不需要证明） 【探索发现】 如图，在 RtABC 中，ACB90，ACBC，点 D 为 AB 中点，连结 CD，点 E 为 CB 的延长线上一点，过点 E 且垂直于 DE 的直线交 AC 的延长线于点 F 【问题情境】中的结论还成立吗？请说明理由 【类比迁移】 如图， 在等
9、边ABC 中， AB4， 点 D 是 AB 中点， 点 E 是射线 AC 上一点 （不与点 A、 C重合） ， 将射线DE绕点D逆时针旋转60交BC于点F 当CF2CE时， CE 23如图，在 RtABC 中，C90，ABC30，AC3动点 P 从点 C 出发以每秒 1 个单位的速度沿 CA 匀速向终点 A 运动，同时点 Q 从点 A 出发以每秒 2 个单位的速度 沿 AB 匀速向终点 B 运动，以 PC、PQ 为邻边构造平行四边形 PQMC，当点 P 到达点 A 时，点 Q 也随之停止运动设点 P 的运动时间为 t 秒 （1）求线段 AB 的长 （2）当 PQ 与ABC 的边平行或垂直时，求
10、 t 的值 （3）设平行四边形 PQMC 与ABC 重叠部分图形的面积为 S，求 S 与 t 的函数关系式 （4）以 PC 为边向左侧做正方形 PCEF，当正方形 PCEF 和平行四边形 PQMC 重叠部分 的图形是轴对称图形时，直接写出 t 的取值范围 24定义：关于 x 轴对称且对称轴相同的两条抛物线叫作“同轴对称抛物线” 例如：y（x1）22 的“同轴对称抛物线”为 y（x1）2+2 （1）满足什么条件的抛物线与其“同轴对称抛物线”的顶点重合： （2）求抛物线 yx2+x+1 的“同轴对称抛物线” （3）如图，在平面直角坐标系中，点 B 是抛物线 L：yax24ax+1 上一点，点 B
11、的横 坐标为 1， 过点 B 作 x 轴的垂线， 交抛物线 L 的 “同轴对称抛物线” 于点 C， 分别作点 B、 C 关于抛物线对称轴对称的点 B、C，连接 BC、CC、BC、BB，设四边形 BBCC 的面积为 S（S0） 当四边形 BBCC 为正方形时，求 a 的值 当抛物线 L 与其“同轴对称抛物线”围成的封闭区域内（不包括边界）共有 11 个横、 纵坐标均为整数的点时，直接写出 a 的取值范围 参考答案 一、选择题（共 8 小题，每小题 3 分，共 24 分） 1在23 的“”中填入一个运算符号使运算结果最小（ ） A+ B C D 【分析】把各运算符号放入“”中，计算得到结果，即可作
12、出判断 解：2+31，235，236，23， 651， 在23 的“”中填入一个运算符号“”使运算结果最小， 故选：C 2据报道，目前我国“天河二号”超级计算机的运算速度位居全球第一，其运算速度达到 了每秒 338600000 亿次，数字 338600000 用科学记数法可表示为（ ） A3.386109 B0.3386109 C33.86107 D3.386108 【分析】科学记数法的表示形式为 a10n的形式，其中 1|a|10，n 为整数确定 n 的值时，要看把原数变成 a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相 同当原数绝对值1 时，n 是正数；当原数的绝对值1 时，
13、n 是负数 解：将 338600000 用科学记数法表示为：3.386108 故选：D 3 如图是由 7 个同样大小的正方体摆成的几何体 将正方体移走后， 所得几何体 （ ） A主视图改变，俯视图改变 B左视图改变，俯视图改变 C俯视图不变，左视图改变 D主视图不变，左视图不变 【分析】分别得到将正方体移走前后的三视图，依此即可作出判断 解：几何体由上下两层组成，将正方体移走前的主视图为：上层有一个正方形，下层 有四个正方形， 正方体移走后的主视图为：上层有一个正方形，下层有四个正方形，没有改变； 将正方体移走前的左视图为：上层有一个正方形，下层有两个正方形， 正方体移走后的左视图为：上层有一
14、个正方形，下层有两个正方形，没有发生改变； 将正方体移走前的俯视图为：前面有两个正方形，后面有四个正方形， 正方体移走后的俯视图为：前面有一个正方形，后面有四个正方形，发生改变， 故选：D 4一元二次方程 4x2+13x 的根的情况是（ ） A没有实数根 B只有一个实数根 C有两个相等的实数根 D有两个不相等的实数根 【分析】根据方程的系数结合根的判别式，可得出70，进而可得出原方程无实 数根 解：原方程可变形为 4x23x+10， （3）244170， 一元二次方程 4x2+13x 没有实数根 故选：A 5 如图， 以正五边形 ABCDE 的边 DE 为边作等边三角形 DEF， 使点 F 在
15、其内部， 连结 FC， 则DFE 的大小是（ ） A76 B66 C60 D48 【分析】根据等边三角形的性质解答即可 解：因为DEF 是等边三角形， 所以DFE60， 故选：C 6在ABCD 中，ABBC，对角线 AC 的垂直平分线交 AD 于点 E，连结 CE，若ABCD 的 周长为 20cm，则CDE 的周长为（ ） A20cm B40cm C15cm D10cm 【分析】根据线段垂直平分线的性质和平行四边形的性质解答即可 解：对角线 AC 的垂直平分线交 AD 于点 E， AECE， ABCD 的周长为 20cm， AD+DC10cm， CDE 的周长DE+CE+CDAE+DE+CDA
16、D+CD10cm， 故选：D 7如图，在平地上种植树木时，要求株距（相邻两树间的水平距离）为 4m如果在坡度为 1：2 的山坡上种树，也要求株距为 4m，那么相邻两树间的坡面距离为（ ） A4m B2m Cm D8m 【分析】根据坡度的概念求出 AC，根据勾股定理求出 AB，得到答案 解：如图，AB 的坡度为 1：2， ，即， 解得，AC2， 由勾股定理得，AB2（m）， 故选：B 8如图，在平面直角坐标系中，矩形 OABC 的对角线 OB、AC 相交于点 D，BEAC，AE OB函数（k0，x0）的图象经过点 E若点 A、C 的坐标分别为（3，0）、 （0，2），则 k 的值为（ ） A3
17、B4 C4.5 D6 【分析】连接 DE，交 AB 于 F，先证明四边形 AEBD 是平行四边形，再由矩形的性质得 出 DADB，证出四边形 AEBD 是菱形，由菱形的性质得出 AB 与 DE 互相垂直平分，求 出 EF、AF，得出点 E 的坐标；把点 E 坐标代入求出 k 的值即可 解：BEAC，AEOB， 四边形 AEBD 是平行四边形， 四边形 OABC 是矩形，C 的坐标为（0，2）， DAAC，DBOB，ACOB，ABOC2， DADB， 四边形 AEBD 是菱形； 连接 DE，交 AB 于 F，如图所示： 四边形 AEBD 是菱形， AB 与 DE 互相垂直平分， OA3，OC2，
18、 EFDFOA，AFAB1，3+， 点 E 坐标为：（，1） 函数（k0，x0）的图象经过点 E， k1 故选：C 二、填空题（共 6 小题，每小题 3 分，共 18 分） 9计算：a2 a4 a6 【分析】根据同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加，进行运算即 可 解：a2 a4a2+4a6 故答案为：a6 10关于 x 的方程 x+2a1 的解是负数，则 a 的取值范围是 a0.5 【分析】解方程得出 x12a，由题意列出不等式，解之可得 解：x+2a1 的解为 x12a， 12a0， 则 a0.5， 故答案为：a0.5 11如图，以点 A 为圆心 2cm 长为半径画弧分别交
19、MAN 的两边 AM、AN 于点 B、D； 以点 B 为圆心，AD 长为半径画弧，再以点 D 为圆心，AB 长为半径画弧，两弧交于点 C； 分别连结 BC、CD、AC若MAN60，则ACB 的大小为 30 【分析】由题意可得四边形 ABCD 是菱形，可得 BCDA，CABCADMAN 30，即可求解 解：由题意可得：ABBCCDAD2cm， 四边形 ABCD 是菱形， BCDA，CABCADMAN30， ACBCAD30， 故答案为：30 12如图，在 RtABC 中，ACB90，点 D、E、F 分别是 AB、AC、AD 的中点，若 AB8，则 EF 2 【分析】利用直角三角形斜边中线定理以及
20、三角形的中位线定理即可解决问题 解：在 RtABC 中， D 是 AB 的中点，且 AB8， ADBD， CDAB4， AFDF，AEEC， EFCD2 故答案为：2 13如图所示，如果将矩形纸沿虚线对折后，沿虚线剪开，剪出一个直角三角形，展 开后得到一个等腰三角形则展开后三角形的周长是 2+2 【分析】 严格按照图的示意对折， 裁剪后得到的是直角三角形， 虚线为矩形的对称轴， 依据对称轴的性质虚线平分矩形的长，即可得到沿虚线裁下的直角三角形的短直角 边为 10241，虚线为斜边，据勾股定理可得虚线为，据等腰三角形底边 的高平分底边的性质可以得到， 展开后的等腰三角形的底边为 2， 故得到等腰
21、三角形的周 长 解：根据题意，三角形的底边为 2（1024）2，腰的平方为 32+1210， 因此等腰三角形的腰为， 因此等腰三角形的周长为：2+2 答：展开后等腰三角形的周长为 2+2 14如图，在平面直角坐标系中，点 A、B 的坐标分别为（，2）、 （，2），连结 AB， 若函数 y（xh）2与线段 AB 有交点，则 h 的取值范围是 h 【分析】由函数的解析式可知对称轴为 xh，当 h时，点（，2）在函数图象 上，当 h时，点（，2）在函数图象上，则可求 h 的范围 解：函数 y（xh）2， 对称轴为 xh， 当 h时，点（，2）在函数图象上， 则有 2（h）2， 解得 h或 h（舍），
22、 当 h时，点（，2）在函数图象上， 则有则有 2（h）2， 解得 h（舍）或 h， h时函数与线段 AB 有交点， 故答案为h 三、解答题（共 10 小题，共 78 分） 15先化简，再求值：（x1）2x（x3），其中 x1 【分析】根据整式的运算法则即可求出答案 解：原式x22x+1x2+3x x+1， 当 x1 时， 原式1+1 16一个不透明的口袋中有 1 个红球、1 个黄球、1 个篮球，这些球除颜色不同外其他完全 相同，小刚同学从口袋中随机摸出一个球，记下颜色后放回并摇匀；再从口袋中随机摸 出一个球记下颜色，用画树状图或列表格的方法，求小刚同学摸出的小球一次红色一次 黄色的概率 【分
23、析】列表得出所有等可能的情况数，找出摸出的小球一次红色一次黄色的情况，即 可求出所求概率 解：列表如下： 蓝 黄 红 蓝 （蓝，蓝） （黄，蓝） （红，蓝） 黄 （蓝，黄） （黄，黄） （红，黄） 红 （蓝，红） （黄，红） （红，红） 所有等可能的情况有 9 种，其中摸出的小球一次红色一次黄色的情况有 2 种， 所以摸出的小球一次红色一次黄色的概率为 17 我市经济技术开发区某智能手机有限公司接到生产 300 万部智能手机的订单， 为了尽快 交货，增开了一条生产线，实际每月生产能力比原计划提高了 50%，结果比原计划提前 5 个月完成交货，求每月实际生产智能手机多少万部 【分析】 设原计划每
24、月生产智能手机 x 万部， 则实际每月生产智能手机 （1+50%） x 万部， 根据工作时间工作总量工作效率结合提前 5 个月完成任务，即可得出关于 x 的分式 方程，解之经检验后即可得出结论 解：设原计划每月生产智能手机 x 万部，则实际每月生产智能手机（1+50%）x 万部， 根据题意得：5， 解得：x20， 经检验，x20 是原方程的解，且符合题意， （1+50%）x30 答：每月实际生产智能手机 30 万部 18如图，ABP 是等边三角形的顶点 A、B 均在O 上，PB 与O 相切于点 B，BC 为O 直径 （1）求证：PA 是O 的切线 （2）连结 OP，若 BC4，则 OP 的长为
25、 4 【分析】（1）由等边三角形的性质可得PABPBA60APB，由切线的性质 和等腰三角形的性质可得OABOBA30，可得结论； （2）由“ASA”可证ABCBPO，可得 OPBC4 【解答】证明：（1）如图，连接 OA，OP，AC， PB 与O 相切于点 B， PBO90， ABP 是等边三角形， ABPB，PABPBA60APB， OBA30， OAOB， OABOBA30， OAP90，且 OA 是半径， PA 是O 的切线； （2）PA 是O 的切线，PB 是O 的切线， OP 平分APB， OPBAPB30ABC， BC 是直径， BAC90PBO，且 ABPB，OPBABC， A
26、BCBPO（ASA） BCPB4， 故答案为：4 19图、图、图都是 66 的网格，每个小正方形的顶点称为格点ABC 顶点 A、 B、C 均在格点上在图、图、图给定网格中按要求作图，并保留作图痕迹 （1）在图中画出ABC 中 BC 边上的中线 AD （2）在图中画出ABC 的 AB 边上确定一点 E，使 AE2BE （3）在图中画出BMN，使得BMN 与ABC 是位似图形，且点 B 为位似中心，点 M、N 分别在 AB、BC 边上，位似比为 【分析】（1）根据中线的定义，结合网格即可得； （2）如图作出线段 PQ，根据 APBQ 且 AP2BQ，利用相似三角形的判定与性质即 可确定点 E； （
27、3）利用（2）中做法可得线段 MN，从而得出答案 解：（1）如图所示，AD 即为所求； （2）如图所示，点 E 即为所求； （3）如图所示，BMN 即为所求 20某社区调查社区居民双休日的学习状况，采取下列调查方式： （1）下列调查方式最合理的是 （填序号） 从一幢高层住宅楼中选取 200 名居民； 从不同住宅楼中随机选取 200 名居民； 选取社区内的 200 名在校学生 （2）将最合理的调查方式得到的数据制成了如下扇形统计图和条形统计图 补全条形统计图 在这次调查中，200 名居民中，在家学习的有 120 人 （3）请估计该社区 2000 名居民中双休日学习时间不少于 4 小时的人数 【分
28、析】（1）根据抽样调查的特点，可知最合理的是从不同住宅楼中随机选取 200 名居 民，从而可以解答本题； （2）根据统计图中的数据可以计算出在图书馆学习 4h 的人数，从而可以将条形统计 图补充完整； 根据统计图中的数据可以计算出在这次调查中， 200 名居民中， 在家学习的有多少人； （3）根据统计图中的数据可以计算出该社区 2000 名居民中双休日学习时间不少于 4 小 时的人数 解：（1）下列调查方式最合理的是从不同住宅楼中随机选取 200 名居民， 故答案为：； （2）在图书馆等场所学习的有：20030%60（人）， 在图书馆学习 4h 的有：60（14+16+6）603624（人），
29、 补全的条形统计图，如右图所示； 在这次调查中，200 名居民中，在家学习的有：20060%120（人）， 故答案为：120； （3）20001420（人）， 答：该社区 2000 名居民中双休日学习时间不少于 4 小时的有 1420 人 21某公司计划开发一批新产品，由甲、乙两个工厂同时加工这批产品乙工厂先加工了两 天后，维修设备，当维修完设备时，甲、乙两工厂加工的新产品数量相等，乙工厂再以 原来的工作效率继续加工这批产品 甲、 乙两工厂加工新产品的数量 y甲（件） 、 y乙（件） 与加工新产品的时间 x（天）的函数图象如图所示 （1）甲工厂每天加工 20 件新产品； （2）乙工厂维修设备的
30、时间是多少天； （3）求乙工厂维修设备后加工新产品的数量 y乙（件）与加工新产品的时间 x（天）的函 数关系式，并写出自变量 x 的取值范围 【分析】（1）根据甲工厂 8 天加工的件数和时间列式计算即可得解； （2）方法一：求出乙工厂加工 80 件的天数，再减去 2 即可； 方法二：利用待定系数法求出乙工厂的函数解析式，再求出 y80 时的 x 的值，然后减 去 2 即可； （3）先求出乙工厂 8 天加工的件数，再设 y乙与 x 的函数关系式为 y乙kx+b，利用待定 系数法求一次函数解析式解答 解：（1）160820（件）； 故答案为：20； （2）方法一：80204，422， 答：乙工厂维
31、修设备的时间是 2 天； 方法二：设 y甲与 x 的函数关系式为 y甲mx， 由题意，得 8m160， 解得 m20， y甲与 x 的函数关系式为 y甲20x， 当 y80 时，x4， 422（天）， 答：乙工厂维修设备的时间是 2 天； （3）乙工厂第 8 天共加工了（82）40240 件， 设 y乙与 x 的函数关系式为 y 乙kx+b， 由题意，得， 解得， y乙与 x 的函数关系式为 y 乙40x80 22【问题情境】 如图，在 RtABC 中，ACB90，ACBC，点 D 为 AB 中点，连结 CD，点 E 为 CB 上一点，过点 E 且垂直于 DE 的直线交 AC 于点 F易知：B
32、ECF（不需要证明） 【探索发现】 如图，在 RtABC 中，ACB90，ACBC，点 D 为 AB 中点，连结 CD，点 E 为 CB 的延长线上一点，过点 E 且垂直于 DE 的直线交 AC 的延长线于点 F 【问题情境】中的结论还成立吗？请说明理由 【类比迁移】 如图， 在等边ABC 中， AB4， 点 D 是 AB 中点， 点 E 是射线 AC 上一点 （不与点 A、 C 重合），将射线 DE 绕点 D 逆时针旋转 60交 BC 于点 F当 CF2CE 时，CE 3 或1+ 【分析】【问题情境】根据等腰直角三角形的性质和全等三角形的判定和性质定理即可 得到结论； 【探索发现】根据线段的
33、中点的定义得到 CDBD，求得DBCDCB45，得到 CDFBDE，推出 CFBE； 【类比迁移】根据等边三角形的性质得到AB60，求得BDFAED，设 CE x，则 CF2x，当点 E 在线段 AC 上时，如图，当点 E 在 AC 的延长线上时，根据 相似三角形的性质即可得到结论 解：【问题情境】证明：在 RtABC 中，ACB90，ACBC，点 D 为 AB 中点， CDAB，CDBDADAB，BCDB45， BDC90， EDF90， CDFBDE， 在BDE 与CDF 中， BDECDF（ASA）， BECF； 【探索发现】成立， 理由： 在 RtABC 中，D 为 AB 中点， CD
34、BD， 又ACBC， DCAB， DBCDCB45， DEDF， EDF90， EDB+BDFCDF+BDF90， CDFBDE， ADFCDE， AFCE， CFBE； 【类比迁移】ABC 是等边三角形， AB60， FDE60， BDF120ADE，AED120ADE， BDFAED， ADEBDF， ， 点 D 为 AB 中点，AB4， ADBD2，ACBC4， CF2CE， 设 CEx，则 CF2x， 当点 E 在线段 AC 上时， AE4x，BF42x， ， 解得：x3，x3+（不合题意，舍去）， CE3， 如图，当点 E 在 AC 的延长线上时， AE4+x，BF42x， ， 解得
35、：x1+，（负值舍去）， CE1+ 综上所述，CE3或1+， 故答案为：3或1+ 23如图，在 RtABC 中，C90，ABC30，AC3动点 P 从点 C 出发以每秒 1 个单位的速度沿 CA 匀速向终点 A 运动，同时点 Q 从点 A 出发以每秒 2 个单位的速度 沿 AB 匀速向终点 B 运动，以 PC、PQ 为邻边构造平行四边形 PQMC，当点 P 到达点 A 时，点 Q 也随之停止运动设点 P 的运动时间为 t 秒 （1）求线段 AB 的长 （2）当 PQ 与ABC 的边平行或垂直时，求 t 的值 （3）设平行四边形 PQMC 与ABC 重叠部分图形的面积为 S，求 S 与 t 的函
36、数关系式 （4）以 PC 为边向左侧做正方形 PCEF，当正方形 PCEF 和平行四边形 PQMC 重叠部分 的图形是轴对称图形时，直接写出 t 的取值范围 【分析】（1）由含 30角的直角三角形的性质即可得出答案； （2）当 PQAB 时，由直角三角形的性质得出 AP2AQ，得出 3t22t，则 t； 当 PQBC 时，由直角三角形的性质得出 AQ2AP，得出 2t2（3t），则 t； （3） 分两种情况当 0t时， 作 QGAC 于 G， 则 AGAQt， QGAG t，得出 S平行四边形 PQMCPCQGttt2； 当t3 时，求出 QHBQ（62t）3t，得出 S直角梯形 PCHQ 的
37、面 积（3t+t）tt； （4）分两种情况当 PQBC 时，则AQPABC30，APQACB90， AQ2AP，得出 2t2（3t），解得 t； 当正方形 PCEF 和平行四边形 PQMC 重叠部分的图形是等腰直角CPF 时， 则CPF 45，作 QDAC 于 D，则 ADAQt，QDADt，证出QPD 是等腰直 角三角形，得出 PDQDt，求出 t+t+t3，解得 t63 解：（1）在 RtABC 中，ACB90，ABC30，AC3， AB2AC6； （2）当 PQAB 时， BAC90ABC60， APQ90BAC30， AP2AQ， 由题意得：AQ2t，PCt， AP3t， 3t22t，
38、 解得：t； 当 PQBC 时，AQPABC30，APQACB90， AQ2AP， 2t2（3t）， 解得：t； 综上所述，当 PQ 与ABC 的边平行或垂直时，t 的值为秒或秒； （3）分两种情况： 当 0t时，作 QGAC 于 G，如图 1 所示： 则 AGAQt，QGAGt， S平行四边形 PQMCPCQGttt2； 即 St2（当 0t） 当t3 时，如图 2 所示： 四边形 PQMC 是平行四边形， QMPC， PCBC， QMBC， ABC30， QHBQ（62t）3t， S直角梯形 PCHQ 的面积（3t+t）tt； 即 St（t3）； （4）分两种情况： 当 PQBC 时，正方
39、形 PCEF 和平行四边形 PQMC 重叠部分的图形是正方形 PCEF， 轴对称图形， 如图 3 所示： 则AQPABC30，APQACB90，AQ2AP， 2t2（3t）， 解得：t； 当正方形 PCEF 和平行四边形 PQMC 重叠部分的图形是等腰直角CPF 时， 是轴对称 图形； 则CPF45， 作 QDAC 于 D，如图 4 所示： 则 ADAQt，QDADt， PQCM， QPD45， QPD 是等腰直角三角形， PDQDt， AD+PD+PCAC， t+t+t3， 解得：t63； 综上所述，当正方形 PCEF 和平行四边形 PQMC 重叠部分的图形是轴对称图形时，t 的 取值为或
40、63 24定义：关于 x 轴对称且对称轴相同的两条抛物线叫作“同轴对称抛物线” 例如：y（x1）22 的“同轴对称抛物线”为 y（x1）2+2 （1）满足什么条件的抛物线与其“同轴对称抛物线”的顶点重合： 顶点在 x 轴上 （2）求抛物线 yx2+x+1 的“同轴对称抛物线” （3）如图，在平面直角坐标系中，点 B 是抛物线 L：yax24ax+1 上一点，点 B 的横 坐标为 1， 过点 B 作 x 轴的垂线， 交抛物线 L 的 “同轴对称抛物线” 于点 C， 分别作点 B、 C 关于抛物线对称轴对称的点 B、C，连接 BC、CC、BC、BB，设四边形 BBCC 的面积为 S（S0） 当四边
41、形 BBCC 为正方形时，求 a 的值 当抛物线 L 与其“同轴对称抛物线”围成的封闭区域内（不包括边界）共有 11 个横、 纵坐标均为整数的点时，直接写出 a 的取值范围 【分析】（1）由定义可知顶点关于 x 轴对称且重合，此时顶点必在 x 轴上； （2）求出函数的顶点（1，），由“同轴对称抛物线”的定义，求出它的顶点为（1， ），即可求解析式； （3）由题意可求点 B，C，B，C的坐标，再由正方形的性质可得 26a2 或 6a2 2，求出 a 即可；由题意可知围成的封闭区域内，在 x 轴上的整数点可以是 3 个或 5 个，则 L 与 x 轴围城的区域的整数点为 4 个或 3 个；分两种情况
42、 a0 时和 a0 时，分 别考虑图象边界点的情况即可确定 a 的取值 解：（1）“同轴对称抛物线”的顶点重合， 顶点关于 x 轴对称且重合， 顶点在 x 轴上， 故答案为：顶点在 x 轴上； （2）yx2+x+1（x1）2+， “同轴对称抛物线”的顶点坐标为（1，）， y（x1）2； （3）由题可知，B（1，13a）， C（1，3a1）， 抛物线 yax24ax+1 的对称轴为 x2， B（3，13a），C（3，3a1）， BBCC2， BC26a 或 BC6a2， 26a2 或 6a22， a0（舍去）或 a； 函数的对称轴为 x2，函数 L 的顶点坐标为（2，14a）， L 与“同轴对称抛物线”是关于 x 轴对称的，所以整数点也是对称的出现， 抛物线 L 与其“同轴对称抛物线”围成的封闭区域内，在 x 轴上的整数点可以是 3 个 或 5 个， L 与 x 轴围城的区域的整数点为 4 个或 3 个； 当 a0 时， 当 x1 时，213a1，a1， 当 x2 时，14a2，a， a1； 当 a0 时， 当 x2 时，14a2，a， 当 x1 时，5a+10，a， a； 综上所述：a1 或a
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