1、2018-2019 学年湖南省娄底市高二（上）期末数学试卷（文科）一、选择题：本大题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只分在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的有一项是符合题目要求的 1 （5 分）设命题 p：x0，|x|x，则p 为（ ） Ax0，|x|x Bx00，|x0|x0 Cx0，|x|x Dx00，|x0|x0 2 （5 分）已知 Ax|yln（x2+9），By|y2x，则 AB（ ） A （0，3 B （0，ln9 C （3，0） D （0，3） 3 （5 分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体
2、积为（ ） A6 B8 C10 D12 4 （5 分）执行如图所示的程序框图，则输出的 S（ ） A B C D 第 2 页（共 20 页） 5 （5 分）函数的图象大致为（ ） A B C D 6 （5 分）设点 A 的坐标为，点 P 在抛物线 y28x 上移动，P 到直线 x1 的 距离为 d，则 d+|PA|的最小值为（ ） A1 B2 C3 D4 7 （5 分）已知函数的图象在点（1，f（1） ）处的切线与直线 xey+20 平行， 则 a（ ） A1 Be Ce D1 8 （5 分）有甲、乙、丙、丁四位大学生参加创新设计大赛，只有其中一位获奖，有人走访 了这四位大学生，
3、甲说： “是丙获奖 ” 乙说： “是丙或丁获奖， ” 丙说： “乙、 丁都未获奖 “” 丁说： “我获奖了， ”这四位大学生的话只有两人说的是对的，则获奖的大学生是（ ） A甲 B乙 C丙 D丁 9 （5 分）已知等比数列an的各项均为正数，且 a1，a2成等差数列，则 q（ ） A B C D或 10 （5 分）在ABC 中， “A+B”是 sinAcosB 的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 11 （5 分）已知函数在区间 上单调递增将函数 f（x）的图象向左平移个单位长度，再向下平移 2 个 单位长度得到函
4、数 g（x）的图象，且当时，g（x）2，4，则 a 的 取值范围是（ ） 第 3 页（共 20 页） A B C D 12 （5 分）设 F1是双曲线的一个焦点，A1，A2是 C 的两个 顶点，C 上存在一点 P，使得 PF1与以 A1A2为直径的圆相切于 Q，且 Q 是线段 PF1的中 点，则 C 的渐近线方程为（ ） A B C Dy2x 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分把答案填在答题卡中的横线上分把答案填在答题卡中的横线上 13 （5 分）若 x，y 满足约束条件，则 z2x3y 的最小值为 14 （5 分）
5、函数在（0，e2上的最大值是 15 （5 分）将正整数排成如图，则在表中第 45 行第 83 个数是 16 （5 分）已知 x0，y0，且+2，若 4x+y7mm2恒成立，则 m 的取值范围 为 三、解答题：本大题共三、解答题：本大题共 6 小题，共小题，共 70 分解答应写出文字说明、证明过分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤程或演算步骤 17 （10 分）在等差数列an中，a57，a2+a612 （1）求an的通项公式； （2）设 bn，求数列，bn的前 n 项和 Sn 18 （12 分）在ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c
6、，已知 2cos2Acos2B1， b+2acosC0 （1）求 C； （2）若，求ABC 的周长 19 （12 分）已知动圆 C 过定点 F（2，0） ，且与直线 x2 相切，圆心 C 的轨迹为 E， （1）求 E 的轨迹方程； （2）若直线 l 交 E 与 P，Q 两点，且线段 PQ 的中心点坐标（1，1） ，求|PQ| 第 4 页（共 20 页） 20 （12 分）设函数 f（x）（x+1）2+axex （1）若 a1，求 f（x）的极值； （2）若 a1，求 f（x）的单调区间 21 （12 分）已知椭圆 M：的左、右焦点分别为 F1，F2，过 F2且垂 直于 x 轴的焦点弦的弦长为，
7、过 F1的直线 l 交椭圆 M 于 G，H 两点，且GHF2的 周长为 （1）求椭圆 M 的方程； （2）已知直线 l1，l2互相垂直，直线 l1过 F1且与椭圆 M 交于点 A，B 两点，直线 l2过 F2且与椭圆 M 交于 C，D 两点求的值 22 （12 分）已知函数 （1）当 a0，求函数 f（x）的单调区间； （2）若函数 f（x）在（2，+）上是减函数，求 a 的最小值； （3）证明：当 x0 时， 第 5 页（共 20 页） 2018-2019 学年湖南省娄底市高二（上）期末数学试卷（文科）学年湖南省娄底市高二（上）期末数学试卷（文科） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、
8、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只分在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的有一项是符合题目要求的 1 （5 分）设命题 p：x0，|x|x，则p 为（ ） Ax0，|x|x Bx00，|x0|x0 Cx0，|x|x Dx00，|x0|x0 【分析】利用全称命题的否定是图象命题，写出结果即可 【解答】解：因为全称命题的否定是推出明天吧，所以命题 p：x0，|x|x，则p 为： x00，|x0|x0 故选：D 【点评】本题考查命题的否定，特称命题与全称命题的否定关系，是基本知识的考查
9、 2 （5 分）已知 Ax|yln（x2+9），By|y2x，则 AB（ ） A （0，3 B （0，ln9 C （3，0） D （0，3） 【分析】分别求出集合 A 和 B，由此能求出 AB 【解答】解：Ax|yln（x2+9）x|3x3， By|y2xy|y0， ABx|0x3（0，3） 故选：D 【点评】本题考查交集的求法，考查交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解 能力，是基础题 3 （5 分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ） A6 B8 C10 D12 第 6 页（共 20 页） 【分析】由三视图还原原几何体，该几何体为组合体，下半部分为正方体，棱长为 2，上
10、 半部分为直三棱柱，高为 2，底面是等腰直角三角形，直角边长为，再由正方体与棱 柱的体积公式求解 【解答】解：由三视图还原原几何体如图， 该几何体为组合体，下半部分为正方体，棱长为 2， 上半部分为直三棱柱，高为 2，底面是等腰直角三角形，直角边长为， 则该几何体的体积 V 故选：C 【点评】本题考查由三视图求面积、体积，关键是由三视图还原原几何体，是中档题 4 （5 分）执行如图所示的程序框图，则输出的 S（ ） A B C D 【分析】由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量 S 第 7 页（共 20 页） +的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，
11、可 得答案 【解答】解：模拟程序的运行，可得该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量 S +的值， 可得 S+ 故选：B 【点评】本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得 出正确的结论，是基础题 5 （5 分）函数的图象大致为（ ） A B C D 【分析】先用奇偶性排除 C，D再用 0x1 时，f（x）的符号排除 B 【解答】解：因为 f（x）f（x） ，所以 f（x）为奇函数，图象关于原 点对称，排除 C，D， 因为 f（1）0，0x1 时，f（x）0，所以排除 B 故选：A 【点评】本题考查了函数的图象与图象变换属中档题 6 （5 分）设点 A 的
12、坐标为，点 P 在抛物线 y28x 上移动，P 到直线 x1 的 距离为 d，则 d+|PA|的最小值为（ ） A1 B2 C3 D4 【分析】求得抛物线的准线方程和焦点，由题意可得 d+|PA|的最小值即为（d+1）+|PA| 1 的最小值，由抛物线的定义可得即为|PA|+|PF|1 的最小值，运用三点共线取得最值 可得所求最小值 【解答】解：抛物线 y28x 的准进行方程为 x2，焦点为 F（2，0） ， 第 8 页（共 20 页） P 到直线 x1 的距离为 d，可得 P 到直线 x2 的距离为 d+1， 则 d+|PA|的最小值即为（d+1）+|PA|1 的最小值， 由抛物线的定义可得
13、|PF|d+1， 即有（d+1）+|PA|1 的最小值为|PA|+|PF|1 的最小值， 可得当 A， P， F 三点共线时， |PA|+|PF|1 取得最小值|AF|1 1413 故选：C 【点评】本题考查抛物线的定义、方程和性质，注意运用转化思想和定义法、三点共线 取得最值的性质，考查运算能力，属于基础题 7 （5 分）已知函数的图象在点（1，f（1） ）处的切线与直线 xey+20 平行， 则 a（ ） A1 Be Ce D1 【分析】求出函数的导数，求出切线的斜率，列出方程求解 a 即可 【解答】解：函数，可得， 函数的图象在点（1，f（1） ）处的切线与直线 xey+20 平行， ，
14、 所以 a1 故选：D 【点评】本题考查函数的导数的应用，切线方程的求法，考查计算能力 第 9 页（共 20 页） 8 （5 分）有甲、乙、丙、丁四位大学生参加创新设计大赛，只有其中一位获奖，有人走访 了这四位大学生， 甲说： “是丙获奖 ” 乙说： “是丙或丁获奖， ” 丙说： “乙、 丁都未获奖 “” 丁说： “我获奖了， ”这四位大学生的话只有两人说的是对的，则获奖的大学生是（ ） A甲 B乙 C丙 D丁 【分析】直接利用推理的应用和假设法的应用求出结果 【解答】解：若甲获奖，则甲乙丁说的是错的，丙说的是对的，不符合题意 若乙获奖，则甲乙丙丁这四个人说的全是错的，不符合题意
15、若丙获奖，则甲乙丙三人说的是对的，丁说的是错的，不符合题意 若丁获奖，则甲丙说的是错的，丁说的是对的，符合题意 故选：D 【点评】本题考查的知识要点：推理的应用，主要考查学生的逻辑思维能力和推理能力， 属于基础题型 9 （5 分）已知等比数列an的各项均为正数，且 a1，a2成等差数列，则 q（ ） A B C D或 【分析】由题意可得 q0，由等差数列的中项性质和等比数列的通项公式，解方程即可 得到所求 q 的值 【解答】解：等比数列an的各项均为正数，且 q0，由 a1，a2成等差数列， 可得 a3a1+a2， 即有 a1q2+a1+a1q， 即有 q2q10， 解得 q， 故
16、选：C 【点评】本题考查等比数列的通项公式和等差数列中项性质，考查方程思想和运算能力， 属于基础题 10 （5 分）在ABC 中， “A+B”是 sinAcosB 的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 【分析】根据诱导公式和充要条件的定义，可得结论 第 10 页（共 20 页） 【解答】解：若 A+B，则 sinAsin（B）cosB， 若 sinAcosB，则 sinAsin（B） ， 因为 A，B，C 为三角形的内角，所以 AB，或 A+B， 即 A+B或 AB， 即“A+B”是 sinAcosB 的充分不必要条件 故选：A 【点评】
17、本题考查的知识点是充要条件的定义，难度不大，属于基础题 11 （5 分）已知函数在区间 上单调递增将函数 f（x）的图象向左平移个单位长度，再向下平移 2 个 单位长度得到函数 g（x）的图象，且当时，g（x）2，4，则 a 的 取值范围是（ ） A B C D 【分析】先进行化简，结合函数的单调性，求出 1，结合函数平移关系求出 g（x）的 解析式，结合函数的取值范围和值域关系建立不等式关系进行求解即可 【解答】解：f（x）8sin（x）cos（x）+24sin（x）+2， f（x）在区间上单调递增， x， 则满足，即，得 0， N ，1，即 f（x）4sin（x）+2， 将函数 f（x）的
18、图象向左平移个单位长度得到 y4sin（x+）+2， 再向下平移 2 个单位长度得到函数 g（x）的图象，即 g（x）4sin（x+）， 当时，x+，a+， 第 11 页（共 20 页） 则 （x+）， （a+）， 设 t（x+） ， 则 t， （a+）， 但 t 时，y4sint4（）2， 要使当时，g（x）2，4， 则（a+）， 得a+，得a1， 故选：B 【点评】本题主要考查三角函数的图象和性质，结合倍角公式先求函数的解析式，结合 三角函数的单调性和值域关系建立不等式关系是解决本题的关键，难度中等 12 （5 分）设 F1是双曲线的一个焦点，A1，A2是 C 的两个 顶点，C 上存在一点
19、 P，使得 PF1与以 A1A2为直径的圆相切于 Q，且 Q 是线段 PF1的中 点，则 C 的渐近线方程为（ ） A B C Dy2x 【分析】运用中位线定理，可得 OMPF2，|OM|PF2|，再由双曲线的定义，以及直 线和圆相切的性质，运用勾股定理得到，则 C 的渐近线方程可求 【解答】解：由于 O 为 F1F2的中点，Q 为线段 PF1的中点， 第 12 页（共 20 页） 则由中位线定理可得 OQPF2，|OQ|PF2|， 由 PF1与以线段 A1A2为直径的圆相切于点 Q， 则|OQ|a，|PF2|2a， 由双曲线的定义可得，|PF1|PF2|2a， 即有|PF1|4a， 由 OQ
20、PF1，由勾股定理可得 a2+（2a）2c2， 即 5a2a2+b2，则 4a2b2，即 C 的渐近线方程为 y 故选：C 【点评】本题考查双曲线的定义和性质，考查双曲线渐近线方程的求法，考查直线和圆 相切的条件，以及中位线定理和勾股定理的运用，考查运算能力，是中档题 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分把答案填在答题卡中的横线上分把答案填在答题卡中的横线上 13 （5 分）若 x，y 满足约束条件，则 z2x3y 的最小值为 1 【分析】首先画出可行域，关键目标函数的几何意义求最小值 【解答】解：由约束条件得到可行域如图：z2x3
21、y 变形为 yx，当此直线经过 图中 A（1，1）时，在 y 轴的截距最大，z 最小，所以 z 的最小值为 21311； 故答案为：1 第 13 页（共 20 页） 【点评】本题考查了简单线性规划问题；正确画出可行域，利用目标函数的几何意义求 最值是常规方法 14 （5 分）函数在（0，e2上的最大值是 【分析】求出导函数，求解极值点，然后判断函数的单调性求解函数的最大值即可 【解答】解：函数，令 f（x）0，解得 xe 因为 0ee2，函数 f（x）在 x（0，e上单调递增，在 xe，e2单调递减； xe 时，f（x）取得最大值，f（e） 故答案为： 【点评】本题考查函数的导数的应用，熟练掌
22、握利用导数研究函数的单调性、极值与最 值是解题的关键 15 （5 分）将正整数排成如图，则在表中第 45 行第 83 个数是 2019 【分析】根据题意，分析可得每一行最后一个数的规律得到第 n 行的最后一个数为 n2， 即可得第 44 行的最后数，据此分析可得答案 【解答】解：根据题意，由因为每行的最后一个数分别为 1，4，9，16，所以由此归 纳出第 n 行的最后一个数为 n2， 则第 44 行的最后数为 4421936， 第 14 页（共 20 页） 则第 45 行第 1 个数为 1937， 故第 45 行第 83 个数为 2019； 故答案为：2019 【点评】本题考查归纳推理的应用，
23、关键是分析各行的变化规律，属于基础题 16 （5 分）已知 x0，y0，且+2，若 4x+y7mm2恒成立，则 m 的取值范围为 （，3）（4，+） 【分析】由已知可得 4x+y（4x+y） （），利用基本不等式可求其最值，然后 由 4x+y7mm2恒成立，可知（4x+y）min7mm2，可求 【解答】解：x0，y0，且+2， 4x+y（4x+y） （）12， 当且仅当且即 x，y6 时取得最小值 12， 4x+y7mm2恒成立， 127mm2， 解可得 m4 或 m3， 则 m 的取值范围为（4，+）（，3） ， 故答案为： （4，+）（，3） 【点评】本题主要考查了基本不等式在求解最值中的
24、应用，一元二次不等式的解法，恒 成立问题与最值问题的转化是求解本题的关键 三、解答题：本大题共三、解答题：本大题共 6 小题，共小题，共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17 （10 分）在等差数列an中，a57，a2+a612 （1）求an的通项公式； （2）设 bn，求数列，bn的前 n 项和 Sn 【分析】 （1）等差数列an的公差设为 d，运用等差数列的通项公式，解方程即可得到所 求通项； （2）求得 bn（） ，由数列的裂项相 消求和，化简计算可得所求和 【解答】解： （1）等差数列an的公差设为 d，a57，a2+a612，
25、第 15 页（共 20 页） 可得 a1+4d7，2a1+6d12， 解得 a13，d1， 可得 ana1+（n1）d3+n1n+2； （2）bn（） ， 可得前 n 项和 Sn（+） （+） 【点评】本题考查等差数列的通项公式的运用，考查数列的求和方法：裂项相消求和， 考查化简运算能力，属于基础题 18 （12 分）在ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，已知 2cos2Acos2B1， b+2acosC0 （1）求 C； （2）若，求ABC 的周长 【分析】 （1）由已知结合二倍角公式及正弦定理可得 b22a2，然后结合 b+2acosC0， 可求 cosC，进而可求 C
26、， （2）由（1）及余弦定理即可求解 a，b，进而可求周长 【解答】解： （1）2cos2Acos2B1， 2（12sin2A）（12sin2B）1， 2sin2Asin2B， 由正弦定理 可得，b22a2， b+2acosC0 0， cosC， C（0，） ， C， （2），C， 由余弦定理可得，10， 5a2， 第 16 页（共 20 页） ，b2， ABC 的周长 2 【点评】本题主要考查了二倍角公式正弦定理，余弦定理的简单应用，属于基础试题 19 （12 分）已知动圆 C 过定点 F（2，0） ，且与直线 x2 相切，圆心 C 的轨迹为 E， （1）求 E 的轨迹方程； （2）若直线
27、l 交 E 与 P，Q 两点，且线段 PQ 的中心点坐标（1，1） ，求|PQ| 【分析】 （1）利用动圆 C 过定点 F（2，0） ，且与直线 l1：x2 相切，所以点 C 的轨 迹是以 F 为焦点 x2 为基准线的抛物线，即可求动点 C 的轨迹方程； （2）先利用点差法求出直线的斜率，再利用韦达定理，结合弦长公式，即可求|PQ| 【解答】解： （1）由题设知，点 C 到点 F 的距离等于它到直线 x2 的距离， 所以点 C 的轨迹是以 F 为焦点 x2 为基准线的抛物线， 所以所求 E 的轨迹方程为 y28x （2）由题意已知，直线 l 的斜率显然存在，设直线 l 的斜率为 k，P（x1，
28、y1） ，Q（x2， y2） ， 则有，两式作差得 y12y228（x1x2）即得， 因为线段 PQ 的中点的坐标为（1，1） ，所以 k4， 则直线 l 的方程为 y14（x1） ，即 y4x3， 与 y28x 联立得 16x232x+90， 得， 【点评】本题考查轨迹方程，考查直线与抛物线的位置关系，考查学生的计算能力，属 于中档题 20 （12 分）设函数 f（x）（x+1）2+axex （1）若 a1，求 f（x）的极值； （2）若 a1，求 f（x）的单调区间 【分析】 （1）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，从而求 出函数的极值即可； （2）求出函数的导数，
29、解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可 第 17 页（共 20 页） 【解答】解： （1）a1 时，f（x）（x+1）2+xex， f（x）（x+1） （ex+2） ， 令 f（x）0，解得：x1， 令 f（x）0，解得：x1， 故 f（x）在（，1）递减，在（1，+）递增， 故 f（x）极小值f（1），无极大值； （2）证明：a1 时，f（x）（x+1）2xex， f（x）（x+1） （2ex） ， 令 f（x）0，解得：x1 或 xln20， 故 x（，1） ， （ln2，+）时，f（x）0， x（1，ln2）时，f（x）0， 故 f（x）在（1，ln2）递增，在（，1） ， （ln
30、2，+）递减 【点评】本题考查了函数的单调性，极值问题，考查导数的应用以及转化思想，是一道 常规题 21 （12 分）已知椭圆 M：的左、右焦点分别为 F1，F2，过 F2且垂 直于 x 轴的焦点弦的弦长为，过 F1的直线 l 交椭圆 M 于 G，H 两点，且GHF2的 周长为 （1）求椭圆 M 的方程； （2）已知直线 l1，l2互相垂直，直线 l1过 F1且与椭圆 M 交于点 A，B 两点，直线 l2过 F2且与椭圆 M 交于 C，D 两点求的值 【分析】 （1）将 xc 代入，求出通过GHF2的周长为， 求解 a，然后求解 b 即可得到椭圆 M 的方程 （2） （i）当直线 AB、直线
31、CD 的斜率存在且不为 0 时，设直线 AB 的方程为 yk（x+2） ， 则直线 CD 的方程为 联立直线椭圆椭圆的方程组通过韦达定理以及弦长公 式求解即可 （ii）当直线 AB 的斜率不存在时， （iii）当直线 AB 的斜率为 0 时，直接求解即可 第 18 页（共 20 页） 【解答】解： （1）将 xc 代入，得，所以 因为GHF2的周长为，所以， 将代入，可得 b24， 所以椭圆 M 的方程为 （2） （i）当直线 AB、直线 CD 的斜率存在且不为 0 时， 设直线 AB 的方程为 yk（x+2） ，则直线 CD 的方程为 由消去 y 得（2k2+1）x2+8k2x+8k280
32、由韦达定理得， 所以， 同理可得. （ii）当直线 AB 的斜率不存在时， （iii）当直线 AB 的斜率为 0 时， 综上， 【点评】本题考查直线与椭圆的位置关系的应用，椭圆方程的求法，考查转化思想以及 计算能力 22 （12 分）已知函数 （1）当 a0，求函数 f（x）的单调区间； （2）若函数 f（x）在（2，+）上是减函数，求 a 的最小值； （3）证明：当 x0 时， 【分析】 （1）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可； （2）求出函数的导数，根据导函数的单调性求出导函数的最大值，从而求出 a 的范围即 第 19 页（共 20 页） 可； （3）问题等价于
33、令 m（x）x2lnx，根据函数的单调 性求出函数的最值，从而证明结论 【解答】解：函数 f（x）的定义域为（0，1）（1，+） ， （1）函数， 当 0xe 且 x1 时，f'（x）0；当 xe 时，f'（x）0， 所以函数 f（x）的单调递减区间是（0，1） ， （1，e） ，单调递增区间是（e，+） （2）因 f（x）在（2，+）上为减函数， 故在（2，+）上恒成立 所以当 x（2，+）时，f'（x）max0 又， 故当，即 xe2时， 所以，于是，故 a 的最小值为 （3）证明：问题等价于 令 m（x）x2lnx，则 m'（x）2xlnx+xx（2lnx+1） ， 当时，m（x）x2lnx 取最小值 设，则， 故 h（x）在（0，2）上单调递增，在（2，+）上单调递减 ， ， m（x）minh（x）max， 第 20 页（共 20 页） 故当 x0 时， 【点评】本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及转化思想，是一道 综合题
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