1、2018-2019 学年湖南省衡阳八中高二（下）期末数学试卷（文科）一、选择题（共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，满分分，满分 60 分）分） 1 （5 分）若复数 zm（m1）+（m1）i 是纯虚数，其中 m 是实数，则（ ） Ai Bi C2i D2i 2 （5 分）已知集合 A0，1，2，3，By|yx2+1，xR，PAB，则 P 的子集个数 为（ ） A4 B6 C8 D16 3 （5 分）已知函数 f（x），若 f（a）3，则实数 a 的值为（ ） A2 B2 C2 D2 或3 4 （5 分）若 a0.20.2，b1.20.2，clog1.20.2，则（ ） Aabc Bc
2、ab Cbca Dacb 5 （5 分）如图 1 为某省 2018 年 14 月快递义务量统计图，图 2 是该省 2018 年 14 月快 递业务收入统计图，下列对统计图理解错误的是（ ） A2018 年 14 月的业务量，3 月最高，2 月最低，差值接近 2000 万件 B2018 年 14 月的业务量同比增长率超过 50%，在 3 月最高 C从两图来看，2018 年 14 月中的同一个月快递业务量与收入的同比增长率并不完全 一致 第 2 页（共 23 页） D从 14 月来看，该省在 2018 年快递业务收入同比增长率逐月增长 6 （5 分）已知数列an
3、中，a32，a71若数列为等差数列，则 a9（ ） A B C D 7 （5 分）已知，且，则（ ） A0 B C1 D 8 （5 分）已知函数 f（x）xsinx，f'（x）为 f（x）的导函数，则函数 f'（x）的部分图象大 致为（ ） A B C D 9 （5 分）在边长为 3 的等边ABC 中，点 M 满足，则（ ） A B C6 D 10 （5 分） 若函数 f （x） Asin （x+） （其中 A0， |） 图象的一个对称中心为 （， 0） ，其相邻一条对称轴方程为 x，该对称轴处所对应的函数值为1，为了得到 g （x）cos2x 的图象，则只要将 f
4、（x）的图象（ ） A向右平移个单位长度 B向左平移个单位长度 C向左平移个单位长度 第 3 页（共 23 页） D向右平移个单位长度 11 （5 分）已知抛物线 C：y22px（p0）的焦点为 F，准线 l 与 x 轴的交点为 A，M 是抛 物线C上的点， 且MFx轴， 若以AF为直径的圆截直线AM所得的弦长为2， 则p （ ） A2 B2 C4 D4 12 （5 分）已知函数，当 xm，m+1时，不等式 f（2mx） f（x+m）恒成立，则实数 m 的取值范围是（ ） A （，4） B （，2） C （2，2） D （，0） 二、填空题：本大
5、题共二、填空题：本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分把答案填在答题卡的相应位置分把答案填在答题卡的相应位置 13 （5 分）若实数 x，y 满足约束条件，则 z3xy 的最小值等于 14 （5 分）若正方体 ABCDA1B1C1D1的棱长为 3，E 为正方体内任意一点，则 AE 的长度 大于 3 的概率等于 15 （5 分）已知长方体 ABCDA1B1C1D1的外接球体积为，且 AA1BC2，则直线 A1C 与平面 BB1C1C 所成的角为 16 （5 分）在ABC 中，已知 c2，若 sin2A+sin2BsinAsin
6、Bsin2C，则 a+b 的取值范 围 三、解答题：共三、解答题：共 70 分解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤；第分解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤；第 17-21 题为必考题，题为必考题， 每个试题考生都必须作答第每个试题考生都必须作答第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答 （一）必考题：题为选考题，考生根据要求作答 （一）必考题：60 分分 17 （12 分）设 Sn为数列an的前 n 项和， （1）证明：数列an为等差数列，并求 an； （2）设 bn2Sn3n，求数列的前 n 项和 Tn 18 （12 分）峰谷电是目前在城市居民当中开展的一种电价类别它是
7、将一天 24 小时划分 成两个时间段，把 8：0022：00 共 14 小时称为峰段，执行峰电价，即电价上调；22： 00次日 8：00 共 10 个小时称为谷段，执行谷电价，即电价下调为了进一步了解民众 对峰谷电价的使用情况，从某市一小区随机抽取了 50 户住户进行夏季用电情况调查，各 第 4 页（共 23 页） 户月平均用电量以100， 300） ， 300， 500） ， 500， 700） ， 700， 900） ， 900， 1100） ， 1100， 1300（单位：度）分组的频率分布直方图如图所示若将小区月平均用电量不低于 700 度的住户称为“大用户” ，月平均用电量低于 70
8、0 度的住户称为“一般用户” 其中，使 用峰谷电价的户数如表： 月平均用 电量（度） 100， 300） 300，500） 500，700） 700，900） 900，1100） 1100，1300 使用峰谷 电价的户 数 3 9 13 7 2 1 （1）估计所抽取的 50 户的月均用电量的众数和平均数（同一组中的数据用该组区间的 中点值作代表） ； （2） （i）将“一般用户”和“大用户”的户数填入下面 22 的列联表： 一般用户 大用户 使用峰谷电价的用户 不使用峰谷电价的用户 （ii）根据（i
9、）中的列联表，能否有 99%的把握认为“用电量的高低”与“使用峰谷电 价”有关？ 附：， P（K2k） 0.025 0.010 0.001 k 5.024 6.635 10.828 19 （ 12 分 ） 已 知 椭 圆经 过 点， 左 焦 点 第 5 页（共 23 页） ，直线 l：y2x+m 与椭圆 C 交于 A，B 两点，O 是坐标原点 （1）求椭圆 C 的标准方程； （2）若OAB 面积为 1，求直线 l 的方程 20 （12 分）如图，在四棱锥 SABCD 中，底面 ABCD 是菱形，SBSD （1）证明：BDSA； （2）若面 SBD面 ABCD，SBSD，BAD60，AB1，求
10、B 到平面 SAD 的距离 21 （12 分）已知函数 f（x）lnx2ax，aR （1）求函数 f（x）的单调区间； （2）若不等式 f（x）xax2在 x1 时恒成立，求 a 的取值范围 （二）选考题：共（二）选考题：共 10 分请考生在分请考生在 22、23 题中任选一题作答如果多做，则按所做的第题中任选一题作答如果多做，则按所做的第 一题计分一题计分选修选修 4-4：坐标系与参数方程：坐标系与参数方程 22 （10 分）在直角坐标系 xOy 中，直线 l 的参数方程为（t 为参数） 在极 坐标系（与直角坐标系 xOy 取相同的长度单位，且以原点 O 为极点，以 x 轴正半轴
11、为极 轴）中，圆 C 的方程为 2sin （1）求圆 C 的直角坐标方程； （2）设圆 C 与直线 l 交于点 A、B，若点 P 的坐标为（1，） ，求|PA|+|PB|的值 选修选修 4-5：不等式选讲：不等式选讲 23关于 x 的不等式|x2|m（mN*）的解集为 A，且A，A （1）求 m 的值； （2）若 a，b，c 均为正实数，且 ab+bc+camabc，求证：a+4b+9c36 第 6 页（共 23 页） 2018-2019 学年湖南省衡阳八中高二（下）期末数学试卷（文科）学年湖南省衡阳八中高二（下）期末数学试卷（文科） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题（共一、选
12、择题（共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，满分分，满分 60 分）分） 1 （5 分）若复数 zm（m1）+（m1）i 是纯虚数，其中 m 是实数，则（ ） Ai Bi C2i D2i 【分析】由纯虚数的定义可得 m0，故，化简可得 【解答】解：复数 zm（m1）+（m1）i 是纯虚数，故 m（m1）0 且（m1） 0， 解得 m0，故 zi，故i 故选：A 【点评】本题考查复数的分类和复数的乘除运算，属基础题 2 （5 分）已知集合 A0，1，2，3，By|yx2+1，xR，PAB，则 P 的子集个数 为（ ） A4 B6 C8 D16 【分析】可解出 By|y1，从而进行交集的运算
13、即可得出 P1，2，3，从而根据组 合知识即可得出集合 P 的子集个数 【解答】解：By|y1，A0，1，2，3； PAB1，2，3； P 的子集个数为： 故选：C 【点评】考查列举法、描述法的定义，交集的运算，以及集合子集个数的求法 3 （5 分）已知函数 f（x），若 f（a）3，则实数 a 的值为（ ） A2 B2 C2 D2 或3 【分析】当 a1 时，f（a）3，解得 a2；当 a1 时，f（a）a213， 解得 a2 或 a2（舍） 由此能求出实数 a 的值 第 7 页（共 23 页） 【解答】解：函数 f（x），f（a）3， 当 a1 时，f（a）3，解得 a2； 当 a1 时，
14、f（a）a213，解得 a2 或 a2（舍） 综上，实数 a 的值为2 故选：C 【点评】本题考查函数值的求法，考查函数性质等基础知识，考查运算求解能力，考查 函数与方程思想，是基础题 4 （5 分）若 a0.20.2，b1.20.2，clog1.20.2，则（ ） Aabc Bcab Cbca Dacb 【分析】容易得出 00.20.21，1.20.21，log1.20.20，从而可得出 a，b，c 的大小关 系 【解答】解：00.20.20.201，1.20.21.201，log1.20.2log1.210； cab 故选：B 【点评】考查指数函数、对数函数的单调性，增函数和减函数的定义
15、5 （5 分）如图 1 为某省 2018 年 14 月快递义务量统计图，图 2 是该省 2018 年 14 月快 递业务收入统计图，下列对统计图理解错误的是（ ） A2018 年 14 月的业务量，3 月最高，2 月最低，差值接近 2000 万件 第 8 页（共 23 页） B2018 年 14 月的业务量同比增长率超过 50%，在 3 月最高 C从两图来看，2018 年 14 月中的同一个月快递业务量与收入的同比增长率并不完全 一致 D从 14 月来看，该省在 2018 年快递业务收入同比增长率逐月增长 【分析】根据统计图，结合对应数据分别进行判断即可 【
16、解答】解：选项 A，B 显然正确； 对于选项 C，2 月份业务量同比增长率为 53%，而收入的同比增长率为 30%，所以 C 是 正确的 ；对于选项 D，1，2，3，4 月收入的同比增长率分别为 55%，30%，60%，42%，并不 是逐月增长，D 错误 故选：D 【点评】本题主要考查合情推理的应用，结合统计数据进行判断是解决本题的关键比 较基础 6 （5 分）已知数列an中，a32，a71若数列为等差数列，则 a9（ ） A B C D 【分析】利用等差数列的通项公式及其性质即可得出 【解答】解：依题意得：a32，a71，因为数列为等差数列， 所以， 所以， 所以， 故选：D 【点评】本题考
17、查了等差数列的通项公式及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于 中档题 7 （5 分）已知，且，则（ ） A0 B C1 D 【分析】解法一：由题意先求出角 ，从而求得的值 第 9 页（共 23 页） 解法二：由题意求得 cos（） ，再根据 cos（）+吧， 利用两角差的三角公式求得结果 【解答】解：由，且，可得， 代入，可得cos01， 故选：C 解法二：由，且，可得， 所以 ， 故选：C 【点评】本题主要考查两角和差的三角公式的应用，属于基础题 8 （5 分）已知函数 f（x）xsinx，f'（x）为 f（x）的导函数，则函数 f'（x）的部分图象大 致为（ ） A B
18、 C D 【分析】先求出函数的导数，判断函数的奇偶性以及函数的单调性，利用排除法进行求 解即可 【解答】解：函数的导数 f'（x）sinx+xcosx 为奇函数，图象关于原点对称，排除 C，D， 设 g（x）f'（x） ，则 g'（x）2cosxxsinx，g'（0）20，排除 B， 故选：A 第 10 页（共 23 页） 【点评】本题主要考查函数图象的识别和判断，利用排除法是解决本题的关键 9 （5 分）在边长为 3 的等边ABC 中，点 M 满足，则（ ） A B C6 D 【分析】将转化为三角形边上的向量后再相乘可得 【解答】解：依题
19、意得： ， 故选：D 【点评】本题考查了平面向量数量积的性质及其运算，属基础题 10 （5 分） 若函数 f （x） Asin （x+） （其中 A0， |） 图象的一个对称中心为 （， 0） ，其相邻一条对称轴方程为 x，该对称轴处所对应的函数值为1，为了得到 g （x）cos2x 的图象，则只要将 f（x）的图象（ ） A向右平移个单位长度 B向左平移个单位长度 C向左平移个单位长度 D向右平移个单位长度 【分析】由函数的图象的顶点坐标求出 A，由周期求出 ，由五点法作图求出 的值， 可得 f（x）的解析式，再根据函数 yAsin（x+）的图象变换规律，
20、诱导公式，得出 结论 【解答】解：根据已知函数 f（x）Asin（x+） （其中 A0，|）的图象过点（，0） ， （，1） ， 可得 A1， 解得：2 第 11 页（共 23 页） 再根据五点法作图可得 2+， 可得：， 可得函数解析式为：f（x）sin（2x+） 故把 f（x）sin（2x+）的图象向左平移个单位长度， 可得 ysin（2x+）cos2x 的图象， 故选：B 【点评】本题主要考查由函数 yAsin（x+）的部分图象求解析式，由函数的图象的 顶点坐标求出 A，由周期求出 ，由五点法作图求出 的值，函数 yAsin（x+）的 图象变换规律，诱导公式的应用，属于中档题 11 （5
21、 分）已知抛物线 C：y22px（p0）的焦点为 F，准线 l 与 x 轴的交点为 A，M 是抛 物线C上的点， 且MFx轴， 若以AF为直径的圆截直线AM所得的弦长为2， 则p （ ） A2 B2 C4 D4 【分析】求出直线 AM 的方程，根据垂径定理列方程得出 p 的值 【解答】解：把 x代入 y22px 可得 yp，不妨设 M 在第一象限， 则 M（，p） ， 又 A（，0） ，直线 AM 的方程为 yx+，即 xy+0， 原点 O 到直线 AP 的距离 d， 以 AF 为直径的圆截直线 AM 所得的弦长为 2， ，解得 p2 故选：B 【点评】本题考查了抛物线的性质，直线
22、与圆的位置关系，属于中档题 12 （5 分）已知函数，当 xm，m+1时，不等式 f（2mx） f（x+m）恒成立，则实数 m 的取值范围是（ ） A （，4） B （，2） C （2，2） D （，0） 第 12 页（共 23 页） 【分析】先判断分段 f（x）在 xR 上单调递减，再把 f（2mx）f（x+m）化为 2mx x+m，求 2xm 在 xm，m+1上恒成立时 m 的取值范围即可 【解答】解：当 x0 时，f（x）+4 单调递减，且 f（x）f（0）5； 当 x0 时，f（x）x3x+5，f（x）3x210，f（x）单调递减，且 f（x） f（0）5； 所以函数在 xR 上单调递
23、减， 因为 f（2mx）f（x+m） ，所以 2mxx+m， 即 2xm，在 xm，m+1上恒成立， 所以 2（m+1）m， 解得 m2 即 m 的取值范围是（，2） 故选：B 【点评】本题考查了判断分段函数的单调性与应用问题，也考查了不等式恒成立问题， 是中档题 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分把答案填在答题卡的相应位置分把答案填在答题卡的相应位置 13 （5 分）若实数 x，y 满足约束条件，则 z3xy 的最小值等于 【分析】作出不等式组对应的平面区域，通过目标函数的几何意义，利用数形结合即可 的得到结论 【解
24、答】解：依题意，可行域为如图所示的阴影部分的三角形区域，目标函数化为：y 3xz， 则 z 的最小值即为动直线在 y 轴上的截距的最大值通过平移可知在 A 点处动直线在 y 轴上的截距最大 因为解得， 所以 z3xy 的最小值 故答案为： 第 13 页（共 23 页） 【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用 z 的几何意义，通过数形结合是解决本题 的关键 14 （5 分）若正方体 ABCDA1B1C1D1的棱长为 3，E 为正方体内任意一点，则 AE 的长度 大于 3 的概率等于 1 【分析】先求以 A 为球心，3 为半径的球的个球体的体积，再结合几何概型中的体积 型运算可得解 【解答】解：
25、由题意可知总的基本事件为正方体内的点，其体积 3327， 满足|AE|3 的基本事件为以 A 为球心，3 为半径的球内部在正方体中的部分的点， 其体积为， 由几何概型中的体积型可得： 则 AE 的长度大于 3 的概率 故答案为：1 【点评】本题考查了几何概型中的体积型及球的定义，属中档题 15 （5 分）已知长方体 ABCDA1B1C1D1的外接球体积为，且 AA1BC2，则直线 A1C 与平面 BB1C1C 所成的角为 【分析】求出长方体 ABCDA1B1C1D1的外接球半径为 R2，从而 A1C ， 进而 由 A1B1平面BB1C1C， 得 A1C与平面BB1C1C 所成的角为A1CB1，
26、由此能求出直线 A1C 与平面 BB1C1C 所成的角 第 14 页（共 23 页） 【解答】解：设长方体 ABCDA1B1C1D1的外接球半径为 R， 因为长方体 ABCDA1B1C1D1的外接球体积为，所以 R2， 即 A1C， 因为 AA1BC2，所以 因为 A1B1平面 BB1C1C， 所以 A1C 与平面 BB1C1C 所成的角为A1CB1， 在 RtA1CB1中，因为 AA1BC2， 所以， 所以 故答案为： 【点评】该题考查线面角的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系，考查运 算求解能力，考查数形结合思想，是中档题 16 （5 分）在ABC 中，已知 c2，若 sin2A
27、+sin2BsinAsinBsin2C，则 a+b 的取值范围 （2，4 【分析】sin2A+sin2BsinAsinBsin2C，由余弦定理可得：a2+b2abc2，再利用余弦 定理可得 C由正弦定理可得：，解出 a，b 代入 a+b， 利用和差公式、三角函数的单调性与值域即可得出 【解答】解：sin2A+sin2BsinAsinBsin2C，由余弦定理可得：a2+b2abc2， 可得 cosC，C（0，） ，C 第 15 页（共 23 页） 由正弦定理可得：， asinA，bsinB，BA 则 a+bsinA+sinBsinA+sin（A） 4sin， A，sin， a+b（2，4 故答案
28、为： （2，4 【点评】本题考查了正弦定理余弦定理、和差公式、三角函数的单调性与值域，考查了 推理能力与计算能力，属于中档题 三、解答题：共三、解答题：共 70 分解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤；第分解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤；第 17-21 题为必考题，题为必考题， 每个试题考生都必须作答第每个试题考生都必须作答第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答 （一）必考题：题为选考题，考生根据要求作答 （一）必考题：60 分分 17 （12 分）设 Sn为数列an的前 n 项和， （1）证明：数列an为等差数列，并求 an； （2）设 bn2Sn3n，求数列的前 n 项和
29、Tn 【分析】 （1）直接利用递推关系式求出数列的通项公式，进一步利用定义证明数列为等 差数列 （2）利用（1）的结论，进一步利用裂项相消法求出数列的和 【解答】解： （1）证明：当 n2 时，anSnSn12n2+5n2（n1）25（n1） 4n+3， 当 n1 时，a1S17， 也满足 an4n+3，故 an4n+3 an+1an4， 数列an是首项为 7 公差为 4 的等差数列，an4n+3 （2）， ， 第 16 页（共 23 页） ， 【点评】本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，裂项相消法在数列求和 中的应用，主要考察学生的运算能力和转换能力，属于基础题型 18 （12
30、分）峰谷电是目前在城市居民当中开展的一种电价类别它是将一天 24 小时划分 成两个时间段，把 8：0022：00 共 14 小时称为峰段，执行峰电价，即电价上调；22： 00次日 8：00 共 10 个小时称为谷段，执行谷电价，即电价下调为了进一步了解民众 对峰谷电价的使用情况，从某市一小区随机抽取了 50 户住户进行夏季用电情况调查，各 户月平均用电量以100， 300） ， 300， 500） ， 500， 700） ， 700， 900） ， 900， 1100） ， 1100， 1300（单位：度）分组的频率分布直方图如图所示若将小区月平均用电量不低于 700 度的住户称为“大用户”
31、，月平均用电量低于 700 度的住户称为“一般用户” 其中，使 用峰谷电价的户数如表： 月平均用 电量（度） 100， 300） 300，500） 500，700） 700，900） 900，1100） 1100，1300 使用峰谷 电价的户 数 3 9 13 7 2 1 （1）估计所抽取的 50 户的月均用电量的众数和平均数（同一组中的数据用该组区间的 中点值作代表） ； （2） （i）将“一般用户”和“大用户”的户数填入下面 22 的列联表： 一般用户 大用户 使用峰谷电价的用户 25 10 不使用峰谷电价的用户 5 10 （ii
32、）根据（i）中的列联表，能否有 99%的把握认为“用电量的高低”与“使用峰谷电 价”有关？ 附：， P（K2k） 0.025 0.010 0.001 第 17 页（共 23 页） k 5.024 6.635 10.828 【分析】 （1）根据频率分布直方图能求出 100 度到 300 度的频率，并能估计所抽取的 50 户的月均用电量的众数和平均数 （2）依题意，作出 22 列联表，求出 K2的观测值，从而不能有 99%的把握认为“用电 量的高低”与“使用峰谷电价”有关 【解答】解： （1）根据频率分布直方图的得到 100 度到 300 度的频率为： 10.0012000.00152000.00
33、122000.00062000.00022000.1， （2 分） 估计所抽取的 50 户的月均用电量的众数为：（度） ； （3 分） 估计所抽取的 50 户的月均用电量的平均数为： （度） （6 分） （2）依题意，22 列联表如下： 一般用户 大用户 使用峰谷电价的用户 25 10 不使用峰谷电价的用户 5 10 （8 分）K2的观测值（11 分） 所以不能有 99%的把握认为“用电量的高低”与“使用峰谷电价”有关 （12 分） 【点评】本题考查频率、众数、平均数的求法，考查独立性检验的应用，考查频率分布 直方图等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是基础题 19 （ 12 分
34、） 已 知 椭 圆经 过 点， 左 焦 点 ，直线 l：y2x+m 与椭圆 C 交于 A，B 两点，O 是坐标原点 第 18 页（共 23 页） （1）求椭圆 C 的标准方程； （2）若OAB 面积为 1，求直线 l 的方程 【分析】 （1）利用焦点坐标求出 c，利用椭圆的圆的求出 a，然后求解 b，即可得到椭圆 方程 （2）设 A（x1，y1） ，B（x2，y2） ，由消去 y，通过判别式，弦长公式，利用 三角形的面积求出 m，即可得到直线方程 【 解 答 】 解 ：（ 1 ） 依 题 意 可 得 解 得， 右 焦 点， 0 ）， ，所以 a2，则 b2a2c21， 所以椭圆 C 的标准方程
35、为 （2）设 A（x1，y1） ，B（x2，y2） ，由得 17x2+16mx+4m240， 则（16m）24174（m21）16m2+1617 由0 得 m217，则， 所以 因为 O 到 AB 的距离， 所以 得，直线 l 的方程为 【点评】本题考查椭圆的简单性质以及椭圆方程的求法，直线与椭圆的位置关系的综合 应用，考查转化思想以及计算能力 20 （12 分）如图，在四棱锥 SABCD 中，底面 ABCD 是菱形，SBSD （1）证明：BDSA； （2）若面 SBD面 ABCD，SBSD，BAD60，AB1，求 B 到平面 SAD 的距离 第 19 页（共 23 页） 【分析】
36、 （1）连接 AC 交 BD 于 O，连接 SO，推导出 BDSO，BD面 SAC，由此能证 明 BDSA （2）推导出 SO 是三棱锥 SABD 的高，设 B 到平面 SAD 的距离为 h，由 VBSADVS ABD，由此能求出 B 到平面 SAD 的距离 【解答】 （本小题满分 12 分） 证明： （1）连接 AC 交 BD 于 O，连接 SO（1 分） 在菱形 ABCD 中，BDAC，O 是 BD 的中点， 又因为 SBSD，所以 BDSO，又 ACSOO， 所以 BD面 SAC（4 分） 又 SA面 SAC，所以 BDSA（5 分） 解： （2）因为面 SBD面 ABCD，面 SBD面
37、 ABCDBD，SOBD，SO面 SBD， 所以 SO面 ABCD，即 SO 是三棱锥 SABD 的高（7 分） 依题意可得，ABD 是等边三角形，所以 BDAD1， 在等腰 RtSBD， （9 分） 经计算得，SA1， 等腰三角形 ASD 的面积为（10 分） 设 B 到平面 SAD 的距离为 h， 则由 VBSADVSABD，得，解得， 所以 B 到平面 SAD 的距离为（12 分） 第 20 页（共 23 页） 【点评】本题考查线面垂直的证明，考查点到平面的距离的求法，考查空间中线线、线 面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题 21 （1
38、2 分）已知函数 f（x）lnx2ax，aR （1）求函数 f（x）的单调区间； （2）若不等式 f（x）xax2在 x1 时恒成立，求 a 的取值范围 【分析】 （1）求出函数的导数，通过讨论 a 的范围，求出函数的单调区间； （2）不等式等价于 lnx+ax2（2a+1）x0 在 x1 恒成立，令 g（x）lnx+ax2（2a+1） x，x1，求出函数的导数，根据函数的单调性确定 a 的范围即可 【解答】解： （1）f（x）2a（x0） ， 若 a0，f（x）0，f（x）在（0，+）递增， 若 a0，令 f（x）0，解得：x， 故 f（x）在（0，）递增，在（，+）递减， 综上，若 a0，
39、f（x）在（0，+）递增， 若 a0，f（x）在（0，）递增，在（，+）递减； （2）不等式考核 lnx+ax2（2a+1）x0 在 x1 恒成立， 令 g（x）lnx+ax2（2a+1）x，x1， g（x）， 若 a0，g（x）0，g（x）在（1，+）递减， 故 g（x）g（1）a1， 故不等式恒成立等价于a10，故 a1， 故1a0， 第 21 页（共 23 页） 若 0a，则1， 当 1x时，g（x）0， 当 x时，g（x）0， 故 g（x）在（1，）递减，在（，+）递增， 故 g（x）g（） ，+） ，不合题意， 若 a，当 x1 时，g（x）0， 故 g（x）在（1，+）递增， 故
40、g（x）（g（1） ，+） ，不合题意， 综上，a1，0 【点评】本题考查了函数的单调性，最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，转 化思想，是一道综合题 （二）选考题：共（二）选考题：共 10 分请考生在分请考生在 22、23 题中任选一题作答如果多做，则按所做的第题中任选一题作答如果多做，则按所做的第 一题计分一题计分选修选修 4-4：坐标系与参数方程：坐标系与参数方程 22 （10 分）在直角坐标系 xOy 中，直线 l 的参数方程为（t 为参数） 在极 坐标系（与直角坐标系 xOy 取相同的长度单位，且以原点 O 为极点，以 x 轴正半轴为极 轴）中，圆 C 的方程为 2sin （1
41、）求圆 C 的直角坐标方程； （2）设圆 C 与直线 l 交于点 A、B，若点 P 的坐标为（1，） ，求|PA|+|PB|的值 【分析】 （1）圆 C 的方程 l 转化为，由此能求出圆 C 的直角坐标方 程 （2）将直线 l 的参数方程为代入5，得， 由此能求出|PA|+|PB| 【解答】解： （1）圆 C 的方程为 2sin，即， 圆 C 的直角坐标方程为 x2+y22y， 第 22 页（共 23 页） 即 x2+（y）25 （2）将直线 l 的参数方程为（t 为参数）代入5，得： （1+t）2+（t）25，即， 2+160， 设 t1，t2是上述方程的根，则 t1+t2，t1t24， 点
42、 P 的坐标为（1，） ， |PA|+|PB|t1t2|3 【点评】本题考查圆的直角坐标方程的求法，考查两线段和的求法，考查直角坐标方程、 参数方程、极坐标方程等基础知识，考查运算求解能力，是中档题 选修选修 4-5：不等式选讲：不等式选讲 23关于 x 的不等式|x2|m（mN*）的解集为 A，且A，A （1）求 m 的值； （2）若 a，b，c 均为正实数，且 ab+bc+camabc，求证：a+4b+9c36 【分析】 （1）根据题意可得|2|m，|m，即可求出 m 的值， （2）由 1）及以及条件知+1，再利用乘 1 法即可证明 【解答】解： （1）A，A， |2|m，|m， m， mN*， m1 证明（2） ：由（1）及以及条件知+1，a，b，c 均为正实数， a+4b+9c（a+4b+9c） （+）14+ 14+2+2+236， 当且仅当 a2b3c 时等号成立， 第 23 页（共 23 页） 故 a+4b+9c36 【点评】本题主要考基本不等式，不等式的解法，体现了转化论的数学思想，属于基础 题
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