1、人教版人教版 2019-2020 学年学年八年级（下）期中数学试卷八年级（下）期中数学试卷 姓名姓名 座号座号 题号 一 二 三 总分 得分 考后反思（我思我进步） ：考后反思（我思我进步） ： 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 12 小题，每小题小题，每小题 3 分，共分，共 36 分在每小题给出的四个分在每小题给出的四个 选项中，只有一项是正确的，请将正确答案的字母代号填入对应题目后的选项中，只有一项是正确的，请将正确答案的字母代号填入对应题目后的括括 号内）号内） 1 （3 分）下列四个图形分别是四届国际数学家大会的会标，其中属于中心对称 图形的有（ ） A1 个 B2 个 C3
2、 个 D4 个 2 （3 分）如果一个多边形的内角和是外角和的 5 倍，那么这个多边形的边数是 （ ） A10 B11 C12 D13 3 （3 分）在一个直角三角形中，有一个锐角等于 60，则另一个锐角的度数是 （ ） A75 B60 C45 D30 4 （3 分）如图，BAC=90，ADBC，则图中与ABD 互余的角有（ ） A2 个 B3 个 C4 个 D5 个 5 （3 分）如图，若在象棋棋盘上建立直角坐标系，使“帥”位于点（1，2） ， “馬”位于点（2，2） ，则“兵”位于点（ ） A （1，2） B （2，1） C （3，1） D （1，2） 6 （3 分）如图所示，在ABCD
3、中，对角线 AC、BD 交于点 O，下列式子中一定 成立的是（ ） AACBD BOA=OC CAC=BD DAO=OD 7 （3 分）下列说法正确的是（ ） A对角线互相垂直的四边形是菱形 B矩形的对角线互相垂直 C一组对边平行的四边形是平行四边形 D四边相等的四边形是菱形 8 （3 分） 如图所示， 在矩形 ABCD 中， O 是 BC 的中点， AOD=90， 若矩形 ABCD 的周长为 30cm，则 AB 的长为（ ） A5 cm B10 cm C15 cm D7.5 cm 9 （3 分）如图，正方形 ABCD 中，DAF=25，AF 交对角线 BD 于点 E，那么 BEC 等于（ ）
4、 A45 B60 C70 D75 10 （3 分）在平面直角坐标系中，点 P（m3，42m）不可能在（ ） A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 11 （3 分）任意一条线段 EF，其垂直平分线的尺规作图痕迹如图所示若连接 EH、HF、FG，GE，则下列结论中，不一定正确的是（ ） AEGH 为等腰三角形 BEGF 为等边三角形 C四边形 EGFH 为菱形 DEHF 为等腰三角形 12 （3 分）如图，在 RtABC 中，C=90，BC=3，AC=4，点 P 在 RtABC 内且 满足 SABC=3SPAC，则点 P 到 A，C 两点距离之和 PA+PC 的最小值为（ ） A1+ B
5、2 C D 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 6 小题，每小题小题，每小题 3 分，共分，共 18 分）请将答案填在答题卷上分）请将答案填在答题卷上. 第第 14 题图题图 13 （3 分）在平面直角坐标系中，点（4，4）在第 象限 14 （3 分）如图，在ABCD 中，BEAB 交对角线 AC 于点 E，若1=20，则2 的度数为 15 （3 分） 已知菱形 ABCD 的两条对角线长分别为 4 和 5， 则其面积为 16 （3 分）如图，在菱形 ABCD 中，BAD=80，AB 的垂直平分线交对角线 AC 于点 F，E 为垂足，连接 DF，则CDF 的度数= 度 17 （3 分）如图
6、所示，已知ABCD，下列条件：AC=BD，AB=AD，1= 2，ABBC 中，能说明ABCD 是矩形的有（填写序号） 18 （3 分）在平面直角坐标系中，小明做走棋的游戏，其走法是：棋子从原点 出发，第 1 步向右走 1 个单位，第 2 步向右走 2 个单位，第 3 步向上走 1 个 单位，第 4 步向右走 1 个单位依此类推，第 n 步的走法是：当 n 能被 3 整除 时，则向上走 1 个单位；当 n 被 3 除，余数为 1 时，则向右走 1 个单位；当 n 被 3 除，余数为 2 时，则向右走 2 个单位，当走完第 100 步时，棋子所处位 置的坐标是 三、解答题（本大题共三、解答题（本大
7、题共 8 题，共题，共 66 分）分） 19 （6 分）如图，这是某市部分简图，请以火车站为坐标原点建立平面直角坐 标系，并分别写出各地的坐标 20 （6 分）如图，顺次连结四边形 ABCD 各边中点 E，F，G，H，得到的四边形 EFGH，求证：四边形 EFGH 是平行四边形 21 （8 分）如图，矩形 ABCD 和矩形 AEFG 关于点 A 中心对称， （1）四边形 BDEG 是菱形吗？请说明理由 （2）若矩形 ABCD 面积为 8，求四边形 BDEG 的面积 22 （8 分）如图，在ABC 和DCB 中，A=D=90，AC=BD，AC 与 BD 相交 于点 O （1）求证：ABCDCB；
8、 （2）求证：OBC 是等腰三角形 23 （8 分） 如图所示， AD 为ABC 的角平分线， DEAC 于点 E， DFAB 于点 F， EF 交 AD 于点 M，求证：AMEF 24 （8 分）如图所示，在菱形 ABCD 中，AEBC，E 为垂足，且 BE=CE，AB=2， 求： （1）BAD 的度数； （2）对角线 AC 的长及菱形 ABCD 的周长 25 （10 分）如图，矩形 ABCD 中，AC、BD 相交于 O，AE 平分BAD 交 BC 于 E， 若CAE=15，求BOE 的度数 26 （12 分）平行四边形 ABCD 中，AB=2cm，BC=12cm，B=45，点 P 在边 B
9、C 上，由点 B 向点 C 运动，速度为每秒 2cm，点 Q 在边 AD 上，由点 D 向点 A 运动，速度为每秒 1cm，连接 PQ，设运动时间为 t 秒 （1）当 t 为何值时，四边形 ABPQ 为平行四边形； （2）设四边形 ABPQ 的面积为 ycm2，请用含有 t 的代数式表示 y 的值； （3）当 P 运动至何处时，四边形 ABPQ 的面积是ABCD 面积的四分之三？ 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 12 小题，每小题小题，每小题 3 分，共分，共 36 分在每小题给出的四个分在每小题给出的四个 选项中，只有一项是正确的，请将正确答案
10、的字母代号填入对应题目后的选项中，只有一项是正确的，请将正确答案的字母代号填入对应题目后的括括 号内）号内） 1 （3 分）下列四个图形分别是四届国际数学家大会的会标，其中属于中心对称 图形的有（ ） A1 个 B2 个 C3 个 D4 个 【分析】根据中心对称图形的概念即可求解 【解答】解：第一个图形是中心对称图形， 第二个图形不是中心对称图形， 第三个图形是中心对称图形， 第四个图形不是中心对称图形， 故选：B 【点评】此题主要考查了中心对称图形，关键是掌握中心对称图形的定义 2 （3 分）如果一个多边形的内角和是外角和的 5 倍，那么这个多边形的边数是 （ ） A10 B11 C12 D
11、13 【分析】根据多边形的内角和公式（n2）180与外角和定理列出方程，然后 求解即可 【解答】解：设这个多边形是 n 边形， 根据题意得， （n2）180=5360， 解得 n=12 故选：C 【点评】 本题考查了多边形的内角和公式与外角和定理，多边形的外角和与边数 无关，任何多边形的外角和都是 360 3 （3 分）在一个直角三角形中，有一个锐角等于 60，则另一个锐角的度数是 （ ） A75 B60 C45 D30 【分析】根据直角三角形两锐角互余的性质列式进行计算即可得解 【解答】解：在一个直角三角形中，有一个锐角等于 60， 另一个锐角的度数是 9060=30 故选：D 【点评】本题
12、主要考查了直角三角形两锐角互余的性质，是基础题，熟记性质是 解题的关键 4 （3 分）如图，BAC=90，ADBC，则图中与ABD 互余的角有（ ） A2 个 B3 个 C4 个 D5 个 【分析】此题直接利用直角三角形两锐角之和等于 90的性质即可顺利解决 【解答】解：BAC=90 ABD+C=90； 又ADBC， BDA=90， ABD+BAD=90， 故图中与ABD 互余的角有 2 个 故选：A 【点评】本题主要考查了直角三角形的性质，根据互余定义，找到与ABD 和为 90的角即可 5 （3 分）如图，若在象棋棋盘上建立直角坐标系，使“帥”位于点（1，2） ， “馬”位于点（2，2） ，
13、则“兵”位于点（ ） A （1，2） B （2，1） C （3，1） D （1，2） 【分析】直接利用已知点坐标得出原点位置，进而得出答案 【解答】解：如图所示：兵”位于点为： （3，1） 故选：C 【点评】此题主要考查了坐标确定位置，正确得出原点位置是解题关键 6 （3 分）如图所示，在ABCD 中，对角线 AC、BD 交于点 O，下列式子中一定 成立的是（ ） AACBD BOA=OC CAC=BD DAO=OD 【分析】根据平行四边形的对角线互相平分即可判断 【解答】解：A、菱形的对角线才相互垂直故不对 B、根据平行四边形的对角线互相平分可知此题选 B C、只有平行四边形为矩形时，其对角
14、线相等，故也不对 D、只有平行四边形为矩形时，其对角线相等且平分故也不对 故选：B 【点评】此题主要考查平行四边形的性质即平行四边形的对角线互相平分 7 （3 分）下列说法正确的是（ ） A对角线互相垂直的四边形是菱形 B矩形的对角线互相垂直 C一组对边平行的四边形是平行四边形 D四边相等的四边形是菱形 【分析】 直接利用菱形的判定定理、矩形的性质与平行四边形的判定定理求解即 可求得答案 【解答】解：A、对角线互相垂直且平分的四边形是菱形；故本选项错误； B、矩形的对角线相等，菱形的对角线互相垂直；故本选项错误； C、两组对边分别平行的四边形是平行四边形；故本选项错误； D、四边相等的四边形是
15、菱形；故本选项正确 故选：D 【点评】此题考查了矩形的性质、菱形的判定以及平行四边形的判定注意掌握 各特殊平行四边形对角线的性质是解此题的关键 8 （3 分） 如图所示， 在矩形 ABCD 中， O 是 BC 的中点， AOD=90， 若矩形 ABCD 的周长为 30cm，则 AB 的长为（ ） A5 cm B10 cm C15 cm D7.5 cm 【分析】首先证明ABODCO，推出 OA=OB，由AOD=90，推出OAD= ODA=45， 由BAD=CDA=90， 推出BAO=CDO=45， 推出BAO=AOB， CDO=COD，推出 AB=BO=OC=CD，设 AB=CD=x，则 BC=
16、AD=2x，由题意 x+x+2x+2x=30，解方程即可解决问题 【解答】解：四边形 ABCD 是矩形， AB=CD，B=C=90， 在ABD 和DCO 中， ， ABODCO， OA=OB， AOD=90， OAD=ODA=45， BAD=CDA=90， BAO=CDO=45， BAO=AOB，CDO=COD， AB=BO=OC=CD， 设 AB=CD=x，则 BC=AD=2x， 由题意 x+x+2x+2x=30， x=5， AB=5， 故选：A 【点评】本题考查矩形的性质、全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的判 定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，学会构建方 程解决
17、问题，属于中考常考题型 9 （3 分）如图，正方形 ABCD 中，DAF=25，AF 交对角线 BD 于点 E，那么 BEC 等于（ ） A45 B60 C70 D75 【分析】 首先证明AEDCED， 即可证明ECF=DAF=25， 从而求得BEC， 再根据三角形内角和定理即可求解 【解答】解：AD=CD，ADE=CDE，DE=DE AEDCED ECF=DAF=25， 又在DEC 中，CDE=45， CED=1802545=110， BEC=180110=70 故选：C 【点评】本题主要考查了正方形的性质，正确理解，证明AEDCED 是解题 的关键 10 （3 分）在平面直角坐标系中，点
18、P（m3，42m）不可能在（ ） A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 【分析】分点 P 的横坐标是正数和负数两种情况讨论求解 【解答】解：m30，即 m3 时，2m6， 42m2， 所以，点 P（m3，42m）在第四象限，不可能在第一象限； m30，即 m3 时，2m6， 42m2， 点 P（m3，42m）可以在第二或三象限， 综上所述，点 P 不可能在第一象限 故选：A 【点评】 本题考查了各象限内点的坐标的符号特征，记住各象限内点的坐标的符 号是解决的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限（+，+） ；第二象限 （，+） ；第三象限（，） ；第四象限（+，） 11 （3 分）
19、任意一条线段 EF，其垂直平分线的尺规作图痕迹如图所示若连接 EH、HF、FG，GE，则下列结论中，不一定正确的是（ ） AEGH 为等腰三角形 BEGF 为等边三角形 C四边形 EGFH 为菱形 DEHF 为等腰三角形 【分析】 根据等腰三角形的定义、 菱形的定义、 等边三角形的定义一一判断即可 【解答】解：A、正确EG=EH， EGH 是等腰三角形 B、错误EG=GF， EFG 是等腰三角形， 若EFG 是等边三角形，则 EF=EG，显然不可能 C、正确EG=EH=HF=FG， 四边形 EHFG 是菱形 D、正确EH=FH， EFH 是等腰三角形 故选：B 【点评】本题考查线段的垂直平分线
20、的性质、作图基本作图、等腰三角形的定 义等知识，解题的关键是灵活一一这些知识解决问题，属于中考常考题型 12 （3 分）如图，在 RtABC 中，C=90，BC=3，AC=4，点 P 在 RtABC 内且 满足 SABC=3SPAC，则点 P 到 A，C 两点距离之和 PA+PC 的最小值为（ ） A1+ B2 C D 【分析】如图在 BC 上取一点 E，使得 EC=BC=1，作 EFAC，作点 C 关于 EF 的对称点 C，连接 AC交 EF 于 P，连接 PC，此时此时 SABC=3SPAC，PA+PC 的 值最小 【解答】解：如图在 BC 上取一点 E，使得 EC=BC=1，作 EFAC
21、，作点 C 关于 EF 的对称点 C，连接 AC交 EF 于 P，连接 PC，此时此时 SABC=3SPAC，PA+PC 的值最小 PA+PC 的最小值=PA+PC=AC=2 故选：B 【点评】本题考查轴对称最短问题，三角形的面积，勾股定理等知识，解题的 关键是学会利用轴对称解决最短问题 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 6 小题，每小题小题，每小题 3 分，共分，共 18 分）请将答案填在答题卷上分）请将答案填在答题卷上. 第第 14 题图题图 13 （3 分）在平面直角坐标系中，点（4，4）在第 二 象限 【分析】根据各象限内点的坐标特征解答 【解答】解：点（4，4）在第二象限 故
22、答案为：二 【点评】 本题考查了各象限内点的坐标的符号特征，记住各象限内点的坐标的符 号是解决的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限（+，+） ；第二象限 （，+） ；第三象限（，） ；第四象限（+，） 14 （3 分）如图，在ABCD 中，BEAB 交对角线 AC 于点 E，若1=20，则2 的度数为 110 【分析】首先由在ABCD 中，1=20，求得BAE 的度数，然后由 BEAB，利 用三角形外角的性质，求得2 的度数 【解答】解：四边形 ABCD 是平行四边形， ABCD， BAE=1=20， BEAB， ABE=90， 2=BAE+ABE=110 故答案为：110 【点评】 此
23、题考查了平行四边形的性质以及三角形外角的性质注意平行四边形 的对边互相平行 15 （3 分）已知菱形 ABCD 的两条对角线长分别为 4 和 5，则其面积为 10 【分析】由菱形 ABCD 的两条对角线长分别为 4 和 5，根据菱形的面积等于对角 线积的一半，即可求得其面积 【解答】解：菱形 ABCD 的两条对角线长分别为 4 和 5， 其面积为：45=10 故答案为：10 【点评】此题考查了菱形的性质注意熟记定理是解此题的关键 16 （3 分）如图，在菱形 ABCD 中，BAD=80，AB 的垂直平分线交对角线 AC 于点 F，E 为垂足，连接 DF，则CDF 的度数= 60 度 【分析】
24、根据菱形的性质求出ADC=100， 再根据垂直平分线的性质得出 AF=DF， 从而计算出CDF 的值 【解答】解：连接 BD，BF BAD=80 ADC=100 又EF 垂直平分 AB，AC 垂直平分 BD AF=BF，BF=DF AF=DF FAD=FDA=40 CDF=10040=60 故答案为：60 【点评】此题主要考查线段的垂直平分线的性质和菱形的性质 17 （3 分）如图所示，已知ABCD，下列条件：AC=BD，AB=AD，1= 2，ABBC 中，能说明ABCD 是矩形的有（填写序号） 【分析】矩形是特殊的平行四边形，矩形有而平行四边形没有的特征是：矩形的 四个内角是直角；矩形的对角
25、线相等且互相平分；可根据这些特点来选择条 件 【解答】解：能说明ABCD 是矩形的有： 对角线相等的平行四边形是矩形； 有一个角是直角的平行四边形是矩形 【点评】此题主要考查的是矩形的判定方法 18 （3 分）在平面直角坐标系中，小明做走棋的游戏，其走法是：棋子从原点 出发，第 1 步向右走 1 个单位，第 2 步向右走 2 个单位，第 3 步向上走 1 个 单位，第 4 步向右走 1 个单位依此类推，第 n 步的走法是：当 n 能被 3 整除 时，则向上走 1 个单位；当 n 被 3 除，余数为 1 时，则向右走 1 个单位；当 n 被 3 除，余数为 2 时，则向右走 2 个单位，当走完第
26、 100 步时，棋子所处位 置的坐标是 （100，33） 【分析】根据走法，每 3 步为一个循环组依次循环，且一个循环组内向右 3 个单 位，向上 1 个单位，用 100 除以 3，然后根据商和余数的情况确定出所处位置 的横坐标与纵坐标即可 【解答】解：由题意得，每 3 步为一个循环组依次循环，且一个循环组内向右 3 个单位，向上 1 个单位， 1003=33 余 1， 走完第 100 步，为第 34 个循环组的第 1 步， 所处位置的横坐标为 333+1=100， 纵坐标为 331=33， 棋子所处位置的坐标是（100，33） 故答案为： （100，33） 【点评】本题考查了坐标确定位置，点
27、的坐标位置的规律变化，读懂题目信息并 理解每 3 步为一个循环组依次循环是解题的关键 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 8 题，共题，共 66 分）分） 19 （6 分）如图，这是某市部分简图，请以火车站为坐标原点建立平面直角坐 标系，并分别写出各地的坐标 【分析】确定原点位置，建立直角坐标系，如图所示根据坐标系表示各地的坐 标 【解答】解：以火车站为原点建立直角坐标系 各点的坐标为：火车站（0，0） ；医院（2，2） ；文化宫（3，1） ；体育场 （4，3） ；宾馆（2，2） ；市场（4，3） ；超市（2，3） 【点评】本题考查了平面直角坐标系的建立，与点的坐标的书写，由于所写点的
28、位置比较多，可以根据象限的顺序依次写出，避免重写或漏写 20 （6 分）如图，顺次连结四边形 ABCD 各边中点 E，F，G，H，得到的四边形 EFGH，求证：四边形 EFGH 是平行四边形 【分析】 连结 BD，根据三角形中位线定理得到 EH=BD，EHBD，同理得到 FG= BD，FGBD；根据平行四边形的判定定理证明 【解答】证明：连结 BD， 点 E、H 是 AB、AD 的中点， EH 是ABD 的中位线； EH=BD，EHBD； 同理：FG=BD，FGBD； EH=FG=BD，EHBDFG 四边形 EFGH 是平行四边形 【点评】 本题考查的是中点四边形、 平行四边形的判定， 掌握三
29、角形中位线定理、 平行四边形的判定定理是解题的关键 21 （8 分）如图，矩形 ABCD 和矩形 AEFG 关于点 A 中心对称， （1）四边形 BDEG 是菱形吗？请说明理由 （2）若矩形 ABCD 面积为 8，求四边形 BDEG 的面积 【分析】 （1）直接利用菱形的判定方法得出答案； （2）直接利用矩形的面积结合菱形的性质得出答案 【解答】解： （1）四边形 BDEG 是菱形 矩形 ABCD 和矩形 AEFG 关于点 A 中心对称， AB=AE，AD=AG，BEDG， 根据勾股定理得：BD2=DE2=EG2=GB2=AB2+AD2， 四边形 BDEG 是菱形 （2）若矩形 ABCD 面积
30、为 8，则 SABD=SABCD=4， 根据菱形性质： 四边形 BDEG 的面积为 SBDEG=4SABD=16 【点评】 此题主要考查了中心对称以及菱形的判定，正确把握菱形的判定是解题 关键 22 （8 分）如图，在ABC 和DCB 中，A=D=90，AC=BD，AC 与 BD 相交 于点 O （1）求证：ABCDCB； （2）求证：OBC 是等腰三角形 【分析】 （1）根据已知条件，用 HL 公理证：RtABCRtDCB； （2）利用 RtABCRtDCB 的对应角相等，即可证明OBC 是等腰三角形 【解答】证明： （1）在ABC 和DCB 中，A=D=90，AC=BD， 根据勾股定理：A
31、B2=BC2AC2； DC2=BC2BD2； AB2=DC2=BC2BD2， AB=DC， 在 RtABC 与 RtDCB 中 RtABCRtDCB（HL） （2）ABCDCB，则ACB=DBC， 在OBC 中，即OCB=OBC OBC 是等腰三角形 【点评】 此题主要考查全等三角形的判定和性质，关键是学生对直角三角形全等 的判定和等腰三角形的判定与性质的理解和掌握 23 （8 分） 如图所示， AD 为ABC 的角平分线， DEAC 于点 E， DFAB 于点 F， EF 交 AD 于点 M，求证：AMEF 【分析】由 AD 为ABC 的角平分线，得到 DE=DF，推出AEF 和AFE 相等
32、，得 到 AE=AF，即可推出结论 【解答】证明：DEAC 于点 E，DFAB 于点 F， AED=AFD=90， AD 为三角形 ABC 的角平分线， EAD=FAD，而 AD=AD， AEDAFD ED=DF，AE=AF AEF 为等腰三角形，AM 为BAC 的平分线 AM 是AEF 的高，即 AMEF 【点评】 本题考查的是全等三角形的判定和性质，掌握角的平分线上的点到角的 两边的距离相等是解题的关键 24 （8 分）如图所示，在菱形 ABCD 中，AEBC，E 为垂足，且 BE=CE，AB=2， 求： （1）BAD 的度数； （2）对角线 AC 的长及菱形 ABCD 的周长 【分析】
33、（1）由在菱形 ABCD 在，AEBC，BE=CE，易证得ABC 是等边三角形， 继而求得BAD 的度数； （2）由（1） ，可求得 AC 的长，由菱形的性质可知其四边相等，进而可求出其 周长 【解答】解： （1）在菱形 ABCD 中，AB=BC， AEBC，E 为垂足，且 BE=CE， ABC 等腰三角形， AB=AC， ABC 为等边三角形， BAD=2BAC=120； （2）AB=2，AB=AC AC=AB=2， 菱形 ABCD 的周长=4AB=8 【点评】此题考查了菱形的性质、等边三角形的判定与性质、线段垂直平分线的 性质，此题难度不大，熟记菱形的各种性质是解题关键 25 （10 分）
34、如图，矩形 ABCD 中，AC、BD 相交于 O，AE 平分BAD 交 BC 于 E， 若CAE=15，求BOE 的度数 【分析】先根据 AE 平分BAD 交 BC 于 E 可得AEB=45，再根据三角形的外角 性质求出ACB=30，然后判断出AOB 是等边三角形，从而可以得出BOE 是等腰三角形，然后根据三角形的内角和是 180进行求解即可 【解答】解：AE 平分BAD 交 BC 于 E， AEB=45，AB=BE， CAE=15， ACB=AEBCAE=4515=30， BAO=60， 又OA=OB， BOA 是等边三角形， OA=OB=AB， 即 OB=AB=BE， BOE 是等腰三角形
35、，且OBE=OCB=30， BOE=（18030）=75 【点评】本题考查了矩形的性质，等边三角形的判定及性质，求出ACB=30， 然后判断出等边三角是解本题的关键 26 （12 分）平行四边形 ABCD 中，AB=2cm，BC=12cm，B=45，点 P 在边 BC 上，由点 B 向点 C 运动，速度为每秒 2cm，点 Q 在边 AD 上，由点 D 向点 A 运动，速度为每秒 1cm，连接 PQ，设运动时间为 t 秒 （1）当 t 为何值时，四边形 ABPQ 为平行四边形； （2）设四边形 ABPQ 的面积为 ycm2，请用含有 t 的代数式表示 y 的值； （3）当 P 运动至何处时，四边
36、形 ABPQ 的面积是ABCD 面积的四分之三？ 【分析】 （1）因为在平行四边形 ABCD 中，AQBP，只要再证明 AQ=BP 即可， 即点 P 所走的路程等于 Q 点在边 AD 上未走的路程 （2）因为四边形 ABPQ 是梯形，梯形的面积公式（上底+下底）高2，AQ 和 BP 都能用含有 t 的字母表示出来，缺少高，过 A 点作 BC 边上的高，再利用等 腰直角三角形的性质和已知条件求出高线即可 （3）因为平行四边形 ABCD 的面积可求，利用（2）中的关系式列方程即可 【解答】解： （1）由已知可得：BP=2t，DQ=t， AQ=12t 四边形 ABPQ 为平行四边形， 12t=2t，
37、 t=4， t=4 秒时，四边形 ABPQ 为平行四边形； （2）过 A 作 AEBC 于 E，在 RtABE 中，AEB=90， AB=2，B=45 AE=AB= SABPQ=（BP+AQ）AE=（12+t） ， 即 y=（12+t） ； （3）有（2）得 SABCD=12， 12=（12+t） ， t=6， BP=2t=12=BC， 当 P 与 C 重合时，四边形 ABPQ 的面积是ABCD 面积的四分之三 【点评】 本题考查了平行四边形的判断方法：有一对对边平行且相等的四边形是 平行四边形，梯形的面积公式；等腰直角三角形的性质；和用代数方法（列 方程）解决几何问题；动点问题，综合性很强
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