1、二、填空题（每题 5 5 分，满分分，满分 2020 分，将答案填在答题纸上）分，将答案填在答题纸上） 13. 6 1 21xx的展开式中 2 x的系数为 14.我国著名的数学家秦九韶在数书九章提出了“三斜求积术”.他把三角形的三条边分别称为小斜、 中斜和大斜.三斜求积术就是用小斜平方加上大斜平方，送到中斜平方，取相减后余数的一半，自乘而得一 个数，小斜平方乘以大斜平方，送到上面得到的那个数，相减后余数被 4 除，所得的数作为“实”，1 作为 “隅”，开平方后即得面积.所谓“实”、“隅”指的是在方程 2 pxq中，p为“隅”，q为“实”.即若 ABC的大
2、斜、中斜、小斜分别为, ,a b c，则 2 222 222 1 42 acb Sa c .已知点D是ABC边AB 上一点，3AC ，2BC ，45ACD， 815 tan 7 BCD ，则ABC的面积为 15.过直线7ykx上一动点,M x y向圆C： 22 20xyy引两条切线MA，MB，切点为,A B， 若1,4k，则四边形MACB的最小面积3, 7S 的概率为 16.三棱锥SABC中，点P是Rt ABC斜边AB上一点.给出下列四个命题： 若SA平面ABC，则三棱锥SABC的四个面都是直角三角形； 若4AC ，4BC ，4SC ，S
3、C 平面ABC，则三棱锥SABC的外接球体积为32 3； 若3AC ，4BC ，3SC ，S在平面ABC上的射影是ABC内心，则三棱锥SABC的体积为 2； 若3AC ，4BC ，3SA，SA平面ABC，则直线PS与平面SBC所成的最大角为60. 其中正确命题的序号是 （把你认为正确命题的序号都填上） 三、解答题三、解答题 （本大题共（本大题共 6 6 小题，共小题，共 7070 分分. .解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. .） 17.已知等差数列 n a的前n项和为 n S，且满足 46 18aa， 11
4、 121S. （1）求数列 n a的通项公式； （2）设3 2n nn ba，数列 n b的前n项和为 n T，求 n T. 18.某小学为了了解该校学生课外阅读的情况，在该校三年级学生中随机抽取了 50 名男生和 50 名女生进行 调查，得到他们在过去一整年内各自课外阅读的书数（本） ，并根据统计结果绘制出如图所示的频率分布直 方图. 如果某学生在过去一整年内课外阅读的书数（本）不低于 90 本，则称该学生为“书虫”. （1）根据频率分布直方图填写下面2 2列联表，并据此资料，在犯错误的概率不超过5%的前提下，你是 否认为“书虫”与性别有关？ 男生 女生 总计 书虫 非书虫 &
5、nbsp; 总计 附： 2 ()P kk 0.250 0.150 0.100 0.050 0.025 1.323 2.072 2.706 3.841 5.024 （2）从所抽取的 50 名女生中随机抽取两名，记“书虫”的人数为X，求X的分布列和数学期望. 19.如图，已知边长为 2 的正三角形ABE所在的平面与菱形ABCD所在的平面垂直，且60DAB，点 F是BC的中点. （1）求证：BDEF； 2 2 () ()()()() n adbc K ab cd ac bd k （2）求二面角EDFB的余弦值. 20.已知 1 F， 2 F为椭圆E： 22 22 1(0) xy ab
6、ab 的左、右焦点，点 3 1, 2 P 在椭圆上，且过点 2 F的直线 l交椭圆于,A B两点， 1 AFB的周长为 8. （1）求椭圆E的方程； （ 2 ） 我 们 知 道 抛 物 线 有 性 质 ：“ 过 抛 物 线 2 20ypx p的 焦 点 为F的 弦AB满 足 2 | |A FB FA FB F p .”那么对于椭圆E， 问是否存在实数， 使得 2222 AFBFAFBF 成立，若存在求出的值；若不存在，请说明理由. 21.已知函数 2 1 x f xe . （1）求函数2fx在1x 处的切线方程； （2）若不等式f xyf xymx对任意的0,)x，0,)y都成立，求实数m的取
7、值范 围. 请考生在请考生在 2222、2323 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. . 22.选修 4-4：坐标系与参数方程 在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为 1 3 2 1 xt yt （t为参数）.以原点为极点，x轴正半轴为极轴 建立极坐标系，圆C的极坐标方程为2cos 4 . （1）写出直线l的普通方程，并把圆C的方程化为直角坐标方程； （2）设直线l与圆C相交于,A B两点，求|AB. 23.选修 4-5：不等式选讲 已知函数 |2|f xx. （1）求不等式242fxf x的解集； （2）当0a
8、时，不等式 1f axaf xa恒成立，求实数a的取值范围. 试卷答案试卷答案 1.【答案】C【解析】 2 |20 |02Ax xxxx剟?， |22 0 |1Bxxx x剟， |01ABxx剟.故选 C. 2.【答案】A【解析】复数1zi ，|2z ， 2 2 12zii， 则 2 2 |22(1) 22121 1(1)(1) zi ziiiii ziii ，故选 A. 3.【答案】D【解析】全称命题的否定是特称命题， 所以命题“0,1x ，ln x ex ”的否定是： 0 0,1x， 0 0 ln x ex .故选 D. 4.【答案】B【解析】 aab 2 30aabaa ba
9、 b，3a b ， 向量ab在向量b方向的投影为 2 ()347 |cos, 22| ab ba bb abab b bb .故选 B. 5.【答案】D【解析】由正弦定理及大边对大角可得： sinsin 22 ab ABabAB RR ， 而函数tanyx在0,上不是单调函数， 所以“sinsinAB”是“tantanAB”的既不充分也不必要条件，故选 D. 6.【答案】D【解析】执行程序框图，可得0S ，2n， 满足条件， 1 2 S ，4n，满足条件， 113 244 S ，6n，满足条件， 11111 24612 S ，8n， 由题意，此时应该不满足条件，退出循环， 输出S的值为 112
10、2 8 123 ，故选 D. 7.【答案】C【解析】由已知中的三视图知圆锥底面半径为 2 2 6 3 36 2 r ， 圆锥的高 22 (3 5)36h ，圆锥母线 22 666 2l ， 截去的底面弧的圆心角为120， 底面剩余部分的面积为 2222 2121 sin12066sin120249 3 3232 Srr ， 故几何体的体积为： 11 (249 3) 64818 3 33 VSh， 故选 C. 8.【答案】D【解析】因为cos23sin22sin22sin 2 66 yxxxx ， 由 3 222, 262 kxkk Z剟，解得 5 , 36 kxkk Z剟， 即函数的增区间为
11、5 , 36 kkk Z，所以当0k 时，增区间为, 3 2 ，选 D. 9.【答案】B【解析】作出不等式对应的平面区域，如图所示： 其中2,6A，直线10xmy 过定点1,0D ， 当0m时，不等式10x 表示直线10x 及其左边的区域，不满足题意； 当0m时，直线10xmy 的斜率 1 0 m ， 不等式10xmy 表示直线10xmy 下方的区域，不满足题意； 当0m时，直线10xmy 的斜率 1 0 m ， 不等式10xmy 表示直线10xmy 上方的区域， 要使不等式组所表示的平面区域内存在点 00 ,x y， 使不等式 00 10xmy 成立，只需直线10xmy 的斜率 1 2 AD
12、 k m ，解得 1 2 m . 综上可得实数m的取值范围为 1 (, 2 ，故选 B. 10.【答案】D【解析】因为 1 10 x fxe ，且 10f， 所以函数 1 2 x f xex 单调递增且有唯一的零点为1m， 所以|1| 1n，02n， 问题转化为：使方程 2 30xaxa在区间0,2上有解， 即 22 3(1)2(1)44 12 111 xxx ax xxx 在区间0,2上有解，而根据“对勾函数”可知函数 4 12 1 yx x 在区间0,2的值域为2,3， 23a，故选 D. 11.【答案】B【解析】依题意可得，抛物线 2 4yx的焦点为1,0F， F关于原点的对称点1,0；
13、24a， 1 2 a ， 所以 1 2 fxxx， 1 2 fx x ， 设 00 ,Q xx，则 0 0 0 1 12 x xx ，解得 0 1x ，1,1Q， 可得 22 11 1 ab ，又1c， 222 cab，可解得 51 2 a ， 故双曲线的离心率是 151 251 2 c e a ，故选 B. 12.【答案】D【解析】函数 2 0 ( )ln1g xxxaxf x在(0, e内都有两个不同的零点， 等价于方程 2 0 ln1xxaxf x 在(0, e内都有两个不同的根. 111 ( )(1) xxx fxexex e ，所以当0,1x时， 0fx， f x是增函数； 当1,x
14、e时， 0fx， f x是减函数.因此 01f x. 设 2 ( )ln1F xxxax， 2 121 ( )2 xax F xxa xx ， 若 0Fx在0,e无解，则 F x在(0, e上是单调函数，不合题意； 所以 0Fx在0,e有解，且易知只能有一个解. 设其解为 1 x，当 1 0,xx时 0Fx， F x在 1 0,x上是增函数； 当 1, xx e时 0Fx， F x在 1, x e上是减函数. 因为 0 (0, xe，方程 2 0 ln1xxaxf x 在(0, e内有两个不同的根， 所以 1 max 1F xF x，且 0F e . 由 0F e ，即 2 ln10eeae
15、，解得 2 ae e . 由 1 max 1F xF x，即 2 111 ln11xxax ， 所以 2 111 ln0xxax. 因为 2 11 210xax ，所以 1 1 1 2ax x ， 代入 2 111 ln0xxax，得 2 11 ln10xx . 设 2 ln1m xxx， 1 20m xx x ， 所以 m x在0,e上是增函数， 而 1ln1 1 10m ，由 2 11 ln10xx 可得 1 1m xm，得 1 1xe. 由 1 1 1 2ax x 在1,e上是增函数，得 1 12ae e . 综上所述 2 1ae e ，故选 D. 13.【答案】3【解析】 6 1 21
16、xx的展开式中 2 x的系数为 21 66 23CC . 14.【答案】 3 15 4 【解析】 tantan tantan()15 1tantan ACDBCD ACBACDBCD ACDBCD ， 所以 1 cos 4 ACB ，由余弦定理可知 222 2cos16ABACBCAC BCACB，得4AB . 根据“三斜求积术”可得 2 222 222 1423135 42 4216 S ， 所以 3 15 4 S . 15.【答案】 157 3 【解析】由圆的方程得 2 2 11xy， 所以圆心为0, 1，半径为1r ，四边形的面积2 MBC SS， 若四边形MACB的最小面积3, 7S
17、， 所以 MBC S的最小值为 37 , 22 MBC S ， 而 1 | 2 MBC Sr MB ，即|MB的最小值 min |3, 7MB ， 此时|MC最小为圆心到直线的距离， 此时 2222 2 |1 7| 1( 3) , 1( 7) 1 d k ， 因为0k ，所以7, 15k ，所以1,4k的概率为 157 3 . 16.【答案】【解析】对于，因为SA平面ABC， 所以SAAC，SAAB，SABC，又BCAC， 所以BC 平面SAC，所以BCSC，故四个面都是直角三角形， 正确；对于，若4AC ，4BC ，4SC ，SC 平面ABC， 三棱锥SABC的外接球可以看作棱长为 4 的正
18、方体的外接球， 222 24444 3R ，2 3R ， 体积为 3 4 (2 3)32 3 3 V，正确； 对于，设ABC内心是O，则SO平面ABC，连接OC， 则有 222 SOOCSC，又内切圆半径 1 3451 2 r ， 所以2OC ， 222 321SOSCOC，故1SO， 三棱锥SABC的体积为 111 3 4 12 332 ABC VSSO ，正确； 对于，若3SA，SA平面ABC， 则直线PS与平面SBC所成的角最大时，P点与A点重合， 在Rt SCA中， 3 tan1 5 ASC，45ASC， 即直线PS与平面SBC所成的最大角为45， 不正确，故答案为. 17.【解析】
19、（1）设数列 n a的公差为d， 465 218aaa， 5 9a ， 111 116 11 11121 2 aa Sa ， 6 11a ， 65 11 92daa， 5 (5)92(5)21 n aandnn. （2）由（1）可知 1 3 2(21 3)2(1)2 nnn nn bann ， 数列 n b的前n项和为 2341 2 23 24 2(1)2n n Tn ， 34512 22 23 24 22(1)2 nn n Tnn ， 两式作差，得 23412 2 2222(1)2 nn n Tn 1 2222 8 1 2 8(1)2828(1)22 1 2 n nnnn nnn ， 2n
20、n Tn . 18.【解析】 （1）由频率分布直方图可得，男生书虫、非书虫的人数分别为 12，38，女生书虫、非书虫的人数分别为 4， 46，故得如下2 2列联表： 男生 女生 总计 书虫 12 4 16 非书虫 38 46 84 总计 50 50 100 根据列联表中数据可得： 2 2 100 (12 464 38) 4.762 16 84 50 50 K ， 由于4.7623.841，所以在犯错误的概率不超过5%的前提下，可以认为“书虫”与性别有关. （2）由频率分布直方图可得女生“书虫”的人数为 4，X的所有可能取值为 0，1，2， 则 2 46 2 50 207 (0) 245 C P
21、 X C ， 11 464 2 50 184 (1) 1225 C C P X C ， 4 2 2 50 6 (2) 1225 C P X C ， 故X的分布列为 X 0 1 2 P 207 245 184 1225 6 1225 X的数学期望为 20718461964 ()012 24512251225122525 E X . 19.【解析】 （1）证明：取AB的中点O，连结EO，OF，AC，. 由题意知，EOAB又因为平面ABCD平面ABE， 所以EO平面ABCD. 因为BD 平面ABCD，所以EOBD， 因为四边形ABCD为菱形，所以BDAC， 又因为OFAC，所以BDOF， 所以BD
22、平面EOF.又EF 平面EOF， 所以BDEF. （2）连结DO，由题意知EOAB，DOAB. 又因为平面ABCD平面ABE，所以DO 平面ABE， 又O为原点，建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz. 则0,0,0O， 3,0,0E， 33 0, 22 F ，0,1,0B， 33 0, 22 DF ， 3,0,3DE . 设平面DEF的一个法向量为 1 , ,nx y z， 则 1 1 0 0 DF n DE n ，即 33 0 22 330 yz xz ， 令1x ，所以 1 3 1,1 3 n . 又由（1）可知EO平面ABCD， 所以平面DFB的一个法向量为 2 1,0,0n ， 设二面
23、角EDFB的平面角为，则 12 12 21 cos 7| | n n nn . 20.【解析】 （1）根据椭圆的定义，可得 12 | 2AFAFa， 12 | 2BFBFa， 1 AFB的周长为 111122 |4AFBFABAFBFAFBFa， 48a，得2a， 椭圆E的方程为 22 2 1 4 xy b ， 将 3 1, 2 P 代入椭圆E的方程可得 2 3b ， 所以椭圆E的方程为 22 1 43 xy . （2）由（1）可知 222 431cab，得 2 1,0F， 依题意可知直线l的斜率不为 0， 故可设直线l的方程为1xmy， 由 22 1 43 1 xy xmy 消去x，整理得
24、22 34690mymy， 设 11 ,A x y， 22 ,B x y，则 12 2 6 34 m yy m ， 12 2 9 34 y y m ， 不妨设 1 0y ， 2 0y ， 22 2222 2111111 11 11 |1|AFxymyymymy ， 同理 22 222 11BFmymy ， 所以 222 2212 12 1111111 111 AFBFyy mymym 2 2 22 2112 21 222 1212 2 69 4 4 34341114 9 3 111 34 m yyy y mmyy y yy y mmm m 即 2222 4 | 3 AFBFAFBF，所以存在实
25、数 4 3 ， 使得 2222 AFBFAFBF成立. 21.【解析】 （1）设 22 21 x t xfxe ，则 22 2 x t xe ， 当1x 时， 2 2 112te ， 2 2 122te ， 函数2fx在1x 处的切线方程为221yx，即20xy. （2）根据题意可得 22 2 x yx y eemx 对任意的0,)x，0,)y都成立， 当0x时，不等式即为 22 20 yy ee ，显然成立； 当0x时，设 22 ( )2 x yx y g xee ， 则不等式 22 2 x yx y eemx 恒成立， 即为不等式 g xmx恒成立， 22222 ( )222222 x y
26、x yxyyxyyx g xeeeeeeeee （当且仅当0y 时取等号） ， 由题意可得 2 22 x emx ， 即有 2 22 x e m x 对0,x恒成立， 令 2 22 ( ) x e h x x ，则 22 2 22 1 (1)1 ( )22 xx x xee xe h x xx ， 令 0h x，即有 2 11 x xe ， 令 2 ( )(1) x m xxe ，则 222 ( )(1) xxx m xexexe ， 当0x时， 2 0 x m xxe ， m x在0,上单调递增， 又 2 2 (2)(2 1)1me ， 2 (1)1 x xe 有且仅有一个根2x， 当2,x
27、时， 0h x， h x单调递增， 当0,2x时， 0h x， h x单调递减， 当2x时， h x取得最小值， 为 2 2 22 (2)2 2 e h ，2m. 实数m的取值范围(,2. 22.【解析】 （1）将直线l的参数方程 1 3 2 1 xt yt （t为参数）消去参数t， 可得直线l的普通方程为 11 1 23 yx ， 即22 32 310xy . 由2cos 4 ，得cossin， 所以 2 cossin， 得 22 xyxy，即 22 111 222 xy . （2）由 1 3 2 1 xt yt 得 13 22 1 1 2 xm ym （m为参数） ， 将其代入 22 11
28、1 222 xy ，得 2 11 0 24 mm， 12 1 2 mm ， 12 1 4 m m ， 2 22 12121212 115 |44 242 ABmmmmmmm m . 23.【解析】 （1）函数 4,1 (2 )(4) |22|2|3 , 12 4,2 xx fxf xxxxx xx ， 当1x时，不等式即42x ，求得6x，6x； 当12x 时，不等式即32x ，求得 2 3 x ， 2 2 3 x； 当2x时，不等式即42x，求得2x，2x. 综上所述，不等式的解集为 2 |6 3 x xx 或. （2）当0a时， ()( ) |2|2| |2|2 |(2)(2 )| |22|f axaf xaxa xaxaxaaxaxaa 不等式 1f axaf xa恒成立，|22|1aa， 221aa 或221aa ， 解得3a或 1 0 3 a， 实数a的取值范围为 1 (0, 3,) 3 .
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