1、2018-2019 学年湖南省长沙市雨花区广益实验中学八年级（下）期末数学试卷一、选择题（本大题共 12 小题，共小题，共 36 分）分） 1 （3 分）下列运算正确的是（ ） A992（1001）210021 B3a+2b5ab C3 Dx7x5x2 2 （3 分）下列图形中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A B C D 3 （3 分）方程 x（x2）0 的根为（ ） Ax0 Bx2 Cx10，x22 Dx10，x22 4 （3 分）在一次中学生田径运动会上，参加跳远的 15 名运动员的成绩如下表所示 成绩（米） 4.50 4.60 4.65 4.70 4.75 4.80 人数
2、2 3 2 3 4 1 则这些运动员成绩的中位数、众数分别是（ ） A4.65、4.70 B4.65、4.75 C4.70、4.75 D4.70、4.70 5 （3 分）如图，A、B、C、D 四点都在O 上，若AOC70，则圆周角D 的度数等 于（ ） A70 B50 C35 D20 6 （3 分）独山县开展关于精准扶贫、精准扶贫的决策部署以来，某贫困户 2014 年人均纯 第 2 页（共 30 页） 收入为 2620 元，经过帮扶到 2016 年人均纯收入为 3850 元，设该贫困户每年纯收入的平 均增长率为 x，则下面列出的方程中正确的是（ ） A2620（1x）23850 B2620（1
3、+x）3850 C2620（1+2x）3850 D2620（1+x）23850 7 （3 分）如果一个正多边形的中心角是 60，那么这个正多边形的边数是（ ） A4 B5 C6 D7 8 （3 分）点 M（3，y1） ，N（2，y2）是抛物线 y（x+1）2+3 上的两点，则下列大 小关系正确的是（ ） Ay1y23 B3y1y2 Cy2y13 D3y2y1 9 （3 分）如图，四边形 ABCD 是O 的内接四边形，O 的半径为 4，B135，则劣 弧 AC 的长是（ ） A4 B2 C D 10 （3 分）关于圆的性质有以下四个判断：垂直于弦的直径平分弦，平分弦的直径垂 直于弦，在同圆或等圆
4、中，相等的弦所对的圆周角相等，在同圆或等圆中，相等的 圆周角所对的弦相等，则四个判断中正确的是（ ） A B C D 11 （3 分）如图，ABC 为直角三角形，C90，AC6，BC8，以点 C 为圆心，以 CA 为半径作C，则ABC 斜边的中点 D 与C 的位置关系是（ ） A点 D 在C 上 B点 D 在C 内 C点 D 在C 外 D不能确定 12 （3 分）如图：二次函数 yax2+bx+c 的图象所示，下列结论中：abc0；2a+b0； 当 m1 时，a+bam2+bm；ab+c0；若 ax12+bx1ax22+bx2，且 x1x2，则 x1+x22，正确的个数为（ ） 第 3 页（共
5、 30 页） A1 个 B2 个 C3 个 D4 个 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 6 小题，共小题，共 18 分）分） 13（3分） 若关于x的一元二次方程 （k1） x2+3x10有实数根， 则k的取值范围是 14 （3 分）把抛物线 yx2向左平移 1 个单位，再向下平移 2 个单位，所得抛物线解析式 为 15 （3 分）若二次函数 yax2bx+5（a5）的图象与 x 轴交于（1，0） ，则 ba+2014 的 值是 16 （3 分）如图所示，一个宽为 2cm 的刻度尺在圆形光盘上移动，当刻度尺的一边与光盘 相切时，另一边与光盘边缘两个交点处的读数恰好是“2”和“10” （
6、单位：cm） ，那么该 光盘的直径是 cm 17 （3 分）如图，ABC 的周长为 16，O 与 BC 相切于点 D，与 AC 的延长线相切于点 E， 与 AB 的延长线相切于点 F，则 AF 的长为 18 （3 分）如图，在平面直角坐标系中，点 A、B 的坐标分别为（5，0） 、 （2，0） 点 P 在抛物线 y2x2+4x+8 上，设点 P 的横坐标为 m当 0m3 时，PAB 的面积 S 的取值范围是 第 4 页（共 30 页） 三、解答题（本题共三、解答题（本题共 8 个小题，共个小题，共 66 分，分，19、20 题各题各 6 分，分，21、22 题各题各 8 分，分，23、24 各
7、各 9 分分，25、26 题各题各 10 分）分） 19 （6 分）计算：|2|+（1）2017（3）0+（） 2 20 （6 分）先化简，再求值：（1） ，其中 a2 21 （8 分）为了解湖南广益实验中学学生对最强大脑 、 朗读者 、 中国诗词大会 、 出 彩中国人四个电视节目的喜爱情况，随机抽取了 x 名学生进行调査统计（要求每名学 生选出并且只能选出一个自己最喜爱的节目） ，并将调查结果绘制成如图统计图表： 学生最喜爱的节目人数统计表 节目 人数（名） 百分比 最强大脑 5 10% 朗读者 15 b% 中国诗词大会 a 40% 出彩中国人 10 20% 根据以上提供的信息，解答下列问题
8、： （1）x ，a ，b （2）补全上面的条形统计图： （3）若该校共有学生 5000 名，根据抽样调査结果，估计该校最喜爱中国诗词大会 节目的学生有多少名 第 5 页（共 30 页） 22 （8 分）ABC 在平面直角坐标系中的位置如图，其中每个小正方形的边长为 1 个单位 长度 （1）画出ABC 关于原点 O 的中心对称图形A1B1C1，并写出点 A1的坐标； （2）将ABC 绕点 C 顺时针旋转 90得到A2B2C，画出A2B2C，求在旋转过程中， 线段 CA 所扫过的面积 23 （9 分）某水果专卖店销售樱桃，其进价为每千克 40 元，按每千克 60 元出售，平均每 天可售出 100
9、千克，后来经过市场调查发现，单价每千克降低 1 元，则平均每天的销售 可增加 10 千克，请回答： （1）写出售价为 50 元时，每天能卖樱桃 千克，每天获得利润 元 （2）若该专卖店销售这种樱桃要想平均每天获利 2240 元，每千克樱桃应降价多少元？ （3）若该专卖店销售这种樱桃要想平均每天获利最大，每千克樱桃应售价多少元？ 24 （9 分）如图，O 为ABC 的外接圆，D 为 OC 与 AB 的交点，E 为线段 OC 延长线上 一点，且EACABC （1）求证：直线 AE 是O 的切线 第 6 页（共 30 页） （2）若 D 为 AB 的中点，CD3，AB8 求O 的半径； 求ABC 的
10、内心到点 O 的距离 25 （10 分）若变量 z 是变量 y 的函数，同时变量 y 是变量 x 的函数，那么我们把变量 z 叫 做变量 x 的“选代函数” ，例如：z2y+3，yx+1，则 z2（x+1）+32x+1，那 么 z2x+1 就是 z 与 x 之间“选代函数”解析式 （1）当 2006x2020 时，zy+2，yx4，请求出 z 与 x 之间的“选代函数”的 解析式及 z 的最小值： （2）已知一次函数 yax+1 经过点（1，2） ，zay2+（b2）y+cb+4（其中 a，b，c 均为常数） ，聪明的你们一定知道“选代函数”z 是 x 的二次函数，若 x1，x2（x1x2）是
11、 “选代函数”z3 的两个根，点（x3，2）是“选代函数”z 的顶点，而且 x1，x2，x3还 是一个直角三角形的三条边长，请破解“选代函数”z 关于 x 的函数解析式 26 （10 分）如图，在平面直角坐标系中，A（9m，0） ，B（m，0） ， （m0）以 AB 为直 径的M 交 y 正半轴于点 C，CD 是M 的切线，交 x 正半轴于点 D，过 A 作 AECD 于 E，交M 于 F （1）求 C 的坐标： （用 m 的式子表示） （2）请证明：EFOB； 用含 m 的式子表示AFC 的周长； 若 CD，SAFC，SBDC分别表示AFC，BDC 的面积，记 k，对于 经过原点的二次函数
12、yax2x+c，当xk 时，函数 y 的最大值为 a，求此二次函 数的解析式 第 7 页（共 30 页） 第 8 页（共 30 页） 2018-2019 学年湖南省长沙市雨花区广益实验中学八年级（下）学年湖南省长沙市雨花区广益实验中学八年级（下） 期末数学试卷期末数学试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 12 小题，共小题，共 36 分）分） 1 （3 分）下列运算正确的是（ ） A992（1001）210021 B3a+2b5ab C3 Dx7x5x2 【分析】根据完全平方公式、合并同类项、算术平方根和整式的除法进行解答即可 【解答】解：A、9
13、92（1001）21002200+1，错误； B、3a+2b3a+2b，错误； C、，错误； D、x7x5x2，正确； 故选：D 【点评】此题考查完全平方公式、合并同类项、算术平方根和整式的除法问题，关键是 根据法则进行计算 2 （3 分）下列图形中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A B C D 【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念判断即可 【解答】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形； B、不是轴对称图形，是中心对称图形； C、是轴对称图形，是中心对称图形； D、是轴对称图形，不是中心对称图形； 第 9 页（共 30 页） 故选：C 【点评】本题考查的是中心对称图形与轴对
14、称图形的概念轴对称图形的关键是寻找对 称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转 180 度后两部 分重合 3 （3 分）方程 x（x2）0 的根为（ ） Ax0 Bx2 Cx10，x22 Dx10，x22 【分析】由 x（x2）0，即可得 x0 或 x20，解此两个一次方程即可求得答案 【解答】解：x（x2）0， x0 或 x20， 解得：x10，x22 故选：C 【点评】此题考查了一元二次方程的解法此题比较简单，解题的关键是注意降幂思想 的应用 4 （3 分）在一次中学生田径运动会上，参加跳远的 15 名运动员的成绩如下表所示 成绩（米） 4.50 4.60 4.65
15、 4.70 4.75 4.80 人数 2 3 2 3 4 1 则这些运动员成绩的中位数、众数分别是（ ） A4.65、4.70 B4.65、4.75 C4.70、4.75 D4.70、4.70 【分析】根据中位数、众数的定义即可解决问题 【解答】解：这些运动员成绩的中位数、众数分别是 4.70，4.75 故选：C 【点评】本题考查中位数、众数的定义，解题的关键是记住中位数、众数的定义，属于 中考基础题 5 （3 分）如图，A、B、C、D 四点都在O 上，若AOC70，则圆周角D 的度数等 于（ ） 第 10 页（共 30 页） A70 B50 C35 D20 【分析】由垂径定理将已知角转化，再
16、用圆周角定理求解 【解答】解：因为 OCAB， 由垂径定理可知， 所以，COBCOA70， 根据圆周角定理，得 DBOC35 故选：C 【点评】本题综合考查了垂径定理和圆周角的求法及性质解答这类题一些学生不会综 合运用所学知识解答问题，不知从何处入手造成错解 6 （3 分）独山县开展关于精准扶贫、精准扶贫的决策部署以来，某贫困户 2014 年人均纯 收入为 2620 元，经过帮扶到 2016 年人均纯收入为 3850 元，设该贫困户每年纯收入的平 均增长率为 x，则下面列出的方程中正确的是（ ） A2620（1x）23850 B2620（1+x）3850 C2620（1+2x）3850 D26
17、20（1+x）23850 【分析】是关于增长率问题，一般用增长后的量增长前的量（1+增长率） ，如果设该 贫困户每年纯收入的平均增长率为 x，那么根据题意可用 x 表示今年纯收入， 然后根据已 知可以得出方程 【解答】解：如果设该贫困户每年纯收入的平均增长率为 x， 那么根据题意得：2620（1+x）2， 列出方程为：2620（1+x）23850 故选：D 【点评】此题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，平均增长率问题，一般形式为 a （1+x）2b，a 为起始时间的有关数量，b 为终止时间的有关数量 7 （3 分）如果一个正多边形的中心角是 60，那么这个正多边形的边数是（ ） A4 B5
18、C6 D7 【分析】根据正多边形的中心角和为 360和正多边形的中心角相等，列式计算即可 【解答】解：正多边形的中心角和为 360，正多边形的中心角是 60， 第 11 页（共 30 页） 这个正多边形的边数6 故选：C 【点评】 本题考查的是正多边形和圆， 掌握正多边形的中心角和为 360和正多边形的中 心角相等是解题的关键 8 （3 分）点 M（3，y1） ，N（2，y2）是抛物线 y（x+1）2+3 上的两点，则下列大 小关系正确的是（ ） Ay1y23 B3y1y2 Cy2y13 D3y2y1 【分析】根据抛物线的性质，抛物线上的点离对称轴越远，对应的函数值就越小，点（ 1，3）在对称
19、轴上，即可得到答案 【解答】解：抛物线 y（x+1）2+3 开口向下，对称轴是直线 x1， 抛物线上的点离对称轴越远，对应的函数值就越大， 点（1，3）在对称轴上，32， y1y23 故选：A 【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征解题时，需熟悉抛物线的有关性质： 抛物线的开口向下，则抛物线上的点离对称轴越远，对应的函数值就越小 9 （3 分）如图，四边形 ABCD 是O 的内接四边形，O 的半径为 4，B135，则劣 弧 AC 的长是（ ） A4 B2 C D 【分析】根据圆内接四边形对角互补求出D 的度数，再利用同弧所对的圆心角等于所 对圆周角的 2 倍求出AOC 的度数，利用弧长公
20、式计算即可 【解答】解：四边形 ABCD 为圆 O 的内接四边形， B+D180， B135， D45， 第 12 页（共 30 页） AOC2D， AOC90， 则 l2， 故选：B 【点评】此题考查了弧长的计算，以及圆内接四边形的性质，熟练掌握公式及性质是解 本题的关键 10 （3 分）关于圆的性质有以下四个判断：垂直于弦的直径平分弦，平分弦的直径垂 直于弦，在同圆或等圆中，相等的弦所对的圆周角相等，在同圆或等圆中，相等的 圆周角所对的弦相等，则四个判断中正确的是（ ） A B C D 【分析】根据垂径定理对进行判断；根据垂径定理的推论对进行判断；在同圆或等 圆中，利用一条弦对两条弧可对进
21、行判断；根据圆周角定理对进行判断 【解答】解：垂直于弦的直径平分弦，所以正确； 平分弦（非直径）的直径垂直于弦，所以错误； 在同圆或等圆中，相等的弦所对的圆周角相等或互补，所以错误； 在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弦相等，所以正确 故选：C 【点评】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都 等于这条弧所对的圆心角的一半推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90的 圆周角所对的弦是直径 11 （3 分）如图，ABC 为直角三角形，C90，AC6，BC8，以点 C 为圆心，以 CA 为半径作C，则ABC 斜边的中点 D 与C 的位置关系是（ ） 第 13 页（共
22、30 页） A点 D 在C 上 B点 D 在C 内 C点 D 在C 外 D不能确定 【分析】要确定点与圆的位置关系，主要确定点与圆心的距离与半径的大小关系，本题 先由勾股定理求出斜边 AB 的长，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得出 CD 的长，然后根据点到圆心距离与半径的关系即可确定该点与圆的位置关系 【解答】解：RtABC 中，CRt，AC6，BC8， AB10， D 为斜边 AB 的中点， CDAB5， d5，r6， dr， 点 D 与C 内， 故选：B 【点评】本题根据点到圆心的距离和圆的半径之间的数量关系，来判断点和圆的位置关 系点与圆的位置关系有 3 种设O 的半径为 r
23、，点 P 到圆心的距离 OPd，则有： 点 P 在圆外dr；点 P 在圆上dr；点 P 在圆内dr 12 （3 分）如图：二次函数 yax2+bx+c 的图象所示，下列结论中：abc0；2a+b0； 当 m1 时，a+bam2+bm；ab+c0；若 ax12+bx1ax22+bx2，且 x1x2，则 x1+x22，正确的个数为（ ） A1 个 B2 个 C3 个 D4 个 【分析】根据抛物线开口向下，对称轴在 y 轴右侧，以及抛物线与坐标轴的交点，结合 图象即可作出判断 【解答】解：由题意得：a0，c0，10， b0，即 abc0，选项错误； 第 14 页（共 30 页） b2a，即 2a+b
24、0，选项正确； 当 x1 时，ya+b+c 为最大值， 则当 m1 时，a+b+cam2+bm+c，即当 m1 时，a+bam2+bm，选项正确； 由图象知，当 x1 时，ax2+bx+cab+c0，选项错误； ax12+bx1ax22+bx2， ax12ax22+bx1bx20， （x1x2）a（x1+x2）+b0， 而 x1x2， a（x1+x2）+b0， x1+x22，所以正确 所以正确，共 3 项， 故选：C 【点评】此题考查了二次函数图象与系数的关系，解本题的关键二次函数 yax2+bx+c （a0） ，二次项系数 a 决定抛物线的开口方向和大小，当 a0 时，抛物线向上开口； 当
25、a0 时，抛物线向下开口；一次项系数 b 和二次项系数 a 共同决定对称轴的位置，当 a 与 b 同号时（即 ab0） ，对称轴在 y 轴左； 当 a 与 b 异号时（即 ab0） ，对称轴在 y 轴右；常数项 c 决定抛物线与 y 轴交点 抛物线与 y 轴交于（0，c） ；抛物线与 x 轴交点 个数由决定，b24ac0 时，抛物线与 x 轴有 2 个交点；b24ac0 时，抛 物线与 x 轴有 1 个交点；b24ac0 时，抛物线与 x 轴没有交点 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 6 小题，共小题，共 18 分）分） 13 （3 分）若关于 x 的一元二次方程（k1）x2+3x10
26、 有实数根，则 k 的取值范围是 k 且 k1 【分析】方程有实数根，则0，建立关于 k 的不等式，求出 k 的取值范围 【解答】解：由题意知，k1， 方程有实数根， 324（k1）（1）5+4k0， k且 k1 【点评】总结：1、一元二次方程根的情况与判别式的关系： （1）0方程有两个不相等的实数根； （2）0方程有两个相等的实数根； 第 15 页（共 30 页） （3）0方程没有实数根 2、一元二次方程的二次项系数不为 0 14 （3 分）把抛物线 yx2向左平移 1 个单位，再向下平移 2 个单位，所得抛物线解析式为 y（x+1）22 【分析】按照“左加右减，上加下减”的规律平移则可 【
27、解答】解：原抛物线的顶点为（0，0） ，向左平移 1 个单位，再向下平移 2 个单位，那 么新抛物线的顶点为（1，2） 可设新抛物线的解析式为：y（xh）2+k， 代入得：y（x+1）22 故答案是：y（x+1）22 【点评】 主要考查了函数图象的平移， 要求熟练掌握平移的规律： 左加右减， 上加下减 并 用规律求函数解析式 15 （3 分）若二次函数 yax2bx+5（a5）的图象与 x 轴交于（1，0） ，则 ba+2014 的 值是 2019 【分析】把把（1，0）代入 yax2bx+5 得 ab+50，然后利用整体代入的方法计算 ba+2014 的值 【解答】解：把（1，0）代入 ya
28、x2bx+5 得 ab+50， 所以 ba5， 所以 ba+20145+20142019 故答案为 2019 【点评】本题考查了抛物线与 x 轴的交点：把求二次函数 yax2+bx+c（a，b，c 是常数， a0）与 x 轴的交点坐标问题转化为解关于 x 的一元二次方程 16 （3 分）如图所示，一个宽为 2cm 的刻度尺在圆形光盘上移动，当刻度尺的一边与光盘 相切时，另一边与光盘边缘两个交点处的读数恰好是“2”和“10” （单位：cm） ，那么该 光盘的直径是 10 cm 【分析】本题先根据垂径定理构造出直角三角形，然后在直角三角形中已知弦长和弓形 第 16 页（共 30 页） 高，根据勾股
29、定理求出半径，从而得解 【解答】解：如图，设圆心为 O，弦为 AB，切点为 C如图所示则 AB8cm，CD 2cm 连接 OC，交 AB 于 D 点连接 OA 尺的对边平行，光盘与外边缘相切， OCAB AD4cm 设半径为 Rcm，则 R242+（R2）2， 解得 R5， 该光盘的直径是 10cm 故答案为：10 【点评】此题考查了切线的性质及垂径定理，建立数学模型是关键 17 （3 分）如图，ABC 的周长为 16，O 与 BC 相切于点 D，与 AC 的延长线相切于点 E， 与 AB 的延长线相切于点 F，则 AF 的长为 8 【分析】根据切线长定理得出 AFAE，CECD，BFBD，再
30、根据ABC 的周长等于 16，得出 AF+AE16，即可求出 AE 【解答】解：AB、AC 的延长线与圆分别相切于点 F、E， AFAE， 圆 O 与 BC 相切于点 D， CECD，BFBD， BCDC+BDCE+BF， ABC 的周长等于 16， 第 17 页（共 30 页） AB+AC+BC16， AB+AC+CE+BF16， AF+AE16， AF8 故答案为：8 【点评】此题考查了切线长定理，掌握切线长定理即从圆外一点引圆的两条切线，切线 长相等是本题的关键 18 （3 分）如图，在平面直角坐标系中，点 A、B 的坐标分别为（5，0） 、 （2，0） 点 P 在抛物线 y2x2+4x
31、+8 上，设点 P 的横坐标为 m当 0m3 时，PAB 的面积 S 的取值范围是 3S15 【分析】根据坐标先求 AB 的长，所以PAB 的面积 S 的大小取决于 P 的纵坐标的大小， 因此只要讨论当 0m3 时，P 的纵坐标的最大值和最小值即可，根据顶点坐标 D（1， 4） ，由对称性可知：x1 时，P 的纵坐标最大，此时PAB 的面积 S 最大；当 x3 时， P 的纵坐标最小，此时PAB 的面积 S 最小 【解答】解：点 A、B 的坐标分别为（5，0） 、 （2，0） ， AB3， y2x2+4x+82（x1）2+10， 顶点 D（1，10） ， 由图象得：当 0x1 时，y 随 x
32、的增大而增大， 当 1x3 时，y 随 x 的增大而减小， 当 x3 时，即 m3，P 的纵坐标最小， y2（31）2+102， 此时 SPAB2AB233， 当 x1 时，即 m1，P 的纵坐标最大是 10， 第 18 页（共 30 页） 此时 SPAB10AB10315， 当 0m3 时，PAB 的面积 S 的取值范围是 3S15； 故答案为：3S15 【点评】本题考查了二次函数的增减性和对称性，及图形和坐标特点、三角形的面积， 根据 P 的纵坐标确定PAB 的面积 S 的最大值和最小值是本题的关键 三、解答题（本题共三、解答题（本题共 8 个小题，共个小题，共 66 分，分，19、20
33、题各题各 6 分，分，21、22 题各题各 8 分，分，23、24 各各 9 分，分，25、26 题各题各 10 分）分） 19 （6 分）计算：|2|+（1）2017（3）0+（） 2 【分析】先计算|2|、 （1）2017、 （3）0、 （） 2 的值，再计算最后的结果 【解答】解：|2|+（1）2017（3）0+（） 2 2+（1）12+4 212+4 52 【点评】本题考查了 0 指数幂、负整数指数幂及实数的运算实数的运算顺序是先乘方， 再乘除最后加减 20 （6 分）先化简，再求值：（1） ，其中 a2 【分析】先通分，然后进行四则运算，最后将 a2 代入计算即可 【解答】解：原式
34、， 当 a2 时， 原式 【点评】本题考查了分式的化简求值，解答此题的关键是把分式化到最简，然后代值计 算 21 （8 分）为了解湖南广益实验中学学生对最强大脑 、 朗读者 、 中国诗词大会 、 出 彩中国人四个电视节目的喜爱情况，随机抽取了 x 名学生进行调査统计（要求每名学 生选出并且只能选出一个自己最喜爱的节目） ，并将调查结果绘制成如图统计图表： 学生最喜爱的节目人数统计表 第 19 页（共 30 页） 节目 人数（名） 百分比 最强大脑 5 10% 朗读者 15 b% 中国诗词大会 a 40% 出彩中国人 10 20% 根据以上提供的信息，解答下列问题： （1）x 50 ，a 20
35、，b 30 （2）补全上面的条形统计图： （3）若该校共有学生 5000 名，根据抽样调査结果，估计该校最喜爱中国诗词大会 节目的学生有多少名 【分析】 （1）根据最强大脑的人数除以占的百分比确定出 x 的值，进而求出 a 与 b 的值 即可； （2）根据 a 的值，补全条形统计图即可； （3）由中国诗词大会的百分比乘以 1000 即可得到结果 【解答】解： （1）根据题意得：x510%50，a5040%20，b10030； 故答案为：50；20；30； （2）中国诗词大会的人数为 20 人，补全条形统计图，如图所示： 第 20 页（共 30 页） （3）根据题意得：500040%2000（名
36、） ， 则估计该校最喜爱中国诗词大会节目的学生有 2000 名 【点评】此题考查了条形统计图，用样本估计总体，以及统计表，弄清题中的数据是解 本题的关键 22 （8 分）ABC 在平面直角坐标系中的位置如图，其中每个小正方形的边长为 1 个单位 长度 （1）画出ABC 关于原点 O 的中心对称图形A1B1C1，并写出点 A1的坐标； （2）将ABC 绕点 C 顺时针旋转 90得到A2B2C，画出A2B2C，求在旋转过程中， 线段 CA 所扫过的面积 【分析】 （1）分别作出 A，B，C 的对应点1，B1，C1即可 （2）分别作出 A，B 的对应点 A2，B2即可，利用扇形的面积公式计算即可 【
37、解答】解： （1）A1B1C1如图所示A1（2，4） 第 21 页（共 30 页） （2）A2B2C 如图所示线段 CA 所扫过的面积 【点评】本题考查作图旋转变换，扇形的面积等知识，解题的关键是灵活运用所学知 识解决问题，属于中考常考题型 23 （9 分）某水果专卖店销售樱桃，其进价为每千克 40 元，按每千克 60 元出售，平均每 天可售出 100 千克，后来经过市场调查发现，单价每千克降低 1 元，则平均每天的销售 可增加 10 千克，请回答： （1）写出售价为 50 元时，每天能卖樱桃 200 千克，每天获得利润 2000 元 （2）若该专卖店销售这种樱桃要想平均每天获利 2240 元
38、，每千克樱桃应降价多少元？ （3）若该专卖店销售这种樱桃要想平均每天获利最大，每千克樱桃应售价多少元？ 【分析】 （1）售价为 50 元时，每天能卖出樱桃 100+10（6010）200 千克，每天获 得利润（5040）2002000 元； （2）根据“总利润每千克利润销售量”列方程求解可得； （3） 由以上相等关系列出函数解析式， 配方成顶点式后， 利用二次函数的性质求解可得 【解答】解： （1）售价为 50 元时，每天能卖出樱桃 100+10（6010）200 千克，每 天获得利润（5040）2002000 元， 故答案为：200、2000； （2）根据题意得： （6040x） （100+
39、10x）2240， 整理得：x210x+240， x4 或 x6， 答：每千克核桃应降价 4 元或 6 元； 第 22 页（共 30 页） （3）设售价为 x 元，利润 y（6040x） （100+10x） 10x2+100x+2000 10x2+100x+2000 10（x5）2+2250， 当 x5 时，y 的值最大 答：当销售单价为 55 元时，可获得销售利润最大 【点评】本题主要考查二次函数与一元二次方程的应用，解题的关键是理解题意找到相 等关系，并据此列出方程或函数解析式是解题的关键 24 （9 分）如图，O 为ABC 的外接圆，D 为 OC 与 AB 的交点，E 为线段 OC 延长
40、线上 一点，且EACABC （1）求证：直线 AE 是O 的切线 （2）若 D 为 AB 的中点，CD3，AB8 求O 的半径； 求ABC 的内心到点 O 的距离 【分析】 （1）连接 AO，并延长 AO 交O 于点 F，连接 CF，由圆周角定理可得ACF 90，可得F+FAC90，由EACABC，可得EAC+FAC90，即可 得结论； （2）由垂径定理可得 ODAB，ADBDAB4，由勾股定理可求O 的半径； 作CAB 的平分线交 CD 于点 H，连接 BH，过点 H 作 HMAC，HNBC，由角平 分线的性质可得 HMHNHD， 由三角形的面积公式可求 HD 的值， 即可求ABC 的内 心
41、到点 O 的距离 【解答】证明： （1）连接 AO，并延长 AO 交O 于点 F，连接 CF 第 23 页（共 30 页） AF 是直径 ACF90 F+FAC90， FABC，ABCEAC EACF EAC+FAC90 EAF90，且 AO 是半径 直线 AE 是O 的切线 （2）如图，连接 AO， D 为 AB 的中点，OD 过圆心， ODAB，ADBDAB4， AO2AD2+DO2， AO216+（AOCD）2， AO O 的半径为 第 24 页（共 30 页） 如图，作CAB 的平分线交 CD 于点 H，连接 BH，过点 H 作 HMAC，HNBC， ODAB，ADBD ACBC，且
42、ADBD CD 平分ACB，且 AH 平分CAB 点 H 是ABC 的内心，且 HMAC，HNBC，HDAB MHNHDH 在 RtACD 中，AC5BC SABCSACH+SABH+SBCH， 835MH+8DH+5NH， DH OHCOCHCO（CDDH） OH（3） 【点评】本题是圆的综合题，考查了圆周角定理，垂径定理，切线的判定，角平分线性 质，勾股定理等知识，熟练运用这些性质定理进行推理是本题的关键 25 （10 分）若变量 z 是变量 y 的函数，同时变量 y 是变量 x 的函数，那么我们把变量 z 叫 做变量 x 的“选代函数” ，例如：z2y+3，yx+1，则 z2（x+1）+
43、32x+1，那 么 z2x+1 就是 z 与 x 之间“选代函数”解析式 （1）当 2006x2020 时，zy+2，yx4，请求出 z 与 x 之间的“选代函数”的 解析式及 z 的最小值： （2）已知一次函数 yax+1 经过点（1，2） ，zay2+（b2）y+cb+4（其中 a，b，c 均为常数） ，聪明的你们一定知道“选代函数”z 是 x 的二次函数，若 x1，x2（x1x2）是 第 25 页（共 30 页） “选代函数”z3 的两个根，点（x3，2）是“选代函数”z 的顶点，而且 x1，x2，x3还 是一个直角三角形的三条边长，请破解“选代函数”z 关于 x 的函数解析式 【分析】
44、 （1）把 yx4 代入 zy+2 并化简，即得到 z 关于 x 的一次函数解析式， 由于一次项系数小于 0， 故 z 随 x 的增大而减小， 所以 x 取最大值 2020 时， z 取得最小值， 代入计算即可 （2）由一次函数 yax+1 经过点（1，2）求得 a1，yx+1，把 yx+1 代入 z 并整理 得 zx2+bx+c+3由点（x3，2）是“选代函数”z 的顶点，用公式法可得 x3， 2，整理得：b24c+4由 x1，x2（x1x2）是“选代函数”z3 的两个 根可知，在“选代函数”图象上的对应横坐标为 x1，x2的点关于对称轴 xx3对称，故 有 x1x3x2，即 x1，x2，x
45、3为直角三角形的三条边长时，由勾股定理得 x12+x32x22， 变形得（x2+x1） （x2x1）x32把 z3 代入得 x2+bx+c0，根据韦达定理可得 x1+x2 b，x1x2c，再根据完全平方公式求得（x2x1）2进而得到 x2x1把含 b、c 的 x2+x1、x2x1和 x3式子代入即得到关于 b、c 的方程，求解即得到 z 的函数关系式 【解答】解： （1）zy+2，yx4 z（x4）+2x+6 z 是 x 的一次函数，z 随 x 的增大而减小 2006x2020 x2020 时，z 取得最小值，z2020+61010+61004 （2）一次函数 yax+1 经过点（1，2） a+12 a1，yx+1 zay2+（b2）y+cb+4（x+1）2+（b2） （x+1）+cb+4x2+2x+1+bx+b2x 2+cb+4x2+bx+c+3 z 是 x 的
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