1、2018-2019 学年河南省开封市八年级（下）期末数学试卷一、选择题（本大题共 10 个小题，每小题个小题，每小题 3 分，共分，共 30 分）分） 1 （3 分）下列二次根式中，最简二次根式是（ ） A B C D 2 （3 分）下列各组数中，可以组成直角三角形的是（ ） A1，2，3 B2，3，4 C3，4，5 D32，42，52 3 （3 分）下列计算正确的是（ ） A+ B32 C2+2 D2 4 （3 分）汽车在匀速行驶过程中，路程 s、速度 v、时间 t 之间的关系为 svt，下列说法 正确的是（ ） As、v、t 都是变量 Bs、t 是变量，v 是常量 Cv、t 是变量，s 是
2、常量 Ds、v 是变量，t 是常量 5 （3 分）数据 0，1，1，3，3，4 的中位数和平均数分别是（ ） A2 和 2.4 B2 和 2 C1 和 2 D3 和 2 6 （3 分）正比例函数 y2x 的图象必经过点（ ） A （1，2） B （1，2） C （1，2） D （2，1） 7 （3 分）已知点 A（2，y1） ，B（1，y2）都在直线 y2x+2 上，则 y1、y2的大小关系 是（ ） Ay1y2 By1y2 Cy1y2 Dy1y2 8 （3 分）如图，菱形 ABCD 的对角线 AC，BD 的长分别为 6cm，8cm，则这个菱形的周长 为（ ） A5cm B10cm C14cm
3、 D20cm 9 （3 分）在ABCD 中，已知 AB6，BE 平分ABC 交 AD 边于点 E，点 E 将 AD 分为 1： 3 两部分，则 AD 的长为（ ） 第 2 页（共 22 页） A8 或 24 B8 C24 D9 或 24 10 （3 分）正方形 ABCD，正方形 CEFG 如图放置，点 B、C、E 在同一条直线上，点 P 在 BC 边上，PAPF，且APF90，连接 AF 交 CD 于点 M有下列结论：ECBP； APAM：BAPGFP；AB2+CE2AF2；S正方形ABCD+S正方形CGFE2S APF，其中正确的是（ ） A B C D 二、填空题（本大题共二、填空题（本大
4、题共 5 小题，每小题小题，每小题 3 分，共分，共 15 分）分） 11 （3 分）若二次根式有意义，则 x 的取值范围是 12 （3 分）某生产小组 6 名工人某天加工零件的个数分别是 10，10，11，12，8，10，则这 组数据的众数为 13 （3 分）将直线 y2x+3 向下平移 2 个单位，得直线 14 （3 分） 矩形两条对角线的夹角为 60， 对角线长为 14， 则该矩形较长的边长为 15 （3 分）如图所示，直线 yx+1 与 y 轴相交于点 A1，以 OA1为边作正方形 OA1B1C1，记 作第一个正方形；然后延长 C1B1与直线 yx+1 相交于点 A2，再以 C1A2为
5、边作正方形 C1A2B2C2，记作第二个正方形；同样延长 C2B2与直线 yx+1 相交于点 A3，再以 C2A3 为边作正方形 C2A3B3C3，记作第三个正方形；，依此类推，则第 n 个正方形的边长 为 三、三、解答题（本大题共解答题（本大题共 8 小题，共小题，共 55 分分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16 （10 分）计算： 第 3 页（共 22 页） （1） （）（） （2） （3） （3） 17 （6 分）如图， 九章算术中的“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去根六 尺，问折高者几何？意思是：一根竹子，原高一丈（一丈1
6、0 尺） ，一阵风将竹子折断， 其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部 6 尺远，求折断处离地面的高度 18 （6 分）如图，ABCD 的对角线 ACBD 有相交于点 O，且 E、F、G、H 分别是 OA、OB、 OC、OD 的中点求证：四边形 EFGH 是平行四边形 19 （6 分）甲、乙两车从 A 城出发前往 B 城在整个行程中，汽车离开 A 城的距离 y 与时 刻 t 的对应关系如图所示 （1）A，B 两城相距 km； （2）哪辆车先出发？哪辆车先到 B 城？ （3）甲车的平均速度为 km/h，乙车的平均速度为 km/s？ （4）你还能从图中得到哪些信息？ 20 （6 分）射击训练班中的甲、乙
7、两名选手在 5 次射击训练中的成绩依次为（单位：环） ： 第 4 页（共 22 页） 甲：8，8，7，8，9 乙：5，9，7，10，9 教练根据他们的成绩绘制了如下尚不完整的统计图表： 选手 平均数 众数 中位数 方差 甲 8 b 8 0.4 乙 a 9 c 3.2 根据以上信息，请解答下面的问题： （1）a ，b ，c ； （2）完成图中表示乙成绩变化情况的折线； （3）教练根据这 5 次成绩，决定选择甲参加射击比赛，教练的理由是什么？ （4）若选手乙再射击第 6 次，命中的成绩是 8 环，则选手乙这 6 次射击成绩的方差与前 5 次射击成绩的方差相比会 （填“变大” 、 “变小”或“不变”
8、 ） 21 （7 分）某商店销售每台 A 型电脑的利润为 100 元，销售每台 B 型电脑的利润为 150 元， 该商店计划一次购进 A，B 两种型号的电脑共 100 台，设购进 A 型电脑 x 台，这 100 台 电脑的销售总利润为 y 元 （1）求 y 与 x 的函数关系式； （2）该商店计划一次购进 A，B 两种型号的电脑共 100 台，其中 B 型电脑的进货量不超 过 A 型电脑的 2 倍，那么商店购进 A 型、B 型电脑各多少台，才能使销售总利润最大？ 22 （7 分）如图，正方形 ABCD 的对角线 AC，BD 相交于点 O，点 E 是 AC 的一点，连接 EB，过点 A 做 AM
9、BE，垂足为 M，AM 与 BD 相交于点 F （1）猜想：如图（1）线段 OE 与线段 OF 的数量关系为 ； 第 5 页（共 22 页） （2）拓展：如图（2） ，若点 E 在 AC 的延长线上，AMBE 于点 M，AM、DB 的延长线 相交于点 F，其他条件不变， （1）的结论还成立吗？如果成立，请仅就图（2）给出证明； 如果不成立，请说明理由 23 （7 分）如图，在平面直角坐标系中，直线 yx+2 与 x 轴，y 轴分别交于 A，B 两点， 点 C（2，m）为直线 yx+2 上一点，直线 yx+b 过点 C （1）求 m 和 b 的值； （2）直线 yx+b 与 x 轴交于点 D，动
10、点 P 从点 D 开始以每秒 1 个单位的速度向 x 轴负方向运动设点 P 的运动时间为 t 秒 若点 P 在线段 DA 上，且ACP 的面积为 10，求 t 的值； 是否存在 t 的值，使ACP 为等腰三角形？若存在，直接写出 t 的值；若不存在，请 说明理由 第 6 页（共 22 页） 2018-2019 学年河南省开封市八年级（下）期末数学试卷学年河南省开封市八年级（下）期末数学试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 10 个小题，每小题个小题，每小题 3 分，共分，共 30 分）分） 1 （3 分）下列二次根式中，最简二次根式是（ ） A
11、B C D 【分析】最简二次根式满足：被开方数不含分母；被开方数中不含能开得尽方的因数或 因式我们把满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式 【解答】解：A、被开方数含分母，不是最简二次根式； B、是最简二次根式； C、被开方数含能开得尽方的因数，不是最简二次根式； D、被开方数含能开得尽方的因数，不是最简二次根式； 故选：B 【点评】本题考查最简二次根式的定义，最简二次根式必须满足两个条件： （1）被开方 数的因数是整数或字母，因式是整式； （2）被开方数中不含有可化为平方数或平方式的 因数或因式 2 （3 分）下列各组数中，可以组成直角三角形的是（ ） A1，2，3 B2，3，4 C3
12、，4，5 D32，42，52 【分析】根据勾股定理的逆定理：如果三角形有两边的平方和等于第三边的平方，那么 这个三角形是直角三角形判定则可 【解答】解：A、12+2232，根据勾股定理的逆定理不是直角三角形，故此选项错误； B、22+3242，根据勾股定理的逆定理不是直角三角形，故此选项错误； C、32+4252，根据勾股定理的逆定理是直角三角形，故此选项正确； D、 （32）2+（42）2（52）2，根据勾股定理的逆定理不是直角三角形，故此选项错误 故选：C 【点评】本题考查了勾股定理的逆定理，在应用勾股定理的逆定理时，应先认真分析所 给边的大小关系，确定最大边后，再验证两条较小边的平方和与
13、最大边的平方之间的关 系，进而作出判断 3 （3 分）下列计算正确的是（ ） 第 7 页（共 22 页） A+ B32 C2+2 D2 【分析】根据二次根式的加减法对 A、B、C、D 进行判断；根据二次根式的乘法法则对 D 进行判断 【解答】解：A、与不能合并，所以 A 选项错误； B、原式2，所以 B 选项错误； C、2 与不能合并，所以 C 选项错误； D、原式2，所以 D 选项正确 故选：D 【点评】本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后进行 二次根式的乘除运算，再合并即可在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵 活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往
14、往能事半功倍 4 （3 分）汽车在匀速行驶过程中，路程 s、速度 v、时间 t 之间的关系为 svt，下列说法 正确的是（ ） As、v、t 都是变量 Bs、t 是变量，v 是常量 Cv、t 是变量，s 是常量 Ds、v 是变量，t 是常量 【分析】利用变量和常量的定义：在一个变化的过程中，数值发生变化的量称为变量； 数值始终不变的量称为常量进行分析 【解答】解：汽车在匀速行驶过程中，速度 v 不变，是常量，t、s 是变量； 故选：B 【点评】此题主要考查了常量和变量，关键是掌握变量和常量的定义 5 （3 分）数据 0，1，1，3，3，4 的中位数和平均数分别是（ ） A2 和 2.4 B2
15、和 2 C1 和 2 D3 和 2 【分析】根据中位数和平均数的定义求解即可 【解答】解：这组数据的中位数为： （1+3）22， 平均数为：2 故选：B 【点评】本题考查了中位数及平均数的定义，属于基础题，掌握基本定义是关键 6 （3 分）正比例函数 y2x 的图象必经过点（ ） 第 8 页（共 22 页） A （1，2） B （1，2） C （1，2） D （2，1） 【分析】把各点代入此函数的解析式进行检验即可作答 【解答】解：A、当 x1 时，y2，此点在正比例函数的图象上，故本选项正 确； B、当 x1 时，y22，此点不在正比例函数的图象上，故本选项错误； C、当 x1 时，y22，
16、此点不在正比例函数的图象上，故本选项错误； D、当 x2 时，y41，此点不在正比例函数的图象上，故本选项错误 故选：A 【点评】本题考查的是正比例函数图象上点的坐标特点，熟知一次函数图象上各点的坐 标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键 7 （3 分）已知点 A（2，y1） ，B（1，y2）都在直线 y2x+2 上，则 y1、y2的大小关系 是（ ） Ay1y2 By1y2 Cy1y2 Dy1y2 【分析】先根据一次函数的解析式判断出函数的增减性，再根据21 即可得出结论 【解答】解：一次函数 y2x+2 中，k20， y 随 x 的增大而减小， 21， y1y2 故选：C 【点评】本题考
17、查的是一次函数图象上点的坐标特点，熟知一次函数图象上各点的坐标 一定适合此函数的解析式是解答此题的关键 8 （3 分）如图，菱形 ABCD 的对角线 AC，BD 的长分别为 6cm，8cm，则这个菱形的周长 为（ ） A5cm B10cm C14cm D20cm 【分析】根据菱形的对角线互相垂直平分可得 ACBD，OAAC，OBBD，再利 第 9 页（共 22 页） 用勾股定理列式求出 AB，然后根据菱形的四条边都相等列式计算即可得解 【解答】解：四边形 ABCD 是菱形， ACBD，OAAC63cm， OBBD84cm， 根据勾股定理得，AB5cm， 所以，这个菱形的周长4520cm 故选：
18、D 【点评】本题考查了菱形的性质，勾股定理，主要利用了菱形的对角线互相垂直平分， 需熟记 9 （3 分）在ABCD 中，已知 AB6，BE 平分ABC 交 AD 边于点 E，点 E 将 AD 分为 1： 3 两部分，则 AD 的长为（ ） A8 或 24 B8 C24 D9 或 24 【分析】由平行四边形的性质和角平分线得出 ABAE6，再由已知条件得出 DE18 或 DE2，分别求出 AD 即可 【解答】解：BE 平分ABC， ABECBE， 四边形 ABCD 是平行四边形， ADBC， BEACBE， ABEBEA， ABAE6 点 E 将 AD 分为 1：3 两部分， DE18 或 DE
19、2， 当 DE18 时，AD24； 当 DE2，AD8； 故选：A 第 10 页（共 22 页） 【点评】本题考查了平行四边形的性质、平行线的性质、角平分线定义、等腰三角形的 判定等知识；熟练掌握平行四边形的性质，证出 ABAE 是解题的关键 10 （3 分）正方形 ABCD，正方形 CEFG 如图放置，点 B、C、E 在同一条直线上，点 P 在 BC 边上，PAPF，且APF90，连接 AF 交 CD 于点 M有下列结论：ECBP； APAM：BAPGFP；AB2+CE2AF2；S正方形ABCD+S正方形CGFE2S APF，其中正确的是（ ） A B C D 【分析】由同角的余角相等可证出
20、EPFBAP，由此即可得出 EFBP，再根据正 方形的性质即可得出成立；没有满足证明 APAM 的条件；根据平行线的性质 可得出GFPEPF，再由EPFBAP 即可得出成立；在 RtABP 中，利用 勾股定理即可得出成立；结合即可得出成立综上即可得出结论 【解答】解：EPF+APB90，APB+BAP90， EPFBAP 在EPF 和BAP 中，有， EPFBAP（AAS） ， EFBP， 四边形 CEFG 为正方形， ECEFBP，即成立； 无法证出 APAM； FGEC， 第 11 页（共 22 页） GFPEPF， 又EPFBAP， BAPGFP，即成立； 由可知 ECBP， 在 RtA
21、BP 中，AB2+BP2AP2， PAPF，且APF90， APF 为等腰直角三角形， AF2AP2+FP22AP2， AB2+BP2AB2+CE2AP2AF2，即成立； 由可知：AB2+CE2AP2， S正方形ABCD+S正方形CGFE2SAPF，即成立 故成立的结论有 故选：D 【点评】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定及性质、平行线的性质以及勾股 定理，解题的关键是逐条分析五条结论是否正确本题属于中档题，难度不大，解决该 题型题目时，通过证明三角形全等以及利用勾股定理等来验证题中各结论是否成立是关 键 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 5 小题，每小题小题，每小题 3 分，
22、共分，共 15 分）分） 11 （3 分）若二次根式有意义，则 x 的取值范围是 x3 【分析】根据负数没有平方根求出 x 的范围即可 【解答】解：由二次根式有意义，得到 x30， 解得：x3， 故答案为：x3 【点评】此题考查了二次根式有意义的条件，熟练掌握二次根式性质是解本题的关键 12 （3 分）某生产小组 6 名工人某天加工零件的个数分别是 10，10，11，12，8，10，则这 第 12 页（共 22 页） 组数据的众数为 10 【分析】在这组数据中出现次数最多的数据叫作这组数据的众数；据此解答 【解答】解：在数据 10，10，11，12，8，10 中，因为 10 出现了 3 次，所
23、以 10 为这组 数据的众数， 故答案为：10 【点评】本题考查了众数的定义，属于统计基础知识，比较简单 13 （3 分）将直线 y2x+3 向下平移 2 个单位，得直线 y2x+1 【分析】根据“平移时 k 值不变及上移加，下移减”可得出平移后直线的解析式 【解答】解：将直线 y2x+3 向下平移 2 个单位，得到直线 y2x+32，即 y2x+1 故答案为：y2x+1 【点评】本题考查了一次函数图象与几何变换，掌握“左加右减，上加下减”的平移规 律是解题的关键 14（3 分） 矩形两条对角线的夹角为 60， 对角线长为 14， 则该矩形较长的边长为 7 【分析】由矩形的对角线相等且平分可求
24、得较短边与对角线的一半所构成的三角形为等 边三角形，则可求得答案 【解答】解：如图，在矩形 ABCD 中，AC、BD 相交于点 O，AOB60， 则 OAOB147， AOB 为等边三角形， AB7， RtABC 中，由勾股定理得：BC7， 故答案为：7 【点评】本题主要考查矩形的性质，证得AOB 为等边三角形是解题的关键 15 （3 分）如图所示，直线 yx+1 与 y 轴相交于点 A1，以 OA1为边作正方形 OA1B1C1，记 作第一个正方形；然后延长 C1B1与直线 yx+1 相交于点 A2，再以 C1A2为边作正方形 C1A2B2C2，记作第二个正方形；同样延长 C2B2与直线 yx
25、+1 相交于点 A3，再以 C2A3 为边作正方形 C2A3B3C3，记作第三个正方形；，依此类推，则第 n 个正方形的边长为 第 13 页（共 22 页） 2n 1 【分析】解题的关键是求出第一个正方体的边长，然后依次计算 n1，n2总结出规 律 【解答】解：根据题意不难得出第一个正方体的边长1， 那么：n1 时，第 1 个正方形的边长为：120 n2 时，第 2 个正方形的边长为：221 n3 时，第 3 个正方形的边长为：422 第 n 个正方形的边长为：2n 1 故答案为：2n 1 【点评】解决这类问题首先要从简单图形入手，抓住随着“编号”或“序号”增加时， 后一个图形与前一个图形相比
26、，在数量上增加（或倍数）情况的变化，找出数量上的变 化规律，从而推出一般性的结论 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 8 小题，共小题，共 55 分分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16 （10 分）计算： （1） （）（） （2） （3） （3） 【分析】 （1）先把二次根式化为最简二次根式，然后合并即可； （2）利用平方差公式计算 【解答】解： （1）原式2 ； （2）原式183 15 【点评】本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后进行 第 14 页（共 22 页） 二次根式的乘除运算，再合并即可在二次根式
27、的混合运算中，如能结合题目特点，灵 活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍 17 （6 分）如图， 九章算术中的“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去根六 尺，问折高者几何？意思是：一根竹子，原高一丈（一丈10 尺） ，一阵风将竹子折断， 其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部 6 尺远，求折断处离地面的高度 【分析】竹子折断后刚好构成一直角三角形，设竹子折断处离地面 x 尺，则斜边为（10 x）尺，利用勾股定理解题即可 【解答】解：设竹子折断处离地面 x 尺，则斜边为（10x）尺， 根据勾股定理得：x2+62（10x）2 解得：x3.2 答：折断处离地面的高度是 3.2 尺
28、 【点评】此题考查了勾股定理的应用，解题的关键是利用题目信息构造直角三角形，从 而运用勾股定理解题 18 （6 分）如图，ABCD 的对角线 ACBD 有相交于点 O，且 E、F、G、H 分别是 OA、OB、 OC、OD 的中点求证：四边形 EFGH 是平行四边形 【分析】根据平行四边形的性质得到 ABCD，ABCD，根据三角形中位线定理得到 EFAB，EFAB，GHCD，GHCD，根据平行四边形的判定定理证明 【解答】证明：四边形 ABCD 是平行四边形， ABCD，ABCD， E、F、G、H 分别是 OA、OB、OC、OD 的中点， EFAB，EFAB，GHCD，GHCD， 第 15 页（
29、共 22 页） EFGH，EFGH， 四边形 EFGH 是平行四边形 【点评】本题考查的是中点四边形、平行四边形的判定，掌握三角形中位线定理、平行 四边形的判定定理是解题的关键 19 （6 分）甲、乙两车从 A 城出发前往 B 城在整个行程中，汽车离开 A 城的距离 y 与时 刻 t 的对应关系如图所示 （1）A，B 两城相距 300 km； （2）哪辆车先出发？哪辆车先到 B 城？ （3）甲车的平均速度为 60 km/h，乙车的平均速度为 100 km/s？ （4）你还能从图中得到哪些信息？ 【分析】 （1）根据图示知，纵坐标表示汽车离开 A 城的距离，所以 A，B 两城相距 300 米；
30、（2）根据甲、乙两车的出发时间和到达时间进行回答； （3）速度，依此列式计算即可求解 （4）根据图象得出其他信息即可 【解答】解： （1）由图示知：A，B 两城相距 300km； （2）由图示知，甲车从 5：00 出发，乙车从 6：00 出发；甲车 10：00 到达 B 城，乙车 9：00 到达 B 城 答：甲车先出发，乙车先到达 B 城； （3）如图所示：甲车的平均速度为：60（km/h） ， 乙车的平均速度为：100（km/h） ， 第 16 页（共 22 页） 答：甲、乙两车的平均速度分别是 60km/h、100km/h （4）30060460（千米） ， 答：乙车到达 B 城时，甲车距
31、离 B 城的距离 60 千米 故答案为：300；60；100 【点评】本题考查了一次函数的应用主要利用了路程、速度、时间三者之间的关系， 准确识图，理解横、纵坐标的实际意义是解题的关键 20 （6 分）射击训练班中的甲、乙两名选手在 5 次射击训练中的成绩依次为（单位：环） ： 甲：8，8，7，8，9 乙：5，9，7，10，9 教练根据他们的成绩绘制了如下尚不完整的统计图表： 选手 平均数 众数 中位数 方差 甲 8 b 8 0.4 乙 a 9 c 3.2 根据以上信息，请解答下面的问题： （1）a 8 ，b 8 ，c 9 ； （2）完成图中表示乙成绩变化情况的折线； （3）教练根据这 5 次
32、成绩，决定选择甲参加射击比赛，教练的理由是什么？ （4）若选手乙再射击第 6 次，命中的成绩是 8 环，则选手乙这 6 次射击成绩的方差与前 5 次射击成绩的方差相比会 变小 （填“变大” 、 “变小”或“不变” ） 【分析】 （1）依据平均数、众数以及中位数的概念进行计算判断即可； （2）依据乙的成绩：5，9，7，10，9，即可完成图中表示乙成绩变化情况的折线； 第 17 页（共 22 页） （3）两人的平均成绩相同，而甲的成绩的方差小，即甲的成绩较稳定，故选择甲参加射 击比赛； （4）依据选手乙这 6 次射击成绩 5，9，7，10，9，8，即可得到方差的大小 【解答】解： （1）由题可得，
33、a（5+9+7+10+9）8； 甲的成绩 7，8，8，8，9 中，8 出现的次数最多，故众数 b8； 而乙的成绩 5，7，9，9，10 中，中位数 c9； 故答案为：8，8，9； （2）乙成绩变化情况的折线如下： （3）教练根据这 5 次成绩，决定选择甲参加射击比赛，教练的理由是两人的平均成绩相 同，而甲的成绩的方差小，即甲的成绩较稳定 （4）由题可得，选手乙这 6 次射击成绩 5，9，7，10，9，8 的方差（58）2+（9 8）2+（108）2+（98）2+（88）22.53.2， 选手乙这 6 次射击成绩的方差与前 5 次射击成绩的方差相比会变小 故答案为：变小 【点评】本题考查了众数、
34、中位数以及平均数，掌握众数、中位数以及平均数的定义以 及用样本估计总体是解题的关键方差反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性 越大，反之也成立 21 （7 分）某商店销售每台 A 型电脑的利润为 100 元，销售每台 B 型电脑的利润为 150 元， 该商店计划一次购进 A，B 两种型号的电脑共 100 台，设购进 A 型电脑 x 台，这 100 台 电脑的销售总利润为 y 元 （1）求 y 与 x 的函数关系式； 第 18 页（共 22 页） （2）该商店计划一次购进 A，B 两种型号的电脑共 100 台，其中 B 型电脑的进货量不超 过 A 型电脑的 2 倍，那么商店购进 A 型、B
35、型电脑各多少台，才能使销售总利润最大？ 【分析】 （1）根据题意可以求得 y 与 x 的函数关系式，从而可以解答本题； （2）根据题意和 B 型电脑的进货量不超过 A 型电脑的 2 倍，可以求得 x 的取值范围，再 根据一次函数的性质即可解答本题 【解答】解： （1）由题意可得， y100x+150（100x）50x+15000， 即 y 与 x 的函数关系式是 y50x+15000； （2）由题意可得， 100x2x，解得，x， y50x+15000， 当 x34 时，y 取得最大值，此时 y13300，100x66， 即商店购进 A 型 34 台、B 型电脑 66 台，才能使销售总利润最大
36、 【点评】本题考查一次函数的应用、解一元一次不等式，解答此类问题的关键是明确题 意，找出所求问题需要的条件，利用一次函数的性质和不等式的性质解答 22 （7 分）如图，正方形 ABCD 的对角线 AC，BD 相交于点 O，点 E 是 AC 的一点，连接 EB，过点 A 做 AMBE，垂足为 M，AM 与 BD 相交于点 F （1）猜想：如图（1）线段 OE 与线段 OF 的数量关系为 OEOF ； （2）拓展：如图（2） ，若点 E 在 AC 的延长线上，AMBE 于点 M，AM、DB 的延长线 相交于点 F，其他条件不变， （1）的结论还成立吗？如果成立，请仅就图（2）给出证明； 如果不成立
37、，请说明理由 【分析】 （1）根据正方形的性质对角线垂直且平分，得到 OBOA，又因为 AMBE， 所以MEA+MAE90AFO+MAE， 从而求证出 RtBOERtAOF， 得到 OE OF 第 19 页（共 22 页） （2）根据第一步得到的结果以及正方形的性质得到 OBOA，再根据已知条件求证出 RtBOERtAOF，得到 OEOF 【解答】解： （1）正方形 ABCD 的对角线 AC、BD 相交于点 O，AMBE， AOBBOEAMB90， AFOBFM（对顶角相等） ， OAFOBE（等角的余角相等） ， 又OAOB（正方形的对角线互相垂直平分且相等） ， AOFBOE（ASA） ，
38、 OEOF 故答案为：OEOF； （2）成立 理由如下： AOFBOE90，OAOB， ABC90， EBC+ABM90， ABM+BAF90， EBCBAF， 又OABOBC45， OAMOBE， AOFBOE（ASA） ， OEOF 【点评】本题是四边形的综合题，考查了正方形的性质、三角形全等的性质和判定，并 运用了类比的思想，两个问题都是证明BOEAOF 解决问题 23 （7 分）如图，在平面直角坐标系中，直线 yx+2 与 x 轴，y 轴分别交于 A，B 两点， 点 C（2，m）为直线 yx+2 上一点，直线 yx+b 过点 C （1）求 m 和 b 的值； （2）直线 yx+b 与
39、x 轴交于点 D，动点 P 从点 D 开始以每秒 1 个单位的速度向 x 轴负方向运动设点 P 的运动时间为 t 秒 若点 P 在线段 DA 上，且ACP 的面积为 10，求 t 的值； 第 20 页（共 22 页） 是否存在 t 的值，使ACP 为等腰三角形？若存在，直接写出 t 的值；若不存在，请 说明理由 【分析】 （1）分别令 y0 可得 b 和 m 的值； （2）根据ACP 的面积公式列等式可得 t 的值； 存在，分三种情况： i）当 ACCP 时，如图 1，ii）当 ACAP 时，如图 2，iii）当 APPC 时，如图 3，分 别求 t 的值即可 【解答】解： （1）把点 C（2
40、，m）代入直线 yx+2 中得：m2+24， 点 C（2，4） ， 直线 yx+b 过点 C， 4+b，b5； （2）由题意得：PDt， yx+2 中，当 y0 时，x+20， x2， A（2，0） ， yx+5 中，当 y0 时，x+50， x10， D（10，0） ， AD10+212，即 0t12， ACP 的面积为 10， 410， t7， 则 t 的值 7 秒； 存在，分三种情况： 第 21 页（共 22 页） i）当 ACCP 时，如图 1，过 C 作 CEAD 于 E， PEAE4， PD1284， 即 t4； ii）当 ACAP 时，如图 2， ACAP1AP24， DP1t124， DP2t12+4； iii）当 APPC 时，如图 3， OAOB2 BAO45 CAPACP45 APC90 APPC4 PD1248，即 t8； 综上，当 t4 秒或（124）秒或（12+4）秒或 8 秒时，ACP 为等腰三角形 第 22 页（共 22 页） 【点评】本题属于一次函数综合题，涉及的知识有：待定系数法求一次函数解析式，坐 标与图形性质，勾股定理，等腰三角形的判定，以及一次函数与坐标轴的交点，熟练掌 握性质及定理是解本题的关键，并注意运用分类讨论的思想解决问题
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