1、2018-2019 学年湖南省长沙市岳麓区二校联考八年级（下）第三次月考数学试卷 一、选择题（12336 分）分） 1 （3 分）已知函数 y（m2）x|m|+mx1，其图象是抛物线，则 m 的取值是（ ） Am2 Bm2 Cm2 Dm0 2 （3 分）函数图象 yx2+bx+c 中，函数 y 与自变量 x 的部分对应值如表： x 1 0 1 2 3 4 y 10 5 2 1 2 5 二次函数的对称轴直线是（ ） Ax0 Bx1 Cx2 Dx3 3 （3 分） 将二次函数 yx24x+3 通过配方可化为 ya （xh） 2+k 的形式， 结果为 （ ） Ay（x2）21 By（x2）2+3 C
2、y（x+2）2+3 Dy（x+2）21 4 （3 分）二次函数 y3（x1）2+2，下列说法正确的是（ ） A图象的开口向下 B图象的顶点坐标是（1，2） C当 x1 时，y 随 x 的增大而减小 D图象与 y 轴的交点坐标为（0，2） 5 （3 分）将二次函数 yx22x 的图象向上平移 1 个单位长度，再向右平移 2 个单位长度， 对于得到的新的二次函数，y 的最小值是（ ） A2 B1 C0 D1 6 （3 分）若关于 x 的一元二次方程 ax2+bx30（a0）的解是 x1，则5+2a2b 的值是（ ） A0 B1 C2 D3 7（3分） 已知二次函数yx2+x+2与一次函数y2x1在
3、同一坐标系中的交点个数是 （ ） A0 个 B1 个 C2 个 D无法确定 8 （3 分）二次函数 yax2+bx+c 与一次函数 yax+c 在同一直角坐标系内的大致图象是 （ ） 第 2 页（共 24 页） A B C D 9 （3 分）若点 A（2，y1） ，B（1，y2） ，C（3，y3）在二次函数 y2x2+4x1 的图象上， 则 y1，y2，y3的大小关系是（ ） Ay1y2y3 By2y3y1 Cy3y2y1 Dy2y1y3 10 （3 分）已知二次函数 yax2+bx+c 的图象如图所示，有以下结论：abc0，ab+c 0，2ab，4a+2b+c0，若点（2，y1）和（，y2）
4、在该图象上，则 y1 y2其中正确结论的个数是（ ） A4 B3 C2 D1 11 （3 分）对于实数 a，b，定义运算“” ：ab，例如：53，因为 53， 所以 5353326 若 x1， x2是一元二次方程 x23x+20 的两个根， 则 x1x2 等于（ ） A1 B2 C1 D1 12 （3 分）如图，在平面直角坐标系中，垂直于 x 轴的直线分别交抛物线 yx2（x0）和 抛物线 yx2（x0）于点 A 和点 B，过点 A 作 ACx 轴交抛物线 yx2于点 C，过 点 B 作 BDx 轴交抛物线 yx2于点 D，则的值为（ ） 第 3 页（共 24 页） A B C D 二、填空题
5、（二、填空题（6318 分）分） 13（3 分） 若关于 x 的一元二次方程 x23x+2+m0 无实数根， 则 m 的取值范围是 14 （3 分）已知二次函数 y（x2）23，当 x 时，y 随 x 的增大而减小 15 （3 分）已知一个直角三角形的两直角边长为 a、b（ab） ，恰好是方程 x214x+480 的两根，那么这个直角三角形斜边上的高长为 16 （3 分）已知 x2+y22x4y+50，分式的值为 17 （3 分）若函数 y，则当函数值 y12 时，自变量 x 的值是 18 （3 分）已知二次函数 y1ax2+bx+c（a0）与一次函数 y2kx+m（k0）的图象相交 于点 A
6、 （2， 6） 和 B （8， 3） ， 如图所示， 则不等式 ax2+bx+ckx+m 的取值范围是 三、解答题（共三、解答题（共 8 小题）小题） 19 （6 分）已知二次函数 yx24x+5 （1）当 x1 时，求对应的 y 的值； （2）当 y2 时，求 x 的值 20 （6 分）先化简，再求值：（x2） ，其中 x 是一元二次方程 x22x 80 的解 第 4 页（共 24 页） 21 （8 分）二次函数的图象经过 A（4，0） ，B（0，4） ，C（2，4）三点： 求这个函数的解析式； 求函数顶点的坐标； 求抛物线与坐标轴的交点围成的三角形的面积 22 （8 分）关于 x 的一元二
7、次方程 x2（2k1）x+k2+10 有两个不相等的实数根 x1，x2 （1）求实数 k 的取值范围； （2）若方程的两实数根 x1，x2满足|x1|+|x2|x1x2，求 k 的值 23 （9 分） 已知： 抛物线 yx2+4x+4+m 的图象与 y 轴交于点 C， 点 B 与点 C 的纵坐标相同， 一次函数 ykx+b 与二次函数交于 A、B 两点，且 A 点坐标为（1，0） （1）求二次函数与一次函数的解析式； （2）若抛物线对称轴上存在一点 P，使得PAC 的周长最小，求 P 点坐标及PAC 周长 的最小值 24 （9 分）小雨、小华、小星暑假到某超市参加社会实践活动，在活动中他们参加
8、了某种 水果的销售工作，已知该水果的进价为 8 元/千克他们通过市场调查发现：当销售单价 为 10 元时，那么每天可售出 300 千克；销售单价每上涨 1 元，每天的销售量就减少 50 千克 （1）求该超市销售这种水果，每天的销售量 y（千克）与销售单价 x（元/千克）之间的 函数关系式； （2）一段时间后，发现这种水果每天的销售量均不低于 250 千克，则此时该超市销售这 种水果每天获取的利润 w（元）最大是多少？ （3） 为响应政府号召， 该超市决定在暑假期间每销售 1 千克这种水果就捐赠 a 元利润 （a 2.5）给希望工程公司通过销售记录发现，当销售单价不超过 13 元时，每天扣除捐赠
9、 后的日销售利润随销售单价 x（元/千克）的增大而增大，求 a 的取值范围 第 5 页（共 24 页） 25 （10 分）已知抛物线 L：yx2+bx2 与 x 轴相交于 A、B 两点（点 A 在点 B 的左侧） ， 并与 y 轴相交于点 C且点 A 的坐标是（1，0） （1）求该抛物线的函数表达式及顶点 D 的坐标； （2）判断ABC 的形状，并求出ABC 的面积； （3） 将抛物线向左或向右平移， 得到抛物线 L， L与 x 轴相交于 A、 B两点 （点 A 在点 B的左侧） ，并与 y 轴相交于点 C，要使ABC和ABC 的面积相等，求所 有满足条件的抛物线的函数表达式 26 （10 分
10、）若三个非零实数 x，y，z 满足：只要其中一个数的倒数等于另外两个数的倒数 的和，则称这三个实数 x，y，z 构成“和谐三组数” （1）实数 1，2，3 可以构成“和谐三组数”吗？请说明理由； （2）若直线 y2bx+2c（bc0）与 x 轴交于点 A（x1，0） ，与抛物线 yax2+3bx+3c（a 0）交于 B（x2，y2） ，C（x3，y3）两点 求证：A，B，C 三点的横坐标 x1，x2，x3构成“和谐三组数” ； 若 a2b3c，x21，求点 P（，）与原点 O 的距离 OP 的取值范围 第 6 页（共 24 页） 2018-2019 学年湖南省长沙市岳麓区二校联考八年级（下）第
11、三次月学年湖南省长沙市岳麓区二校联考八年级（下）第三次月 考数学试卷考数学试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题（一、选择题（12336 分）分） 1 （3 分）已知函数 y（m2）x|m|+mx1，其图象是抛物线，则 m 的取值是（ ） Am2 Bm2 Cm2 Dm0 【分析】根据二次函数最高次数是二次，二次项的系数不等于零，可得方程，根据解方 程，可得答案 【解答】解：函数 y（m2）x|m|+mx1，其图象是抛物线， |m|2 且 m20， 解得 m2 故选：B 【点评】本题考查了二次函数的定义，利用了二次函数的定义：形如 yax2+bx+c （a 0）是二次函数，注意二
12、次项的系数不等于零是解题关键 2 （3 分）函数图象 yx2+bx+c 中，函数 y 与自变量 x 的部分对应值如表： x 1 0 1 2 3 4 y 10 5 2 1 2 5 二次函数的对称轴直线是（ ） Ax0 Bx1 Cx2 Dx3 【分析】观察表格发现函数的图象经过点（1，2）和（3，2） ，根据两点的纵坐标相同， 说明两点关于对称轴对称，从而求解 【解答】解：观察表格发现函数的图象经过点（1，2）和（3，2） ， 两点的纵坐标相同， 两点关于对称轴对称， 对称轴为：x2， 故选：C 【点评】本题主要考查了二次函数的性质，解答本题的关键是掌握关于对称轴直线对称 第 7 页（共 24 页
13、） 的两个点的纵坐标相等，此题难度不大 3 （3 分） 将二次函数 yx24x+3 通过配方可化为 ya （xh） 2+k 的形式， 结果为 （ ） Ay（x2）21 By（x2）2+3 Cy（x+2）2+3 Dy（x+2）21 【分析】加上一次项系数的一半的平方来凑完全平方式，把一般式转化为顶点式 【解答】解：yx24x+3（x24x+4）1（x2）21， 即 y（x2）21 故选：A 【点评】本题考查了二次函数的三种形式，主要是配方法和平方数非负数的应用 4 （3 分）二次函数 y3（x1）2+2，下列说法正确的是（ ） A图象的开口向下 B图象的顶点坐标是（1，2） C当 x1 时，y
14、随 x 的增大而减小 D图象与 y 轴的交点坐标为（0，2） 【分析】由抛物线解析式可求得其开口方向、顶点坐标、最值及增减性，则可判断四个 选项，可求得答案 【解答】解：A、因为 a30，所以开口向上，错误； B、顶点坐标是（1，2） ，正确； C、当 x1 时，y 随 x 增大而增大，错误； D、图象与 y 轴的交点坐标为（0，5） ，错误； 故选：B 【点评】本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的顶点式是解题的关键，即在 y a（xh）2+k 中，对称轴为 xh，顶点坐标为（h，k） 5 （3 分）将二次函数 yx22x 的图象向上平移 1 个单位长度，再向右平移 2 个单位长度， 对
15、于得到的新的二次函数，y 的最小值是（ ） A2 B1 C0 D1 【分析】先把抛物线化为顶点坐标式，再按照“左加右减，上加下减”的规律，即可求 出平移后的函数表达式，然后再求二次函数最值 【解答】解：yx22x（x1）21， 将二次函数 y（x1）21 的图象向上平移 1 个单位长度，再向右平移 2 个单位长度， 得到的新的二次函数 y（x3）2， 第 8 页（共 24 页） 因为 y（x3）20， 所以 y 的最小值是 0 故选：C 【点评】 主要考查了函数图象的平移， 要求熟练掌握平移的规律： 左加右减， 上加下减 并 用规律求函数解析式 6 （3 分）若关于 x 的一元二次方程 ax2
16、+bx30（a0）的解是 x1，则5+2a2b 的值是（ ） A0 B1 C2 D3 【分析】先把 x1 代入方程 ax2+bx30 得 ab3，再把5+2a2b 变形为5+2 （ab） ，然后利用整体代入的方法计算 【解答】解：把 x1 代入方程 ax2+bx30 得 ab30，则 ab3， 所以5+2a2b5+2（ab）5+231 故选：B 【点评】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值 是一元二次方程的解 7（3分） 已知二次函数yx2+x+2与一次函数y2x1在同一坐标系中的交点个数是 （ ） A0 个 B1 个 C2 个 D无法确定 【分析】根据题意得到
17、方程 x2+x+22x1，判断方程根的个数即可作出正确选择 【解答】解：根据题意联立方程可得， 即 x2+x+22x1， 整理得 x2x+30， 112110， 则二次函数 yx2+x+2 与一次函数 y2x1 没有交点， 故选：A 【点评】本题主要考查了二次函数的性质的知识，解答本题的关键是根据题意可得一元 二次方程，进而判断方程根的个数，此题难度不大 8 （3 分）二次函数 yax2+bx+c 与一次函数 yax+c 在同一直角坐标系内的大致图象是 （ ） 第 9 页（共 24 页） A B C D 【分析】分别根据抛物线与直线所经过的象限判断出 a、c 的符号，进而可得出结论 【解答】解
18、：A、由抛物线知，a0，c0；由直线知 a0，c0，a 的值矛盾，故本选 项错误； B、由抛物线知，a0，c0；由直线知 a0，c0，c 的值矛盾，故本选项错误； C、由抛物线知，a0，c0；由直线知 a0，c0，a 的值矛盾，故本选项错误； D、由抛物线知，a0，c0；由直线知 a0，c0，两结论一致，故本选项正确 故选：D 【点评】本题考查的是二次函数的图象，熟知二次函数的图象与系数的关系是解答此题 的关键 9 （3 分）若点 A（2，y1） ，B（1，y2） ，C（3，y3）在二次函数 y2x2+4x1 的图象上， 则 y1，y2，y3的大小关系是（ ） Ay1y2y3 By2y3y1
19、Cy3y2y1 Dy2y1y3 【分析】求出二次函数的对称轴，再根据二次函数的增减性判断即可 【解答】解：对称轴为直线 x1， a20， x1 时，y 随 x 的增大而减小， x1 时，y 随 x 的增大而增大， 点 A（2，y1）的对称点为（0，y1） ， y1y2y3 故选：A 【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，求出对称轴解析式，然后利用二次 函数的增减性求解更简便 10 （3 分）已知二次函数 yax2+bx+c 的图象如图所示，有以下结论：abc0，ab+c 第 10 页（共 24 页） 0，2ab，4a+2b+c0，若点（2，y1）和（，y2）在该图象上，则 y1 y2其
20、中正确结论的个数是（ ） A4 B3 C2 D1 【分析】由图象可先判断 a、b、c 的符号，可判断；由 x1 时函数的图象在 x 轴下 方可判断；由对称轴方程可判断；由对称性可知当 x2 时，函数值大于 0，可判断 ；结合二次函数的对称性可判断；可得出答案 【解答】解：二次函数开口向下，且与 y 轴的交点在 x 轴上方， a0，c0， 对称轴为 x1， 1， b2a0， abc0， 故、都不正确； 当 x1 时，y0， ab+c0， 故正确； 由抛物线的对称性可知抛物线与 x 轴的另一交点在 2 和 3 之间， 当 x2 时，y0， 4a+2b+c0， 故正确； 抛物线开口向下，对称轴为 x
21、1， 当 x1 时，y 随 x 的增大而增大， 2， y1y2， 第 11 页（共 24 页） 故不正确； 综上可知正确的为， 故选：C 【点评】本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的开口方向、对称轴、增减性是 解题的关键，注意数形结合 11 （3 分）对于实数 a，b，定义运算“” ：ab，例如：53，因为 53， 所以 5353326 若 x1， x2是一元二次方程 x23x+20 的两个根， 则 x1x2 等于（ ） A1 B2 C1 D1 【分析】先利用因式分解法解方程得到 x4 或 x2，则 x12，x24 或 x14，x22， 然后利用新定义计算 x1x2 【解答】解：解方程
22、x23x+20 得 x1 或 x2， 当 x11，x22 时，x1x212211； 当 x12，x21 时，x1x221121 故选：D 【点评】本题考查解一元二次方程因式分解法和实数的运算，正确掌握因式分解法将 一元二次方程降次变形为一元一次方程是解题的关键 12 （3 分）如图，在平面直角坐标系中，垂直于 x 轴的直线分别交抛物线 yx2（x0）和 抛物线 yx2（x0）于点 A 和点 B，过点 A 作 ACx 轴交抛物线 yx2于点 C，过 点 B 作 BDx 轴交抛物线 yx2于点 D，则的值为（ ） A B C D 【分析】设 A（m，m2） ，则 B（m，m2） ，根据题意得出 C
23、（2m，m2） ，D（m，m2） ， 第 12 页（共 24 页） 即可求得 BDmmm，AC2mmm，从而求得 【解答】解：设 A（m，m2） ，则 B（m，m2） ， ACx 轴交抛物线 yx2于点 C，BDx 轴交抛物线 yx2于点 D， C（2m，m2） ，D（m，m2） ， BDmmm，AC2mmm， ， 故选：C 【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，根据特征表示出 A、B、C、D 点的 坐标是解题的关键 二、填空题（二、填空题（6318 分）分） 13（3分） 若关于x的一元二次方程x23x+2+m0无实数根， 则m的取值范围是 m 【分析】利用判别式的意义得到（3）24
24、（2+m）0，然后解不等式即可 【解答】解：根据题意得（3）24（2+m）0， 解得 m 故答案为 m 【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程 ax2+bx+c0（a0）的根与b24ac 有如下关系：当0 时，方程有两个不相等的两个实数根；当0 时，方程有两个相 等的两个实数根；当0 时，方程无实数根 14 （3 分）已知二次函数 y（x2）23，当 x 2 时，y 随 x 的增大而减小 【分析】根据二次函数的性质，找到解析式中的 a 为 1 和对称轴；由 a 的值可判断出开 口方向，在对称轴的两侧可以讨论函数的增减性 【解答】解：在 y（x2）23 中，a1， a0， 开口向上， 由于函
25、数的对称轴为 x2， 当 x2 时，y 的值随着 x 的值增大而减小； 第 13 页（共 24 页） 当 x2 时，y 的值随着 x 的值增大而增大 故答案为：2 【点评】本题考查了二次函数的性质，找到的 a 的值和对称轴，对称轴方程是解题的关 键 15 （3 分）已知一个直角三角形的两直角边长为 a、b（ab） ，恰好是方程 x214x+480 的两根，那么这个直角三角形斜边上的高长为 4.8 【分析】先求出方程的解，根据勾股定理求出斜边长，再根据三角形的面积公式求出即 可 【解答】解：解方程 x214x+480 得：x6 或 8， 即直角三角形的两直角边为 6 和 8， 由勾股定理得：斜边
26、为10， 设斜边上的高长为 x， 则由三角形面积公式得：， 解得：x4.8， 故答案为：4.8 【点评】本题考查了解一元二次方程和勾股定理，能求出斜边的长是解此题的关键 16 （3 分）已知 x2+y22x4y+50，分式的值为 1.5 【分析】根据 x2+y22x4y+50，通过配方求出 x，y 的值，再把它代入要求的式子， 即可得出答案 【解答】解：x2+y22x4y+50， x22x+1+y24y+40， （x1）2+（y2）20， x1，y2， 21.5； 故答案为：1.5 【点评】此题考查了分式的化简求值，用到的知识点是非负数的性质、配方法的应用， 关键是通过配方求出 x，y 的值
27、第 14 页（共 24 页） 17 （3 分）若函数 y，则当函数值 y12 时，自变量 x 的值是 或 6 【分析】根据分段函数的解析式即可得出结论 【解答】解：若 x2，当 y12 时，2x2+212， 解得：x1，x2（舍去） ； 若 x2，当 y12 时，2x12， 解得：x6 故答案为：或 6 【点评】本题考查二次函数的性质，根据分段函数进行分段求解是解题的关键 18 （3 分）已知二次函数 y1ax2+bx+c（a0）与一次函数 y2kx+m（k0）的图象相交 于点 A（2，6）和 B（8，3） ，如图所示，则不等式 ax2+bx+ckx+m 的取值范围是 x 2 或 x8 【分析
28、】利用函数图象，写出抛物线在直线上方所对应的自变量的范围即可 【解答】解：当 x2 或 x8 时，y1y2， 所以不等式 ax2+bx+ckx+m 的解集为 x2 或 x8 故答案为 x2 或 x8 【点评】本题考查了二次函数与不等式（组） ：对于二次函数 yax2+bx+c（a、b、c 是常 数，a0）与不等式的关系可以利用两个函数图象在直角坐标系中的上下位置关系求自 变量的取值范围，利用交点直观求解，也可把两个函数解析式列成不等式求解 三、解答题（共三、解答题（共 8 小题）小题） 19 （6 分）已知二次函数 yx24x+5 （1）当 x1 时，求对应的 y 的值； （2）当 y2 时，
29、求 x 的值 第 15 页（共 24 页） 【分析】 （1）将 x1 代入题目中的函数解析式，即可求得相应的 y 的值； （2）将 y2 代入题目中函数解析式，即可求得相应的 x 的值 【解答】解： （1）当 x1 时，y（1）24（1）+510， 即当 x1 时，对应的 y 的值是 10； （2）当 y2 时， 2x24x+5， 解得，x11，x23， 即当 y2 时，x 的值是 1 或 3 【点评】本题考查二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质 解答 20 （6 分）先化简，再求值：（x2） ，其中 x 是一元二次方程 x22x 80 的解 【分析】先把分子分母因式分
30、解，再约分，解方程得出 x 的值，代入计算即可 【解答】解：原式 ， x 是一元二次方程 x22x80 的解， （x4） （x+2）0， x4 或2， x2， x4， 原式 【点评】本题考查了分式的化简求值以及一元二次方程的解，掌握因式分解和一元二次 方程的解法是解题的关键 21 （8 分）二次函数的图象经过 A（4，0） ，B（0，4） ，C（2，4）三点： 求这个函数的解析式； 求函数顶点的坐标； 第 16 页（共 24 页） 求抛物线与坐标轴的交点围成的三角形的面积 【分析】设二次函数的解析式为 yax2+bx+c，将三点坐标代入求出 a，b 及 c 的值， 即可确定出函数解析式； 利用
31、二次函数的顶点坐标公式即可求出； 求出抛物线与坐标轴的交点，求出三角形面积即可 【解答】解：设二次函数的解析式为 yax2+bx+c， 将 A（4，0） ，B（0，4） ，C（2，4）代入函数解析式得：， 解得： 则抛物线解析式为 yx2+x+4； 根据题意得：1， 则二次函数顶点 C 坐标为（1，） ； 令 y0，得到x2+2x+40， 解得：x4 或 x2， OD2，OA4，OB4， SABDADOB6412 【点评】此题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的性质，以及三角形的面 积公式，熟练掌握待定系数法是解本题的关键 第 17 页（共 24 页） 22 （8 分）关于 x 的一元
32、二次方程 x2（2k1）x+k2+10 有两个不相等的实数根 x1，x2 （1）求实数 k 的取值范围； （2）若方程的两实数根 x1，x2满足|x1|+|x2|x1x2，求 k 的值 【分析】 （1）利用判别式的意义得到（2k1） 24（k2+1）0，然后解不等式即可； （2） 根据根与系数的关系得到x1+x22k1， x1x2k2+1， 则判断x10， x20， 则由|x1|+|x2| x1x2得到（x1+x2）x1x2，所以（2k1）k2+1，然后解关于 k 的方程即可得 到满足条件的 k 的值 【解答】解： （1）根据题意得（2k1）24（k2+1）0， 解得 k； （2）x1+x22
33、k1，x1x2k2+1， k， x1+x22k10， 而 x1x2k2+10， x10，x20， |x1|+|x2|x1x2， （x1+x2）x1x2，即（2k1）k2+1， 整理得 k2+2k0，解得 k10，k22， 而 k， k2 【点评】本题考查了根与系数的关系：若 x1，x2是一元二次方程 ax2+bx+c0（a0）的 两根时，x1+x2，x1x2也考查了判别式的值 23 （9 分） 已知： 抛物线 yx2+4x+4+m 的图象与 y 轴交于点 C， 点 B 与点 C 的纵坐标相同， 一次函数 ykx+b 与二次函数交于 A、B 两点，且 A 点坐标为（1，0） （1）求二次函数与一
34、次函数的解析式； （2）若抛物线对称轴上存在一点 P，使得PAC 的周长最小，求 P 点坐标及PAC 周长 的最小值 第 18 页（共 24 页） 【分析】 （1）根据题意，可以求得 m 的值，从而可以求得二次函数的解析式和一次函数 的解析式； （2）在抛物线对称轴上存在一点 P，使得PAC 周长最小，根据解析式求得对称轴为直 线 x2， 把 x2 代入直线 AB 的解析式求得 P 的坐标， 由题意可知 A 和 B 关于直线 x2 对称，直线 AB 交直线 x2 于 P，此时 PA+PC 的值最小，即PAC 的周长的值 最小，利用勾股定理求出 AC 和 BC 的长即可求出最小值 【解答】解：
35、（1）点 A（1，0）在抛物线 yx2+4x+4+m 上， m1， 二次函数的解析式为 yx2+4x+3， C 点的坐标为（0，3） ， 则 B 点的坐标为（4，3） ， 设直线 AB 的解析式为 ykx+b， ， 解得，k1 b1， 直线 AB 的解析式为：yx1， 即二次函数的解析式为 yx2+4x+3，一次函数的解析式是 yx1； （2）二次函数 yx2+4x+3 的对称轴为直线 x2， 由题意可知 A 和 B 关于对称轴 x2 对称，直线 AB 交直线 x2 于 P，此时 PA+PC 的值最小，即PAC 的周长的值最小， 把 x2 代入 yx1 得 y1， P（2，1） ， A（1，0
36、） ，B（4，3） ，C（0，3） ， 由勾股定理可得 AB3，AC， 第 19 页（共 24 页） PAC 周长的最小值为 AB+AC3+ 【点评】本题是考查了待定系数法求二次函数的解析式以及二次函数的性质，轴对称 最短路线问题，勾股定理的运用，运用数形结合是解题的关键 24 （9 分）小雨、小华、小星暑假到某超市参加社会实践活动，在活动中他们参加了某种 水果的销售工作，已知该水果的进价为 8 元/千克他们通过市场调查发现：当销售单价 为 10 元时，那么每天可售出 300 千克；销售单价每上涨 1 元，每天的销售量就减少 50 千克 （1）求该超市销售这种水果，每天的销售量 y（千克）与销
37、售单价 x（元/千克）之间的 函数关系式； （2）一段时间后，发现这种水果每天的销售量均不低于 250 千克，则此时该超市销售这 种水果每天获取的利润 w（元）最大是多少？ （3） 为响应政府号召， 该超市决定在暑假期间每销售 1 千克这种水果就捐赠 a 元利润 （a 2.5）给希望工程公司通过销售记录发现，当销售单价不超过 13 元时，每天扣除捐赠 后的日销售利润随销售单价 x（元/千克）的增大而增大，求 a 的取值范围 【分析】本题是通过构建函数模型解答销售利润的问题 （1）依据题意易得出每天的销售量 y（千克）与销售单价 x（元/千克）之间的函数关系 式 y50x+800 （2）根据销售
38、利润销售量（售价进价） ，列出平均每天的销售利润 w（元）与销 售价 x（元/箱）之间的函数关系式，再依据函数的增减性求得最大利润 （3）设扣除捐赠后的日销售利润为 S 元，则得 S（x8a） （50x+800） ，利用对称 轴的位置即可求 a 的取值范围 【解答】解： （1）由题意，可得 y50x+800 （2）50x+800250 x11 第 20 页（共 24 页） w（x8）y（x8） （50x+800）50x2+1200x640050（x12）2+800 500， 当 x12 时，w 随 x 的增大而增大， 当 x11 时，w 最大值750 答：当售价为 11 元/千克时，该超市销售
39、这种水果每天获取的利润 w 最大为 750 元 （3）设扣除捐赠后的日销售利润为 S 元， S（x8a） （50x+800）50x2+（1200+50a）x6400800a 当 x13 时，S 随 x 的增大而增大， 13 a2 2a2.5 即 a 的取值范围为 2a2.5 【点评】本题考查了二次函数的性质在实际生活中的应用最大销售利润的问题常利函 数的增减性来解答，我们首先要吃透题意，确定变量，建立函数模型，然后结合实际选 择最优方案 25 （10 分）已知抛物线 L：yx2+bx2 与 x 轴相交于 A、B 两点（点 A 在点 B 的左侧） ， 并与 y 轴相交于点 C且点 A 的坐标是（
40、1，0） （1）求该抛物线的函数表达式及顶点 D 的坐标； （2）判断ABC 的形状，并求出ABC 的面积； （3） 将抛物线向左或向右平移， 得到抛物线 L， L与 x 轴相交于 A、 B两点 （点 A 在点 B的左侧） ，并与 y 轴相交于点 C，要使ABC和ABC 的面积相等，求所 有满足条件的抛物线的函数表达式 第 21 页（共 24 页） 【分析】 （1）根据抛物线过点 A 可以求得抛物线的解析式，然后将抛物线化为顶点式即 可得到顶点 D 的坐标； （2）根据（1）中的函数解析式可以求得点 A、B、C 的坐标，从而可以判断ABC 的形 状并求出它的面积； （3）根据平移的特点和分类讨
41、论的方法可以求得相应的函数解析式 【解答】解： （1）抛物线 L：yx2+bx2 过点 A（1，0） ， 0（1）2+b（1）2， 解得，b， yx2x2， 点 D 的坐标为（，） ， 即该抛物线的函数表达式是 yx2x2，顶点 D 的坐标为（，） ； （2）当 y0 时，0x2x2，解得，x11，x24，当 x0 时，y2， 则点 A（1，0） ，点 B（4，0） ，点 C（0，2） ， AB5，AC，BC2， AB2AC2+BC2， ABC 是直角三角形， ABC 的面积是：5； （3）抛物线向左或向右平移， 平移后 AB与平移前的 AB 的长度相等， 只要平移后过（0，2）或过（0，2）
42、即满足条件， 当向右平移时， 令 y，当 x0 时，y2，得 a， 此时 y， 当向左平移时， 令 y，当 x0 时，y2，得 m 或 m3， 第 22 页（共 24 页） 当 m时，y，当 m3 时，y2， 由上可得，所有满足条件的抛物线的函数表达式是 y，y ，y2 【点评】本题考查抛物线与 x 轴的交点、二次函数的图象上点的坐标特征、平移，勾股 定理的逆定理，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想和分类讨论的数学思 想解答 26 （10 分）若三个非零实数 x，y，z 满足：只要其中一个数的倒数等于另外两个数的倒数 的和，则称这三个实数 x，y，z 构成“和谐三组数” （1）实数
43、1，2，3 可以构成“和谐三组数”吗？请说明理由； （2）若直线 y2bx+2c（bc0）与 x 轴交于点 A（x1，0） ，与抛物线 yax2+3bx+3c（a 0）交于 B（x2，y2） ，C（x3，y3）两点 求证：A，B，C 三点的横坐标 x1，x2，x3构成“和谐三组数” ； 若 a2b3c，x21，求点 P（，）与原点 O 的距离 OP 的取值范围 【分析】 （1）由和谐三组数的定义进行验证即可； （2）由直线解析式可求得 x1，联立直线和抛物线解析式消去 y，利用一元二次 方程根与系数的关系可求得 x2+x3，x2x3，再利用和谐三数组的定义证明即可； 由条件可得到 a+b+c0
44、，可得 c（a+b） ，由 a2b3c 可求得的取值范围，令 m，利用两点间距离公式可得到 OP2关于 m 的二次函数，利用二次函数的性质可求 得 OP2的取值范围，从而可求得 OP 的取值范围 【解答】解： （1）不能，理由如下： 1、2、3 的倒数分别为 1、， +1，1+，1+ 实数 1，2，3 不可以构成“和谐三组数” ； （2）a、b、c 均不为 0， x1，x2，x3都不为 0， 第 23 页（共 24 页） 直线 y2bx+2c（bc0）与 x 轴交于点 A（x1，0） ， 02bx1+2c，解得 x1， 联立直线与抛物线解析式，消去 y 可得 2bx+2cax2+3bx+3c，
45、即 ax2+bx+c0， 直线与抛物线交与 B（x2，y2） ，C（x3，y3）两点， x2、x3是方程 ax2+bx+c0 的两根， x2+x3，x2x3， +， x1，x2，x3构成“和谐三组数” ； x21， a+b+c0， cab， a2b3c， a2b3（ab） ，且 a0，整理可得， 解得， P（，） OP2（）2+（）2（）2+（）22（）2+12（+）2+， 令 m，则m且 m0，且 OP22（m+）2+， 20， 当m时，OP2随 m 的增大而减小，当 m时，OP2有最大临界值， 当 m时，OP2有最小临界值， 当m时，OP2随 m 的增大而增大，当 m时，OP2有最小临界值，当 m
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