1、 1 文科数学试题 一、选择题 1.已知集合1|xxM， 2 0Nx xx，则（ ） A. 1MNx x B. 0MNx x C. MN D. NM 2设复数满足：，则的虚部为（ ） A B C D 3某单位去年的开支分布的折线图如图 1 所示，在这一年中的水、电、交通开支（单位： 万元）如图 2 所示，则该单位去年的水费开支占总开支的百分比为（ ） A6.25% B7.5% C10.25% D31.25% 4下列双曲线中，渐近线方程为2yx 的是（ ） A 2 2 1 4 y x B 2 2 1 4 x y C 2 2 1 2 y x D 2 2 1 2 x y 5.已知 ，若，则 为（ ）
2、 A 1 B1 C D0 6已知锐角的终边上一点 ，则锐角（ ） A B C D 7.已知某函数的图像如图所示，则下列函数中，图像最契 合的函数是（ ） A .)sin( xx eey B.)sin( xx eey z(1)2i ziz 1 2 i 1 2 3 2 i 3 2 (1,2),(2, )abt ababt 1 (sin40 ,1 cos40 )P 80207010 2 C.)cos( xx eey D.)cos( xx eey 8已知0 ,0 , 21 xBxA、两点是函数与x轴的 两个交点，且满足 3 min 21 xx,现将函数 xf的图像向左平移 6 个单位，得到的新函数 图
3、像关于y轴对称，则的可能取值为（ ） A . 6 B. 3 C. 3 2 D. 6 5 9 .我国明朝数学家程大位著的算法统宗里有一道闻名世界的题目：“一百馒头一百僧， 大僧三个更无争小僧三人分一个，大小和尚各几丁？”如图所示的程序框图反映了对此题 的一个求解算法，则输出的 n 的值为（ ） A20 B25 C30 D35 10设， 5 log 2b ， 8 log 5c ，则（ ） Aabc Bbca C Dcab 11在边长为2的正方体 1111 ABCDABC D中，过AB中点E的直线l与直线 11 AD，直线 1 BC分别交于点,M N，则MN的长为（ ） A5 B4 2 C6 D4
4、3 12. 倾斜角为的直线经过椭圆 的右焦点，与椭圆交于两 点，且，则该椭圆的离心率为（ ） A. 3 2 B. 3 3 C. 2 2 D. 2 3 二、填空题 13若函数，则在点 处的切线方程为 . 14.在数列 n a 中，已知 1 1a ，则=_ 15.设ABC的内角CBA、所对的边分别为cba、，且满足 2 22 coscosAbBaab，ABC的周长为125，则ABC面积的最大值 为 . ( )2sin() 1(0,(0, )f xx 1 3 1 4 a cba 45 22 22 1(0) xy ab ab F ,A B 2AFFB 2 ( )lnf xxx( )f x1,(1)f
5、1 1 nn aan 122020 111 aaa 3 16.已知四面体ABCD的棱长满足2CDBDACAB，1 ADBC，现将四面 体ABCD放入一个主视图为等边三角形的圆锥中， 使得四面体ABCD可以在圆锥中任意转 动，则圆锥侧面积的最小值为 . 三、解答题 17.（本小题满分 12 分） 已知等差数列 n a的前n项和为 n S，等比数列 n b的前n项和为 n T，1 1 a，1 1 b， 3 22 ba . (1)若7 33 ba，求 n b的通项公式； (2)若13 3 T，求 n S. 18.（本小题满分 12 分） “学习强国” 学习平台是由中宣部主管， 以深入学习宣传习近平新
6、时代中国特色社会主义思 想为主要内容，立足全体党员，面向全社会的优质平台，现日益成为老百姓了解国家动态， 紧跟时代脉博的热门 APP，某市宣传部门为了解全民利用“学习强国”了解国家动态的情 况，从全市抽取 2000 名人员进行调查，统计他们每周利用“学习强国”的时长，下图是根 据调查结果绘制的频率分布直方图 (1)根据上图，求所有被抽查人员利用“学 习强国”的平均时长和中位数； (2)宣传部为了了解大家利用“学习强国” 的具体情况，准备采用分层抽样的方法从 10, 8和12,10组中抽取 50 人了解情况， 则两组各抽取多少人？再利用分层抽样从 抽取的 50 人中选 5 人参加一个座谈会.现
7、从参加座谈会的 5 人中随机抽取两人发言， 求12,10小组中至少有1人发言的概率？ 19.（本小题满分 12 分） 如图 1， 在直角梯形ABCD中，DCAB/， 0 90BAD，4AB，2AD，3DC， 点E在CD上，且2DE，将ADE沿AE折起，得到四棱锥ABCED（如图 2）. （1）求四棱锥ABCED的体积的最大值； CD AB E CD AB E 4 （2） 在线段BD上是否存在点P， 使得/CP平面ADE？若存在， 求 BD BP 的值； 若不存在， 请说明理由. 20.(本小题满分 12 分） 已知抛物线pyxC2: 2 （0p）的焦点为F，点1 , 0 xA在抛物线C上，且3
8、AF. （1）求抛物线C的方程及 0 x的值； （2） 设点O为坐标原点， 过抛物线C的焦点F作斜率为 4 3 的直线l交抛物线于 11,y xM， 22,y xN（ 21 xx ） 两点， 点Q为抛物线C上异于M、N的一点， 若ONtOMOQ， 求实数t的值. 21.（本小题满分 12 分） 已知 2 lnf xmxxx . （1）当0m时，求函数 ( )f x在区间t，1(0)tt 上的最大值( )M t； （2）当1m时，若存在正数 1 x， 2 x满足 12 1 ln2f xf x ，求证： 12 2xx. （二）选考题：共 10 分。请考生在第 22、23 题中任选一题作答，如果多做
9、，则按所做的第 一题计分。 22.选修 4-4：坐标系与参数方程 在平面直角坐标系xOy中，l的参数方程为 t t y t t x 1 1 1 （t为参数） .以坐标原点O为极点， x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为 2 2 sin3 12 . （1）求l的普通方程和曲线C的直角坐标方程； （2）求曲线C上的点到l距离的最大值及该点的直角坐标. 23.选修 4-5：不等式选讲 已知点),(yxP的坐标满足不等式：111yx. （1）请在直角坐标系中画出由点P构成的平面区域，并求出平面区域的面积 S. （2）如果正数cba,满足Scbca)(，求cba32 的最小值. 5 20
10、20 届九校联考文科数学参考答案 一、选择题 1-5：DDAAC 6-10:CDABB 11-12:CA 二、填空题 13. 14. 15. 4 25 16. 4 27 三、解答题 17.解： （1）设等差数列 n a的公差为d，等比数列 n b的公比为q， 则dnan11， 1 n n qb 由题意可得： 7 3 33 22 ba ba ，则 721 31 2 qd qd 3 分 即 82 4 2 qd qd ，解得 2 2 q d 或 0 4 q d （舍去） 因此 n b的通项公式为 1 2 n n b. 6 分 （2） 由题意可得： 3213 bbbT， 则 31 131 2 13 q
11、d qqbT ， 解得 1 3 d q 或 8 4 d q ， nnSn 2 3 2 1 2 或nnSn54 2 . 12 分 18.解：（1）设抽查人员利用“学习强国”的平均时长为x，中位数为y 8 . 61305. 0111 . 0915. 073 . 0525. 031 . 0105. 0x 3 分 设抽查人员利用“学习强国”的中位数为y 1yx 4040 2021 6 5 . 0615. 025. 01 . 005. 0y，解得 3 20 y 6 分 即抽查人员利用“学习强国”的平均时长为8 . 6，中位数为 3 20 . （2）10, 8组的人数为30015. 02000人，设抽取的
12、人数为a 12,10组的人数为2001 . 02000人，设抽取的人数为b 则 500 50 200300 ba ，解得30a，20b 所以在10, 8和12,10两组中分别抽取 30 人和 20 人， 8 分 在抽取5人， 两组分别抽取3人和2人， 将10, 8组中被抽取的工作人员标记为 1 A， 2 A， 3 A， 将12,10中的标记为 1 B， 2 B 。设事件C表示从12,10小组中至少抽取 1 人， 则抽取的情况如下： 21,A A， 31,A A， 11,B A， 21,B A， 32,A A， 12,B A， 22,B A， 13,B A， 23,B A， 21,B B共 10
13、 种情况，其中在12,10中至少抽取 1 人有 7 种，则 10 7 CP . 12 分 19.解：（1） 由题意， 要使得四棱锥ABCED 的体积最大， 就要使平面ADE平面ABCE. 设G为AE中点， 连接DG.2 DEAD，AEDG ，平面ADE平面ABCE ， 平面ADE平面ABCEAE.DG平面ADE.DG平面ABCE 0 90ADE，则22AE，2DG 四棱锥 ABCED的体积的最大值为 ABCED V 2 3 5 2 241 2 3 1 . 6 分 （2）过点C作AECF/交AB于点F，则 3 1 FB AF ， 过点F作ADFP/交DB于点P，连接PC，则 3 1 PB DP
14、G C D A B E P F G C D AB E 7 又AECF/，AE平面ADE，CF平面ADE，/CF平面ADE ADFP/，AD平面ADE，PF平面ADE，/FP平面ADE 又FFPCF，AADAE，平面ADE/平面CFP CP平面CFP，/CP平面ADE 所以在BD上存在点P，使得/CP平面ADE，且 4 3 BD BP . 12 分 20.解: （1） 由题意知， 抛物线的准线方程为： 2 p y 根据抛物线的定义，13 2 p AF ， 所以4p ，故抛物线方程为 2 8xy， 3 分 点(0,2)F当1y 时， 0 2 2x . 5 分 （2）由（1）知，直线 l 的方程为
15、3 2 4 yx， 联立 2 8 3 2 4 xy yx ，得 2 6061xx，解得 1 2x ， 2 8x . 所以 1 2, 2 M ，8,8N. 9 分 设点 Q 的坐标为 33 ,x y，则OQOMtON得 33 11 ,2,8,882,8 22 xyttt 所以， 3 3 82 1 8 2 xt yt ， 又因为点 Q 在抛物线 2 8xy上，所以 21 828 8 2 tt .解得 3 2 t 或0t （舍去）. 总之 3 2 t . 12 分 21.解:（1） ( )f xlnxx . 1 ( )1fx x ，令( )0fx ，则1x ， 2 分 当1t时， ( )f x在t，
16、1t 上单调递减， ( )f x的最大值为( )f tlntt ； 当01t 时， ( )f x在区间( ,1)t 上为增函数，在区间(1,1)t 上为减函数， ( )f x的最小值 为 11f 综上， 6 分 ( )0,1,1.f x在在 ， 1,01 ( ) ln,1 t M t tt t 8 （2） 22 1212121 2 ln1 ln2f xf xxxxxx x ， 即 2 12121212 2ln1 ln2xxxxx xx x ， 令 2ln1 ln2h xxx ， 9 分 121 2 x h x xx ， 故 h x在 1 0, 2 上单调递减，在 1 , 2 上单调递增，故 1
17、 2 2 h xh ，即 2 1212 2xxxx，即有 1212 210xxxx，因为 12 ,0x x ，所以 12 2xx. 12 分 22.解：（1）由 1(1)22 1, 111 (1) 11 1 111 tt x ttt tt y ttt （t 为参数），得1x . 消去参数 t， 得l的普通方程为210(1)xyx ； 3 分 （没写扣一分） 将 2 2 12 3sin 去分母得 222 3sin12，将 222 sin ,yxy 代入， 得 22 1 43 xy ，所以曲线 C 的直角坐标方程为 22 1 43 xy . 5 分 （2）由（1）可设曲线 C 的参数方程为 2co
18、s, 3sin x y （为参数）， 则曲线 C 上的点到l的距离. 22 4cos1 |2cos2 3sin1|3 5 1( 2) d ， 当cos1 3 ，即2, 3 kk Z时， max 5 5 5 d ， 此时， 2cos21, 3 () 3 3sin2 32 xk k yk Z， 所以曲线 C 上的点到直线l距离的最大值为5， 1x 9 该点坐标为 3 1, 2 . 10 分 23.解析：（1）.如图，平面区域平面区域由一个正方形及其内部组成，四个顶点分别为 ) 1 , 0(),2 , 1 (),1 , 2(),0 , 1 (，所以 222S. 5 分 （2）.由（1）2)(cbca， 而cba, 都为正数，所以 4)(22)(232cbcacbcacba 当且仅当2)(2cbca取得最小值. 10 分
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