1、2020 年高考（文科）数学第二次诊断测试试卷 一、选择题 1设 i 是虚数单位，则（2+3i）（32i）（ ） A13 B5i C66i D12+5i 2已知集合 A2，1，0，1，2，Bx|x2x60，则 AB（ ） A2，1，0，1，2，3 B2，1，0，1，2 C1，0，1，2 D2，1，0，1， 32020 年初，湖北出现由新型冠状病毒引发的肺炎为防止病毒蔓延，各级政府相继启动 重大突发公共卫生事件一级响应，全国人民团结一心抗击疫情如图表示 1 月 21 日至 3 月 7 日我国新型冠状病毒肺炎单日新增治愈和新增确诊病例数，则下列中表述错误的是 （ ） A2 月下旬新增确诊人数呈波动
2、下降趋势 B随着全国医疗救治力度逐渐加大，2 月下旬单日治愈人数超过确诊人数 C2 月 10 日至 2 月 14 日新增确诊人数波动最大 D我国新型冠状病毒肺炎累计确诊人数在 2 月 12 日左右达到峰值 4已知双曲线1（a0，b0）的一条渐近线方程为 y x，则双曲线的离心率 为（ ） A B C D 5如图，为了估计函数 yx2的图象与直线 x1，x1 以及 x 轴所围成的图形面积（阴 影部分），在矩形 ABCD 中随机产生 1000 个点，落在阴影部分的样本点数为 303 个，则 阴影部分面积的近似值为（ ） A0.698 B0.606 C0.303 D0.151 6函数 f（x）xco
3、s（x）的图象大致为（ ） A B C D 720 世纪产生了著名的“3x+1”猜想：任给一个正整数 x，如果 x 是偶数，就将它减半； 如果 x 是奇数， 则将它乘 3 加 1， 不断重复这样的运算， 经过有限步后， 一定可以得到 1 如 图是验证“3x+1”猜想的一个程序框图，若输入正整数 m 的值为 40，则输出的 n 的值是 （ ） A11 B10 C9 D8 8已知 tan（），sin（ ） A B C D 9四棱锥 PABCD 所有棱长都相等，M，N 分别为 PA，CD 的中点，下列说法错误的是 （ ） AMN 与 PD 是异面直线 BMN平面 PBC CMNAC DMNPB 10
4、在ABC 中，角 A 的平分线交边 BC 于 D，AB4，AC8，BD2，则ABD 的面积 是（ ） A B3 C1 D3 11 过抛物线 x212y 的焦点 F 的直线交抛物线于点 A， B， 交抛物线的准线于点 C， 若 3，则|BC|（ ） A4 B4 C6 D8 12若定义在 R 上的偶函数 f（x）满足 f（x）+f（2x）0当 x0，1，f（x）1x2， 则（ ） Af（log2）f（）f（log23） Bf（）f（log 2）f（log23） Cf（log2）f（log23）f（） Df（）f（log23）f（log 2） 二、填空题 13函数 f（x）x3+2x2+3x+的零点
5、个数为 14已知 f（x）sinx+x+m 为奇函数，则 f（） 15 在ABC中， 已知AB3， AC2， P是边BC的垂直平分线上的一点， 则 16已知圆锥的顶点为 S，过母线 SA，SB 的切面切口为正三角形，SA 与圆锥底面所成角为 30，若SAB 的面积为，则该圆锥的侧面积为 三、解答题 17流行性感冒（简称流感）是流感病毒引起的急性呼吸道感染，是一种传染性强、传播速 度快的疾病其主要通过空气中的飞沫、人与人之间的接触或与被污染物品的接触传 播流感每年在世界各地均有传播，在我国北方通常呈冬春季流行，南方有冬春季和夏 季两个流行高峰 儿童相对免疫力低， 在幼儿园、 学校等人员密集的地方
6、更容易被传染 某 幼儿园将去年春期该园患流感小朋友按照年龄与人数统计，得到如下数据： 年龄（x） 2 3 4 5 6 患病人数（y） 22 22 17 14 10 （1）求 y 关于 x 的线性回归方程； （2）计算变量 x，y 的相关系数 r（计算结果精确到 0.01），并回答是否可以认为该幼儿 园去年春期患流感人数与年龄负相关很强？ （若|r|0.75， 1， 则 x， y 相关性很强； 若|r|0.3， 0.75），则 x，y 相关性一般；若|r|0，0.25，则 x，y 相关性较弱） 参考数据：5.477 参 考 公 式 ：， 相 关 系 数r 18已知数列an满足+ （1）求数列an
7、的通项公式； （2）设数列的前 n 项和为 Tn，求 Tn 19将棱长为 2 的正方体 ABCDA1B1C1D1截去三棱锥 D1ACD 后得到如图所示几何体， O 为 A1C1的中点 （1）求证：OB平面 ACD1； （2）求几何体 ACB1A1D1的体积 20已知椭圆 C：+1（ab0）的左焦点为 F（1，0），离心率为 （1）求椭圆 C 的标准方程； （2）设 O 为坐标原点，T 为直线 x2 上一点，过 F 作 TF 的垂线交椭圆于 P，Q当 四边形 OPTQ 是平行四边形时，求四边形 OPTQ 的面积 21已知函数 f（x）exx2+x证明： （1）函数 f（x）在 R 上是单调递增函
8、数； （2）对任意实数 x1，x2，若 f（x1）+f（x2）2，则 x1+x20 （二）选考题：共 10 分.请考生在第 22、23 题中选一题作答如果多做，则按所做的第一 题计分选修 4-4：坐标系与参数方程 22在极坐标系 Ox 中，曲线 C 的极坐标方程为+sin，直线 l 的极坐 标方程为 （cossin）1，设 l 与 C 交于 A，B 两点，AB 中点为 M，AB 的垂直平分 线交 C 于 E，F以 O 为坐标原点，极轴为 x 轴正半轴，建立直角坐标系 xOy （1）求 C 的直角坐标方程及点 M 的直角坐标； （2）求证：|MA| |MB|ME| |MF| 选修 4-5：不等式
9、选讲 23已知函数 f（x）|x1|2|x+3| （1）求不等式 f（x）1 的解集； （2）若存在实数 x，使不等式 m23mf（x）0 成立，求实数 m 的取值范围 参考答案 一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合要求的 1设 i 是虚数单位，则（2+3i）（32i）（ ） A13 B5i C66i D12+5i 【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案 解：（2+3i）（32i）64i+9i+612+5i 故选：D 2已知集合 A2，1，0，1，2，Bx|x2x60，则 AB（ ） A2，1，0，1，2，3 B2，1
10、，0，1，2 C1，0，1，2 D2，1，0，1， 【分析】可以求出集合 B，然后进行交集的运算即可 解：Bx|2x3，A2，1，0，1，2， AB1，0，1，2 故选：C 32020 年初，湖北出现由新型冠状病毒引发的肺炎为防止病毒蔓延，各级政府相继启动 重大突发公共卫生事件一级响应，全国人民团结一心抗击疫情如图表示 1 月 21 日至 3 月 7 日我国新型冠状病毒肺炎单日新增治愈和新增确诊病例数，则下列中表述错误的是 （ ） A2 月下旬新增确诊人数呈波动下降趋势 B随着全国医疗救治力度逐渐加大，2 月下旬单日治愈人数超过确诊人数 C2 月 10 日至 2 月 14 日新增确诊人数波动最
11、大 D我国新型冠状病毒肺炎累计确诊人数在 2 月 12 日左右达到峰值 【分析】根据图表，观察分析可得 解：由图可得，2 月下旬新增确诊人数呈波动下降趋势，正确，故 A 正确， 随着全国医疗救治力度逐渐加大，2 月下旬单日治愈人数超过确诊人数，正确，故 B 正 确， 2 月 10 日至 2 月 14 日新增确诊人数波动最大，正确，故 C 正确， 我国新型冠状病毒肺炎累计确诊人数， 一直在增加， 在2月12日左右新增人数达到峰值， 故 D 错误， 故选：D 4已知双曲线1（a0，b0）的一条渐近线方程为 y x，则双曲线的离心率 为（ ） A B C D 【分析】由题意设出双曲线的方程，得到它的
12、一条渐近线方程 yx 即 yx，由此可 得 b：a4：3，结合双曲线的平方关系可得 c 与 a 的比值，求出该双曲线的离心率 解：双曲线的中心在原点，焦点在 x 轴上， 设双曲线的方程为，（a0，b0） 由此可得双曲线的渐近线方程为 yx，结合题意一条渐近线方程为 yx， 得 ，设 b4t，a3t，则 c5t（t0） 该双曲线的离心率是 e 故选：A 5如图，为了估计函数 yx2的图象与直线 x1，x1 以及 x 轴所围成的图形面积（阴 影部分），在矩形 ABCD 中随机产生 1000 个点，落在阴影部分的样本点数为 303 个，则 阴影部分面积的近似值为（ ） A0.698 B0.606 C
13、0.303 D0.151 【分析】先求矩形面积为 2，设区域面积为 x，由几何概型可求 解：设面积区域为 x， 由概率的几何概型知，则， 解之得 x0.606， 则该区域面积的近似值为 0.606 故选：B 6函数 f（x）xcos（x）的图象大致为（ ） A B C D 【分析】根据题意，分析可得 f（x）为偶函数，排除 B、D，进而分析可得在区间（0，） 上，有 f（x）0，排除 C，即可得答案 解：根据题意，f（x）xcos（x）xsinx， 有 f（x）（x）sin（x）xsinxf（x），即函数 f（x）为偶函数，排除 B、D； 又由在区间（0，）上，x0，sinx0，有 f（x）0
14、，排除 C； 故选：A 720 世纪产生了著名的“3x+1”猜想：任给一个正整数 x，如果 x 是偶数，就将它减半； 如果 x 是奇数， 则将它乘 3 加 1， 不断重复这样的运算， 经过有限步后， 一定可以得到 1 如 图是验证“3x+1”猜想的一个程序框图，若输入正整数 m 的值为 40，则输出的 n 的值是 （ ） A11 B10 C9 D8 【分析】这是一个循环结构的问题，根据循环体的运算功能一步步往下算就行，直到算 出 m1，要注意 m 与 n 的值对应好 解：根据框图可知：n2，m40 n6，m35+116 n10，m， 故选：B 8已知 tan（），sin（ ） A B C D
15、【分析】由已知结合两角和的正切公式可求 tan，然后利用 sin， 代入即可求解 解：因为 tan（）， 所以 tantan（ ）+ 3， 所以 sin 故选：C 9四棱锥 PABCD 所有棱长都相等，M，N 分别为 PA，CD 的中点，下列说法错误的是 （ ） AMN 与 PD 是异面直线 BMN平面 PBC CMNAC DMNPB 【分析】 画出图形， 利用异面直线以及直线与平面平行的性质判断选项 A、 B、 C 的正误， 直线与平面垂直，判断选项 D 解：由题意可知四棱锥 PABCD 所有棱长都相等，M，N 分别为 PA，CD 的中点，MN 与 PD 是异面直线，正确； 取 PB 的中点
16、为 H，连接 MH，HC，可得 MNHC，所以 MN平面 PBC，正确；MN AC，不正确；MNPB 正确； 故选：C 10在ABC 中，角 A 的平分线交边 BC 于 D，AB4，AC8，BD2，则ABD 的面积 是（ ） A B3 C1 D3 【分析】先根据角平分线性质求得 DC，再结合余弦定理求得 cosB，进而求出 SABC，即 可求得结论 解：如图：； 因为ABC 中，角 A 的平分线交边 BC 于 D，AB4，AC8，BD2， 所以：DC4； BC6； cosB； sinB； SABCAB BC sinB3 SABDSABC 故选：A 11 过抛物线 x212y 的焦点 F 的直线
17、交抛物线于点 A， B， 交抛物线的准线于点 C， 若 3，则|BC|（ ） A4 B4 C6 D8 【分析】作出图象，作 BMCP，ANCP，BHAN，设 BFx，根据抛物线的性质可 得 BMBFHNx，ANAF3x，进而得到 sinACN，则可求出 x 的值，进而得 到 BC 的值 解：作 BMCP，ANCP，BHAN，如图， 因为3，不妨设 BFx，所以 AF3BF3x，AB4x 根据抛物线的定义可得，BMBFHNx，ANAF3x，FPp6，则 AHANHN 3xx2x， 所以 sinABHsinACN，则 CF12，CB2x， 则 CFCB+BF3x12，所以 x4， 则 BC2x8，
18、 故选：D 12若定义在 R 上的偶函数 f（x）满足 f（x）+f（2x）0当 x0，1，f（x）1x2， 则（ ） Af（log2）f（）f（log23） Bf（）f（log 2）f（log23） Cf（log2）f（log23）f（） Df（）f（log23）f（log 2） 【分析】根据函数奇偶性和单调性之间的关系，即可得到结论 解：因为定义在 R 上的偶函数 f（x）满足 f（x）+f（2x）0 所以 f（2+x）+f（x）0 即 f（2+x）f（x）f（x）， 所以 f（4+x）f（x），即函数的周期为 4， 因为当 x0，1，f（x）1x2单调递减， 因为 f（）f（）f（）0，
19、f（log23）f（log2）0，f（） f（log32）f（log32）0， 因为 0log21， 所以f（log2）f（）， 所以，f（）f（）f（log2）， 即 f（）f（）f（log23）， 故选：A 二、填空题：共 4 个小题，每小题 5 分，共 20 分 13函数 f（x）x3+2x2+3x+的零点个数为 2 【分析】先求出导函数 f（x），令 f（x）0 求出极值点，进而求出函数的极值，根据 单调性和极值画出函数的大致图象，从而得到函数的零点个数 解：函数 f（x）x3+2x2+3x+， f（x）x2+4x+3（x+1）（x+3）， 令 f（x）0 得：x3 或1， 当 x（，
20、3）时，f（x）0，函数 f（x）单调递增；当 x（3，1）时，f （x）0，函数 f（x）单调递减；当 x（1，+）时，f（x）0，函数 f（x）单调递 增， 函数 f（x）的极大值为 f（3），极小值为 f（1）0， 函数 f（x）的大致图象如图所示： ， 由图象可知，函数 f（x）有 2 个零点， 故答案为：2 14已知 f（x）sinx+x+m 为奇函数，则 f（） 【分析】由奇函数的性质先求出 m，然后代入即可求解 解：由奇函数的性质可得 f（0）m0， 故 f（x）sinx+x， 所以 f（）1+ 故答案为：1+ 15在ABC 中，已知 AB3，AC2，P 是边 BC 的垂直平分线
21、上的一点，则 【分析】取 BC 的中点 D，再利用两个向量垂直的性质及向量的运算法则，可得结果 解：取 BC 的中点 D，由条件得： （）+（）（+）+0 （ ）（2232） 故答案为： 16已知圆锥的顶点为 S，过母线 SA，SB 的切面切口为正三角形，SA 与圆锥底面所成角为 30，若SAB 的面积为，则该圆锥的侧面积为 8 【分析】求出 SASBSCl，SAC30，ACl，ABl，根据三角形的面积求 得 l，由此能求出该圆锥的侧面积 解：依题意画图，如图： SASBSCl，SAC30，ACl，ABl， SAB 的面积为l2 sin60，解得 l4， AC4，r2， 该圆锥的侧面积为：rl
22、8 故答案为：8 三、解答题：共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第 17-21 题为必考题， 每个试题考生都必须作答第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答（一）必考题：共 60 分. 17流行性感冒（简称流感）是流感病毒引起的急性呼吸道感染，是一种传染性强、传播速 度快的疾病其主要通过空气中的飞沫、人与人之间的接触或与被污染物品的接触传 播流感每年在世界各地均有传播，在我国北方通常呈冬春季流行，南方有冬春季和夏 季两个流行高峰 儿童相对免疫力低， 在幼儿园、 学校等人员密集的地方更容易被传染 某 幼儿园将去年春期该园患流感小朋友按照年龄与人数统计，得到如下数据： 年龄（x
23、） 2 3 4 5 6 患病人数（y） 22 22 17 14 10 （1）求 y 关于 x 的线性回归方程； （2）计算变量 x，y 的相关系数 r（计算结果精确到 0.01），并回答是否可以认为该幼儿 园去年春期患流感人数与年龄负相关很强？ （若|r|0.75， 1， 则 x， y 相关性很强； 若|r|0.3， 0.75），则 x，y 相关性一般；若|r|0，0.25，则 x，y 相关性较弱） 参考数据：5.477 参 考 公 式 ：， 相 关 系 数r 【分析】（1）结合已知数据和参考公式求出这两个系数即可得回归方程； （2）根据相关系数 r 的公式求出其值，再结合 r 的正负性与|r
24、|的大小进行判断即可 解：（1）由题意得， 由公式求得， 故 y 关于 x 的线性回归方程为 （2）， r0， 说明 x，y 负相关， 又|r|0.75，1，说明 x，y 相关性很强 可以认为该幼儿园去年春期患流感人数与年龄负相关很强 18已知数列an满足+ （1）求数列an的通项公式； （2）设数列的前 n 项和为 Tn，求 Tn 【分析】本题第（1）题先令 bn，设数列bn的前 n 项和为 Sn，则 Sn，再 利用公式 bn 即可计算出数列bn的通项公式，再计算出数列an的 通项公式； 第（2）题先根据第（1）题的结果计算出数列的通项公式，然后对通项公式进 行转化，再运用裂项相消法计算出前
25、 n 项和 Tn 解：（1）由题意，令 bn， 设数列bn的前 n 项和为 Sn，则 Sn 当 n1 时，b1S1， 当 n2 时，bnSnSn1， 数列bn是常数列，即 bn ， 故 an ，nN* （2）由（1）知， Tn+ + （）+（）+ + 19将棱长为 2 的正方体 ABCDA1B1C1D1截去三棱锥 D1ACD 后得到如图所示几何体， O 为 A1C1的中点 （1）求证：OB平面 ACD1； （2）求几何体 ACB1A1D1的体积 【分析】（1）取 AC 中点为 O1，连接 OO1，B1D1，O1D1在正方形 A1B1C1D1中，由 O 为 A1C1的中点，得 O 为 B1D1的
26、中点，证明 OO1BB1，OO1BB 1，得四边形 OO1B1B 为平行四边形， 得到 BO1D1O， BO1D1O 进一步得到四边形 O1BOD1为平行四边形， 则 BOO1D1再由线面平行的判定可得 OB平面 ACD1； （ 2 ） 由 正 方 体 ABCD A1B1C1D1的 棱 长 为 2 ， 求 得， ，再由体积作差可得几何 体 ACB1A1D1的体积 【解答】（1）证明：取 AC 中点为 O1，连接 OO1，B1D1，O1D1 在正方形 A1B1C1D1中，O 为 A1C1的中点，O 为 B1D1的中点 在正方体 ABCDA1B1C1D1中， AA1CC1，AA1CC1，CC1BB
27、1，CC1BB1， OO1CC1，OO1CC1，CC1BB1，CC1BB1 OO1BB1，OO1BB1， 四边形 OO1B1B 为平行四边形，BO1B1O，BO1B1O， BO1D1O，BO1D1O 四边形 O1BOD1为平行四边形，则 BOO1D1 又 BO平面 ACD1，O1D1平面 ACD1， OB平面 ACD1； （2）解：正方体 ABCDA1B1C1D1的棱长为 2， ， 又， 且， 而， 20已知椭圆 C：+1（ab0）的左焦点为 F（1，0），离心率为 （1）求椭圆 C 的标准方程； （2）设 O 为坐标原点，T 为直线 x2 上一点，过 F 作 TF 的垂线交椭圆于 P，Q当
28、四边形 OPTQ 是平行四边形时，求四边形 OPTQ 的面积 【分析】（1）由焦点坐标和离心率及 a，b，c 之间的关系求出 a，b 的值，进而可得椭 圆的标准方程； （2）有题意设 T 的坐标，由（1）得左焦点 F 的坐标，可得在 TF 的斜率，有题意可得 PQ 的斜率及方程，将直线 PQ 与椭圆联立求出两根之和，求出弦 PQ 的中点，及 TF 的 中点，有题意可得中点相同，再求出四边形 OPTQ 的面积 解：（1）由已知得：，所以； 又 a2b2+c2，解得 b1， 所以椭圆的标准方程为：+y21 （2）设 T 点的坐标为（2，m），则直线 TF 的斜率， 当 m0 时，直线 PQ 的斜率
29、，直线 PQ 的方程是 xmy1； 当 m0 时，直线 PQ 的方程也符合 xmy1 的形式 由得 （m2+2）y22my10其判别式4m2+4（m2+2）0， 设 P（x1，y1），Q（x2，y2），则 ， 因为四边形 OPTQ 是平行四边形，所以，即（x1，y1）（2x2，my2）， 所以解得 m0， 此时四边形 OPTQ 的面积 21已知函数 f（x）exx2+x证明： （1）函数 f（x）在 R 上是单调递增函数； （2）对任意实数 x1，x2，若 f（x1）+f（x2）2，则 x1+x20 【分析】（1）依题意可得 f（x）exx+1，f（x）ex1，通过 f（x）的单调 性的分析，
30、可求得 f（x）minf（0）20，于是可证得函数 f（x）在 R 上是单调递增 函数； （2）利用（1）函数 f（x）在 R 上是单调递增函数，设 x10x2，再构造函数 g（x） f（x）+f（x）ex+exx2（x0），利用导数分析其单调性即可证得 x1+x20 成立 【解答】证明：（1）f（x）exx+1，f（x）ex1， 令 f（x）0，得 x0，即函数 f（x）在区间（0，+）上单调递增； f（x）0，得 x0，函数 f（x）在区间（，0）上单调递减； 所以 f（x）minf（0）20， 故函数 f（x）在 R 上是单调递增函数； （2）因 f（x1）+f（x2）2f（0）2，f（
31、x）在 R 上是单调递增函数，不妨设 x10x2， 构造 g（x）f（x）+f（x）ex+exx2（x0）， g（x）exex2x， g（x）ex+ex20， 所以 yg（x）在（，0）上单调递增， 所以 g（x）g（0）0，所以 yg（x）在（，0）上单减， 因 x10，g（x1）f（x1）+f（x1）g（0）2f（x1）+f（x 2），有 f（x1）f（x2） 由（1）知，f（x）在 R 上是单调递增函数，有x1x2，即 x1+x20 （二）选考题：共 10 分.请考生在第 22、23 题中选一题作答如果多做，则按所做的第一 题计分选修 4-4：坐标系与参数方程 22在极坐标系 Ox 中，
32、曲线 C 的极坐标方程为+sin，直线 l 的极坐 标方程为 （cossin）1，设 l 与 C 交于 A，B 两点，AB 中点为 M，AB 的垂直平分 线交 C 于 E，F以 O 为坐标原点，极轴为 x 轴正半轴，建立直角坐标系 xOy （1）求 C 的直角坐标方程及点 M 的直角坐标； （2）求证：|MA| |MB|ME| |MF| 【分析】（1）直接利用转换关系的应用，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间转 换求出结果 （2）利用一元二次方程根和系数关系式的应用求出结果 解：（1）曲线 C 的极坐标方程为+sin，转换为直角坐标方程为 直线 l 的极坐标方程为 （cossin）1 转换
33、为直角坐标方程为：yx1， 联立 C 与 l 的方程得；3x24x0， 解得 由于 AB 中点为 M， 证明：（2）由（1）利用两点间的距离公式的应用得：， 又设 AB 的垂直平分线代入 C 的方程得：， |MA| |MB|ME| |MF| 选修 4-5：不等式选讲 23已知函数 f（x）|x1|2|x+3| （1）求不等式 f（x）1 的解集； （2）若存在实数 x，使不等式 m23mf（x）0 成立，求实数 m 的取值范围 【分析】（1）由绝对值的定义，去绝对值，解不等式，求并集，可得所求解集； （2）由题意可得存在实数 x，不等式 m23mf（x）max成立，由一次函数的单调性可 得 f（x）的最大值，结合二次不等式的解法可得所求范围 解：（1）f（x）|x1|2|x+3|， 当 x1 时，x71 解得 x1； 当3x1 时，3x51 解得2x1； 当 x3 时，x+71 解得 x6 综上得 x6 或 x2 不等式的解集为（，6）（2，+）； （2）存在实数 x，不等式 m23mf（x）0 成立， 存在实数 x，不等式 m23mf（x）成立 存在实数 x，不等式 m23mf（x）max成立 又 f（x）， f（x）maxf（3）4， m23m4，解得1m4 m 的范围是（1，4）
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