1、2018-2019 学年湖南省湘西州高二（上）期末数学试卷（文科）一、选择题（本大题共 12 小题，每小题小题，每小题 3 分，共分，共 36 分在每小题给出的四个选项中，只分在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求）有一项是符合题目要求） 1 （3 分）复数（ ） Ai Bi C1+i D1i 2 （3 分）已知等差数列an中，a510，a714，则公差 d（ ） A1 B2 C2 D1 3 （3 分） “x1”是“x21”的（ ） A充分而不必要条件 B必要而不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件 4 （3 分）设ABC 的内角 A、B、C 的对边分別为 a、b、c，
2、若， 则 B（ ） A30 B45 C60 D150 5 （3 分）具有线性相关关系得变量 x，y，满足一组数据如表所示，若 y 与 x 的回归直线方 程为 3x，则 m 的值（ ） x 0 1 2 3 y 1 1 m 8 A4 B C5 D6 6 （3 分）已知 F1，F2是椭圆的左、右焦点，直线 l 过点 F2与椭圆交于 A、B 两点，且|AB|7，则ABF1的周长为（ ） A10 B12 C16 D3 7 （3 分）设实数 x，y 满足约束条件，则 zx+y 的最大值为（ ） A0 B1 C2 D3 8 （3 分）已知抛物线 y22px（p0）的焦点为 F，准线为 l，P 为抛物线上一点
3、，PAl， 垂足为 A，若APF60，则|PF|（ ） 第 2 页（共 17 页） Ap B2p C D 9 （3 分）若双曲线与直线有交点，则其离心率的取值 范围是（ ） A （1，2） B （1.2 C （2，+） D2，+） 10 （3 分）设函数 f（x）在定义域内可导，yf（x）的图象如图所示，则导函数 f（x） 的图象可能是（ ） A B C D 11 （3 分）数列，的前 n 项和为 Sn（ ） A B+2n C D 12 （3 分）已知函数 f（x）ax3+6x23x+1 在区间（1，2）上是减函数，则实数 a 的取值 范围是（ ） A （，3 B （， C3， D （，+ 二
4、、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 4 个小题，每小题个小题，每小题 4 分，共分，共 16 分把答案填在题中的横线上）分把答案填在题中的横线上） 13 （4 分）曲线 f（x）x32x 在点（2，f（2） ）处的切线方程为 14 （4 分）已知数列an的前 n 项和 Snn21，其中 n1，2，3，那么 a5 15 （4 分）在ABC 中，a，b，c 分别是A，B，C 的对边已知A60，b4， ABC 的面积为 3，则 a 第 3 页（共 17 页） 16 （4 分）已知两个正数 x，y 满足 x+y4，则使不等式恒成立的实数 m 的范围 是 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 6
5、 个小题，共个小题，共 48 分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 17 （6 分）已知双曲线（a0，b0）的实半轴长为 2，半焦距为 4 （1）求双曲线 C 的方程； （2）判断点（4，6）是否在双曲线 C 上 18 （6 分）在ABC 中，a，b，c 分别为内角 A，B，C 的对边，且 asinCccosA （1）求角 A 的大小； （2）若 b6，c3，求 a 的值 19 （8 分）已知等差数列an的公差为 1，前 n 项和为 Sn，且 a3+S39 （1）求数列an的通项公式； （2）求数列的前 n 项和 Tn 20 （8 分）为缓减人口老年
6、化带来的问题，中国政府在 2016 年 1 月 1 日作出全国统一实施 全面的“二孩”政策，生“二孩”是目前中国比较流行的元素某调查机构对某校学生 做了一个是否同意父母生“二孩”抽样调查，该调查机构从该校随机抽查了 100 名不同 性别的学生， 调查统计他们是同意父母生 “二孩” 还是反对父母生 “二孩” 现已得知 100 人中同意父母生“二孩”占 75%，统计情况如表： 性别属性 同意父母生“二孩” 反对父母生“二孩” 合计 男生 10 女生 30 合计 100 （1）请补充完整上述列联表； （2）根据以上资料你是否有 95%把握，认为是否同意父母生“二孩”与性别有关？请说 明理由 参考公式
7、与数据：K2，其中 na+b+c+d P（K2k） 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 k 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 第 4 页（共 17 页） 21 （10 分）已知点 M（，）在椭圆 G：+1（ab0）上，且椭圆的离心 率为 （1）求椭圆 G 的方程； （2）若斜率为 1 的直线 l 与椭圆 G 交于 A、B 两点，以 AB 为底做等腰三角形，顶点为 P （3，2） ，求PAB 的面积 22 （10 分）已知函数 （1）若 f（x）在 x1 处取得极值，求实数 a 的值 （2）求函数 f（
8、x）的单调区间 （3）若 f（x）在1，e上没有零点，求实数 a 的取值范围 第 5 页（共 17 页） 2018-2019 学年湖南省湘西州高二（上）期末数学试卷（文科）学年湖南省湘西州高二（上）期末数学试卷（文科） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 12 小题，每小题小题，每小题 3 分，共分，共 36 分在每小题给出的四个选项中，只分在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求）有一项是符合题目要求） 1 （3 分）复数（ ） Ai Bi C1+i D1i 【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案 【解答】解： 故选：C 【点评
9、】本题考查复数代数形式的乘除运算，是基础题 2 （3 分）已知等差数列an中，a510，a714，则公差 d（ ） A1 B2 C2 D1 【分析】利用等差数列的定义及通项公式可知 a7a542d，故可求 【解答】解：由题意，a7a542d，d2， 故选：B 【点评】本题要求学生掌握等差数列的通项公式及定义，是一道基础题 3 （3 分） “x1”是“x21”的（ ） A充分而不必要条件 B必要而不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件 【分析】直接利用充要条件的判断方法判断即可 【解答】解：因为“x1”“x21” ，而“x21”推不出“x1” ，所以“x1”是“x2 1”充分不必要条
10、件 故选：A 【点评】本题考查充要条件的判定，基本知识的考查，注意条件与结论的判断 4 （3 分）设ABC 的内角 A、B、C 的对边分別为 a、b、c，若， 则 B（ ） A30 B45 C60 D150 第 6 页（共 17 页） 【分析】根据大边对大角，求出 B 的范围，结合正弦定理进行求解即可 【解答】解：ab， AB，即 B60， 由正弦定理得，得， 即 sinB，则 B30， 故选：A 【点评】本题主要考查正弦定理的应用，结合大角对大边大边对大角是解决本题的关键 5 （3 分）具有线性相关关系得变量 x，y，满足一组数据如表所示，若 y 与 x 的回归直线方 程为 3x，则 m 的
11、值（ ） x 0 1 2 3 y 1 1 m 8 A4 B C5 D6 【分析】根据表中所给的数据，做出横标和纵标的平均数，得到样本中心点，根据由最 小二乘法求得回归方程 3x，代入样本中心点求出该数据的值 【解答】解：由表中数据得： ， ， 由于由最小二乘法求得回归方程 3x， 将 ， 代入回归直线方程，得 m4 故选：A 【点评】本题考查数据的回归直线方程，利用回归直线方程恒过样本中心点是关键 6 （3 分）已知 F1，F2是椭圆的左、右焦点，直线 l 过点 F2与椭圆交于 A、B 两点，且|AB|7，则ABF1的周长为（ ） A10 B12 C16 D3 【分析】利用椭圆的定义可得：|A
12、F1|+|AF2|2a，|BF1|+|BF2|2a，并且|AF2|+|BF2|AB|， 进而得到答案 第 7 页（共 17 页） 【解答】解：椭圆，可得 a4， 根据题意结合椭圆的定义可得：|AF1|+|AF2|2a8，并且|BF1|+|BF2|2a8， 又因为|AF2|+|BF2|AB|， 所以ABF1的周长为：|AF1|+|BF1|+|AB|AF1|+|AF2|+|BF1|+|BF2|16 故选：C 【点评】解决此类问题的关键是熟练掌握椭圆的定义椭圆的简单性质的应用，考查计 算能力 7 （3 分）设实数 x，y 满足约束条件，则 zx+y 的最大值为（ ） A0 B1 C2 D3 【分析】
13、由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，由图看出使目标函 数取得最大值的点，求出点的坐标，代入目标函数得答案 【解答】解：由实数 x，y 满足约束条件，作可行域如图， 由 zx+y，得 yx+z 要使 z 最大，则直线 yx+z 的截距最大， 由图看出，当直线 yx+z 过可行域内的点 A（3，0）时直线在 y 轴上的截距最大， zx+y 的最大值是 z3 故选：D 第 8 页（共 17 页） 【点评】本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题 8 （3 分）已知抛物线 y22px（p0）的焦点为 F，准线为 l，P 为抛物线上一点，PAl， 垂足为 A，若AP
14、F60，则|PF|（ ） Ap B2p C D 【分析】由抛物线的定义，结合已知条件求出 AP，通过APF60，求解|PF| 【解答】解：抛物线 y22px（p0）的焦点为 F，准线为 l， P 为抛物线上一点，PAl，垂足为 A 根据抛物线的定义 P 点到准线的距离|PF|，又 PFPA， 所以|PA|就是 P 点到准线的距离，即 PA 垂直于 l， APF60，APF 是正三角形， F 到准线 l 的距离为 2p，PF 为 2p 故选：B 【点评】本题考查抛物线的简单性质以及定义的应用，是中档题 9 （3 分）若双曲线与直线有交点，则其离心率的取值 范围是（ ） A （1，2） B （1.
15、2 C （2，+） D2，+） 【分析】画出草图，求出双曲线的渐近线方程，若双曲线与直线 yx 有交点，则应 满足：，通过 b2c2a2，可得 e 的范围 【解答】解：如图所示， 双曲线的渐近线方程为 yx，双曲线与直线有 第 9 页（共 17 页） 交点，则有， ，解得 e24，e2 故选：C 【点评】本题考查了双曲线的渐近线和离心率，直线与双曲线相交等问题，常用数形结 合的方法来考虑，是基础题 10 （3 分）设函数 f（x）在定义域内可导，yf（x）的图象如图所示，则导函数 f（x） 的图象可能是（ ） A B C D 【分析】先根据函数 f（x）的图象判断单调性，从而得到导函数的正负情
16、况，最后可得 答案 【解答】解：原函数的单调性是：当 x0 时，增；当 x0 时，单调性变化依次为增、 减、增， 故当 x0 时，f（x）0；当 x0 时，f（x）的符号变化依次为+、+ 第 10 页（共 17 页） 故选：C 【点评】本题主要考查函数的单调性与其导函数的正负之间的关系，即当导函数大于 0 时原函数单调递增，当导函数小于 0 时原函数单调递减 11 （3 分）数列，的前 n 项和为 Sn（ ） A B+2n C D 【分析】利用分组求和即可得到数列的和 【解答】解：数列 1，2，3，的前 n 项和为 Sn（1+2+3+n）+（+ ） +（） 故选：C 【点评】本题考查数列求和，
17、等差数列以及等比数列求和，考查计算能力 12 （3 分）已知函数 f（x）ax3+6x23x+1 在区间（1，2）上是减函数，则实数 a 的取值 范围是（ ） A （，3 B （， C3， D （，+ 【分析】对函数 f（x）求导，转化成 f（x）在（1，2）上有 f（x）0 恒成立，从而 求出 a 的取值范围 【解答】解：f（x）ax3+6x23x+1，f（x）3ax2+12x3， 又f（x）在（1，2）上是减函数， f（x）在（1，2）上恒有 f（x）0， 即 3ax2+12x30 在（1，2）上恒成立a（2）24，因为 x（1，2） ， 所以（，1） ， 所以：a3 实数 a 的取值范围
18、是a|a3 第 11 页（共 17 页） 故选：A 【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性以及一元二次不等式的解法问题，是高 考中的热点问题 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 4 个小题，每小题个小题，每小题 4 分，共分，共 16 分把答案填在题中的横线上）分把答案填在题中的横线上） 13 （4 分）曲线 f（x）x32x 在点（2，f（2） ）处的切线方程为 y10x16 【分析】根据题意，由函数的解析式求导可得 f（x）3x22，进而可得 f（2）4，f （2）10，即可得切点的坐标以及切线的方程，由直线的点斜式方程即可得答案 【解答】解：根据题意，f（x）x32x，其导数
19、f（x）3x22， 则 f（2）4，f（2）10， 则在点（2，f（2） ）处的切线方程为 y410（x2） ， 即切线方程为 y10x16 故答案为：y10x16 【点评】本题考查利用导数分析曲线的切线方程，关键是掌握导数的几何意义， 14 （4 分）已知数列an的前 n 项和 Snn21，其中 n1，2，3，那么 a5 9 【分析】 （法一） ：由递推公式可得递推公式，a5S5S4，代入可求 （法二） ：由 ansnsn1n21（n1）2+1 可求 an（n2） ，然后把 n5 代入到通 项公式可求 【解答】解： （法一） ：由于 Snn21 a5S5S424159 （法二） ：由于 Sn
20、n21 ansnsn1n21（n1）2+12n1（n2） a59 故答案为：9 【点评】本题主要考查了由递推公式 ansnsn1n21（n1）2+1（n2）求解数 列的通项公式的求解，属于基本公式的应用 15 （4 分）在ABC 中，a，b，c 分别是A，B，C 的对边已知A60，b4， ABC 的面积为 3，则 a 【分析】根据三角形的面积求出 c 的值，结合余弦定理进行求解即可 【解答】解：三角形的面积 SbcsinA3， 第 12 页（共 17 页） 4c3， 即 c3， 则 a2b2+c22bccosA16+9243251213， 即 a， 故答案为： 【点评】本题主要考查三角形面积以
21、及余弦定理的应用，根据面积公式求出 c 的值是解 决本题的关键 16 （4 分）已知两个正数 x，y 满足 x+y4，则使不等式恒成立的实数 m 的范围 是 【分析】由题意将 x+y4 代入进行恒等变形和拆项后，再利用基本不等式求出它 的最小值，根据不等式恒成立求出 m 的范围 【解答】解：由题意知两个正数 x，y 满足 x+y4， 则+1，当时取等号； 的最小值是， 不等式恒成立， 故答案为： 【点评】本题考查了利用基本不等式求最值和恒成立问题，利用条件进行整体代换和合 理拆项再用基本不等式求最值，注意一正二定三相等的验证 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 6 个小题，共个小题，共
22、48 分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 17 （6 分）已知双曲线（a0，b0）的实半轴长为 2，半焦距为 4 （1）求双曲线 C 的方程； （2）判断点（4，6）是否在双曲线 C 上 【分析】 （1）由题意可得 a，c，由 a，b，c 的关系可得 b，进而得到所求双曲线的方程； （2）将（4，6）代入双曲线的方程，检验是否成立，即可得到结论 【解答】解： （1）由题意可得 a2，c4， 第 13 页（共 17 页） 即有 b2， 可得双曲线的方程为1； （2）将（4，6）代入双曲线方程， 可得1， 则点（4，6）在双曲线 C 上 【点评】本题考
23、查双曲线的方程的求法，注意运用基本量的关系，考查方程思想和运算 能力，属于基础题 18 （6 分）在ABC 中，a，b，c 分别为内角 A，B，C 的对边，且 asinCccosA （1）求角 A 的大小； （2）若 b6，c3，求 a 的值 【分析】 （1）由正弦定理由 asinCccosA得，可求 A； （2）由余弦定理得 a 【解答】解： （1）asinCccosA由正弦定理得 sinAsinCsinCcosA，（2 分） sinC0，sinA，即 tanA， A60，（6 分） （2）由余弦定理得 a3 【点评】本题主要考查了正弦定理、余弦定理在求解三角形中的综合应用属于中档题 19
24、（8 分）已知等差数列an的公差为 1，前 n 项和为 Sn，且 a3+S39 （1）求数列an的通项公式； （2）求数列的前 n 项和 Tn 【分析】 （1）首项利用已知条件建立等量关系求出数列的通项公式 （2）利用（1）的结论，进一步利用裂项相消法求出数列的和 【解答】解： （1）设等差数列an的公差为 d1，首项为 a1， 前 n 项和为 Sn，且 a3+S39 则：， 解得：a11 所以：an1+（n1）n 第 14 页（共 17 页） （2）， ， 则： 2（1） 【点评】本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，裂项相消法在数列求和 中的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力
25、，属于基础题型 20 （8 分）为缓减人口老年化带来的问题，中国政府在 2016 年 1 月 1 日作出全国统一实施 全面的“二孩”政策，生“二孩”是目前中国比较流行的元素某调查机构对某校学生 做了一个是否同意父母生“二孩”抽样调查，该调查机构从该校随机抽查了 100 名不同 性别的学生， 调查统计他们是同意父母生 “二孩” 还是反对父母生 “二孩” 现已得知 100 人中同意父母生“二孩”占 75%，统计情况如表： 性别属性 同意父母生“二孩” 反对父母生“二孩” 合计 男生 10 女生 30 合计 100 （1）请补充完整上述列联表； （2）根据以上资料你是否有 95%把握，认为是否同意父
26、母生“二孩”与性别有关？请说 明理由 参考公式与数据：K2，其中 na+b+c+d P（K2k） 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 k 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 【分析】 （1）由题意填写列联表即可； （2）根据表中数据，计算观测值，对照临界值得出结论 【解答】解： （1）由题意可得列联表如下： 第 15 页（共 17 页） 性别属性 同意父母生“二孩” 反对父母生“二孩” 合计 男生 45 10 55 女生 30 15 45 合计 75 25 100 （6 分） （2）计算 K23.030
27、3.841，10 分 所以没有 95%的把握认为同意父母生“二孩”与性别有关（12 分） 【点评】本题考查了列联表与独立性检验的应用问题，是基础题 21 （10 分）已知点 M（，）在椭圆 G：+1（ab0）上，且椭圆的离心 率为 （1）求椭圆 G 的方程； （2）若斜率为 1 的直线 l 与椭圆 G 交于 A、B 两点，以 AB 为底做等腰三角形，顶点为 P （3，2） ，求PAB 的面积 【分析】 （1）由点 M（，）在椭圆 G：+1（ab0）上，且椭圆的离心 率为可得，又 a2b2+c2联立解得即可 （2） 设 A （x1， y1） ， B （x2， y2） ， 线段 AB 的中点 N
28、（m， n） ， 直线 AB 的方程为： yx+t 与 椭圆方程联立可得 4x2+6tx+3t2120，利用根与系数的关系、中点坐标公式可得 m ，n利用 kPN1，解得 t再利用点到直线的距离公式可得点 P 到直线 AB 的 距离 d弦长公式|AB|，SAPB即可得出 【解答】解： （1）点 M（，）在椭圆 G：+1（ab0）上，且椭圆的 离心率为 第 16 页（共 17 页） ，又 a2b2+c2， 解得 a212，b24 椭圆 G 的方程为1 （2）设 A（x1，y1） ，B（x2，y2） ，线段 AB 的中点 N（m，n） ，直线 AB 的方程为：yx+t 联立，化为 4x2+6tx+
29、3t2120， x1+x22m，x1x2 解得 m，n kPN1，解得 t2 直线 AB 的方程为：yx+2 点 P 到直线 AB 的距离 d |AB|3 SAPB 【点评】本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题转化为方程联立可 得根与系数的关系、中点坐标公式、点到直线的距离公式、弦长公式、三角形的面积计 算公式，考查了推理能力与计算能力，属于难题 22 （10 分）已知函数 （1）若 f（x）在 x1 处取得极值，求实数 a 的值 （2）求函数 f（x）的单调区间 （3）若 f（x）在1，e上没有零点，求实数 a 的取值范围 【分析】 （1）求出 f（x）令 f（1）0，求出
30、a 的值，再利用导数符号判断函数单调性， 验证即可； （2）求出 f（x） ，解不等式 f（x）0，f（x）0，即可求出 f（x）的单调区间； （3）用导数求出函数 f（x）在区间1，e上没有零点，只需在1，e上 f（x）min0 或 f 第 17 页（共 17 页） （x）max0，分类讨论，根据导数和函数的最值得关系即可求出 【解答】 解： （1）的定义域为 （0， +） ， 且 f（x）在 x1 处取得极值， f（1）0，解得 a1 或 a1（舍） ， 当 a1 时，x（0，1） ，f（x）0；x（1，+） ，f（x）0， 函数 f（x）在 x1 处取得极小值， 故 a1 （2） 令 f
31、（x）0，解得 xa； 令 f（x）0，解得 0xa， 函数 f（x）的单调增区间为（a，+） ，单调减区间为（0，a） （3）要使 f（x）在1，e上没有零点，只需在1，e上 f（x）min0 或 f（x）max0， 又，只需在区间1，e上，f（x）min0 当 ae 时，f（x）在区间1，e上单调递减，则， 解得与 ae 矛盾 当 1ae 时，f（x）在区间1，a）上单调递减，在区间（a，e上单调递增， ， 解得， 当 0a1 时，f（x）在区间1，e上单调递增，f（x）minf（1）0，满足题意， 综上所述，实数 a 的取值范围是： 【点评】本题是导数在函数中的综合运用，考查运用导数求单调区间，求极值，求最值， 考查分类讨论的思想方法，同时应注意在闭区间内只有一个极值，则一定为最值的结论 的运用
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