1、 1 备战 2019 八下期中亮点好题分类汇编专题 12期中整册期中整册几何综合复习几何综合复习2 24040 题题 刘晓然刘晓然整理整理 一、勾股定理一、勾股定理 微专题一：直接考查勾股定理微专题一：直接考查勾股定理 1.（2018 滨州）滨州）在直角三角形中，若勾为 3，股为 4，则弦为（ ） A5 B6 C7 D8 【答案】A 【解析】根据勾股定理直接求得弦长为 22 3 +45. 2.如图，在 ABC 中，三边 a，b，c 的大小关系是（ ） A.abc B.cab C.cba D.bac 【答案】D 【解析】根据勾股定理，得1031 22 a;521 22 b;1332 22 c 5
2、1013，bac. 故选 D. 3.如图， ABC 中，ADBC 于 D，AB=5，BD=4，DC=2，则 AC 等于（ ） A.13 B. C. D.5 【答案】B 【解析】ADBC 于 D， ADB=ADC=90 ， 在 Rt ABD 中,由勾股定理可得345 2222 BDABAD, 在 Rt ACD 中,由勾股定理可得1323 2222 CDADAC. 故选：B. 2 4.（2018 广西贺州）广西贺州）如图，在 ABC 中，BAC=90 ，ADBC，垂足为 D，E 是边 BC 的中点，AD=ED=3，则 BC 的长为（ ） A23 B33 C6 D26 【答案】D 【解析】AD=ED
3、=3，ADBC， ADE 为等腰直角三角形， 根据勾股定理得：AE=3， Rt ABC 中，E 为 BC 的中点， AE=BC， 则 BC=2AE=6， 故选：D 5. （2018湖北黄冈）湖北黄冈） 如图， 在 Rt ABC 中， ACB=90 ， CD 为 AB 边上的高， CE 为 AB 边上的中线， AD=2， CE=5， 则 CD=( ) A.2 B.3 C.4 D.23 【答案】C 【解析】在 Rt ABC 中，ACB=90 ，CE 为 AB 边上的中线， CE=AE=5， 又AD=2， DE=AE-AD=5-2=3， CD 为 AB 边上的高 CDE=90 ， CDE 为 Rt
4、CD= DECE 22 = 35 22 =4 故选 C. 3 6.（2018 四川省泸州市四川省泸州市 3 分）分）“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲如图所示 的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形设直角三角形较长直角边长为 a， 较短直角边长为 b若 ab=8，大正方形的面积为 25，则小正方形的边长为（ ） A9 B6 C4 D3 【答案】D 【解析】由题意可知：中间小正方形的边长为：ab， 每一个直角三角形的面积为：ab= 8=4， 4 ab+（ab）2=25， （ab）2=2516=9， ab=3， 故选：D 微专题二：勾
5、股定理的逆定理微专题二：勾股定理的逆定理 1.（2018 南通）南通）下列长度的三条线段能组成直角三角形的是（ ） A3，4，5 B2，3，4 C4，6，7 D5，11，12 【答案】A 【解析】A、32+4252，三条线段能组成直角三角形，故 A 选项正确； B、22+3242，三条线段不能组成直角三角形，故 B 选项错误； C、42+6272，三条线段不能组成直角三角形，故 C 选项错误； D、52+112122，三条线段不能组成直角三角形，故 D 选项错误故选 A 2.下列说法中正确的是（ ） A.已知 a，b，c 是三角形的三边，则 a2+b2=c2 B.在直角三角形中，两边的平方和等
6、于第三边的平方 C.在 Rt ABC 中，C=90 ，所以 a2+b2=c2 D.在 Rt ABC 中，B=90 ，所以 a2+b2=c2 【答案】C 【解析】在直角三角形中只有斜边的平方等于其他两边的平方的和，且斜边对角为直角。 A. 不确定 c 是斜边，故本命题错误，即 A 选项错误； B. 不确定第三边是否是斜边，故本命题错误，即 B 选项错误； C. C=90 ，所以其对边为斜边，故本命题正确，即 C 选项正确； D. B=90 ，所以斜边为 b,所以 a2+c2=b2，故本命题错误，即 D 选项错误； 故选 C. 4 3.若 ABC 的三边 a、b、c 满足条件（ab）（a2+b2c
7、2）=0，则 ABC 为（ ） A.等腰三角形 B.直角三角形 C.等腰三角形或直角三角形 D.等腰直角三角形 【答案】C 【解析】(ab)(a2+b2c2)=0， a=b 或 a2+b2=c2. 当只有 a=b 成立时，是等腰三角形。 当只有第二个条件成立时：是直角三角形。 当两个条件同时成立时：是等腰直角三角形。 故选 C. 4.若三边长 满足，则是( ) A.等腰三角形 B.等边三角形 C.直角三角形 D.等腰直角三角形 【答案】C 【解析】ABC 三边长 a，b，c 满足， ，且，； ， ， ， ABC 是直角三角形。 故选：C。 5.如图是一块地，已知 AD=4m，CD=3m，AB=
8、13m，BC=12m，且 CDAD，求这块地的面积. 【解析】连接 AC，CDADADC=90 ，AD=4，CD=3，AC2=AD2+CD2=42+32=25， 又AC0，AC=5，又BC=12，AB=13，AC2+BC2=52+122=169， 又AB2=169，AC2+BC2=AB2，ACB=90 ，S 四边形ABCD=S ABCS ADC=306=24m2. 5 6.如图， ABC 中，AB13，AD6，AC5 ，D 为 BC 边的中点。求 S ABC 【解析】延长 AD 到 E，使 DE=AD，连结 BE。 则四边形 ABEC 是平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形） 所以
9、BE=AC=5 在 ABE 中 因 为 所 以 52+122=132 ABE 是直角三角形 所 以 S ABC=S ABE= 2 1 5 12=30 微专题三：互微专题三：互逆命题和互逆定理逆命题和互逆定理 1“内错角相等，两直线平行”的逆命题是_ 【答案】两直线平行，内错角相等 【解析】“内错角相等，两直线平行”的条件是：内错角相等，结论是：两直线平行 将条件和结论互换得逆命题为：两直线平行，内错角相等 故答案为：两直线平行，内错角相等 2有下列命题： 若 x2=x，则 x=1； 若 a2=b2，则 a=b； 线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等； 相等的弧所对的圆周角相等； 其中原命
10、题与逆命题都是真命题的个数是 A1 个 B2 个 C3 个 D4 个 3.（2018 无锡）无锡）命题“四边相等的四边形是菱形”的逆命题是_ 【答案】菱形的四条边相等 【解析】命题“四边相等的四边形是菱形”的逆命题是菱形的四条边相等， 故答案为：菱形的四条边相等 6 微专题四：勾股定理的数学思想微专题四：勾股定理的数学思想 1.一直角三角形的三边分别为 2、3、x，那么 x 为（ ） A 13 5 13或5 D.无法确定 【答案】C 【解析】当 x 为斜边时，1332 22 x； 当 x 为直角边时，523 22 x。 故选 C。 2.（2018 云南省云南省 3 分）分）在 ABC 中，AB
11、=，AC=5，若 BC 边上的高等于 3，则 BC 边的长为 9 或 1 【分析】 ABC 中，ACB 分锐角和钝角两种： 如图 1，ACB 是锐角时，根据勾股定理计算 BD 和 CD 的长可得 BC 的值； 如图 2，ACB 是钝角时，同理得：CD=4，BD=5，根据 BC=BDCD 代入可得结论 【解析】有两种情况： 如图 1，AD 是 ABC 的高， ADB=ADC=90 ， 由勾股定理得：BD=5， CD=4， BC=BD+CD=5+4=9； 如图 2，同理得：CD=4，BD=5， BC=BDCD=54=1， 综上所述，BC 的长为 9 或 1； 故答案为：9 或 1 7 3.如图，有
12、一个直角三角形纸片，直角边 AC=6cm，BC=8cm，将 ABC 进行折叠使点 B 与点 A 重合，折痕为 DE， 那么 CD 长为（ ） A. 3 5 B. 4 7 C. 4 25 D. 3 22 【解析】由题意得 DB=AD； 设 CD=xcm，则 AD=DB=(8x)cm， C=90 ， 在 Rt ACD 中， 根据勾股定理得：AD2CD2=AC2,即(8x)2x2=36， 解得 x= 4 7 ； 即 CD= 4 7 cm. 故选：B. 微专题五：勾股定理的综合运用微专题五：勾股定理的综合运用 1.如图，数轴上点 A 对应的数是 1，点 B 对应的数是 2，BCAB，垂足为 B，且 B
13、C=1,以 A 为圆心，AC 为半径画弧， 交数轴于点 D，则点 D 表示的数为( ) A.1.4 B. C. D.2.4 【答案】C 【解析】在 Rt ABC 中，AB=21=1，BC=1， 由勾股定理得，AC=12+12=2， 则点 D 表示的数为12 。 故选：C. 8 2.有一个面积为 1 的正方形，经过一次“生长”后，在他的左右肩上生出两个小正方形，其中，三个正方形围成的三 角形是直角三角形，再经过一次“生长”后，变成了该图，如果继续“生长”下去，它将变得“枝繁叶茂”，请你算出“生 长”了 2016 次后形成的图形中所有的正方形的面积和是( ) A.1 B.2015 C.2016 D
14、.2017 【答案】D 【解析】 第一次生长后长出的正方形角形面积为 SA+SB=1； 第二次生长后长出的正方形面积为 SD+SC+SE+SF=SA+SB=1； 第三次生长后长出的正方形面积为：1； 第四次生长后长出的正方形面积为：1； “生长”了 2016 次后形成的图形中，所有的正方形的面积和是 1 2016+1=2017. 故选 D. 3.（2018 长沙市）长沙市） 我国南宋著名数学家秦九韶的著作数书九章里记载有这样一道题目：“问有沙田一块，有三 斜，其中小斜五里，中斜十二里，大斜十三里，欲知为田几何？”这道题讲的是：有一块三角形沙田，三条边长分 别为 5 里，12 里，13 里，问这
15、块沙田面积有多大？题中的“里”是我国市制长度单位，1 里=500 米，则该沙田的面 积为 A、7.5 平方千米 B、15 平方千米 C、75 平方千米 D、750 平方千米 【答案】A 【解析】在直角三角形中 52+122=132，B=90 ， 又5 里=5 500 米=2500 米=2.5 千米，12 米=12 500 米=6000 米=6 千米， S ABC= 1 2 6 2.5=7.5 平方千米 9 4.（2018 枣庄市）枣庄市）我国南宋著名数学家秦九韶在他的著作教书九章书中，给出了著名的秦九韶公式，也叫三斜 求积公式即：如果一个三角形的三边长分别为 a，b，c，则该三角形的面积为 S
16、= 2 222 22 1 42 abc a b ， 已知 ABC 的三边长分别为5，2，1，则 ABC 的面积为 【答案】1 【解析】 2 222 1 2 2 42 abc Sa b 将 a1，b2，c5代入上述公式可得： 2 2 22 1125 2 2 1 2 42 S 2 1145 4 42 1 4 4 11，故答案为 1 5.（2018 山东青岛）山东青岛）如图，三角形纸片 ABC，AB=AC，BAC=90 ，点 E 为 AB 中点沿过点 E 的直线折叠，使 点 B 与点 A 重合，折痕现交于点 F已知 EF=，则 BC 的长是（ ） A B C3 D 【答案】B 【解析】 沿过点 E
17、的直线折叠，使点 B 与点 A 重合， B=EAF=45 ， AFB=90 ， 点 E 为 AB 中点， EF=AB，EF=， AB=AC=3， BAC=90 ， BC=3， 故选：B 10 6(2018 临沂，临沂，17，3 分分)如图，在ABCD 中，AB10，AD6，ACBC.则 BD O D CB A 源:学科网 【答案】134 【解析】过点 D 作 DEBC 于点 E，ABCD，AD=BC=6，ACBC，AC= 22 610 =8=DE，BE=BC CE=66=12，BD=134812 22 . 7.（2018 黄冈市）黄冈市）如图，圆柱形玻璃杯高为 14cm，底面周长为 32cm，
18、在杯内壁离杯底 5cm 的点 B 处有一滴蜂蜜， 此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿 3cm 与蜂蜜相对的 A 处，则蚂蚁从外壁 A 处到内壁 B 处的最短距离为 cm（杯壁厚度不计） B A 【答案】20 【解析】如图，将该圆柱的侧面展开，由题意得：BC32 216，AC145312，在 Rt ABC 中，AB 22 161220，则蚂蚁从外壁 A 处到内壁 B 处的最短距离为 20cm B C A B A 11 8(2018 广安广安)如图 11 有 4 张形状、大小完全相同的方格纸，方格纸中的每个小正方形的边长都是 1，请在方格纸 中分别画出符合要求的图形，所画图形各顶点必须与方格纸中小
19、正方形的顶点重合，具体要求如下： (1)画一个直角边长为 4，面积为 6 的直角三角形； (2)画一个底边长为 4，面积为 8 的等腰三角形； (3)画一个面积为 5 的等腰直角三角形； (4)画一个一边长为 22，面积为 6 的等腰三角形 【思路分析】(1)画两条直角边是 4，3 的直角三角形在； (2)画底边是 4，底边上的高是 4 的等腰三角形； (3)画两直角边都是10的等腰直角三角形； (4)22是直角边为 2 的等腰直角三角形的斜边画底边是 22，底边上的高是 32的等腰直角三角形 【解析】所画图形如图#所示 (1) (2) (3) (4) 图 11 (1) (2) (3) (4)
20、 图 11 12 9.如图，A 市气象站测得台风中心在 A 市正东方向 300 千米的 B 处，以 10千米/时的速度向北偏西 60 的 BF 方向 移动，距台风中心 200 千米范围内是受台风影响的区域. （1）A 市是否会受到台风的影响？写出你的结论并给予说明； （2）如果 A 市受这次台风影响，那么受台风影响的时间有多长？ 【解析】（1）过 A 作 ACBF 于 C，则 AC=AB=150200，A 市会受到台风影响； （2）过 A 作 AD=AE=200km，交 BF 于点 D，E，DC=50Km， DC=CE，A 市气象站测得台风中心在 A 市正东方向 300 千米的 B 处， 以
21、10千米/时的速度向北偏西 60 的 BF 方向移动， 该市受台风影响的时间为： =10 小时. 10.如果 ABC 的三边长分别为 a、b、c，并且满足 a2+b2+c2+338=10a+24b+26c，试判断 ABC 的形状 【考点】勾股定理的逆定理；非负数的性质：偶次方；完全平方公式 【解答】解：a2+b2+c2+338=10a+24b+26c a210a+25+b224b+144+c226c+169=0 即（a5）2+（b12）2+（c13）2=0 a5=0，b12=0，c13=0 a=5，b=12，c=13 52+122=169=132 a2+b2=c2 ABC 是直角三角形 13
22、11.(福建省漳州改编福建省漳州改编)几何模型：条件：如下左图，A、B 是直线 l 同旁的两个定点. 问题：在直线 l 上确定一点 P，使 PAPB 的值最小. 方法：作点 A 关于直线 l 的对称点 A，连接 AB 交 l 于点 P，则 PAPBAB 的值最小(不必证明). 模型应用：如图 1，正方形 ABCD 的边长为 2，E 为 AB 的中点，P 是 AC 上一动点.连接 BD，由正方形对称性 可知，B 与 D 关于直线 AC 对称.连接 ED 交 AC 于 P，则 PBPE 的最小值是_； (2)如图 2，AOB45 ，P 是AOB 内一点，PO10，Q、R 分别是 OA、OB 上的动
23、点，求 PQR 周长的最小 值. 【解析】 (1)5 (2)如图 2，作 P 关于 OB 的对称点 P1，关于 OA 的对称点 P2， 连接 P1P2，交 OB 于 R，交 OA 于 Q，则 PRQ 的周长最小，且此时 PRQ 的周长为 PRRQQPP1P2 连接 OP1，OP2，12，34，2345 P1OP290 ，OP1OPOP2， 在 Rt OP1P2中，P1P22OP12OP22， P1P210 2 14 二、四边形二、四边形 （1）四边形的判定四边形的判定 微专题微专题 6、平行四边形的判定、平行四边形的判定 一选择题一选择题 1 （2011江岸区校级模拟）江岸区校级模拟）如图：在
24、 4 4 的正方形（每个小正方形的边长均为 1）网格中，以 A 为顶点，其他三个 顶点都在格点（网格的交点）上，且面积为 2 的平行四边形的共有（ ）个 A10 B12 C14 D23 【考点】 平行四边形的判定 【解答】解： 一顶点在 BC 上，两顶点在 MG 上的有四边形 AGIB、AOQB、AMIF、AFOQ、ABMI、AFGI 共 6 个， 一顶点在 BC 上，两顶点在 PH 上的有四边形 AHVC、AVNC、APZE、AZNE、AEVN、ACZN 共 6 个， 还有四边形 AQNO、AIYL、ATXI、AHLI、APTI、AGHI、AMPI、AZRN、AVRN、AOKN、AQSN，共
25、 11 个， 6+6+1123 个， 故选：D 二解答题二解答题 1 （2017 春春宝丰县期末）宝丰县期末）如图， ABC 为等边三角形，D、F 分别为 BC、AB 上的点，且 CDBF （1）求证： ACDCBF； （2）以 AD 为边作等边三角形 ADE，点 D 在线段 BC 上的何处时，四边形 CDEF 是平行四边形 15 【考点】全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质； 平行四边形的判定 【解答】 （1）证明：ABC 为等边三角形， BACD60 ，ACBC， 在 ACD 和 CBF 中 ， ACDCBF（SAS） ； （2）解：D 点在任意位置，四边形 CDEF 是平行四边形，
26、ACDCBF， BCFDAC，ADCF， ADDE， DECF， ACDADE60 ，ADBADE+BDEACD+DAC， 60 +DAC60 +BDE， DACBDE， BCFDAC， BDEBCF， DECF， DECF， 四边形 CDEF 的形状是平行四边形 2 （2017 春春雁塔区校级期末）雁塔区校级期末）在平面直角坐标系中，以 A，B，C，D 为顶点组成平行四边形，A（1，0） ，B（3， 0） ，C（4，3） ，求点 D 的坐标 【考点】 坐标与图形性质； 平行四边形的判定 【解答】解：分三种情况：BC 为对角线时，点 D 的坐标为（6，3） ； AB 为对角线时，点 D 的坐标
27、为（0，3） ； AC 为对角线时，点 D 的坐标为（2，3） 综上所述，点 D 的坐标是（6，3）或（0，3）或（2，3） 16 3 （2017 春春章丘市期末）章丘市期末）如图，在 ABC 中，D、E 分别是 AB、AC 的中点，F 是 DE 延长线上的点，且 EFDE （1）图中的平行四边形有哪几个？请说明理由 （2）若 AEF 的面积是 3，求四边形 BCFD 的面积 【考点】三角形中位线定理； 平行四边形的判定 【解答】解： （1）图中的平行四边形有：平行四边形 ADCF，平行四边形 BDFC， 理由是：E 为 AC 的中点， AECE， DEEF， 四边形 ADCF 是平行四边形，
28、 ADCF，ADCF， D 为 AB 的中点， ADBD， BDCF，BDCF， 四边形 BDFC 是平行四边形 （2）由（1）知四边形 ADCF 是平行四边形，四边形 BDFC 是平行四边形， S CEFS CEDS AEF3， 平行四边形 BCFD 的面积是 12 4 （2017 春春萧山区校级期中）萧山区校级期中）如图，等边 ABC 的边长为 10cm，动点 M 从点 B 出发，沿 BACB 的方向以 4cm/s 的速度运动，动点 N 从点 C 出发，沿 CABC 方向以 3cm/s 的速度运动 （1）若动点 M、N 同时出发，经过几秒钟两点第一次相遇？ （2）若动点 M、N 同时出发，
29、且其中一点到达终点时，另一点即停止运动那么运动到第几秒钟时，点 A、M、N 以及 ABC 的边上一点 D 恰能构成一个平行四边形？求出时间 t 并请指出此时点 D 的具体位置 17 【考点】一元一次方程的应用；等边三角形的性质； 平行四边形的判定 【解答】解： （1）第一次相遇时间（秒） ； 答：若动点 M、N 同时出发，经过秒钟两点第一次相遇； （2）当点 M 在线段 AB 上，点 N 在 AC 上时： 四边形 ANDM 为平行四边形， DMAN DMAN ABC 为等边三角形， BMD 和 NCD 是等边三角形 BM+CNCN+AN10 3t+4t10 t ， 此时 BD； 当点 M 在线
30、段 AC 上，点 N 在 AB 上时： 同理 BND 和 MCD 是等边三角形 AM4t10 AN3t10 AM+ANAC10 4t10+3t1010 t ， 此时 BD 当点 M 在线段 BC 上，点 N 在 AB 上时，同理 BMN 和 MCD 是等边三角形 CM4t20 AN3t10 CMAN 4t203t10 t107.5（不合题意，舍去） 综上所述：当时间 t，BD；当时间 t，BD 18 5 （2017 春春楚雄州期末）楚雄州期末）如图，在四边形 ABCD 中，ADBC，AD12cm，BC15cm，点 P 自点 A 向 D 以 1cm/s 的速度运动，到 D 点即停止点 Q 自点
31、C 向 B 以 2cm/s 的速度运动，到 B 点即停止，点 P，Q 同时出发，设运 动时间为 t（s） （1）用含 t 的代数式表示： AP t ；DP 12t ；BQ 152t ；CQ 2t （2）当 t 为何值时，四边形 APQB 是平行四边形？ （3）当 t 为何值时，四边形 PDCQ 是平行四边形？ 【考点】 平行四边形的判定 【解答】解： （1）t，12t，152t，2t （2）根据题意有 APt，CQ2t，PD12t，BQ152t ADBC，当 APBQ 时，四边形 APQB 是平行四边形 t152t，解得 t5 t5s 时四边形 APQB 是平行四边形； （3）由 APtcm，
32、CQ2tcm， AD12cm，BC15cm， PDADAP12t， 如图 1，ADBC，当 PDQC 时，四边形 PDCQ 是平行四边形 即：12t2t， 解得 t4s， 当 t4s 时，四边形 PDCQ 是平行四边形 19 6 （2017 春春顺义区校级期中）顺义区校级期中）在平面直角坐标系中，点 A（1，1） 、B（1，1） 、C（3，1） ，请写出点 D 的坐 标，使以 A、B、C、D 为顶点的四边形为平行四边形，如果这个平行四边形还是特殊平行四边形，请指出是什 么特殊平行四边形 【考点】 坐标与图形性质；平行四边形的性质； 平行四边形的判定 【解答】解：如图所示： D（1，3）正方形；
33、 D（3，1） ； D（5，1） 7 （2017 春春虞城县期中）虞城县期中）如图，四边形 ABCD 中，AABC90 ，AD1，BC3，E 是边 CD 的中点，连接 BE 并延长与 AD 的延长线相交于点 F 求证：四边形 BDFC 是平行四边形 【考点】 平行四边形的判定 【解答】证明：AABC90 ， BCAD， CBEDFE， 在 BEC 与 FED 中， 20 ， BECFED， BEFE， 又E 是边 CD 的中点， CEDE， 四边形 BDFC 是平行四边形； 8 （2017 春春秦淮区校级期中）秦淮区校级期中）如图，AD 是 ABC 的中线 （1）画图：延长 AD 到 E，使
34、EDAD，连接 BE、CE； （2）四边形 ABEC 是平行四边形吗？证明你的结论 【考点】全等三角形的判定与性质； 平行四边形的判定 【解答】解： （1）如图所示； （2）四边形 ABEC 是平行四边形， 理由：AD 是 ABC 的中线， BDCD， EDAD， 四边形 ABEC 是平行四边形 21 9 （2017 春春普陀区期中）普陀区期中）已知：如图，在 ABC 中，M、N 分别是边 AB、AC 的中点，D 是边 BC 延长线上的一点， 且 CDBC，联结 CM、DN 求证：四边形 MCDN 是平行四边形 【考点】 平行四边形的判定 【解答】证明：点 M、N 分别是 AB、AC 的中点，
35、 MNBC，且 MNBC 即：MNCD 又 CDBC， MNCD 四边形 MCDN 是平行四边形 10 （2017 秋秋乳山市校级月考）乳山市校级月考）在四边形 ABCD 中，ADBC，对角线 AC、BD 交于 O，EF 过 O 交 AD 于 E，交 BC 于 F，且 OEOF，请说明四边形 ABCD 是平行四边形 【考点】 平行四边形的判定 【解答】证明： ADBC， AEOCFO， 在 AEO 和 CFO 中 ， AEOCFO（ASA） ， AOCO， 同法可证 EODFOB， ODOB，OAOC， 四边形 ABCD 是平行四边形 22 11 （2017 春春鞍山期末）鞍山期末）如图，在平
36、面直角坐标系中，点 M（14，0）是 x 轴上的点，点 P 的坐标是（9，12） ，连 接 OP，PM （1）求线段 PM 的长； （2）在第一象限内找一点 N，使四边形 OPNM 是平行四边形，画出图形并求出点 N 的坐标（保留作图痕迹） 【考点】两点间的距离公式；平行四边形的判定 【解答】解： （1）过 P 点作 PAx 轴于点 A， 在 Rt PAM 中，PA12，AM1495， 则 PM13； （2）如图所示：点 N 的坐标为（9+1423，12） ，即（23，12） 12 （2017 春春雅安期末）雅安期末）如图，点 C、E 分别是线段 BF、线段 CD 的中点，ADBF （1）求证
37、： ADEFCE； （2）请问四边形 ABCD 是平行四边形吗？请说明理由 【考点】全等三角形的判定与性质；平行四边形的判定 【解答】 （1）证明：ADBF DAEF，DECF， E 是 CD 的中点， DECE， 在 ADE 和 FCE 中， ， ADEFCE（AAS） 23 （2）解：是平行四边形 理由：ADEFCE， CFAD， C 是 BF 的中点， BCAD， ADBC， ADBC， 四边形 ABCD 是平行四边形 14 （2016 春春乳山市期中）乳山市期中）如图，四边形 ABCD 中，ADBC，AF，DE 分别平分BAD 和ADC，AF 与 DE 相交 于点 G，AFDE判断四边
38、形 ABCD 的形状，并证明 【考点】平行四边形的判定 【解答】解：四边形 ABCD 是平行四边形， AF，DE 分别平分BAD 和ADC， DAFBAD，ADE ADC， AFDE， AGD90 ， DAF+ADE90 ， BAD+ADC90 ， BAD+ADC180 ， ABCD， 又ADBC， 四边形 ABCD 是平行四边形 15 （2016 春春东港市期末）东港市期末）如图，在 ABC 中，ACB90 ，CDAB 垂足为 D，AE 平分CAB 交 CD 于点 F， 24 交 BC 于点 E，EHAB，垂足为 H，连接 FH 求证： （1）CFCE （2）四边形 CFHE 是平行四边形
39、【考点】角平分线的性质；平行四边形的判定 【解答】证明： （1）如图所示：ACB90 ，CDAB 垂足为 D， 1+590 ，2+390 ， 又AE 平分CAB， 12， 35， 34， 45， CFCE； （2）AE 平分CAB，CEAC，EHAB， CEEH， 由（1）CFCE， CFEH， CDAB，EHAB， CDB90 ，EHB90 ， CDBEHB， CDEH， 即 CFEH， 四边形 CFHE 是平行四边形 16 （2016 春春杭州校级期中）杭州校级期中）如图，ABM 为直角，点 C 为线段 BA 的中点，点 D 是射线 BM 上的一个动点（不 25 与点 B 重合） ，连接
40、AD，作 BEAD，垂足为 E，连接 CE，过点 E 作 EFCE，交 BD 于 F （1）求证：BFFD； （2）点 D 在运动过程中能否使得四边形 ACFE 为平行四边形？如不能，请说明理由；如能，求出此时A 的度数 【考点】平行四边形的判定 【解答】 （1）证明：BEAD， AEB90 ， 在 Rt AEB 中，点 C 为线段 BA 的中点， CEABCB， CEBCBE CEFCBF90 ， BEFEBF， EFBF BEF+FED90 ，EBD+EDB90 ， FEDEDF， EFFD BFFD （2）能理由如下： 若四边形 ACFE 为平行四边形，则 ACEF，ACEF， BCBF
41、， BABD，A45 当A45 时四边形 ACFE 为平行四边形 17 （2016钦州）钦州）如图，DE 是 ABC 的中位线，延长 DE 到 F，使 EFDE，连接 BF （1）求证：BFDC； （2）求证：四边形 ABFD 是平行四边形 【考点】三角形中位线定理；平行四边形的判定 【解答】证明： （1）连接 DB，CF， DE 是 ABC 的中位线， 26 CEBE， EFED， 四边形 CDBF 是平行四边形， CDBF； （2）四边形 CDBF 是平行四边形， CDFB， ADBF， DE 是 ABC 的中位线， DEAB， DFAB， 四边形 ABFD 是平行四边形 18 （2016
42、 春春揭西县期末）揭西县期末）已知： ABC 的中线 BD、CE 交于点 O，F、G 分别是 OB、OC 的中点求证：四边形 DEFG 是平行四边形 【考点】三角形中位线定理；平行四边形的判定 【解答】证明：如图，连接 ED、DG、GF、FE BD、CE 是 ABC 的两条中线， 点 D、E 分别是边 AC、AB 的中点， DECB，DECB； 又F、G 分别是 OB、OC 的中点， GFCB，GFCB； DEGF，且 DEGF， 四边形 DEFG 是平行四边形（对边平行且相等的四边形是平行四边形） 19 （2015 秋秋邛崃市校级月考）邛崃市校级月考）在平面直角坐标系中，点 A、B、C 的坐
43、标分别是 A（2，5） ，B（3，1） ，C （1，1）找一点 D，使四边形 ABCD 是平行四边形，求点 D 的坐标 27 【考点】坐标与图形性质；平行四边形的判定 【解答】解：两组对边分别平行的四边形是平行四边形， 可以分以下三种情况分别求出 D 点的坐标：如图所示： 当 ABCD，ADBC 时，D 点的坐标为（2，5） ； 当 ADBC，ACBD 时，D 点的坐标为（6，5） ； 当 ABCD，ACBD 时，D 点的坐标为（0，7） 故 D 点坐标为（2，5）或（6，5）或（0，7） 20 （2015 春春天河区校级期中）天河区校级期中）如图，四边形 ABCD 中，ABCD、ACBD，过
44、点 A 作 AECD 交 CB 的延长线 于点 E 求证： （1） ABCDCB； （2）四边形 AECD 为平行四边形 【考点】全等三角形的判定与性质；平行四边形的判定 【解答】证明： （1）ABDC，ACDB，BCCB， ABCDCB； （2）由（1）得，ABCDCB， AEDC， E+DCB180 ， 28 ABE+ABC180 ， EABE， ABAE， ABDC， AEDC， 又AEDC， 四边形 AECD 为平行四边形 21 （2015 春春漳州期末）漳州期末）如图，D，E 分别是 ABC 的边 AB，AC 的中点，点 O 是 ABC 内部任意一点，连接 OB， OC，点 G，F 分别是 OB，OC 的中点求证：四边形 DGFE 是平行四边形 【考点】三角形中位线定理；平行四边形的判定 【解答】证明：D、E 分别是 AB、AC 边的中点， DEBC，且 DEBC， 同理，GFBC，且 GFBC， DEGF 且 DEGF， 四
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