1、 20192019 年中考数学总复习巅峰冲刺年中考数学总复习巅峰冲刺 专题专题 2020 面积的最值问题面积的最值问题 【难点突破】着眼思路，方法点拨【难点突破】着眼思路，方法点拨, 疑难突破；疑难突破； 面积最值问题的分析思路： 1.定方向：规则图形面积直接利用面积公式；不规则图形面积分解为规则图形再表示 2定目标：确定待求条件 3定解法：解决待求条件，题目中有角度或者三角函数值。 （解直角三角形） ，题目中只有长度。 （相似） 4定最值：根据函数解析式和范围求最值。 【名师原创】原创检测，关注素养，提炼主题；【名师原创】原创检测，关注素养，提炼主题； 【原创【原创 1】等边ABC 边长为
2、6，P 为 BC 边上一点，MPN=60 ，且 PM、PN 分别于边 AB、AC 交于点 E、 F. （1）如图 1，当点 P 为 BC 的三等分点，且 PEAB 时，判断EPF 的形状； （2）如图 2，若点 P 在 BC 边上运动，且保持 PEAB，设 BP=x，四边形 AEPF 面积的 y，求 y 与 x 的函数 关系式，并写出自变量 x 的取值范围； （3）如图 3，若点 P 在 BC 边上运动，且MPN 绕点 P 旋转，当 CF=AE=2 时，求 PE 的长. 图 1 图 2 图 3 【解析】【解析】 ： （1）EPF 为等边三角形. （2）设 BP=x，则 CP6x. 由题意可 B
3、EP 的面积为 2 3 8 x. CFP 的面积为 2 3 (6) 2 x.ABC 的面积为9 3. 设四边形 AEPF 的面积为 y. 9 3y 2 3 8 x 2 3 (6) 2 x= 2 5 36 39 3 8 xx. 自变量 x 的取值范围为 3x6. （3）可证EBPPCF. BPBE CFCP .设 BP=x， 则 (6)8xx. 解得 12 4,2xx. PE 的长为 4 或2 3. 【原创 2】如图，已知一个三角形纸片ABC，BC边的长为 8，BC边上的高为6，B和C都为锐角， M为AB一动点 （点M与点AB、不重合） ， 过点M作MNBC， 交AC于点N， 在AMN中， 设M
4、N 的长为x，MN上的高为h （1）请你用含x的代数式表示h （2）将AMN沿MN折叠，使AMN落在四边形BCNM所在平面，设点A落在平面的点为 1 A， 1 AMN与四边形BCNM重叠部分的面积为y，当x为何值时，y最大，最大值为多少？ 分析： （分析： （1）定方向：）定方向：先画出分类图分类图,得到三角形和梯形两种情况，都是规则图形面积问题； （2）定目标：）定目标：三角形缺表示高 AD，梯形缺上底 EF 和梯形的高 DG； （3）定解法：）定解法：本题没有明显的角度或三角函数值，所以本题是利用相似比表示 AD，EF，DG 的长。 （4）定最值：）定最值：分解求最值，在比较大小确定最终结
5、果。 【解析】 ： （1）MNBC AMNABC 68 hx 3 4 x h （2） 1 AMNAMN 1 AMN的边MN上的高为h， 当点 1 A落在四边形BCNM内或BC边上时， 1 A MN yS = 2 1133 2248 MN hxxx（04x） 当 1 A落在四边形BCNM外时，如下图(48)x， 法法 1：高DA1=h=x 4 3 ；DG=AG-AD=6-x 4 3 , 11 EFMNAEFAMN 则 DA GA MN EF 1 1 ; 82 xEF ) 4 3 6)(82( 2 1 2 )( xxx DGMNEF y =2412 8 9 2 xx 所以 2 9 1224(48)
6、 8 yxxx 综上所述：当04x时， 2 3 8 yx，取4x ，6y 最大 当48x时， 2 9 1224 8 yxx ， 取 16 3 x ，8y 最大 当 16 3 x 时，y最大，8y 最大 法法 2： 设 1 AEF的边EF上的高为 1 h， 则 1 3 266 2 hhx 11 EFMNAEFAMN 2 ) 4 3 6 2 3 ( 1 1 x x S S MNA EFA 2412 2 3 8 3 ) 4 3 6 2 3 ( 222 1 xxx x x S EFA 11 222 339 12241224 828 A MNA EF ySSxxxxx 所以 2 9 1224(48) 8
7、 yxxx 综上所述：当04x时， 2 3 8 yx，取4x ，6y 最大 当48x时， 2 9 1224 8 yxx ， 取 16 3 x ，8y 最大 当 16 3 x 时，y最大，8y 最大 【典题精练】典例精讲，运筹帷幄，举一反三；【典题精练】典例精讲，运筹帷幄，举一反三； 【例题 1】某农场拟建一间矩形种牛饲养室，饲养室的一面靠墙(墙足够长)，已知计划中的建筑材料可建围 墙的总长为 50 m设饲养室的长为 x(m)，占地面积为 y(m2) (1)如图，问饲养室的长 x 为多少时，占地面积 y 最大？ (2)如图，现要求在图中所示位置留一个2 m宽的门，且仍使饲养室的占地面积最大，小敏
8、说：“只要饲养 室的长比(1)中饲养室的长多 2 m 就行了”请你通过计算，判断小敏的说法是否正确 解：(1)yx 50x 2 1 2(x25) 2625 2 ， 当 x25 时，y 最大， 即当饲养室的长为 25 m 时，占地面积 y 最大 (2)yx 50（x2） 2 1 2(x26) 2338， 当 x26 时，y 最大，即当饲养室的长为 26 m 时，占地面积 y 最大 262512，小敏的说法不正确 【例题【例题2】 如图，现有一张边长为4的正方形纸片ABCD，点P为正方形AD边上的一点(不与点A，D重合)， 将正方形纸片折叠，使点 B 落在 P 处，点 C 落在 G 处，PG 交
9、DC 于点 H，折痕为 EF，连结 BP，BH. (1)求证：APBBPH. (2)当点 P 在边 AD 上移动时，PDH 的周长是否发生变化？并证明你的结论 (3)设 AP 为 x，四边形 EFGP 的面积为 S，求出 S 关于 x 的函数表达式，试问 S 是否存在最小值？若存在， 求出这个最小值；若不存在，请说明理由 解：(1)由折的叠性质，得 PEBE，EPHEBC90 ，EBPEPB， EPHEPBEBCEBP，即PBCBPH. 又ADBC，APBPBC. APBBPH. (2)PHD 的周长不变，为定值 8.证明如下： 如解图，过点 B 作 BQPH，垂足为 Q. 由(1)知APBB
10、PH， 又ABQP90 ，BPBP， ABPQBP.APQP，ABBQ. 又ABBC，BCBQ. 又CBQH90 ，BHBH， BCHBQH.CHQH. PDH 的周长PDPHDHPDPQQHDHPDHCAPDHADCD8. (3)如解图，过点 F 作 FMAB，垂足为 M，则 FMBCAB. 又EF 为折痕，EFBP. EFMMEFABPBEF90 ， EFMABP. 又AEMF90 ，EFMPBA. EMAPx. 在 RtAPE 中，AE2AP2PE2，即(4BE)2x2BE2， 解得 BE2x 2 8. CFBEEM2x 2 8x. 又四边形 PEFG 与四边形 BEFC 全等， S1
11、2(BECF) BC 1 2 4x 2 4x 4， 即 S1 2x 22x8. 配方得，S1 2(x2) 26， 当 x2 时，S 有最小值 6. 【最新试题】名校直考，巅峰冲刺，一步到位。【最新试题】名校直考，巅峰冲刺，一步到位。 1. 如图，在四边形 ABCD 中，ABC90 ，ABBC2 2，E，F 分别是 AD，CD 的中点，连结 BE， BF，EF.若四边形 ABCD 的面积为 6，则BEF 的面积为( ) A2 B 4 3 C 5 2 D 【解析】连结 AC，过 B 作 EF 的垂线交 AC 于点 G，交 EF 于点 H，ABC90 ，ABBC2 2，AC AB2AC2（2 2）2
12、（2 2）24，ABC 为等腰三角形，BHAC，ABG，BCG 为等腰 直角三角形，AGBG2， SABC1 2AB BC 1 2 2 2 2 24，SADC2， SABC SACD2，GH 1 4BG 1 2，BH 5 2，又EF 1 2 AC2，SBEF1 2EF BH 1 2 2 5 2 5 2,故选 C。 2. 如图， 边长为 1 的正方形 ABCD 绕点 A 逆时针旋转 30 到正方形 ABCD， 图中阴影部分的面积为 （ ） A B C1 D1 【分析】设 BC与 CD 的交点为 E，连接 AE，利用“HL”证明 RtABE 和 RtADE 全等，根据全等三角形 对应角相等DAE=
13、BAE，再根据旋转角求出DAB=60，然后求出DAE=30 ，再解直角三角形求出 DE，然后根据阴影部分的面积=正方形 ABCD 的面积四边形 ADEB的面积，列式计算即可得解 【解答】解：如图，设 BC与 CD 的交点为 E，连接 AE， 在 RtABE 和 RtADE 中， RtABERtADE（HL）， DAE=BAE， 旋转角为 30 ， DAB=60， DAE= 60 =30 ， DE=1=， 阴影部分的面积=1 12 （ 1）=1 故选：C 3. （2017 山东泰安） 如图， 在ABC 中， C=90 ， AB=10cm， BC=8cm， 点 P 从点 A 沿 AC 向点 C 以
14、 1cm/s 的速度运动，同时点 Q 从点 C 沿 CB 向点 B 以 2cm/s 的速度运动（点 Q 运动到点 B 停止） ，在运动过程中， 四边形 PABQ 的面积最小值为（ ） A19cm2 B16cm2 C15cm2 D12cm2 【分析】在 RtABC 中，利用勾股定理可得出 AC=6cm，设运动时间为 t（0t4） ，则 PC=（6t）cm， CQ=2tcm，利用分割图形求面积法可得出 S四边形PABQ=t26t+24，利用配方法即可求出四边形 PABQ 的面积 最小值，此题得解 【解答】解：在 RtABC 中，C=90 ，AB=10cm，BC=8cm， AC=6cm 设运动时间为
15、 t（0t4） ，则 PC=（6t）cm，CQ=2tcm， S四边形PABQ=SAB CSCPQ= ACBCPCCQ= 6 8（6t） 2t=t 26t+24=（t3）2+15， 当 t=3 时，四边形 PABQ 的面积取最小值，最小值为 15 故选 C 4. 用铝合金型材做一个形状如图 1 的矩形窗框，设窗框的一边为 xm，窗户的透光面积为 ym2，y 与 x 的函 数图象如图 2当窗户透光面积最大时，窗框的另一边长是（ ） A1 米 B1.5 米 C2 米 D2.5 米 【分析】因为 x=1 时，面积最大，为 1.5，根据图形是矩形，由面积公式易得另一边为 1.5 米 【解答】解：由图象可
16、知，当 x=1 时，窗户透光面积最大 因为最大透光面积是 1.5 平方米，即矩形的最大面积是 1.5 平方米，此时 x=1 米， 根据矩形面积计算公式，另一边为 1.5 米 故选：B 5. 如图（单位：m），等腰三角形 ABC 以 2 米/秒的速度沿直线 L 向正方形移动，直到 AB 与 CD 重合设 x 秒时，三角形与正方形重叠部分的面积为 ym2则 y 与 x 的关系式为 y=2x2 ，当重叠部分的面积是正 方形面积的一半时，三角形移动时间是 5 秒 【分析】（1）根据题意可知，三角形与正方形重合部分是个等腰直角三角形，且直角边都是 2x，据此可得 出 y、x 的函数关系式； （2）将正方
17、形的面积的一半代入（1）的函数关系式中，即可求得 x 的值（其实此时 AB 与 DC 重合，也 就是说等腰三角形运动的距离正好是正方形的边长 10m，因此 x=5） 【解答】解：三角形与正方形重合部分是个等腰直角三角形，且直角边都是 2x， y=2x2； 当 y=50 时，2x2=50， x2=25， x=5（负值舍去） 故答案是：y=2x2，5 秒 6. 如图 1，在平面直角坐标系中，直线 1 1 2 yx 与抛物线 yax2bx3 交于 A、B 两点，点 A 在 x 轴上， 点 B 的纵坐标为 3点 P 是直线 AB 下方的抛物线上的一动点（不与点 A、B 重合） ，过点 P 作 x 轴的
18、垂线 交直线 AB 于点 C，作 PDAB 于点 D （1）求 a、b 及 sinACP 的值； （2）设点 P 的横坐标为 m 用含 m 的代数式表示线段 PD 的长，并求出线段 PD 长的最大值； 连结PB， 线段PC把PDB分成两个三角形， 是否存在适合的m的值， 使这两个三角形的面积比为910？ 若存在，直接写出 m 的值；若不存在，请说明理由 图 1 【解析】 （1）设直线 1 1 2 yx与 y 轴交于点 E，那么 A(2,0)，B(4,3)，E(0,1) 在 RtAEO 中，OA2，OE1，所以5AE 所以 2 5 sin 5 AEO 因为 PC/EO，所以ACPAEO因此 2
19、5 sin 5 ACP 将 A(2,0)、B(4,3)分别代入 yax2bx3，得 4230, 16433. ab ab 解得 1 2 a ， 1 2 b （2）由 2 11 ( ,3) 22 P mmm ， 1 ( ,1) 2 C mm ， 得 22 1111 (1)(3)4 2222 PCmmmmm 所以 22 2 52 5159 5 sin(4)(1) 55255 PDPCACPPCmmm 所以 PD 的最大值为 9 5 5 （3）当 SPCDSPCB910 时， 5 2 m ； 当 SPCDSPCB109 时， 32 9 m 图 2 7. （2017黑龙江）如图，已知抛物线 y=x2+
20、mx+3 与 x 轴交于点 A、B 两点，与 y 轴交于C 点，点 B 的 坐标为（3，0） ，抛物线与直线 y=x+3 交于 C、D 两点连接 BD、AD （1）求 m 的值 （2）抛物线上有一点 P，满足 SABP=4SABD，求点 P 的坐标 【分析】 （1）利用待定系数法即可解决问题； （2）利用方程组首先求出点 D 坐标由面积关系，推出点 P 的纵坐标，再利用待定系数法求出点 P 的坐标 即可； 【解答】解： （1）抛物线 y=x2+mx+3 过（3，0） ， 0=9+3m+3， m=2 （2）由，得， D（，） ， SABP=4SABD， AB |yP|=4 AB ， |yP|=9
21、，yP= 9， 当 y=9 时，x2+2x+3=9，无实数解， 当 y=9 时，x2+2x+3=9，x1=1+，x2=1， P（1+，9）或 P（1，9） 8. 如图 1，在平面直角坐标系中，抛物线 yax2bx3（a0）与 x 轴交于 A(2, 0)、B(4, 0)两点，与 y 轴交于点 C （1）求抛物线的解析式； （2）点 P 从点 A 出发，在线段 AB 上以每秒 3 个单位长度的速度向点 B 运动，同时点 Q 从点 B 出发，在线 段 BC 上以每秒 1 个单位长度的速度向点 C 运动其中一个点到达终点时，另一个点也停止运动当PBQ 存在时，求运动多少秒时PBQ 的面积最大，最大面积
22、是多少？ （3）当PBQ 的面积最大时，在 BC 下方的抛物线上存在点 K，使 SCBKSPBQ52，求点 K 的坐标 图 1 【解析】 （1）因为抛物线与 x 轴交于 A(2, 0)、B(4, 0)两点，所以 ya(x2)(x4) 所以8a3解得 3 8 a 所以抛物线的解析式为 3 (2)(4) 8 yxx 2 33 3 84 xx （2）如图 2，过点 Q 作 QHx 轴，垂足为 H 在 RtBCO 中，OB4，OC3，所以 BC5，sinB 3 5 在 RtBQH 中，BQt，所以 QHBQsinB 3 5 t 所以 SPBQ 2 11399 (63 )(1) 2251010 BP Q
23、Httt 因为 0t2，所以当 t1 时，PBQ 的面积最大，最大面积是 9 10 。 （3）当PBQ 的面积最大时，t1，此时 P 是 AB 的中点，P(1, 0)，BQ1。 如图 3，因为PBC 与PBQ 是同高三角形，SPBCSPBQBCBQ51。 当 SCBKSPBQ52 时，SPBCSCBK21。 因为PBC 与CBK 是同底三角形，所以对应高的比为 21。 如图 4，过 x 轴上的点 D 画 CB 的平行线交抛物线于 K，那么 PBDB21。 因为点 K 在 BC 的下方，所以点 D 在点 B 的右侧，点 D 的坐标为 11 (,0) 2 过点 K 作 KEx 轴于 E设点 K 的
24、坐标为 3 ( ,(2)(4) 8 xxx 由 KECO DEBO ，得 3 (2)(4) 3 8 9 4 2 xx x 整理，得 x24x30 解得 x1，或 x3所以点 K 的坐标为 27 (1,) 8 或 15 (3,) 8 图 2 图 3 图 4 第（3）题也可以这样思考： 由 SCBKSPBQ52，SPBQ 9 10 ，得 SCBK 9 4 如图 5，过点 K 作 x 轴的垂线交 BC 于 F设点 K 的坐标为 2 33 ( ,3) 84 xxx 由于点 F 在直线 BC： 3 3 4 yx上所以点 F 的坐标为 3 ( ,3) 4 xx 所以 KF 22 33333 (3)(3)
25、48482 xxxxx CBK 被 KF 分割为CKF 和BKF，他们的高的和为 OB4 所以 SCBK 2 1339 4() 2824 xx解得 x1，或 x3 图 5 9. 如图所示，现有一张边长为 4 的正方形纸片ABCD，点P为正方形AD边上的一点(不与点A、D点重 合).将正方形纸片折叠， 使点B落在P处， 点C落在G处，PG交DC于H， 折痕为EF， 连结BP、BH. (1)求证:APBBPH . (2)当点P在边AD上移动时，PDH的周长是否发生变化?并证明你的结论. (3)设AP为x，四边形EFGP的面积为S，试问S是否存在最小值?若存在，求出这个最小值;若不存在， 请说明理由
26、. 解析： (1)注意到/ADBC，那么APBPBC . 因为四边形EFCB沿拆痕EF折叠后与四边形EFGP重合， PBCBPH ， APBBPH . (2)如图 8，过点B作BQPH于点Q. APBBPH ， 点B在APH的平分线上， BQBABC， Rt ABPRt QBP，Rt BCHRt BQH， QPAP，QHCH， PHAPCH PDH的周长()8DPAPCHDHADCD. 所以点P在边AD上移动时，PDH的周长不会发生变化. (3)假设四边形EFGP的面积S存在最小值.由于四边形EFCB沿折痕EF折叠后与四边形EFGP重合，则 2 BECF SBC g. 90A ， 222 AP
27、AEPE. APx，4PEBEAE， 222 (4)xAEAE， 2 16 8 x AE ， 2 16 4 8 x BEAE . 过点F作FMAB，垂足为M， 则FMBCAB，CFBM. EF为折痕，点B与点P是一对对应点， EFBP， 90PBAEFM. 90EFMFEM， PBAEFM . 90AEMF ， PABEMF . MEAPx， 2 168 8 xx CFBEME . 2 BECF SBC g 2 1 28 2 xx 2 1 (2)6 2 x. 因为当2x 时，S的最小值为 6, 所以四边形EFGP的面积S存在最小值为 6. 10.如图 1，在平面直角坐标系中，已知抛物线 y=a
28、x2+bx5 与 x 轴交于 A（1，0） ，B（5，0）两点，与 y 轴交于点 C （1）求抛物线的函数表达式； （2）如图 2，CEx 轴与抛物线相交于点 E，点 H 是直线 CE 下方抛物线上的动点，过点 H 且与 y 轴平行 的直线与 BC，CE 分别相交于点 F，G，试探究当点 H 运动到何处时，四边形 CHEF 的面积最大，求点 H 的坐标； （3）若点 K 为抛物线的顶点，点 M（4，m）是该抛物线上的一点，在 x 轴，y 轴上分别找点 P，Q，使四 边形 PQKM 的周长最小，求出点 P，Q 的坐标 【答案】 （1）解：把 A(-1，0)，B(5，0)代入 y=ax2+bx-5
29、 得 ，解得 二次函数的表达式为 y=x2-4x-5 （2）解：如图 2， 设 H(t，t2-4t-5)， CE|x 轴，-5=x2-4x-5，解得，x1=0，x2=4， E(4，-5)，CE=4， B(5，0)，C(0，-5)， ， 直线 BC 的解析式为 y2=x-5，F(t，t-5)， CE|x 轴，HF|y 轴，CEHF， 四边形 CHEF 的面积= )2+ ， H( . （3）解：如图 3， 点 K 为顶点，K(2，-9)， 点 K 关于 y 轴的对称点 K的坐标为(-2，-9) M(4，m)，M(4，-5)， 点 M 关于 x 轴的对称点 M的坐标为(4，5) 设直线 KM的解析式
30、为 y3=a3x+b3 ， ， 直线 BC 的解析式为 y3= ， P，Q 的坐标分别为 P( ，0)，Q(0，- . 【考点】 待定系数法求一次函数解析式， 待定系数法求二次函数解析式， 二次函数图像与坐标轴的交点问题， 轴对称的应用-最短距离问题，二次函数的实际应用-动态几何问题 【解析】【分析】（1） 由题意把A(-1， 0)， B(5， 0)代入y=ax2+bx-5得关于a、 b的方程组， 0=ab5 ， 0=25a+5b5 ， 解得 a=1 ，b=4 ，所以二次函数的表达式为 y=x2-4x-5； （2）由题意可设设 H(t，t2-4t-5)，因为 CE|x 轴，所以 C、E 两点的
31、纵坐标相等，即-5=x2-4x-5，解得，x1=0， x2=4，E(4，-5)，所以 CE=4，根据已知条件用待定系数法可求得直线 BC 的解析式为 y2=x-5，则 F(t，t-5)， 而 CE|x 轴，HF|y 轴，所以 CEHF，则 FH=t-5-（t2-4t-5）=-,所以四边形 CHEF 的面积= CE HF=4(-)= 2 ( t )2+， 所以 H（， -） ； （3） 要使四边形 PQKM 的周长最小， 只须使 PM+PQ+KQ 最小即可。 由 （1） 知二次函数的表达式为 y=x2-4x-5， 配成顶点式为 y=,所以顶点 K 的坐标为（2，-9） ；则点 K 关于 y 轴的对称点 K的坐标为(-2，-9)， 因为点 M（4，m）是该抛物线上的一点，所以可得 M（4，-5） ，则点 M 关于 x 轴的对称点 M的坐标为(4， 5)；设直线 KM的解析式为 y3=a3x+b3 ， 将 K(-2，-9)和 M(4，5)代入可得方程组9=2a3+b3，5=4a3+b3， 解得,所以直线 KM的解析式为， 而直线 KM交 x 轴于点 P，所以 P（， 0） ，直线 KM交 y 轴于点 Q，所以 Q（0，-）.
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