1、 20192019 年中考数学总复习巅峰冲刺年中考数学总复习巅峰冲刺 专题专题 1717 图形变换性问题图形变换性问题 【难点突破】着眼思路，方法点拨【难点突破】着眼思路，方法点拨, 疑难突破；疑难突破； 平移解题要领：关键是确定图形平移的方向和距离，从一个点或一条线段的平移前后的变化，归纳出 平移的规律，进而得出图形其他部分的平移变化 折叠解题要领：图形的折叠本质上就是轴对称问题，根据轴对称的性质，可探求出图形变换前后的 等量关系；求解线段和最小值问题，本质上就是两点间线段最短(间接运用三角形三边大小关系)，通过点 的轴对称变换，把线段和转化为某一条线段求解，选择作适当的点的轴对称点往往是解
2、题的突破口 旋转解题要领：由旋转角相等，可以得到等角，由对应点到旋转中心的距离相等，可以得到线段相 等和等腰三角形；由图形的旋转求线段长时，常常用到勾股定理、锐角三角函数，全等三角形及相似三 角形的判定与性质；图形的旋转常常与求解弧长或扇形的面积整合在一起，注意学习运用 相似解题要领：证明两个三角形相似，最常用的方法：一是利用平行线构造相似三角形，二是两个 角对应相等证明两三角形相似；探求两个三角形相似的条件时，根据确定的已知条件，不拘泥于现成的 图形，充分考虑三角形相似的情形具体性质有：相似三角形对应线段的比等于相似比，其中只要说明 两线段是对应线段，就可以直接运用性质定理；利用相似三角形的
3、性质求面积时，不要忽视“相似比的平 方” 位似解题要领：利用点的坐标表示位似变换时，一般地是以原点为位似中心，但是，要注意位似中 心不是原点的情况；求位似图形相应点的坐标时，要注意是缩小还是扩大，是一种还是两种情形 【名师原创】原创检测，关注素养，提炼主题；【名师原创】原创检测，关注素养，提炼主题； 【原创】【原创】在平面直角坐标系中，抛物线 2 9 4 yaxxc与 y 轴交于点 A(0，6)，与x轴的正半轴交于点 B(8， 0)，连接 AB，将线段 AB 绕着点 A 顺时针旋转，点 B 恰好落在 y 轴 C 点处，试解答下列问题： (1)这条抛物线的解析式； (2)求sinBAC的值； (
4、3)在抛物线上存在点 H，使得点 H 到 A、B 两点的距离相等，求点 H 的横坐标。 解析： （1）因为已知条件中 A、B 两点坐标，故可代入抛物线解析式，列二元一次方程组解得即可得到抛 物线解析式； （2）求三角函数值，首先要把角放在某一直角三角形内，故作 AB 边上的高 CD，如何求 CD 的值，借用面积法，从不同方法求解三角形 ABC 的面积，一是包围法：三角形 ABC 的面积 =AE AG- 1 2 BG AG- 1 2 CF BF- 1 2 EC AE， 二是直接利用面积公式： 三角形 ABC 的面积= 1 2 AB CD， 解得 CD 的值即可得到答案； （3）求点 H 到两端点
5、的距离，考虑到其一定在 AB 的垂直平分线上，故先求 垂直平分线的解析式，需要两个点的条件，可先利用勾股定理求得 x 轴上的一点，从而确定两点求得解析 式，代入抛物线解析式解得 x 的值，即可得到 H 的横坐标。 解： （1）抛物线 2 9 4 yaxxc过点 A（0，,6） 、B（8，0） 故有 6 64180 c ac 解得： 6 3 8 c a 此抛物线的解析式为： 2 39 6 84 yxx （2）因为 AB= 22 68=10，故 AC=10， 2 b a = 9 4 3 2 () 8 =3，AE= 22 103=91 作 CDAB，利用等面积法，作如图辅助线可得： 三角形 ABC
6、的面积= 1 2 AB CD=AE AG- 1 2 BG AG- 1 2 CF BF- 1 2 EC AE EC=3，CF=5，BF=91-6，GB=6，AG=8 可解得 CD= 4 91 9 5 sinBAC= CD AC = 4 91 9 50 (3)因为点 A 的坐标为(0，6)，点 B 的坐标为(8，0)，点 H 到 A、B 两点的距离相等，则点 H 一定在线段 AB 的垂直平分线上，平分线一定过点（4,3） 设垂直平分线交 x 轴于点（x,0）,则有 62+x2=（8-x）2 解得：x= 7 4 ，则 AB 的垂直平分线过点（ 7 4 ，0） ，（4,3）， 令其解析式为 y=kx+
7、b,将点的坐标代入得： 43 7 0 4 kb kb ，解得：k= 4 3 ,b= 7 3 即：y= 4 3 x 7 3 ，代入抛物线解析式 2 39 6 84 yxx 有 2 39 6 84 xx = 47 33 x ，化简为： 2 9222000xx 解得： 1 111921 9 x ， 2 111921 9 x 故点 H 的横坐标为11 1921 9 或11 1921 9 。 【典题【典题精练】典例精讲，运筹帷幄，举一反三；精练】典例精讲，运筹帷幄，举一反三； 【例题【例题 1】如图，在平面直角坐标系中，ABC 的三个顶点分别为 A（1，1）、B（3，3）、C（4， 1） （1）画出AB
8、C 关于 y 轴对称的A1B1C1，并写出点 B 的对应点 B1的坐标； （2）画出ABC 绕点 A 按顺时针旋转 90 后的AB2C2，并写出点 C 的对应点 C2的坐标 【分析】（1）分别作出点 A，B，C 关于 y 轴的对称点，再首尾顺次连接即可得； （2）分别作出点 B，C 绕点 A 按顺时针旋转 90 后所得对应点，再首尾顺次连接可得 【解答】解：（1）如图（1）所示，A1B1C1即为所求，其中 B1的坐标为（3，3） （2）如图（2）所示，AB2C2即为所求，C2的坐标为（1，2） 【点评】本题主要考查作图旋转变换和轴对称变换，解题的关键是熟练掌握轴对称变换与旋转变换的定 义和性质
9、，并据此得出变换后的对应点 【例题【例题 2】已知AOB=90 ，在AOB 的平分线 OM 上有一点 C，将一个三角板的直角顶点与 C 重合，它 的两条直角边分别与 OA、 OB（或它们的反向延长线）相交于点 D、E （1）当三角板绕点 C 旋转到 CD 与 OA 垂直时（如图 1），易证：OD+OE=OC； （2）当三角板绕点 C 旋转到 CD 与 OA 不垂直时，在图 2、图 3 这两种情况下，上述结论是否还成立？若 成立，请给予证明；若不成立，线段 OD、OE、OC 之间又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需证明 【考点】旋转的性质；全等三角形的性质；全等三角形的判定；勾股定理 【专题
10、】探究型 【分析】（1）CD 与 OA 垂直时，根据勾股定理易得 OC 与 OD、OE 的关系，将所得的关系式相加即可得 到答案 （2） 当三角板绕点 C 旋转到 CD 与 OA 不垂直时， 易得CKDCHE， 进而可得出证明； 判断出结果 解 此题的关键是根据题意找到全等三角形或等价关系，进而得出 OC 与 OD、OE 的关系；最后转化得到结论 【解答】解：（1）当 CD 与 OA 垂直时， CDO 为 Rt， OC= ， ， 由题意得四边形 ODCE 是正方形， OD+OE=OD+OD=2OD， OD+OE= （2）过点 C 分别作 CKOA，垂足为 K，CHOB，垂足为 H OM 为AO
11、B 的角平分线，且 CKOA，CHOB， CK=CH，CKD=CHE=90 ， 又1 与2 都为旋转角， 1=2， CKDCHE， DK=EH， OD+OE=OD+OH+EH=OD+OH+DK=OH+OK 由（1）知：OH+OK=， OD+OE= （3）结论不成立 过点 C 分别作 CKOA， CHOB， OC 为AOB 的角平分线，且 CKOA，CHOB， CK=CH，CKD=CHE=90 ， 又KCD 与HCE 都为旋转角， KCD=HCE， CKDCHE， DK=EH， OEOD=OH+EHOD=OH+DKOD=OH+OK， 由（1）知：OH+OK=， OD，OE，OC 满足 【例题【例
12、题 3】已知：如图，在四边形 ABCD 中，AD=BC，A、B 均为锐角。 （1）当A=B 时，则 CD 与 AB 的位置关系是 CD AB，大小关系是 CD AB； （2）当AB 时， （1）中 CD 与 AB 的大小关系是否还成立，证明你的结论。 分析：（1）如图 1，需要根据题意画出图，然后做 DE 平行于 BC，推出B=AED，结合题意A=AED， 推出四边形 CBED 为平行四边形，继而推出 DC 平行且等于 BE，由于 BE 小于 AB，继而推出（1）的结论； （2）根据要求证的结论，可以通过作辅助线的形式把 DC，AB 等有关的线段引入到同一个三角形中，再通 过三角形的三遍关系论
13、证结论是否成立如图 2，分别过点 D、B 作 BC、CD 的平行线，两线交于 F 点，作 ADF 的平分线交 AB 于 G 点，连接 GF，推出四边形 BCDF 为平行四边形，可推出 BC=DF=AD，继而推 出ADGFDG，可得出 AG=FG，CD=FB，那么 FG+BGBF?AG+BGDC?DCAB （1）如图 1，CDAB，CDAB。 （2）CDAB 还成立。 证明如下：如图 2，分别过点 D、B 作 BC、CD 的平行线，两线交于 F 点。 四边形 DCBF 为平行四边形。 .,FBDCBCFD AD=BC， AD=FD。 作ADF 的平分线交 AB 于 G 点，连接 GF。 ADG=
14、FDG。 在ADG 和FDG 中 , , , DGDG FDGADG FDAD ADGFDG， AG=FG。 在BFG 中，BFBGFG。 .DCBGAG DCAB。 点评：本题主要考查了平行四边形判定定理，平行四边形性质，三角形三边关系，全等三角形的性质及判 定定理的综合应用 【例题【例题 4】在ABC 中，ABC45 ，BC4，tanC3，AHBC 于点 H，点 D 在 AH 上，且 DHCH， 连接 BD （1）如图 1，将BHD 绕点 H 旋转，得到EHF（点 B、D 分别与点 E、F 对应），连接 AE，当点 F 落在 AC 上时（F 不与 C 重合），求 AE 的长； （2）如图
15、2，EHF 是由BHD 绕点 H 逆时针旋转 30 得到的，射线 CF 与 AE 相交于点 G，连接 GH，试 探究线段 GH 与 EF 之间满足的等量关系，并说明理由 【分析】 （1）先根据 tanC3，求出 AH3，CH1，然后根据EHAFHC，得到 HP3AP，AE2AP， 最后用勾股定理即可； （2）先判断出AGQCHQ，得到，然后判断出AQCGQH，用相似比即可 【解答】（1）如图， 在 RtAHC 中， tanC3， 3， 设 CHx， BHAH3x， BC4， 3x+x4， x1， AH3，CH1， 由旋转知，EHFBHDAHC90 ，EHAH3，CHDHFH， EHF+AHFA
16、HC+AHF， EHAFHC， EHAFHC， EAHC， tanEAHtanC3， 过点 H 作 HPAE， HP3AP，AE2AP， 在 RtAHP 中，AP2+HP2AH2， AP2+（3AP）29， AP， AE； （2）如图 1， EHF 是由BHD 绕点 H 逆时针旋转 30 得到， HDHF，AHF30 CHF90 +30 120 ， 由（1）有，AEH 和FHC 都为等腰三角形， GAHHCG30 ， CGAE， 点 C，H， G，A 四点共圆， CGHCAH， 设 CG 与 AH 交于点 Q， AQCGQH， AQCGQH， ， EHF 是由BHD 绕点 H 逆时针旋转 30
17、 得到， EFBD， 由（1）知，BDAC， EFAC 2 即：EF2HG， 【点评】此题是几何变换综合题，主要考查了旋转的性质，全等三角形的性质和判定，相似三角形的性质 和判定，勾股定理，锐角三角函数的意义，等腰三角形的判定和性质，解本题的关键是相似三角形性质和 判定的运用 【最新试题】名校直考，巅峰冲刺，一步到位。【最新试题】名校直考，巅峰冲刺，一步到位。 一、选择题： 1. （2017 山东聊城）山东聊城）如图，将ABC 绕点 C 顺时针旋转，使点 B 落在 AB 边上点 B处，此时，点 A 的对 应点 A恰好落在 BC 边的延长线上，下列结论错误的（ ） ABCB=ACA BACB=2
18、B CBCA=BAC DBC 平分BBA 【分析】根据旋转的性质得到BCB=ACA，故 A 正确，根据等腰三角形的性质得到B=BBC，根据 三角形的外角的性质得到ACB=2B，等量代换得到ACB=2B，故 B 正确；等量代换得到 ABC=BBC，于是得到 BC 平分BBA，故 D 正确 【解答】解：根据旋转的性质得，BCB和ACA都是旋转角，则BCB=ACA，故 A 正确， CB=CB， B=BBC， 又ACB=B+BBC， ACB=2B， 又ACB=ACB， ACB=2B，故 B 正确； ABC=B， ABC=BBC， BC 平分BBA，故 D 正确； 故选 C 2. 如图，在正方形网格中，
19、线段 AB是线段 AB 绕某点逆时针旋转角 得到的，点 A与 A 对应，则角 的 大小为（ ） A30 B60 C90 D120 【分析】根据题意确定旋转中心后即可确定旋转角的大小 【解答】解：如图： 显然，旋转角为 90 ， 故选 C 3. 如图，在 RtABC 中，ACB=90 ，将ABC 绕顶点 C 逆时针旋转得到ABC，M 是 BC 的中点，P 是 AB的中点，连接 PM若 BC=2，BAC=30 ，则线段 PM 的最大值是（ ） A4 B3 C2 D1 【分析】如图连接 PC思想求出 PC=2，根据 PMPC+CM，可得 PM3，由此即可解决问题 【解答】解：如图连接 PC 在 Rt
20、ABC 中，A=30 ，BC=2， AB=4， 根据旋转不变性可知，AB=AB=4， AP=PB， PC=AB=2， CM=BM=1， 又PMPC+CM，即 PM3， PM 的最大值为 3（此时 P、C、M 共线） 故选 B 4. 如图，抛物线 2 45 7 2 1 2 xxy与 x 轴的交于点 A、B，把抛物线在 x 轴即其下方的部分记作 C1，将 C1向左平移得 C2，C2与 x 轴的交于点 B、D若直线mxy 2 1 与 C1、C2共有三个不同的交点，则 m 的 取值范围是（ C ） A. 2 5 -m 8 45 B. 2 1 -m 8 29 C. 2 5 -m 8 29 D. 2 1
21、-m 8 45 解析:在 y 2 45 7 2 1 2 xx中，令 y0，解得 x19,x25，点 A，B 的坐标分别为（9，0） ， （5，0） C2 是由C1向左平移得到的， 点D 的坐标为 （1， 0） ， C2对应的函数解析式为 y23 2 1 2 ）（x 2 5 3 2 1 2 xx （1x5） 当直线 ymx 2 1 与 C2相切时，可知关于 x 的一元二次方程 2 5 3 2 1 2 xxmx 2 1 有两个 相等的实数根，即方程 x27x52m0 有两个相等的实数根，（7）24 1 （52m）0，解 得 m 8 29 当直线 ymx 2 1 过点 B 时， 可得 0m5 2 1
22、 ， 解得 m 2 5 如图， 故当 8 29 m 2 5 ， 直线 ymx 2 1 与 C1，C2共有 3 个不同的交点 5. 如图，P 为等边三角形 ABC 内的一点，且 P 到三个顶点 A，B，C 的距离分别为 3，4，5，则ABC 的面 积为（ ） A B C D 【分析】将BPC 绕点 B 逆时针旋转 60 得BEA，根据旋转的性质得 BEBP4，AEPC5，PBE 60 ， 则BPE 为等边三角形， 得到 PEPB4， BPE60 ， 在AEP 中， AE5， 延长 BP， 作 AFBP 于点 FAP3， PE4， 根据勾股定理的逆定理可得到APE 为直角三角形， 且APE90 ，
23、 即可得到APB 的度数， 在直角APF 中利用三角函数求得 AF 和 PF 的长， 则在直角ABF 中利用勾股定理求得 AB 的长， 进而求得三角形 ABC 的面积 【解答】解：ABC 为等边三角形， BABC， 可将BPC 绕点 B 逆时针旋转 60 得BEA，连 EP，且延长 BP，作 AFBP 于点 F如图， BEBP4，AEPC5，PBE60 ， BPE 为等边三角形， PEPB4，BPE60 ， 在AEP 中，AE5，AP3，PE4， AE2PE2+PA2， APE 为直角三角形，且APE90 ， APB90 +60 150 APF30 ， 在直角APF 中，AFAP，PFAP 在
24、直角ABF 中，AB2BF2+AF2（4+）2+（）225+12 则ABC 的面积是AB2（25+12） 故选：A 二、填空题： 6. 如图， 将AOB绕点O按逆时针方向旋转 45 后得到AOB， 若AOB15 ， 则AOB的度数是 30 【分析】根据旋转的性质旋转前后图形全等以及对应边的夹角等于旋转角，进而得出答案即可 【解答】解：将AOB 绕点 O 按逆时针方向旋转 45 后得到AOB， AOA45 ，AOBAOB15 ， AOBAOAAOB45 15 30 ， 故答案是：30 . 7.ABC 是等边三角形，点 O 是三条高的交点若ABC 以点 O 为旋转中心旋转后能与原来的图形重合， 则
25、ABC 旋转的最小角度是 120 【分析】根据旋转的性质及等边三角形的性质求解 【解答】解：若ABC 以 O 为旋转中心，旋转后能与原来的图形重合， 根据旋转变化的性质，可得ABC 旋转的最小角度为 180 60 =120 故答案为：120 8. （2017 张家界）如图，在正方形 ABCD 中，AD=2，把边 BC 绕点 B 逆时针旋转 30 得到线段 BP，连 接 AP 并延长交 CD 于点 E，连接 PC，则三角形 PCE 的面积为 610 【考点】R2：旋转的性质；LE：正方形的性质 【分析】根据旋转的想知道的 PB=BC=AB，PBC=30 ，推出ABP 是等边三角形，得到BAP=6
26、0 ， AP=AB=2，解直角三角形得到 CE=22，PE=42，过 P 作 PFCD 于 F，于是得到结论 【解答】解：四边形 ABCD 是正方形， ABC=90 ， 把边 BC 绕点 B 逆时针旋转 30 得到线段 BP， PB=BC=AB，PBC=30 ， ABP=60 ， ABP 是等边三角形， BAP=60 ，AP=AB=2， AD=2， AE=4，DE=2， CE=22，PE=42 ， 过 P 作 PFCD 于 F， PF=PE=2 3， 三角形 PCE 的面积=CEPF= （22） （42）=6 10， 故答案为：610 9. 如图，在平面鱼角坐标系 xOy 中，A（3，0），点
27、 B 为 y 轴正半轴上一点，将线段 AB 绕点 B 旋转 90 至 BC 处，过点 C 作 CD 垂直 x 轴于点 D，若四边形 ABCD 的面积为 36，则线 AC 的解析式为 【分析】过 C 作 CEOB 于 E，则四边形 CEOD 是矩形，得到 CEOD，OECD，根据旋转的性质得到 ABBC，ABC90 ，根据全等三角形的性质得到 BOCE，BEOA，求得 OABE3，设 ODa，得 到 CDOE|a3|，根据面积公式列方程得到 C（6，9）或（6，3），设直线 AB 的解析式为 ykx+b， 把 A 点和 C 点的坐标代入即可得到结论 【解答】解：过 C 作 CEOB 于 E， 则
28、四边形 CEOD 是矩形， CEOD，OECD， 将线段 AB 绕点 B 旋转 90 至 BC 处， ABBC， ABC90 ， ABO+CBOABO+BAO90 ， ABOBCE， AOBBEC90 ， ABOBCO（AAS）， BOCE，BEOA， A（3，0）， OABE3， 设 ODa， CDOE|a3|， 四边形 ABCD 的面积为 36， AOOB+（CD+OB）OD 3 a+（a3+a） a36， a 6， C（6，9）或（6，3）， 设直线 AB 的解析式为 ykx+b， 把 A 点和 C 点的坐标代入得，或， 解得：或， 直线 AB 的解析式为 yx+1 或 y3x9 故答案
29、为：yx+1 或 y3x9 10. （2017 广西广西）如图，点 P 在等边ABC 的内部，且 PC=6，PA=8，PB=10，将线段 PC 绕点 C 顺时针旋 转 60 得到 PC，连接 AP，则 sinPAP的值为 【分析】连接 PP，如图，先利用旋转的性质得 CP=CP=6，PCP=60，则可判定CPP为等边三角形得 到 PP=PC=6， 再证明PCBPCA 得到 PB=PA=10， 接着利用勾股定理的逆定理证明APP为直角三角 形，APP=90，然后根据正弦的定义求解 【解答】解：连接 PP，如图， 线段 PC 绕点 C 顺时针旋转 60 得到 PC， CP=CP=6，PCP=60，
30、 CPP为等边三角形， PP=PC=6， ABC 为等边三角形， CB=CA，ACB=60 ， PCB=PCA， 在PCB 和PCA 中 ， PCBPCA， PB=PA=10， 62+82=102， PP2+AP2=PA2， APP为直角三角形，APP=90， sinPAP= 故答案为 三、解答题： 11. （1）请画出ABC 关于直线 l 的轴对称图形A1B1C1 （2）将ABC 绕着点 B 旋转 180 得到A2B2C2，并画出图形（保留作图痕迹，不写画法，注明结论） 【分析】（1）分别作出点 A，B，C 关于直线 l 的对称点，再首尾顺次连接可得； （2）作出点 A 与点 C 绕着点 B
31、 旋转 180 得到的对应点，再与点 B 首尾顺次连接可得 【解答】解：（1）A1B1C1为所求作的关于 l 的轴对称图形 （2）A2B2C2是ABC 绕 B 点旋转 180 的图形 12. 在如图所示的平面直角坐标系中，已知点 A（3，3） ，点 B（1，3） ，点 C（1，1） （1）画出ABC； （2）画出ABC 关于 x 轴对称的A1B1C1，并写出 A1点的坐标： （3，3） ； （3）以 O 为位似中心，在第一象限内把ABC 扩大到原来的两倍，得到A2B2C2，并写出 A2点的坐标： （6，6） 【解答】解： （1）ABC 如图所示； （2）A1B1C1如图所示；A1（3，3） ，
32、 （3）A2B2C2如图所示；A2（6，6） 故答案为（3，3） ， （6，6） 13. 已知：如图，在直角梯形 ABCD 中，ADBC，ABBC， 3AB ，AD=3，BC=4，以点 D 为旋转中 心，将腰 DC 逆时针旋转 至 DE。 （1）当 =90 时，连接 AE，则EAD 的面积等于 （直接写出结果） ； （2）当 0 180 时，连接 BE，请问 BE 能否取得最大值？若能，请求出 BE 的最大值；若不能，请说 明理由； （3）当 0 180 时，连接 CE，请问 为多少度时，CDE 的面积是3。 （1） 2 3 , 作 DHBC 于点 H，EGAD 交 AD 的延长线于点 G，如
33、图 1， ADBC， ABBC，四边形 ABHD 为矩形， 3DHAB，BH=AD=3， 431HCBCBH， 以点 D 为旋转中心，将腰 DC 逆时针旋转 90 至 DE， 即把 RtDHC 逆时针旋转 90 得到 RtDGE， EG=HC=1， 113 3 1 222 EAD SAD EG 。 （2）BE 能取得最大值，当 B、D、E 三点共线时，BE 最大。 如图 2，在 RtDHC 中，3DH ，HC=1，DC= 22 2DHHC，DE=2， 在 RtDBH 中，BH=3，3DH ，BD= 22 2 3BHDH， 2 32BEBDDE； （3）当 为锐角时，过 E 点作 EFDC 于点
34、 F，如图 3， DC=DE=2， 1 23 2 CDE SEF ， 3EF ， 3 2 EF sin EDF DE ，EDF=60 ，=60 ， 当 为钝角时，过 E 点作 EFDC 交 CD 的延长线于 F 点，如图 4， 同样可得到EDF=60 ，18060120 ， 为 60 或 120 时，CDE 的面积是3。 14. 综合与实践 问题情境 在综合与实践课上，老师让同学们以“菱形纸片的剪拼”为主题开展数学活动，如图 1，将一张菱形纸片 ABCD（BAD90 ）沿对角线 AC 剪开，得到ABC 和ACD 操作发现 （1） 将图 1 中的ACD 以 A 为旋转中心， 按逆时针方向旋转角
35、， 使 =BAC， 得到如图 2 所示的ACD， 分别延长 BC 和 DC交于点 E，则四边形 ACEC的形状是 菱形 ； （2）创新小组将图 1 中的ACD 以 A 为旋转中心，按逆时针方向旋转角 ，使 =2BAC，得到如图 3 所 示的ACD，连接 DB，CC，得到四边形 BCCD，发现它是矩形，请你证明这个结论； 实践探究 （3）缜密小组在创新小组发现结论的基础上，量得图 3 中 BC=13cm，AC=10cm，然后提出一个问题：将 ACD 沿着射线 DB 方向平移 acm，得到ACD，连接 BD，CC，使四边形 BCCD 恰好为正方形，求 a 的值，请你解答此问题； （4）请你参照以上
36、操作，将图 1 中的ACD 在同一平面内进行一次平移，得到ACD，在图 4 中画出平 移后构造出的新图形，标明字母，说明平移及构图方法，写出你发现的结论，不必证明 【分析】 （1）利用旋转的性质结合菱形的性质得出：1=2，2=3，1=4，AC=AC，进而利用菱 形的判定方法得出答案； （2）利用旋转的性质结合菱形的性质得出，四边形 BCCD 是平行四边形，进而得出四边形 BCCD 是矩形； （3）首先求出 CC的长，分别利用点 C在边 CC 上，点 C在 CC 的延长线上，求出 a 的值； （4）利用平移的性质以及平行四边形的判定方法得出答案 【解答】解： （1）如图 2，由题意可得：1=2，
37、2=3，1=4，AC=AC， 故 ACEC，ACCE， 则四边形 ACEC是平行四边形， 故四边形 ACEC的形状是菱形； 故答案为：菱形； （2）证明：如图 3，作 AECC于点 E， 由旋转得：AC=AC， 则CAE=CAE=BAC， 四边形 ABCD 是菱形， BA=BC， BCA=BAC， CAE=BCA， AEBC，同理可得：AEDC， BCDC，则BCC=90， 又BC=DC， 四边形BCCD 是平行四边形， BCC=90， 四边形 BCCD 是矩形； （3）如图 3，过点 B 作 BFAC，垂足为 F， BA=BC， CF=AF=AC= 10=5， 在 RtBCF 中，BF=12， 在ACE 和CBF 中， CAE=BCF，CEA=BFC=90 ， ACECBF， =，即=， 解得：EC=， AC=AC，AECC， CC=2CE=2=， 当四边形 BCCD恰好为正方形时，分两种情况： 点 C在边 CC 上，a=CC13=13=， 点 C在 CC 的延长线上，a=CC+13=+13=， 综上所述：a 的值为：或； （4）答案不唯一， 例：如图 4，画出正确图形，平移及构图方法：将ACD 沿着射线 CA 方向平移，平移距离为AC 的长度， 得到ACD，连接 AB，DC， 结论：BC=AD，BCAD， 四边形 ABCD是平行四边形
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