1、 20192019 年中考数学总复习巅峰冲刺年中考数学总复习巅峰冲刺 专题专题 1515 讲讲 三角形综合问题三角形综合问题 【难点突破】着眼思路，方法点拨【难点突破】着眼思路，方法点拨, 疑难突破；疑难突破； 1、涉及三角形角形外角和定理；已知三角形角的数量关系求角度时，可以建立方程求解 2、涉及全等问题解题要领：探求两个三角形全等的条件：SSS，SAS，ASA，AAS 及 HL，注意挖掘问题 中的隐含等量关系， 防止误用“SSA”； 掌握并记忆一些基本构成图形中的等量关系； 把握问题中的关键， 通过关键条件，发现并添加辅助线 3、涉及到计算边的关系解题要领：线段的垂直平分线常常用于构造等腰
2、三角形；在直角三角形中求边 的长度，常常要用到勾股定理；根据三角形的三边长度，利用勾股定理的逆定理可判断其为直角三角形； 已知直角三角形斜边的中点，考虑运用直角三角形斜边上中线的性质；直角三角形斜边上中线的性质 存在逆定理 4、涉及角平分线问题的解题要领：已知角的平分线及角平分线上的点到角一边的垂线段，考虑用角平分 线的性质；角平分线的性质常常与三角形的面积相结合 解题要领： 5、涉及到直角三角形方面的解题要领：已知直角三角形及其锐角求线段长度时，运用锐角三角函数是最 常用的方法；通过等腰三角形的性质，特殊平行四边形的性质及圆的性质构建直角三角形，再运用锐角 三角函数求解；熟记特殊直角三角形的
3、三边关系：30 角的直角三角形的三边的比为 12，等腰直 角三角形的三边关系为 11；锐角三角函数也常常作为相似三角形中，求对应边的比值的补充 【名师原创】原创检测，关注素养，提炼主题【名师原创】原创检测，关注素养，提炼主题； 【原创【原创 1】 如图，已知在 RtABC 中，ACB=90 ，分别以 B、C 为圆心，大于BC 的长为半径画弧，两 弧交于点 P 和 Q，作直线 PQ 交 AB 于点 E，交 BC 于点 D，连接 CE.则下列结论： EDBC；A=ECA；SACE=2SCDE；ED=AC 中，一定正确的是（ ） A B C D 【解析】 ：由作法可知 PQ 是 BC 的垂直平分线，
4、EDBC.故正确； EDBC，ACBC，EDACBEDBAC，E 是 AB 中点，EC 是 RtBAC 斜边 AB 上的中线，EA=ECA=ECA.故正确； E、D 分别是 AB、BC 的中点ED 是BAC 的中位线ED=AC.故正确； EDACACE 与CDE 等高，又 ED=ACSACE=2SCDE.故正确. 答案为 D 【原创【原创 2】如图，直角三角形 ABC 中，B90 ，AB3，BC4，点 D 是 BC 的中点，作 DEAC，交 AC 于点 E，并延长，交B 的平分线 BF 于点 F （1）求线段 DE 的长； （2）求BFD 的正弦值 解析：（1） 因为三角形 ABC 为直角，
5、AB3， BC4， 根据勾股定理可求得 AC 的长， 点 D 是中点， 故ADC 的面积是ABC 的一半，利用面积法可解得 DE 的长； （2）根据 DE 和 DC 的长可解得 EC 的长，作 FG 垂 直 BC，交 BC 的延长线于点 G，令 CGx，则有 FGBG4x，根据DEC 与DFG 相似，可得 CG， 利用勾股定理可得到 FD、 BF 的长， 作 DH 垂直 BF， 利用等面积法求得 HD 的长， 从而得到BFD 正弦值 解：（1）ABC 为直角三角形，AB3，BC4， AC5， 点 D 是中点，DC2， DC ABDEAC， 即：23 5DE，解得 DE； （2）作 FG 垂直
6、BC，交 BC 的延长线于点 G， 令 CGx，则有 FGBG4x， 根据DEC 与DFG 相似， 又DE， DC2，可得 EC， ，即 解得 x4， FG8，DG6，FD10，FB8， 作 DH 垂直 BF，因为 DH FBBDFG 解得 DH2， ， 故BFD 的正弦值是 【原创【原创 3】如图所示，在ABC 中，BC=4，E、F 分别是 AB、AC 上的点，且 EFBC，动点 P 在射线 EF 上，BP 交 CE 于点 D，CBP 的平分线交 CE 于 Q，当 CQ=CE 时，求 EP+BP 得值是多少？ 【解析】【解析】如图，延长 EF 交 BQ 的延长线于 G首先证明 PB=PG，E
7、P+PB=EG，由 EGBC，推出 EGBCEGBC=EQQCEQQC=2，即可求出 EG 解决问题 解答解答 解：如图，延长 EF 交 BQ 的延长线于 G EGBC， G=GBC， GBC=GBP， G=PBG， PB=PG， PE+PB=PE+PG=EG， 3CQ=EC， EQ=2CQ， EGBC， =2，BC=4， EG=8， EP+PB=EG=8， 故答案为：8 【归纳】【归纳】本题考查平行线分线段成比例定理、角平分线的定义、等腰三角形的判定和性质等知识，解题的 关键是学会添加辅助线构造等腰三角形解决问题。 【典题精练】典例精讲，运筹帷幄，举一反三；【典题精练】典例精讲，运筹帷幄，举
8、一反三； 【例题【例题 1】如图，AOB 是直角三角形，AOB90 ，ABO30 ，点 A 在反比例函数 y的图象上， 若点 B 在反比例函数 y的图象上，则 k 6 【分析】要求函数的解析式只要求出 B 点的坐标就可以，过点 A，B 作 ACx 轴，BDx 轴，分别于 C， D根据条件得到ACOODB，得到：，然后用待定系数法即可 【解答】解：过点 A，B 作 ACx 轴，BDx 轴，分别于 C，D 设点 A 的坐标是（m，n），则 ACn，OCm AOB90 ， AOC+BOD90 DBO+BOD90 ， DBOAOC BDOACO90 ， BDOOCA AOB90 ，ABO30 ， ，
9、， 设 A（m，n），则 B（n， m）， 点 A 在反比例函数 y的图象上， mn2， nm3 26， k6 故答案为：6 【例题【例题 2】 (1)问题发现在ABC 中，ACBC，ACB，点 D 为直线 BC 上一动点， 过点 D 作 DFAC 交 AB 于点 F，将 AD 绕点 D 顺时针旋转 得到 ED， 连接 BE. 如图 1，当 90 时，试猜想： AF 与 BE 的数量关系是 ； ABE ； (2)拓展探究如图 2，当 0 90 时，请判断 AF 与 BE 的数量关系及ABE 的度数，并说明理由； (3)解决问题如图 3，在ABC 中，ACBC，AB8，ACB，点 D 在射线 B
10、C 上，将 AD 绕点 D 顺时针 旋转 得到 ED，连接 BE，当 BD3CD 时，请直接写出 BE 的长 解：(1)AFBE；90 . (2)AFBE，ABE. 理由如下：DFAC， ACBFDB，CABDFB ACBC， ABCCAB， ABCDFB， DBDF. 由旋转的性质，可知 ADED，ADEACBFDB. ADFADEFDE，EDBFDBFDE， ADFEDB 又ADDE， ADFEDB(SAS)， AFEB，AFDEBD AFDABCFDB，EBDABDABE， ABEFDB. (3)BE 的长为 2 或 4. 【提示】 当点 D 在 BC 上时，如解图 1 所示 过点 D
11、作 DFAC由(2)，可知 BEAF.DFAC，AF AB CD CB 1 4.AB8，AF2，BEAF2； 当点 D 在 BC 的延长线上时，如解图 2 所示过点 D 作 DFAC，则AF AB CD CB 1 2.AB8，AF4， BEAF4.综上所述，BE 的长为 2 或 4. 【例题【例题 3】如图 1，在菱形 ABCD 中，对角线 AC 与 BD 相交于点 O，AB13，BD24，在菱形 ABCD 的外 部以 AB 为边作等边三角形 ABE点 F 是对角线 BD 上一动点（点 F 不与点 B 重合），将线段 AF 绕点 A 顺时针方向旋转 60 得到线段 AM，连接 FM （1）求
12、AO 的长； （2）如图 2，当点 F 在线段 BO 上，且点 M，F，C 三点在同一条直线上时，求证：ACAM； （3）连接 EM，若AEM 的面积为 40，请直接写出AFM 的周长 【分析】（1）在 RTOAB 中，利用勾股定理 OA求解， （2）由四边形 ABCD 是菱形，求出AFM 为等边三角形，MAFM60 ，再求出MAC90 ， 在 RtACM 中 tanM，求出 AC （3）求出AEMABF，利用AEM 的面积为 40 求出 BF，在利用勾股定理 AF ，得出AFM 的周长为 3 【解答】解：（1）四边形 ABCD 是菱形， ACBD，OBODBD， BD24， OB12， 在
13、RtOAB 中， AB13， OA5 （2）如图 2， 四边形 ABCD 是菱形， BD 垂直平分 AC， FAFC，FACFCA， 由已知 AFAM，MAF60 ， AFM 为等边三角形， MAFM60 ， 点 M，F，C 三点在同一条直线上， FAC+FCAAFM60 ， FACFCA30 ， MACMAF+FAC60 +30 90 ， 在 RtACM 中 tanM， tan60 ， ACAM （3）如图，连接 EM， ABE 是等边三角形， AEAB，EAB60 ， 由（2）知AFM 为等边三角形， AMAF，MAF60 ， EAMBAF， 在AEM 和ABF 中， ， AEMABF（S
14、AS）， AEM 的面积为 40，ABF 的高为 AO BFAO40，BF16， FOBFBO16124 AF ， AFM 的周长为 3 【例题【例题 4】如图，在 RtABC 中，C=90 ，AC=BC=4cm，动点 P 从点 C 出发以 1cm/s 的速度沿 CA 匀速 运动，同时动点 Q 从点 A 出发以cm/s 的速度沿 AB 匀速运动，当点 P 到达点 A 时，点 P、Q 同时停止 运动，设运动时间为 t（s） （1）当 t 为何值时，点 B 在线段 PQ 的垂直平分线上？ （2）是否存在某一时刻 t，使APQ 是以 PQ 为腰的等腰三角形？若存在，求出 t 的值；若不存在，请说明
15、理由； （3）以 PC 为边，往 CB 方向作正方形 CPMN，设四边形 QNCP 的面积为 S，求 S 关于 t 的函数关系式 【解答】解： （1）如图 1 中，连接 BP 在 RtACB 中，AC=BC=4，C=90 ， AB=4 点 B 在线段 PQ 的垂直平分线上， BP=BQ， AQ=t，CP=t， BQ=4t，PB2=42+t2， （4t）2=16+t2， 解得 t=128或 12+8（舍弃） ， t=128s 时，点 B 在线段 PQ 的垂直平分线上 （2）如图 2 中，当 PQ=QA 时，易知APQ 是等腰直角三角形，AQP=90 则有 PA=AQ， 4t=t， 解得 t= 如
16、图 3 中，当 AP=PQ 时，易知APQ 是等腰直角三角形，APQ=90 则有：AQ=AP， t=（4t） ， 解得 t=2， 综上所述：t=s 或 2s 时，APQ 是以 PQ 为腰的等腰三角形 （3） 如图4中， 连接QC， 作QEAC于E， 作QFBC于F 则QE=AE， QF=EC， 可得QE+QF=AE+EC=AC=4 S=SQNC+SPCQ=CNQF+PCQE=t（QE+QF）=2t（0t4） 【最新试题】名校直考，巅峰冲刺，一步到位。【最新试题】名校直考，巅峰冲刺，一步到位。 一、选择题： 1. 如图，在ABC 中，AB=AC，A=40 ，AB 的垂直平分线交 AB 于点 D，
17、交 AC 于点 E，连接 BE，则 CBE 的度数为（ ） A70 B80 C40 D30 【解析】由等腰ABC 中，AB=AC，A=20 ，即可求得ABC 的度数，又由线段 AB 的垂直平分线交 AB 于 D，交 AC 于 E，可得 AE=BE，继而求得ABE 的度数，则可求得答案 解答解：等腰ABC 中，AB=AC，A=40 ， ABC=C= =70 ， 线段 AB 的垂直平分线交 AB 于 D，交 AC 于 E， AE=BE， ABE=A=40 ， CBE=ABCABE=30 故选 D 2. 如图， 已知ABC， D， E 分别是 AB， AC 边上的点 AD3cm， AB8cm， AC
18、10cm 若ADEABC， 则 AE 的值为（ ） A cm B cm 或cm C cm 或cm D cm 【分析】先连接 DE，由于ADEABC，利用相似三角形的性质，可得 AD：ABAE：AC，代入数 值计算即可 【解答】解：连接 DE， ADEABC， AD：ABAE：AC 3：8AE：10 AE 故选：A 3. 如图，将OAB 绕 O 点逆时针旋转 60 得到OCD，若 OA4，AOB35 ，则下列结论错误的是 （ ） ABDO60 BBOC25 COC4 DBD4 【分析】由OAB 绕 O 点逆时针旋转 60 得到OCD 知AOCBOD60 ，AOCO4、BODO，据 此可判断 C；
19、由AOC、BOD 是等边三角形可判断 A 选项；由AOB35 ，AOC60 可判断 B 选项， 据此可得答案 【解答】解：OAB 绕 O 点逆时针旋转 60 得到OCD， AOCBOD60 ，AOCO4、BODO，故 C 选项正确； 则AOC、BOD 是等边三角形， BDO60 ，故 A 选项正确； AOB35 ，AOC60 ， BOCAOCAOB60 35 25 ，故 B 选项正确； 故选：D 4.如图，AOB120 ，OP 平分AOB，且 OP2.若点 M，N 分别在 OA，OB 上，且PMN 为等边三角 形，则满足上述条件的PMN 有( ) A1 个 B2 个 C3 个 D3 个以上 【
20、解析】 如图，在 OA，OB 上截取 OEOFOP，作MPN60 . OP 平分AOB，EOPPOF60 ，OPOEOF， OPE，OPF 是等边三角形，EPOP，EPOOEPPONMPN60 ， EPMOPN，可证PEMPON(ASA)，PMPN， MPN60 ，POM 是等边三角形， 只要MPN60 ，PMN 就是等边三角形，故这样的三角形有无数个 5. 如图，在ABC 中，ABC60 ，C45 ，点 D，E 分别为边 AB，AC 上的点，且 DEBC，BD DE2， CE， BC 动点 P 从点 B 出发， 以每秒 1 个单位长度的速度沿 BDEC 匀速运动， 运动到点 C 时停止过点
21、P 作 PQBC 于点 Q，设BPQ 的面积为 S，点 P 的运动时间为 t，则 S 关于 t 的函数图象大致为（ ） A B CD 【分析】根据题意易知道当 P 在 BD 上由 B 向 D 运动时，BPQ 的高 PQ 和底 BQ 都随着 t 的增大而增大， 那么 SBPQ 就是 PQ 和 BQ 两个一次函数相乘再乘以二分之一，结果是一个二次函数，然后根据它们的斜 率乘积的正负性判别抛物线开口方向；当 P 在 DE 上有 D 向 E 运动时，高 PQ 不变，底 BQ 随着 t 的增大而 增大，则 SBPQ 是一个一次函数，然后根据斜率的正负性判别图象上升还是下降；当 P 在 EC 上由 E 向
22、 C 运动时高 PQ 逐渐减小，底 BQ 逐渐增大，SBPQ 的图象会是一二次函数，再根据 PQ 和 BQ 两个一次函 数的斜率乘积的正负性来判断抛物线开口方向 【解答】解：PQBQ 在 P、Q 运动过程中BPQ 始终是直角三角形 SBPQPQBQ 当点 P 在 BD 上，Q 在 BC 上时（即 0st2s） BPt，BQPQcos60t，PQBPsin60t SBPQPQBQ ttt2 此时 SBPQ的图象是关于 t（0st2s）的二次函数 0 抛物线开口向上； 当 P 在 DE 上，Q 在 BC 上时（即 2st4s） PQBDsin60 2，BQBDcos60+（t2）t1 SBPQPQ
23、BQ（t1）t 此时 SBPQ的图象是关于 t（2st4s）的一次函数 斜率0 SBPQ随 t 的增大而增大，直线由左向右依次上升 当 P 在 DE 上，P 在 EC 上时（即 4sts） PQCE（t4）sin45t（4sts），BQBCCQBCCE（t4）cos45 （t）t+ SBPQPQBQ 由于展开二次项系数 ak1k2（）（） 抛物线开口向下，故选：D 二、填空题： 6. 一块直角三角形板 ABC，ACB90 ，BC12cm，AC8cm，测得 BC 边的中心投影 B1C1长为 24cm， 则 A1B1长为 cm 【分析】由题意易得ABCA1B1C1，根据相似比求 A1B1即可 【解
24、答】解：ACB90 ，BC12cm，AC8cm， AB4，ABCA1B1C1， A1B1：ABB1C1：BC2：1，即 A1B18 cm 7. 如图，某高速公路建设中需要测量某条江的宽度 AB，飞机上的测量人员在 C 处测得 A，B 两点的俯角分 别为 45 和 30 若飞机离地面的高度 CH 为 1200 米，且点 H，A，B 在同一水平直线上，则这条江的宽度 AB 为 1200（1） 米（结果保留根号） 【分析】在 RtACH 和 RtHCB 中，利用锐角三角函数，用 CH 表示出 AH、BH 的长，然后计算出 AB 的 长 【解答】解：由于 CDHB， CAHACD45 ，BBCD30
25、在 RtACH 中，CAH45 AHCH1200 米， 在 RtHCB，tanB HB 1200（米） ABHBHA 12001200 1200（1）米 故答案为：1200（1） 8. 如图在直角坐标系中，矩形 ABCO 的边 OA 在 x 轴上，边 OC 在 y 轴上，点 B 的坐标为（1，3），将 矩形沿对角线 AC 翻折，B 点落在 D 点的位置，且 AD 交 y 轴于点 E那么点 D 的坐标为 。 【 分析】如图，过 D 作 DFAF 于 F，根据折叠可以证明CDEAOE，然后利用全等三角形的性质 得到 OEDE，OACD1，设 OEx，那么 CE3x，DEx，利用勾股定理即可求出 O
26、E 的长度， 而利用已知条件可以证明AEOADF，而 ADAB3，接着利用相似三角形的性质即可求出 DF、 AF 的长度，也就求出了 D 的坐标 【解答】解：如图，过 D 作 DFAF 于 F， 点 B 的坐标为（1，3）， AO1，AB3， 根据折叠可知：CDOA， 而DAOE90 ，DECAEO， CDEAOE， OEDE，OACD1， 设 OEx，那么 CE3x，DEx， 在 RtDCE 中，CE2DE2+CD2， （3x）2x2+12， x， 又 DFAF， DFEO， AEOADF， 而 ADAB3， AECE3， ， 即， DF，AF， OF1， D 的坐标为（，） 9. 如图，点
27、 I 和 O 分别是ABC 的内心和外心，则AIB 和AOB 的关系为 。 【分析】 根据圆周角定义， 以及内心的定义， 可以利用C 表示出AIB 和AOB， 即可得到两个角的关系 【解答】解：点 O 是ABC 的外心， AOB2C， CAOB， 点 I 是ABC 的内心， IABCAB，IBACBA， AIB180 （IAB+IBA） 180 （CAB+CBA）， 180 （180 C） 90 +C， 2AIB180 +C， AOB2C， AIB90 +AOB，即 4AIBAOB360 10. 如图，在边长为 4 的等边ABC 中，D，E 分别为 AB，BC 的中点，EFAC 于点 F，G
28、为 EF 的中点， 连接 DG，则 DG 的长为 【分析】直接利用三角形中位线定理进而得出 DE=2，且 DEAC，再利用勾股定理以及直角三角形的性质 得出 EG 以及 DG 的长 【解答】解：连接 DE， 在边长为 4 的等边ABC 中，D，E 分别为 AB，BC 的中点， DE 是ABC 的中位线， DE=2，且 DEAC，BD=BE=EC=2， EFAC 于点 F，C=60 ， FEC=30 ，DEF=EFC=90 ， FC=EC=1， 故 EF= ， G 为 EF 的中点， EG=， DG= 故答案为： 三、解答题： 11. 如图，BADCAE90 ，ABAD，AEAC，AFCF，垂足
29、为 F （1）若 AC10，求四边形 ABCD 的面积； （2）求证：AC 平分ECF； （3）求证：CE2AF 【分析】 （1） 求出BACEAD， 根据 SAS 推出ABCADE， 推出四边形 ABCD 的面积三角形 ACE 的面积，即可得出答案； （2）根据等腰直角三角形的性质得出ACEAEC45 ，ABCADE 求出ACBAEC45 ，推 出ACBACE 即可； （3）过点 A 作 AGCG，垂足为点 G，求出 AFAG，求出 CGAGGE，即可得出答案 【解答】（1）解：BADCAE90 ， BAC+CADEAD+CAD BACEAD， 在ABC 和ADE 中， ， ABCADE（S
30、AS）， S四边形ABCDSABC+SACD， ； （2）证明：ACE 是等腰直角三角形， ACEAEC45 ， 由ABCADE 得： ACBAEC45 ， ACBACE， AC 平分ECF； （3）证明：过点 A 作 AGCG，垂足为点 G， AC 平分ECF，AFCB， AFAG， 又ACAE， CAGEAG45 ， CAGEAGACEAEC45 ， CGAGGE， CE2AG， CE2AF 12. 如图，已知点 A(1，2)是反比例函数 yk x图象上的一点，连结 AO 并延长交双曲线的另一分支于点 B， 点 P 是 x 轴上一动点；若PAB 是等腰三角形，求点 P 的坐标 解：反比例函
31、数 yk x图象关于原点对称，A，B 两点关于 O 对称， O 为 AB 的中点，且 B(1，2)， 当PAB 为等腰三角形时有 PAAB 或 PBAB， 设 P 点坐标为(x，0)，A(1，2)，B(1，2)， AB 1（1）22（2）22 5， PA （x1）222，PB （x1）2（2）2， 当 PAAB 时，则有 （x1）2222 5， 解得 x3 或 5，此时 P 点坐标为(3，0)或(5，0)； 当 PBAB 时，则有 （x1）2（2）22 5， 解得 x3 或5，此时 P 点坐标为(3，0)或(5，0) 综上可知 P 点的坐标为(3，0)或(5，0)或(3，0)或(5，0) 13
32、. 在等腰直角三角形 ABC 中，BAC90 ，ABAC，直线 MN 过点 A 且 MNBC，过点 B 为一锐角顶 点作 RtBDE，BDE90 ，且点 D 在直线 MN 上(不与点 A 重合)，如图 1，DE 与 AC 交于点 P，易证： BDDP.(无需写证明过程) (1)在图 2 中，DE 与 CA 的延长线交于点 P，BDDP 是否成立？如果成立，请给予证明；如果不成立，请 说明理由； (2)在图 3 中，DE 与 AC 的延长线交于点 P，BD 与 DP 是否相等？请直接写出你的结论，无需证明 解： (1)BDDP 成立，证明：如图，过点 D 作 DFMN，交 AB 的延长线与点 F
33、，则ADF 为等腰直角三角 形，DADF.1ADB90 ，ADB290 ，12.在BDF 与PDA 中， 21， DFDA， DFBDAP45 ， BDFPDA(ASA)，BDDP (2)BDDP.证明：如图，过点 D 作 DFMN，交 BA 的延长线于点 F，则ADF 为等腰直角三角形， DADF.在BDF 与PDA 中， FPAD45 ， DFDA， BDFPDA， BDFPDA(ASA)，BDDP 14. 问题问题：如图，在 RtABC 中，ABAC，D 为 BC 边上一点（不与点 B，C 重合），将线段 AD 绕点 A 逆时针旋转 90 得到 AE，连接 EC，则线段 BC，DC，EC
34、 之间满足的等量关系式为 BCDC+EC ； 探索探索：如图，在 RtABC 与 RtADE 中，ABAC，ADAE，将ADE 绕点 A 旋转，使点 D 落在 BC 边上，试探索线段 AD，BD，CD 之间满足的等量关系，并证明你的结论； 应用应用：如图，在四边形 ABCD 中，ABCACBADC45 若 BD9，CD3，求 AD 的长 【分析】（1）证明BADCAE，根据全等三角形的性质解答； （2）连接 CE，根据全等三角形的性质得到 BDCE，ACEB，得到DCE90 ，根据勾股定理计算 即可； （3）作 AEAD，使 AEAD，连接 CE，DE，证明BADCAE，得到 BDCE9 根据
35、勾股定理计算 即可 【解答】解：（1）BCDC+EC， 理由如下：BACDAE90 ， BACDACDAEDAC，即BADCAE， 在BAD 和CAE 中， ， BADCAE， BDCE， BCBD+CDEC+CD， 故答案为：BCDC+EC； （2）BD2+CD22AD2， 理由如下：连接 CE， 由（1）得，BADCAE，BDCE，ACEB， DCE90 ， CE2+CD2ED2， 在 RtADE 中，AD2+AE2ED2，又 ADAE， BD2+CD22AD2； （3）作 AEAD，使 AEAD，连接 CE，DE， BAC+CADDAE+CAD， 即BADCAE， 在BAD 与CAE 中
36、， ， BADCAE（SAS）， BDCE9， ADC45 ，EDA45 ， EDC90 ， DE6， DAE90 ， ADAEDE6 15. 如图 1，抛物线 y=ax2+bx1 经过 A（1，0） 、B（2，0）两点，交 y 轴于点 C点 P 为抛物线上的一 个动点，过点 P 作 x 轴的垂线交直线 BC 于点 D，交 x 轴于点 E （1）请直接写出抛物线表达式和直线 BC 的表达式 （2）如图 1，当点 P 的横坐标为时，求证：OBDABC （3）如图 2，若点 P 在第四象限内，当 OE=2PE 时，求POD 的面积 （4）当以点 O、C、D 为顶点的三角形是等腰三角形时，请直接写出
37、动点 P 的坐标 【分析】 （1）待定系数法即可求得； （2）先把 P 点的横坐标代入直线，求得 DE=，从而求得 DE=OE，得出EOD=45 ，因为 OAC=EOD=45 ，OBD=ABC，即可求得OBDABC； （3） 分三种情况： 当 OD=CD 时， 则 m2m+1=m2， 当 OD=OC 时， 则 m2m+1=1， 当 OC=CD 时， 则 m2=1， 分别求解，即可求得 【解答】解： （1）由抛物线 y=ax2+bx1 可知 C（0，1） ， y=ax 2+bx1 经过 A（1，0） 、B（2，0）两点， ， 解得 抛物线表达式：； 设直线 BC 的解析式为 y=kx+b， 则，
38、 解得 直线 BC 的表达式： （2）如图 1，当点 P 的横坐标为时，把 x= 代入，得， DE= 又OE=， DE=OE OED=90 EOD=45 又OA=OC=1，AOC=90 OAC=45 OAC=EOD 又OBD=ABC OBDABC （3）如图 2，设点 P 的坐标为 P（x，） OE=x，PE= 又OE=2PE 解得，（不合题意舍去） ， P、D 两点坐标分别为， PD OE= ， （4） 设 D（m， m1） ，则 OD2=m2+（1）2=m2m+1，OC2=1，CD2=m2+（1m+1）2=m2， 当 OD=CD 时，则 m2m+1=m2，解得 m1=1， 当 OD=OC 时，则 m2m+1=1，解得 m2=， 当 OC=CD 时，则 m2=1，解得 m3=，m4=，
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