1、 20192019 年中考数学总复习巅峰冲刺年中考数学总复习巅峰冲刺 专题专题 08 08 实践操作性问题实践操作性问题 【难点突破】着眼思路，方法点拨【难点突破】着眼思路，方法点拨, , 疑难突破；疑难突破； 实践操作题以趣味性强、思维含量高为特点，让学生在实际操作的基础上设计问题，主要有：(1)裁剪、 折叠、拼图等动手操作问题，往往与面积、对称性相联系；(2)与画图、测量、猜想、证明等有关的探究性 问题在动手操作过程中或在给出的操作规则下，进行探索研究、大胆猜想、发现结论，不仅为解题者创 造了动手实践操作与方案设计的平台，而且也借此考查了学生的数学实践能力和创新能力 解答操作型题一般要经历
2、观察、操作、思考、想象、反思等实践活动，利用自己已有的经验，感知并 发现结论，从而解决问题 方案设计问题涉及面较广，内容比较丰富，题型变化较多，不仅有方程、不等式、函数，还有几何图 形的设计等方案设计题是通过设置一个实际问题情景，给出若干信息，提出解决问题的要求，要求学生 运用学过的技能和方法，进行设计和操作，寻求恰当的解决方案有时也给出几个不同的解决方案，要求 判断哪个方案较优 解决与方程和不等式有关的方案设计题，通常利用方程或不等式求出符合题意的方案；而与函数有关 的方案设计题，一般有较多种供选择的解决问题的方案，但在实施中要考虑到经济因素，此类问题类似于 求最大值或最小值的问题，通常用函
3、数的性质进行分析；与几何图形有关的方案设计题，一般是利用几何 图形的性质，设计出符合某种要求和特点的图案 解答操作性试题，关键是审清题意，学会运用图形的平移变换、翻折变换和旋转变换、位似变换，注 意运用分类讨论、类比猜想、验证归纳等数学思想方法，在平时的学习中，要注重操作习题解题训练，提 高思维的开放性，培养创新能力，要学会运用数学知识去观察、分析、抽象、概括所给的实际问题，揭示 其数学本质，并转化为我们所熟悉的数学问题。 【名师原创】原创检【名师原创】原创检测，关注素养，提炼主题；测，关注素养，提炼主题； 【原创【原创 1 1】如图，在平面直角坐标系中，将矩形 OABC 沿直线 EF 折叠，
4、点 A 恰好与点 C 重合，若点 B 的坐标 为（5,3） ，则点 F 的坐标是 。 答案答案： （3.4,3） 解析解析: :如图，根据折叠图形前后的性质关系，对应角和对应边相等得知 CD=AB，DF=FB， 90CDFABF ，可设 CF，即可得到 FB=5-CF，则有 DF，利用勾股定理计算出 CF=3.4，所以点 F 的坐标为（3.4,3）. 解：点 B 的坐标为（5，3） ，AB=CD=3， 设 CF 为x,则 BF=5-x=FD, 在直角三角形 CDF 中，根据勾股定理可得： 222 3(5) xx 解得：x=3.4 故点 F 的坐标为（3.4,3）. 总结：此类折叠问题主要涉及到
5、在平面直角坐标系中三角形、矩形的性质的综合应用，灵活把握翻折变换 （折叠问题）图形前后变换中的不变是解题的关键，解决问题时注意要作出恰当的辅助线，用来构建直角 三角形，借用勾股定理将所求的线段与已知线段的数量关系联系起来进行解决 【原创【原创 2 2】如图，在ABC 中，AB=AC，D 是 BA 延长线上的一点，点 E 在 AC 上，且 AE= 1 2 CE。 （1）实践与操作实践与操作：利用尺规按下列要求作图，并在图中标明相应字母（保留作图痕迹，不写作法） 。 作DAC 的平分线 AM。连接 BE 并延长交 AM 于点 F。 （2）猜想与证明猜想与证明：试猜想 AF 与 BC 有怎样的位置关
6、系和数量关系，并说明理由。 【分析】根据题意画出图形即可； （【分析】根据题意画出图形即可； （2 2）首先根据等腰三角形的性质与三角形的外角性质证明）首先根据等腰三角形的性质与三角形的外角性质证明C=C=FACFAC，进，进 而得到而得到 AF/BCAF/BC，从而得到，从而得到AEFAEFCEBCEB，即可得到，即可得到 AF=AF= 1 2 BC。 解： （1）作图如下： （2）AFBC 且 AF= 1 2 BC，理由如下： AB=AC，ABC=C。DAC=ABC+C=2C。 由作图可知：DAC=2FAC， C=FAC。AFBC。 AEFCEB。 AFAE CBCE 。 AE= 1 2
7、CE，AF= 1 2 BC。 【原创【原创 3 3】课题学习:正方形折纸中的数学 动手操作:如图,四边形ABCD是一张正方形纸片,先将正方形ABCD对折,使BC与AD重合,折痕为EF,把这 个正方形展平,然后沿直线CG折叠,使B点落在EF上,对应点为B. 数学思考:(1)求CBF的度数;(2)如图,在图的基础上,连接AB,试判断BAE与GCB的大小关系, 并说明理由. 图 图 解决问题: 图 (3)如图,按以下步骤进行操作: 第一步:先将正方形ABCD对折,使BC与AD重合,折痕为EF,把这个正方形展平,然后继续对折,使AB与DC重 合,折痕为MN,再把这个正方形展平,设EF和MN相交于点O;
8、 第二步:沿直线CG折叠,使点B落在EF上,对应点为B;再沿直线AH折叠,使点D落在EF上,对应点为D; 第三步:设CG,AH分别与MN相交于点P,Q,连接BP,PD,DQ,QB. 试判断四边形BPDQ的形状,并证明你的结论. (1)解法一：如图,由对折可知,EFC=90,CF=CD. 四边形ABCD为正方形, CD=CB.CF=CB. 又由折叠可知,CB=CB, 图 CF=CB. 在 RtBFC中,sinCBF=. CBF=30. 解法二：如图,连接BD,由对折知,EF垂直平分CD,BC=BD.由折叠知,BC=BC. 四边形ABCD为正方形,BC=CD. BC=CD=BD,BCD为等边三角形
9、. CBD=60. EFCD,CBF=CBD=60=30. (2)BAE=GCB.理由如下: 如图,连接BD,同(1)中解法二,得BCD为等边三角形, 图 CDB=60. 四边形ABCD为正方形, CDA=DAB=90. BDA=30. DB=DA,DAB=DBA. DAB=(180-BDA)=75. BAE=DAB-DAB=90-75=15. 由(1)知CBF=30, EFBC,BCB=CBF=30. 由折叠知,GCB=BCB=30=15. BAE=GCB. (3)四边形BPDQ为正方形. 证明:如图,连接AB,由(2)知,BAE=GCB. 图 由折叠知,GCB=PCN, BAE=PCN.
10、由对折知,AEB=CNP=90,AE=AB,CN=BC. 又四边形ABCD是正方形, AB=BC.AE=CN. AEBCNP. EB=NP. 同理可得,FD=MQ,由对称性可知,EB=FD. EB=NP=FD=MQ. 由两次对折可知,OE=ON=OF=OM, OB=OP=OD=OQ. 四边形BPDQ为矩形. 由对折知,MNEF于点O,PQBD于点O. 四边形BPDQ为正方形. 【典题精练】典例精讲，运筹帷幄，举一反三；【典题精练】典例精讲，运筹帷幄，举一反三； 【例题【例题 1 1】动手操作型 ： 矩形纸片ABCD中，AB5，AD4. (1)如图 1，四边形MNEF是在矩形纸片ABCD中裁剪出
11、的一个正方形你能否在该矩形中裁剪出一个面积最 大的正方形，最大面积是多少？说明理由； (2)请用矩形纸片ABCD剪拼成一个面积最大的正方形要求：在图 2 的矩形ABCD中画出裁剪线，并在网格 中画出用裁剪出的纸片拼成的正方形示意图(使正方形的顶点都在网格的格点上) 解：(1)正方形的最大面积是 16.设 AMx(0x4)，则 MD4x.易推 RtANMRtDMF，DMAN， S正方形 MNEFx 2(4x)22(x2)28.此函数图象开口向上，对称轴为 x2，又 0x4，当 x0 或 x 4 时，S正方形 MNEF最大，最大值是 16 (2)画出分割线，拼出图形，如图： 【点拨】(1)构建函数
12、模型，由自变量的取值范围可求出最大面积； (2)由矩形面积为 20 正方形边长为 20 4 222( 20)2 画出符合要求的正方形 【例题【例题 2 2】方案设计型： 某商场筹集资金 12.8 万元，一次性购进空调、彩电共 30 台根据市场需要，这些空调、彩电可以全部销 售，全部销售后利润不少于 1.5 万元，其中空调、彩电的进价和售价见表格 空调 彩电 进价(元/台) 5400 3500 售价(元/台) 6100 3900 设商场计划购进空调x台，空调和彩电全部销售后商场获得的利润为y元 (1)试写出y与x的函数关系式； (2)商场有哪几种进货方案可供选择？ (3)选择哪种进货方案，商场获
13、利最大？最大利润是多少元？ 解：(1)y300x12000 (2)由题意 得 5400x3500（30x）128000， 300x1200015000， 解得 10x12 2 19，x 为整数，x10，11，12.即商场有三种方案可供选择：购空调 10 台，购彩电 20 台；购空调 11 台，购彩电 19 台；购空调 12 台，购彩电 18 台 (3)y300x12000，k3000，y 随 x 的增大而增大，即当 x12 时，y 有最大值，y最大30012 1200015600(元)故购空调 12 台，购彩电 18 台时，商场获利最大，最大利润是 15600 元 【点拨】审题，确定函数关系和
14、不等关系由整数解得出供选方案由最大利润确定进货方案 【例题【例题 3 3】猜想探究型操作题】猜想探究型操作题 如图，在锐角三角形纸片 ABC 中，ACBC，点 D，E，F 分别在边 AB，BC，CA 上 (1)已知 DEAC，DFBC. 判断 四边形 DECF 一定是什么形状？ 裁剪 当 AC24 cm，BC20 cm，ACB45时，请你探索：如何剪四边形 DECF，能使它的面积最大，并证明 你的结论； (2)折叠 请你只用两次折叠，确定四边形的顶点 D，E，C，F，使它恰好为菱形，并说明你的折法和理由 解：(1)平行四边形 (2)设 FCx cm(0x24)，则 AF(24x) cm.过点
15、F 作 FHBC 于点 H，则 FH 2 2 x.DFBC，ADFABC，DF BC AF AC，DF 5 6(24x)，S DECFDFFH5 6(24x) 2 2 x 5 12 2 (x12) 260 2，当x12时，四边形DECF面积取得最大值60 2，此时FC1 2AC，即沿着三角形的中位 线 DF，DE 剪四边形 DECF，能使它的面积最大 (3)先折ACB 的平分线(使 CB 落在 CA 上)，压平，折线与 AB的交点为点D；再折DC的垂直平分线(使点C与点D重合)，压平，折线与BC，CA的交点分别为点E，F， 展平后四边形 DECF 就是菱形理由：对角线互相垂直平分的四边形是菱形
16、 【最新试题】名校直考，巅峰冲刺，一步到位【最新试题】名校直考，巅峰冲刺，一步到位。 一、选择题： 1. （2018浙江临安3 分）如图，正方形硬纸片 ABCD 的边长是 4，点 E、F 分别是 AB、BC 的中点，若沿 左图中的虚线剪开，拼成如图的一座“小别墅”，则图中阴影部分的面积是（ ） A2 B4 C8 D10 【解答】解：阴影部分由一个等腰直角三角形和一个直角梯形组成， 由第一个图形可知：阴影部分的两部分可构成正方形的四分之一， 正方形的面积=44=16， 图中阴影部分的面积是 164=4 故选：B 2. （2018浙江舟山3 分）将一张正方形纸片按如图步骤，沿虚线对折两次，然后沿中
17、平行于底 边的虚线剪去一个角，展开铺平后的图形是（ ） 。 A. B. C. D. 【解析】：沿虚线剪开以后，剩下的图形先向右上方展开，缺失的部分是一个等腰直角三角形，用直角边 与正方形的边是分别平行的，再沿着对角线展开，得到图形 A。 故答案为 A。 3. 如图，把一个长方形的纸片按图示对折两次，然后剪下一部分，为了得到一个钝角为 120的菱形，剪 口与第二次折痕所成角的度数应为 . 【分析】折痕为 AC 与 BD，BAD=120，根据菱形的性质：菱形的对角线平分对角，可得ABD=30，易 得BAC=60，所以剪口与折痕所成的角 a 的度数应为 30或 60。 【解答】如图，根据剪纸的折叠对
18、称性质可知，四边形 ABCD 是菱形， ABD= 1 2 ABC，BAC= 1 2 BAD，ADBC。 BAD=120，ABC=180BAD=180120=60 ABD=30，BAC=60。 剪口与折痕所成的角 a 的度数应为 30或 60。 4. 如图，等腰 RtABC 中，斜边 AB 的长为 2，O 为 AB 的中点，P 为 AC 边上的动点，OQOP 交 BC 于点 Q， M 为 PQ 的中点，当点 P 从点 A 运动到点 C 时，点 M 所经过的路线长为（ ） A 2 4 B 2 2 C1 D2 【分析】 连接 OC， 作 PEAB 于 E， MHAB 于 H， QFAB 于 F， 如
19、图， 利用等腰直角三角形的性质得 AC=BC=2， A=B=45，OCAB，OC=OA=OB=1，OCB=45，再证明 RtAOPCOQ 得到 AP=CQ，接着利用APE 和BFQ 都为等腰直角三角形得到 PE= 2 2 AP= 2 2 CQ，QF= 2 2 BQ，所以 PE+QF= 2 2 BC=1，然后证明 MH 为梯形 PEFQ 的中位线得到 MH= 1 2 ，即可判定点 M 到 AB 的距离为 1 2 ，从而得到点 M 的运动路线为ABC 的中位线，最后利用三角形中位线性质得到点 M 所经过的路线长 【解答】解：连接 OC，作 PEAB 于 E，MHAB 于 H，QFAB 于 F，如图
20、， ACB 为到等腰直角三角形， AC=BC= 2 2 AB=2，A=B=45， O 为 AB 的中点， OCAB，OC 平分ACB，OC=OA=OB=1， OCB=45， POQ=90，COA=90， AOP=COQ， 在 RtAOP 和COQ 中 ， RtAOPCOQ， AP=CQ， 易得APE 和BFQ 都为等腰直角三角形， PE= 2 2 AP= 2 2 CQ，QF= 2 2 BQ， PE+QF= 2 2 （CQ+BQ）= 2 2 BC= 2 2 2=1， M 点为 PQ 的中点， MH 为梯形 PEFQ 的中位线， MH= 1 2 （PE+QF）= 1 2 ， 即点 M 到 AB 的
21、距离为 1 2 ， 而 CO=1， 点 M 的运动路线为ABC 的中位线， 当点 P 从点 A 运动到点 C 时，点 M 所经过的路线长= 1 2 AB=1 故选：C 二、填空题： 5. （2018浙江舟山4 分）如图，量角器的 0 度刻度线为 AB，将一矩形直尺与量角器部分重叠，使直尺 一边与量角器相切于点 C，直尺另一边交量角器于点 A，D，量得 AD=10cm，点 D 在量角器上的读数为 60， 则该直尺的宽度为_ cm。 【分析】因为直尺另一边 EF 与圆 O 相切于点 C，连接 OC，可知求直尺的宽度就是求 CG=OC-OG，而 OC=OA； OG 和 OA 都在 RtAOG 中，即
22、根据解直角三角形的思路去做：由垂定理可知 AG=DG= 1 2 AD=5cm，AOG= 1 2 AOD=60，从而可求答案. 【解答】解：如图，连结 OD，OC，OC 与 AD 交于点 G,设直尺另一边为 EF， 因为点 D 在量角器上的读数为 60， 所以AOD=120， 因为直尺一边 EF 与量角器相切于点 C， 所以 OCEF， 因为 EF/AD， 所以 OCAD， 由垂径定理得 AG=DG= 1 2 AD=5 cm，AOG= 1 2 AOD=60， 在 RtAOG 中，AG=5 cm，AOG=60， 则 OG= tan60 AG 5 5 3 cm,OC=OA= sin60 AG 10
23、5 3 cm 则 CG=OC-OG=10 5 3 - 5 5 3 cm. 6. 如图,将边长为 12 的正方形ABCD沿其对角线AC剪开,再把ABC沿着AD方向平移,得到ABC,当两 个三角形重叠部分的面积为 32 时,它移动的距离AA等于 . 【解析】分析：本题考查了等腰直角三角形的判定和性质及平移的基本性质 【解析】设 CD 与 AC交于点 H，AC 与 AB交于点 G， 由平移的性质知，AB与 CD 平行且相等，ACB=45，DHA=DAH=45， DAH 是等腰直角三角形，AD=DH，四边形 AGCH 是平行四边形， SAGCH=HCBC=（CD-DH） DH=1， DH=AD=1，
24、AA=AD-AD=1 故答案为 1 点评：本题需要运用等腰直角三角形的判定和性质及平移的基本性质结合求解注意平移不改变图形的形 状和大小；经过平移，对应点所连的线段平行且相等，对应线段平行且相等，对应角相等 7. 把标准纸一次又一次对开，可以得到均相似的“开纸”现在我们在长为 2 2，宽为 1 的矩形纸片中， 画两个小矩形，使这两个小矩形的每条边都与原矩形的边平行，或小矩形的边在原矩形纸的边上，且每个 小矩形均与原矩形纸相似，然后将它们剪下，则所剪得的两个小矩形纸片周长之和的最大值是_15 4 4 2 _. 【解析】 在长为 2 2，宽为 1 的矩形纸片中，画两个小矩形，使这两个小矩形的每条边
25、都与原矩形纸 的边平行，或小矩形的边在原矩形的边上，且每个小矩形均与原矩形纸相似， 要使所剪得的两个小矩形纸片周长之和最大，则这两个小矩形纸片长与宽的和最大 矩形的长与宽之比为 2 21， 剪得的两个小矩形中，一个矩形的长为 1，宽为11 2 2 2 4 ， 另外一个矩形的长为 2 2 2 4 7 2 4 ，宽为 7 2 4 1 2 2 7 8， 所剪得的两个小矩形纸片周长之和的最大值是 2 1 2 4 7 2 4 7 8 4 215 4 . 三、解答题： 8.如图，在菱形纸片 ABCD 中，A=60，将纸片折叠，点 A、D 分别落在点 A、D处，EF 为折痕，DF 与 BC 交于点 G试判断
26、AEB 与BGD之间的数量关系，并加以证明 【分析】：根据菱形的性质和折叠的性质可知EAD=60，ADG=120，ABC=120，再根据 周角的定义和多边形内角和定理即可求解本题考查了翻折变换的性质，菱形的性质，周角的定义，熟记 翻折前后的图形能够重合得出EAD=60，ADG=120是解题的关键，也是本题的难点 【解答】：AEB+BGD=120， 证明：在菱形纸片 ABCD 中，A=60， D=120，ABC=120， 由折叠的性质可知EAD=60，ADG=120， AEB+BGD=1803-（360-120）-（120+60）=120 9. 如图，矩形纸片ABCD，将AMP和BPQ分别沿PM
27、和PQ折叠(APAM)，点A和点B都与点E重合；再 将CQD沿DQ折叠，点C落在线段EQ上点F处 (1)判断AMP，BPQ，CQD和FDM中有哪几对相似三角形？(不需说明理由) (2)如果AM1，sinDMF3 5，求 AB的长 【解析】(1)AMPBPQCQD， 四边形ABCD是矩形， ABC90， 根据折叠的性质可知： APMEPM，EPQBPQ， APMBPQEPMEPQ90， APMAMP90， BPQAMP， AMPBPQ， 同理：BPQCQD， 根据相似的传递性，AMPCQD； (2)ADBC， DQCMDQ， 根据折叠的性质可知：DQCDQM， MDQDQM，MDMQ， AMME
28、，BQEQ， BQMQMEMDAM， sinDMFDF MD 3 5， 设DF3x，MD5x， BPPAPE3x 2 ，BQ5x1， AMPBPQ， AM BP AP BQ， 1 3x 2 3x 2 5x1， 解得x2 9或 x2， 又APAM， x2 9时，AP 1 3AM， x2 9时，不符合题意， AB6. 10. 山地自行车越来越受到中学生的喜爱，各种品牌相继投放市场，某车行经营的A型车去年销售总额为 5 万元，今年每辆销售价比去年降低 400 元，若卖出的数量相同，销售总额将比去年减少 20%. (1)今年A型车每辆售价多少元？(用列方程的方法解答) (2)该车行计划新进一批A型车和
29、新款B型车共 60 辆，且B型车的进货数量不超过A型车数量的两倍，应 如何进货才能使这批车获利最多？ A，B两种型号车的进货和销售价格如下表： A型车 B型车 进货价格(元) 1100 1400 销售价格(元) 今年的销售价格 2000 【解析】：(1)设今年A型车每辆售价为 x 元，则去年每辆售价为(x400)元，由题意得 50000 x400 50000（120%） x ， 解得 x1600，经检验，x1600 是方程的根，则今年A型车每辆售价为 1600 元 (2)设今年新进A型车 a 辆，则B型车(60x)辆，获利 y 元，由题意得 y(16001100)a(20001400)(60a
30、)，y100a36000. B型车的进货数量不超过A型车数量的两倍， 60a2a，a20. y100a36000，k1000， y 随 a 的增大而减小，a20 时，y最大34000 元，此时B型车的数量为 602040(辆)， 当新进A型车 20 辆，B型车 40 辆时，这批车获利最大 11. 如图，在ABC中，ACB90，AC4 cm，BC3 cm，如果点P由点B出发沿BA的方向向点A匀 速运动，同时点Q由点A出发沿AC方向向点C匀速运动，它们速度均是 1 cm/s，连结PQ，设运动时间为 t(s)(0t4)，解答下列问题： (1)设APQ的面积为S，当t为何值时，S取得最大值？S的最大值
31、是多少？ (2)如图，连结PC，将PQC沿QC翻折，得到四边形PQPC，当四边形PQPC为菱形时，求t的值； (3)当t为何值时，APQ是等腰三角形？ 【解析】：(1)由勾股定理，得AB5； 由题意得BPAQt，AP5t. 如答图过点P作PDAC于点D， 则APDABC， PD 3 5t 5 ，解得PD33 5t， S1 2t 33 5t 3 10 t5 2 2 15 8 ， 当t5 2时，S 取得最大值是15 8 ； 图 图 (2)连结PP交AC于点D， PQPC是菱形， PP与QC互相垂直平分， ADt4t 2 t 22， PD33 5t，AP5t. 由勾股定理得 t 22 2 33 5t 2 (5t) 2， 解得t120 13，t 220(舍去)； 图 图 (3)APQ是等腰三角形， 当APAQ时，t5t，则t5 2； 当PAPQ时，如答图，作PEAC于E， cosA4 5，则 AE4 5(5t)， 又APPQ，AE1 2AQ t 2， 4 5(5t) t 2，t 40 13； 当QAQP时，如答图，作QFAB于点F， AF4 5t； 8 5t5t，t 25 13. 综上所述，当t5 2或 t25 13或 t40 13时，APQ 是等腰三角形
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