1、湖北省襄阳五中、夷陵中学湖北省襄阳五中、夷陵中学 2020 届高三届高三 4 月线上联合考试月线上联合考试 数学数学（理科理科）试题试题 （完卷时间 120 分钟；满分 150 分） 第第卷卷 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1集合 2 3,logPa， , Qa b，若0PQ，则PQ的子集个数为（ ） A8 B7 C6 D4 2设i是虚数单位，若复数1zi ，则 2 2 |z z z （ ） A1 i B1 i C1 i D1 i 3第七
2、届世界军人运动会于 2019 年 10 月 18 日至 27 日在中国武汉举行，中国队以 133 金 64 银 42 铜位居 金牌榜和奖牌榜的首位，运动会期间有甲、乙等五名志愿者被分配到射击、田径、篮球、游泳四个运动场 地服务，要求每个人都要被派出去服务，且每个场地都要有志愿者服务，则甲和乙不在同一组的概率是 （ ） A 1 10 B 7 10 C 3 10 D 9 10 4函数 2 ( ) 1 ex f x x 图象大致是（ ） A B C D 5已知 5 (1) (1)xax的展开式中 3 x的系数是4，则实数a的值为（ ） A1 B1 C 7 5 D 7 5 6木匠师傅对一个圆锥形木件进
3、行加工后得到一个三视图如图所示的新木件，则原木件的母线与底面所成 角正弦值为（ ） A 1 2 B 2 2 C 2 5 5 D 5 5 7函数cos23sin20, 2 yxx x 的单调递增区间是（ ） A0, 6 B0, 3 C, 6 2 D, 3 2 8 已知向量a，b，c满足| |3ab， 3 2 a b ，,30ac bc， 则|c的最大值等 （ ） A2 7 B32 7 C2 3 D32 3 9若函数( )2sinf xx在区间, 6 3 上存在最小值2，则非零实数的取值范围是（ ） A3,) B(0,3 C 3 ,0(0,3 2 D 3 ,3,) 2 10已知当, 1,1m n
4、时， 22 sinsin 22 mn mnnm ，则以下判断正确的是（ ） Amn B| |mn Cmn Dm与n的大小关系不确定 11 若不等式组 20 20(0) 0 xy kxyk y 所表示的平面区域的面积为 2， 则 2 1 xy z x 的取值范围是 （ ） A 8 2, 3 B 12 2, 5 C 8 (, 2, 3 D 12 (, 2, 5 12 已知函数 1 ( ) x f xxe ， 若对于任意的 2 0 0,x e ， 函数 2 0 ( )ln1g xxxaxf x在 2 0,e 内 都有两个不同的零点，则实数a的取值范围为（ ） A 2 2 3 1,e e B 2 2
5、3 ,e e C 22 ,ee ee D 2 1,e e 第卷第卷 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分把答案填在题中的横线上分把答案填在题中的横线上 13锐角ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若 2 coscos2 sinbCcBaA，则 A 14已知数列 1， 1 a， 2 a，4 成等差数列，1， 1 b， 2 b， 3 b，4 成等比数列，则 21 1 aa b 的值是 15已知双曲线 22 22 :1(0,0) xy Cab ab 的左右焦点和点(3 ,)Pa b为某个等腰三角形的三个顶点，则 曲线C的离心率
6、为 16三棱锥SABC中，点P是RtABC斜边AB上一点，给出下列四个命题： 若SA平面ABC，则三棱锥SABC的四个面都是直角三角形； 若2ACBCSC，SC 平面ABC，则三棱锥SABC的外接球表面积为12； 若3AC ，4BC ，5SC ，S在平面ABC上的射影是ABC内心，则三棱锥SABC的体积 为 2； 若3AC ，4BC ，3SA，SA平面ABC，则直线PS与平面SBC所成的最大角为45 其中正确命题的序号是 （把你认为正确命题的序号都填上） 三、解答题：本大题共三、解答题：本大题共 6 小题，共小题，共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第分解答应写出文字说明、证明过
7、程或演算步骤第 1721 题为必考题为必考 题，每个试题考生都必须作答第题，每个试题考生都必须作答第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答题为选考题，考生根据要求作答 （一一）必考题：共必考题：共 60 分分 17已知等差数列 n a，若 6 11a ，且 2 a， 5 a， 14 a成等比数列 （）求数列 n a的通项公式； （）若 1 2a ，设 1 1 n nn b a a ，求数列 n b的前n项和 n S 18如图，已知四棱锥SABCD中，底面ABCD是边长为 2 的菱形，60BAD，5SASD， 7SB ，点E是棱AD的中点，点F在SC上，且CFCS，SA平面BEF （）求实数
8、的值； （）求二面角CBEF的余弦值 19已知 1 F， 2 F为椭圆 22 22 :1(0) xy Eab ab 的左、右焦点，点 2 3 1, 3 P 在椭圆上，且过点 2 F的 直线l交椭圆于A，B两点， 1 AFB的周长为4 3 （）求椭圆E的方程； （ ） 我 们 知 道 抛 物 线 有 性 质 ： “ 过 抛 物 线 2 2(0)ypx p的 焦 点 为F的 弦AB满 足 2 |A FB FA FB F p ”那么对于椭圆E，问否存在实数，使得 2222 AFBFAFBF 成立，若存在求出的值；若不存在，请说明理由 20在全球关注的抗击“新冠肺炎”中，某跨国科研中心的一个团队，研制
9、了甲乙两种治疗“新冠肺炎” 新药，希望知道哪种新药更有效，为此进行动物试验，试验方案如下： 第一种：选取A，B，C，D，E，F，G，H，I，J共 10 只患病白鼠，服用甲药后某项指标分别 为：84，87，89，91，92，91，87，89，90，90； 第二种：选取a，b，c，d，e，f，g，h，i，j共 10 只患病白鼠，服用乙药后某项指标分别为 81， 87，83，82，80，84，86，89，84，79；该团队判定患病白鼠服药后这项指标不低于 85 的确认为药物有效， 否则确认为药物无效 （）写出第一种试验方案的 10 个数据的极差、中位数、方差； （）现需要从已服用乙药的 10 只白鼠
10、中随机抽取 3 只，记其中服药有效的只数为，求的分布列与期 望； （）该团队的另一实验室有 1000 只白鼠，其中 800 只为正常白鼠，200 只为患病白鼠，每用新研制的甲 药给所有患病白鼠服用一次，患病白鼠中有 90%为正常白鼠，但正常白鼠仍有% (010)t t 变为患病白 鼠，假设实验室的所有白鼠都活着且数量不变，且记服用n次甲药后此实验室正常白鼠的只数为 n a 求 1 a并写出 1n a 与 n a的关系； 要使服用甲药两次后，该实验室正常白鼠至少有 940 只，求最大的正整数t的值 21设函数( )1f xmx ，( )lng xx （）讨论 2 ( )( )( )2G xf x
11、g xx的单调区间； （）若当01x时，函数( )(1)yf xg x的图象恒在直线yx上方，求实数m的取值范围； （）求证： 1000.4 1001 1000 e （二（二）选考题：共选考题：共 10 分请考生在第分请考生在第 22，23 两题中任选一题作答如果多做，则按所做第一个题目计分，两题中任选一题作答如果多做，则按所做第一个题目计分， 作答时请用作答时请用 2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑 22选修 4-4：坐标系与参数方程 直角坐标系xOy中直线: l yx ，圆C的参数方程为 12cos 22sin x y （为参数） （）求C的普通
12、方程，写出l的极坐标方程； （）直线l与圆C交于A，B，O为坐标原点，求OA OB 23选修 4-5：不等式选讲 已知函数 2 ( )1f xxx，且,m nR （）若22mn，求( )2 ( )f mf n的最小值，并求此时m，n的值； （）若 1 | 2 mn，求证： 3 |( )( )| | 4 f mf nn 湖北省襄阳五中、夷陵中学湖北省襄阳五中、夷陵中学 2020 届高三届高三 4 月线上联合考试月线上联合考试 数学数学（理科理科）答案答案 命题学校：夷陵中学 1-5 ABDCD 6-10 BADDB 11-12 CA 13 4 14 2 2 154 16 1【答案】 A 【解析】
13、 0PQ， 2 l o g0a ， 且0b， 解得1a ，0b， 则 3 , 0 P ，1,0Q ， 0,1,3PQ子集有 3 28故选：A 2 【答案】B【解析】复数1zi ，则 2 22 |2 (1)(1)21 1 z ziiii zi ，故选 B 3 【答案】D【解析】五人分成四组，先选两人成一组，余下各自成一组，共有 2 5 10C 种甲和乙同一组 其余三人各自成一组， 只有一种分法， 故甲和乙恰好在同一组的概率是 1 10 ， 甲和乙不在同一组的概率是 9 10 4 【答案】C 5 【答案】D【解析】 5 (1) (1)xax的展开式中 3 x的系数是 23 55 7 4 5 CaC
14、a 6【答案】 B 【解析】 由三视图知圆锥底面半径为 2 2 6 3 36 2 r ， 圆锥的高 22 (3 5)36h ， 圆锥母线 22 666 2l ， 2 sin 2 h l 故选 B 7 【答案】A【解析】因为cos23sin2sin 2 6 yxxx ，由222 262 kxk ，解 得 36 kxk ，所以当0k 时，增区间为0, 6 ，选 A 8【答案】 D 【解析】OAa，OBb，OCc， 由题意| |3ab， 3 2 a b ， 得 1 c o s 2 A O B， 120AOB，3AB，,30ac bc，30ACB，C在以AB为弦的圆D的优弧 上运动，60ADB，3r
15、，2 3OD ， 当C点在OD的延长线与圆D交点时，|c最大为32 3 9 【答案】D【解析】当0时，由, 6 3 x 得 63 x ，题意知 62 则3； 当0时， 由, 6 3 x 得 36 x ， 根据题意知 32 则 3 2 ； 3或 3 2 10【答案】 B 【解析】 设 2 ( )sin 2 x f xxx ， 则它为偶函数，( )sincos2 222 xxx fxx ， 当 0 , 1 x 时，( )0fx，函数在0,1递增，由偶函数对称性知在区间 1,0递减 22 sinsin 22 mn mnnm 变形得 22 sinsin 22 mn mmnn 即( )( )(|)(|)
16、f mf nfmfn，| |mn 11 【答案】C【解析】图中点(2,0)A， 2 ,0B k ，(0,2)C，故阴影部分的面积为 12 222 2k ， 解之得 1 2 k ， 22 2 11 xyy z xx ， 设点( , )P x y， 2 1 y m x ， 则m的几何意义是点P与点(1, 2)D 连线的斜率，由图可知，4m或 2 3 m ，故取值范围是 8 (, 2, 3 12 【答案】A【解析】函数 2 0 ( )ln1g xxxaxf x在 2 0,e 内都有两个不同的零点，等价于方 程 2 0 ln1xxaxf x 在 2 0,e 内都有两个不同的根 111 ( )(1) x
17、xx fxexex e ，所以当 (0,1)x时，( )0fx，( )f x是增函数； 当 2 1,x e 时，( )0fx，( )f x是减函数， 因此0( )1f x 设 2 ( )ln1F xxxax， 2 121 ( )2 xax F xxa xx ， 若( )0F x在 2 0,e 无解，则( )F x在 2 0,e 上是单调函数，不合题意；所以( )0F x在 2 0,e 有解， 且易知只能有一个解设其解为 1 x满足 2 11 210xax ，当 1 0,xx时( )0F x，( )F x 在 1 (0,)x上 是增函数；当 2 1, xx e 时( )0F x，( )F x在
18、2 1, x e 上是减函数 因 为 任 意 的 2 0 0,x e 方 程 2 0 l n1xxa xfx在 2 0,e 有 两 个 不 同 的 根 ， 所 以 m a x1 2 ()1 0 FxFx F e 2422 2 3 210F eeaeae e 2 max1111 ( )ln1 1FxF xxxax ，所以 2 111 ln0xxax因为 2 11 210xax ，所以 1 1 1 2ax x ， 代入 2 111 ln0xxax， 得 2 11 ln10xx 设 2 ( ) l n1mxx x， 1 ( )20m xx x ， 所以( )m x在 2 0,e上是增函数，而(1)l
19、n1 1 10m ，由 2 11 ln10xx 可得 1 (1)m xm，得 2 1 1xe 由 1 1 1 2ax x 在 2 1,e上是增函数，得 2 2 1 12 2 ae e 综上所述 2 2 3 1ae e ，故选 A 13 【解析】 2 coscossinbCcBaA，由正弦定理得 3 sincossincos2sinBCCBA， 3 sin()sin2sinBCAA， 2 sin 2 A ，锐角ABC的内角 4 A 14 【解析】数列 1、 1 a、 2 a、4 成等差数列，设公差为d，则4 1 3d ，解得1d ， 1 2a ， 2 3a 数列 1、1b、2b、3b、 4 成等
20、比数列， 设公比为q， 则 4 4q， 解得2q ， 1 2b ， 21 1 2 2 aa b 15 【答案】 4 【解析】 设 1( ,0)Fc， 2( ,0) F c， 显然 12 PFPF 若 1 22 FFP F， 则 222 (3)4a cbc， 得 22 430aacc，即 2 340ee，解得1e，4(1,) 舍若 121 FFPF， 则 222 (3)4acbc，即 22 430aacc，即 2 340ee，得4, 1e ，因为(1,)e，所以 4e 16 【答案】【解析】对于，因为SA平面ABC，所以SAAC，SAAB，SABC，又 BCAC，所以BC 平面SAC，所以BCS
21、C，故四个平面都是直角三角形，正确； 对于，若4AC ，4BC ，4SC ，SC 平面ABC，三棱锥SABC的外接球可以看作棱长为 2 的正方体的外接球，22 3R ，表面积为12，正确； 对于，设ABC内心是O，则SO平面ABC，连接OC，则有 222 SOOCSC，又内切圆半径 1 (345)1 2 r ，所以2OC ， 222 523SOSCOC，故3SO ，三棱锥SABC 的体积为 111 3433 332 ABC VSSO ，不正确； 对于，若3SA，SA平面ABC，则直线PS与平面SBC所成的最大角时，P点与A点重合，在 RtSCA中， 3 tan1 3 ASC，45ASC，即直线
22、PS与平面SBC所成的最大角为45， 正确 17解： （） 6 11a ， 1 511ad 2 a， 5 a， 14 a成等比数列， 2 5214 aa a， 2 111 413adadad化简得 2 1 63a dd， 若0d ，11 n a 若0d ， 1 2ad，由可得， 1 1a ，2d 所以数列的通项公式是21 n an或11 n a （）由（）得 1111 (21)(21)2 2121 n b nnnn 12 11111111 11 2335212122121 nn n Sbbb nnnn 18试题解析：连接AC，设ACBEG，则平面SAC平面EFBFG， SA平面EFB，SA F
23、G， GEAGBC， 1 2 AGAE GCBC ， 11 23 SFAG SFSC FCGC ， 2 3 （）5SASD，SEAD，2SE ，又2ABAD，60BAD，3BE 222 SEBESB，SEBE，SE 平面ABCD， 以EA，EB，ES所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，则(1,0,0)A，(0, 3,0)B， (0,0,2)S，平面SEB的法向量1(0,0,1)mEA 设平面EFB的法向量( , , )nx y z，则 ( , , ) (0, 3,0)00nEBx y zy， ( , , ) ( 1,0,2)02nGFnASx y zxz ，令1z ，得(2,0,
24、1)n ， 5 cos, |5 m n m n m n ，即所求二面角的余弦值是 5 5 19 【解析】 （）根据椭圆的定义，可得 12 2AFAFa， 12 2BFBFa， 1 AFB的周长为 111122 |4AFBFABAFBFAFBFa，44 3a ，3a ， 椭圆E的方程为 22 2 1 3 xy b ，将 2 3 1, 3 P 代入得 2 2b ，所以椭圆的方程为 22 1 32 xy （）由（）可知 222 41cab，得 2(1,0) F，依题意可知直线l的斜率不为 0，故可设直线l的方程 为1xmy， 由 22 1 32 1 xy xmy 消去x，整理得 22 23440my
25、my， 设 11 ,A x y， 22 ,B x y，则 12 2 4 23 m yy m ， 12 2 4 23 y y m ， 不妨设 1 0y ， 2 0y ， 22 2222 2111111 11 111AFxymyymymy ， 同理 22 222 11BFmymy ， 所以 222 2212 12 1111111 111 AFBFyy mymym 22 2 21 21 222 1212 2 1616 23 111 23 4 111 23 nm yyyy m y yy y mmm m 2 2 4 31 1 3 4 1 m m 即 2222 3AFBFAFBF，所以存在实数3，使得 2
26、222 AFBFAFBF成立 20 【解析】 （）第一种试验方案的 10 个数据的极差为 8，中位数为 89.5， 平均数为 89，方差 2 1 (2540494401 1)5.2 10 S ； （）在第二种实验中服药有效的白鼠有 3 只，无效的有 7 只，故的可能值为 0，1，2，3， 03 31 3 10 7 (0) 24 C C P C ， 12 37 3 10 21 (1) 40 C C P C ， 21 37 3 10 7 (2) 40 C C P C ， 30 37 3 10 1 (3) 120 C C P C 的分布列为： 721719 0123 24404012010 E 0
27、1 2 3 P 7 24 21 40 7 40 1 120 （） 1 9808at， 1 9010 10001900(010) 100100100 nnnn tt aaaat 21 1010 900900(9808 )940( )(10)(9808 )4000 100100 tt aatf ttt ( )f t在(0,10)单调递减，且(5)47004000f，(6)37284000 f， 故最大整数5t 21解（） 22 ( )( )( )21ln2G xf xg xxmxxx ， 1 ( )4G xxm x ，0x ， 1 44x x 当4m时，( )0G x，( )G x在(0,)单调递
28、增 当4m时，令 2 2 41 ( )0410 xmx G xxmx x ，此时 2 160m ， 方程 2 410xmx 有两个正根，因此得 2 16 0 8 mm x 或 2 16 8 mm x ， 此时( )G x在 2 16 0, 8 mm 单调递增，在 22 1616 , 88 mmmm 单调递减， 在 2 16 , 8 mm 单调递增 （ ） 令( )( )( )(1)ln(1)F xf xg xxmxxx， 则 1 ()l n ( 1)1 1 mx F xmx x ， 令 1 ()l n ( 1)1 1 mx h xmx x ，(0,1)x，则 2 21 ( ) (1) mxm
29、h x x ，(0,1)x 当 1 2 m 时， 有 2 21 ( )0 (1) mxm h x x ， 于是( )F x在(0,1)x上单调递增， 从而( )(0)0F xF， 因此( )F x在(0,1)x上单调递增，所以( )(0)0F xF，符合题意 当0m时 2 21 ( )0 (1) mxm h x x ，于是( )F x在(0,1)x上单调递减，从而( )(0)0F xF，因 此( )F x在(0,1)x上单调递减，所以( )(0)0F xF，不合题意； 当 1 0 2 m时，令 0 21 min 1, m x m ， 则当 0 0,xx时， 2 21 ( )0 (1) mxm
30、h x x ，于是( )F x在 0 0,xx上单调递减， 从而( )(0)0F xF，因此( )F x在 0 0,xx上单调递减， 所以( )(0)0F xF，而且仅有(0)0F，不合题意 综上所求实数m的取值范围是 1 , 2 （）对要证明的不等式等价变形如下： 对于任意的正整数n，不等式 2 5 1 1 n e n 恒成立，即 21 ln 110 5 n n 恒成立， 变形为 211 1ln 10 5nnn 恒成立，在（）中，令 2 5 m ， 0 1 2 x ， 则得 2 ( )1ln(1) 5 F xxxx 在 1 0, 2 x 上单调遍减，所以( )(0)0F xF， 即 2 1l
31、n(1)0 5 xxx ，令 1 (2)xn n ，则得 211 1ln 10 5nnn 成立 当1000n时，可得 211 1ln 10 500010001000 即 21001 1000ln10 51000 ，所以 1000.4 1001 1000 e 成立 22解（）C的参数方程为 12 cos 22sin x y （为参数） ，消去参数，得C的普通方程为 22 (1)(2)4xy 直线: l yx 的极坐标方程为 7 4 ，()R （）直线: lyx 的极坐标方程为 7 4 ，()R，由直线与圆的位置关系设A，B的极坐标为 1 7 4 A ， 2 7 4 B ， 1 0， 2 0，C的
32、极坐标方程为 2 2 cos4 sin10 ， 将 7 4 代入得 2 3 210 ， 1 ， 2 为方程的两根， 12 | |1OA OBOAOB 23解： （） 2222 ( )2 ( )2(2 )325f mf nmnmnmn 法三：由柯西不等式得： 2222222222 1114 2111()(2 ) 3333 mnmnnmnnmn 22 419 ( )2 ( )255 33 f mf nmn， 此时 2 3 mn （） 1 | 2 mn， 22 1 |( )( )|()|1|1| 2 f mf nmnmnmn mnmn 111 11 13 |()(21)|(|21|)|21|2| 1| 222 22 24 mnnmnnnnn
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