1、 天津市和平区天津市和平区 2020 年新高考年新高考(天津卷天津卷)适应性训练适应性训练(一一) 数学试卷数学试卷 一一.单选题（每题单选题（每题 5 分，满分分，满分 45 分，每题有且仅有一个正确答案）分，每题有且仅有一个正确答案） 1设集合 UxN|0x8，S1，2，4，5，T3，5，7，则 S（UT）（ ） A1，2，4 B1，2，3，4，5，7 C1，2 D1，2，4，5，6，8 2设 xR，则“|x+1|1”是“x 11 2”的（ ） A充分而不必要条件 B必要而不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件 3 已知等比数列an， 前 n 项和为 Sn， 满足 a39， 且
2、6 3 =28， 则 a1+a3+a5+a19 （ ） A3 10;1 2 B3 10;2 2 C9 10;1 8 D9 10;1 16 4 在ABC 中， 角 A， B， C 所对的边分别为 a， b， c， S 表示ABC 的面积， 若 ccosB+bcosC asinA， = 3 4 (2+ 2 2)，则B（ ） A90 B60 C45 D30 5 已知函数yf （x） 在区间 （， 0） 内单调递增， 且f （x） f （x） ， 若af （1 2 3） ， bf （2 1.2） ， cf（1 2） ，则 a，b，c 的大小关系为（ ） Aacb Bbca Cbac Dabc 6已知双
3、曲线 2 2 2 2 =1（a0，b0）与抛物线 y24x 有一个公共的焦点 F，且两曲线 的一个交点为 P若|PF|= 5 2，则双曲线的渐近线方程为（ ） Ay1 2x By2x Cy3x Dy 3 3 x 7在普通高中新课程改革中，某地实施“3+1+2”选课方案该方案中“2”指的是从政治、 地理、化学、生物 4 门学科中任选 2 门，假设每门学科被选中的可能性相等，那么政治 和地理至少有一门被选中的概率是（ ） A1 6 B1 2 C2 3 D5 6 8函数 f（x）cos2x 的导函数为 f（x） ，则函数 g（x）23f（x）+f（x）在 x0， 内的单调递增区间是（ ） A0， 2
4、 B 2， C5 12， 11 12 D5 12， 9 已知向量 ， 夹角为 3， | |2， 对任意 xR， 有| +x | |， 则|t |+|t 2| （tR） 的最小值是（ ） A 13 2 B3 2 C1 + 3 2 D 7 2 二、填空题（每题二、填空题（每题 5 分，共计分，共计 30 分）分） 10若复数 z= (1)(2) (1+2) ，则|z| 11二项式（ 2 ） 6 展开式中常数项为 12 如果一个球的外切圆锥的高是这个球的半径的 3 倍， 则圆锥的侧面面积和球的表面积之 比为 13直线 l：3x+y+a0 和圆 C：x2+y2+2x4y0 相交于 A，B 两点若直线
5、l 过圆心 C， 则 a ；若三角形 ABC 是正三角形，则 a 14已知实数 a，b 满足 b0，|a|+b1，则 :1 2019| + 2019 的最小值为 15 已知 R， 函数() = + 1， 2+ 2， 当 0 时， 不等式 f （x） 0 的解集为 ， 若函数 f（x）与 x 轴恰有两个交点，则 的取值范围是 三、解答题（解答过程需要有必要的文职说明和推理步骤，共计三、解答题（解答过程需要有必要的文职说明和推理步骤，共计 75 分）分） 16现代社会的竞争，是人才的竞争，各国、各地区、各单位都在广纳贤人，以更好更快的 促进国家、地区、单位的发展某单位进行人才选拔考核，该考核共有三
6、轮，每轮都只 设置一个项目问题，能正确解决项目问题者才能进入下一轮考核；不能正确解决者即被 淘汰三轮的项目问题都正确解决者即被录用已知 A 选手能正确解决第一、二、三轮 的项目问题的概率分别为4 5， 2 3， 1 2，且各项目问题能否正确解决互不影响 （1）求 A 选手被淘汰的概率； （2）设该选手在选拔中正确解决项目问题的个数为 ，求 的分布列与数学期望 17如图，在四棱锥 PABCD 中，PA平面 ABCD，底面 ABCD 是直角梯形，其中 AD BC，ABAD，ABAD= 1 2BC2，PA4，E 为棱 BC 上的点，且 BE= 1 4BC （）求证：DE平面 PAC； （）求二面角
7、APCD 的余弦值； （）设 Q 为棱 CP 上的点（不与 C、P 重合） ，且直线 QE 与平面 PAC 所成角的正弦值 为 5 5 ，求 的值 18 （15 分）已知数列an是公差为 2 的等差数列，且 a1，a5+1，a23+1 成等比数列数列 bn满足：b1+b2+bn2n+12 （）求数列an，bn的通项公式； （）令数列cn的前 n 项和为 Tn，且 cn= 1 +2 ，为奇数 1 ，为偶数 ，若对 nN*，T2nT2k 恒成立，求正整数 k 的值； 19 如图， 在平面直角坐标系 xOy 中， 已知椭圆 C： 2 2 + 2 2 =1 （ab0） 的离心率 e= 1 2， 左顶
8、点为 A（4，0） ，过点 A 作斜率为 k（k0）的直线 l 交椭圆 C 于点 D，交 y 轴于点 E （1）求椭圆 C 的方程； （2）已知 P 为 AD 的中点，是否存在定点 Q，对于任意的 k（k0）都有 OPEQ，若 存在，求出点 Q 的坐标；若不存在说明理由； （3）若过 O 点作直线 l 的平行线交椭圆 C 于点 M，求: 的最小值 20已知函数() = 1 2 2 + ，g（x）为 f（x）的导函数 （1）求函数 g（x）的单调区间； （2）若函数 g（x）在 R 上存在最大值 0，求函数 f（x）在0，+）上的最大值； （3）求证：当 x0 时，x2+2x+3e2x（32si
9、nx） 一一.单选题（每题单选题（每题 5 分，满分分，满分 45 分，每题有且仅有一个正确答案）分，每题有且仅有一个正确答案） 1设集合 UxN|0x8，S1，2，4，5，T3，5，7，则 S（UT）（ ） A1，2，4 B1，2，3，4，5，7 C1，2 D1，2，4，5，6，8 根据集合补集和交集的运算规则直接求解 因为 U1，2，3，4，5，6，7，8，UT1，2，4，6，8， 所以 S（UT）1，2，4， 故选：A 本题考查集合的基本运算，属简单题 2设 xR，则“|x+1|1”是“x 11 2”的（ ） A充分而不必要条件 B必要而不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件
10、 求出不等式的等价条件，结合充分条件和必要条件的定义进行求解判断即可 由|x+1|1 得1x+11，得2x0， 由 x 11 2得 1 1 2，得 x0 或 x2， 则“|x+1|1”是“x 11 2”的充分不必要条件， 故选：A 本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合不等式的关系是解决本题的关键 3 已知等比数列an， 前 n 项和为 Sn， 满足 a39， 且6 3 =28， 则 a1+a3+a5+a19 （ ） A3 10;1 2 B3 10;2 2 C9 10;1 8 D9 10;1 16 结合等比数列的通项公式及求和公式可求 q，a1，然后结合等比数列的性质及求和公式即 可求解
11、等比数列an中，a39，6 3 =28， 12= 9 16 13 = 28， 解方程可得，q3，a11， 则由等比数列的性质可知 a1，a3，a5，a19成等比数列，公比为 q29，来源:Zxxk.Com 由等比数列的求和公式可得，a1+a3+a5+a19= 1910 19 9101 8 故选：C 本题主要考查了等比数列的性质，通项公式及求和公式的简单应用 4 在ABC 中， 角 A， B， C 所对的边分别为 a， b， c， S 表示ABC 的面积， 若 ccosB+bcosC asinA， = 3 4 (2+ 2 2)，则B（ ） A90 B60 C45 D30 由正弦定理，两角和的正弦
12、函数公式化简已知等式可得 sinA1，结合 A 的范围可求 A 900， 由余弦定理、 三角形面积公式可求 = 3， 结合范围 00C900， 可求 C 的值， 根据三角形面积公式可求 B 的值 由正弦定理及 ccosB+bcosCasinA， 得 sinCcosB+sinBcosCsin2A，可得：sin（C+B）sin2A， 可得：sinA1， 因为 00A1800， 所以 A900； 由余弦定理、三角形面积公式及 = 3 4 (2+ 2 2)， 得1 2 = 3 4 2， 整理得 = 3， 又 00C900， 所以 C600， 故 B300 故选：D 本题主要考查正、余弦定理、两角和的正
13、弦函数公式、三角形面积公式在解三角形中的 综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题 5 已知函数yf （x） 在区间 （， 0） 内单调递增， 且f （x） f （x） ， 若af （1 2 3） ， bf （2 1.2） ， cf（1 2） ，则 a，b，c 的大小关系为（ ） Aacb Bbca Cbac Dabc 根据题意，由 f（x）f（x）可得 f（x）为偶函数，结合函数的单调性可得 f（x）在（0， +）上递减，进而又由 2 1.2211log 23，分析可得答案 根据题意，函数 yf（x）满足 f（x）f（x） ，则函数 f（x）为偶函数， 又由函数 yf（x）在区间（，0
14、）内单调递增，则 f（x）在（0，+）上递减， af（1 2 3）f（log23） ，bf（2 1.2） ，cf（1 2）f（2 1） ， 又由 2 1.2211log 23， 则 bca， 故选：B 本题考查函数的奇偶性与单调性的综合应用，注意分析函数的奇偶性，属于基础题 6已知双曲线 2 2 2 2 =1（a0，b0）与抛物线 y24x 有一个公共的焦点 F，且两曲线 的一个交点为 P若|PF|= 5 2，则双曲线的渐近线方程为（ ） Ay1 2x By2x Cy3x Dy 3 3 x来源:学科网ZXXK 根据抛物线和双曲线有相同的焦点求得 p 和 c 的关系，根据抛物线的定义可以求出 P
15、 的 坐标，代入双曲线方程与 p2c，b2c2a2，解得 a，b，得到渐近线方程 抛物线 y24x 的焦点坐标 F（1，0） ，p2， 抛物线的焦点和双曲线的焦点相同， p2c，即 c1， 设 P（m，n） ，由抛物线定义知： |PF|m+ 2 =m+1= 5 2，m= 3 2 P 点的坐标为（3 2，6） 2+ 2= 1 9 42 6 2 = 1解得： = 1 2 = 3 2 ， 则渐近线方程为 y3x， 故选：C 本题主要考查了双曲线，抛物线的简单性质考查了学生综合分析问题和基本的运算能 力解答关键是利用性质列出方程组 7在普通高中新课程改革中，某地实施“3+1+2”选课方案该方案中“2”
16、指的是从政治、 地理、化学、生物 4 门学科中任选 2 门，假设每门学科被选中的可能性相等，那么政治 和地理至少有一门被选中的概率是（ ） A1 6 B1 2 C2 3 D5 6 本题可从反面思考，两门至少有一门被选中的反面是两门都没被选中两门都没被选中 包含 1 个基本事件，代入概率公式，即可得到两门都没被选中的概率，则两门至少有一 门被选中的概率可得 设 A两门至少有一门被选中，则 =两门都没被选中，包含 1 个基本事件，则 p （）= 1 4 2 = 1 6，P（A）1 1 6 = 5 6 故选：D 本题考查了古典概型的概率计算，属于基础题 8函数 f（x）cos2x 的导函数为 f（x
17、） ，则函数 g（x）23f（x）+f（x）在 x0， 内的单调递增区间是（ ） A0， 2 B 2， C5 12， 11 12 D5 12， 根据条件即可得出() = 4( 3 2)，然后解 2 + 2 3 2 3 2 + 2即可得 出 g（x）的单调递增区间： 7 12 12 + ，kZ，然后令 k1 即可得出 g（x）在0，的单调递增区间 f（x）2sin2x， () = 232 22 = 4( 3 2)， 解 2 + 2 3 2 3 2 + 2得， 7 12 12 ，kZ， 令 k1 得，5 12 11 12 ， g（x）在 x0，内的单调递增区间是5 12 ， 11 12 故选：C
18、本题考查了基本初等函数和复合函数的求导公式，两角差的正弦公式，正弦函数的单调 区间，函数 yAsin（x+）的单调区间的求法，考查了计算能力，属于中档题 9 已知向量 ， 夹角为 3， | |2， 对任意 xR， 有| +x | |， 则|t |+|t 2| （tR） 的最小值是（ ） A 13 2 B3 2 C1 + 3 2 D 7 2 由题意对任意 xR， 有| + | | |， 两边平方整理 由判别式小于等于 0， 可得 （ ） ，运用数量积的定义可得即有|1，画出 = ， = ，建立平面直角坐标 系，设出 A，B 的坐标，求得|t |+|t 2|的坐标表示，运用配方和两点的距离公式，
19、结合三点共线，即可得到所求最小值 向量 ， 夹角为 3，| | = 2，对任意 xR，有| + | | |， 两边平方整理可得 x2 2+2x （ 22 ）0， 则4（ ）2+4 2（22 ）0， 即有（ 2 ）20，即为 2= ， 则（ ） ， 由向量 ， 夹角为 3，| |2， 由 2= =| | |cos 3， 即有| |1， 则| |= 2 + 2 2 = 3， 画出 = ， = ，建立平面直角坐标系，如图所示； 则 A（1，0） ，B（0，3） ， =（1，0） ， =（1，3） ； | | + | 2 | =(1 )2+(3)2+(1 2 )2+(3)2 = 42 2 + 1 +4
20、2 + 1 4 =2（( 1 4) 2+ (0 3 4 )2+( 1 8) 2+ (0 + 3 8 )2 表示 P（t，0）与 M（1 4， 3 4 ） ，N（1 8， 3 8 ）的距离之和的 2 倍， 当 M，P，N 共线时，取得最小值 2|MN| 即有 2|MN|2(1 4 1 8) 2+ (3 4 + 3 8 )2= 7 2 故选：D 本题考查斜率的数量积的定义和性质，主要是向量的平方即为模的平方，考查转化思想 和三点共线取得最小值，考查化简整理的运算能力，属于难题 二、填空题（每题二、填空题（每题 5 分，共计分，共计 30 分）分） 10若复数 z= (1)(2) (1+2) ，则|
21、z| 2 复数代数形式的乘除运算法则求出 z1i，由此能求出|z| 复数 z= (1)(2) (1+2) = 22+2 1+2 = 13 1+2 = (13)(12) (1+2)(12) = 132+62 142 = 55 5 = 1i， |z|= (1)2+ (1)2= 2 故答案为：2 本题考查复数的模的求法，考查复数代数形式的乘除运算法则等基础知识，考查运算求 解能力，考查函数与方程思想，是基础题 11二项式（ 2 ） 6 展开式中常数项为 60 先求得二项式展开式的通项公式，再令 x 的幂指数等于 0，求得 r 的值，即可求得常数项 的值 二项式（ 2 ） 6 的展开式的通项公式为 T
22、r+1= 6 （2）r63 2 ， 令6;3 2 =0，求得 r2，故展开式中常数项为6 22260， 故答案为：60 本题主要考查二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式，求展开式中某项的系数， 属于中档题 12 如果一个球的外切圆锥的高是这个球的半径的 3 倍， 则圆锥的侧面面积和球的表面积之 比为 3：2 设出球的半径，利用三角形相似，求出圆锥的底面半径，然后求出球的表面积，圆锥的 全面积，即可得到比值 设球的半径为 1；圆锥的高为：3，则圆锥的底面半径为：r 由PODPO1B 1 = = 1，即 1 = 3 3 所以 r= 3 圆锥的侧面积为：1 2 23 23 = 6， 球的表面积为
23、：4 所以圆锥的侧面积与球的表面积之比 6：43：2 故答案为：3：2 本题考查圆锥的内接球，由题意画出图形，找出二者的关系是解题的关键 13直线 l：3x+y+a0 和圆 C：x2+y2+2x4y0 相交于 A，B 两点若直线 l 过圆心 C，则 a 1 ；若三角形 ABC 是正三角形，则 a 1 56 2 化圆的方程为标准方程，求得圆心坐标与半径，若直线 l 过圆心 C，则圆心坐标适合直线 方程，由此求得 a；若三角形 ABC 是正三角形，求出圆心到直线的距离，再由点到直线 的距离公式列式去 a 化圆 C：x2+y2+2x4y0 为（x+1）2+（y2）25， 则圆心坐标为（1，2） ，半
24、径为5 若直线 l 过圆心 C，则3+2+a0，即 a1； 若三角形ABC是正三角形， 则圆心到直线的距离d= |3+2+| 10 =(5)2 ( 5 2 )2= 15 2 ， 解得：a1 56 2 故答案为：1；1 56 2 本题考查直线与圆位置关系的应用，考查点到直线距离公式的应用，考查数学转化思想 方法，是中档题 14已知实数 a，b 满足 b0，|a|+b1，则 :1 2019| + 2019 的最小值为 2021 由 :1 2019| + 2019 = 2019| + （ 1 2019| + 2019 ） = 2019| + （ 1 2019| + 2019 ） （|a|+b） ，
25、展开后运用基本不等式，注意等号成立的条件，可得所求最小值 b0，|a|+b1， :1 2019| + 2019 = 2019| + 1 2019| + 2019 = 2019| +（ 1 2019| + 2019 ）= 2019| +（ 1 2019| + 2019 ） （|a|+b） = 2019| + 1 2019 +2019+ 2019| + 2019| 1 2019 + 1 2019 +2019+22021， 当且仅当 a0， 2019| = 2019| ，即 a= 1 2020，b= 2019 2020时等号成立， 则 :1 2019| + 2019 的最小值为 2021 故答案为：
26、2021 本题考查基本不等式的运用：求最值，注意运用变形和乘 1 法，以及等号成立的条件， 考查运算能力和推理能力，属于中档题 15 已知 R， 函数() = + 1， 2+ 2， 当 0 时， 不等式 f （x） 0 的解集为 （ 1， 2） ， 若函数 f （x） 与 x 轴恰有两个交点， 则 的取值范围是 1 或 02 当 0 时，函数 f（x）= + 1， 0 2+ 2，0，分段即可求出不等式 f（x）0 的解集， 若函数 f（x）与 x 轴恰有两个交点，这两个交点可以分两种情况： （i）当 2 个交点都是函 数 f（x）在 x 时与 x 轴的交点时， （ii）当一个交点是函数 f（x
27、）在 x 时与 x 轴的 交点1，一个是函数 f（x）在 x 时与 x 轴的交点 2，分别求出 的取值范围即可 当 0 时，函数 f（x）= + 1， 0 2+ 2，0， 当 x0 时，x+10，x1，1x0， 当 x0 时，x2+2x0，解得：0x2， 综上所述：当 0 时，不等式 f（x）0 的解集为： （1，2） ； 当 x 时，f（x）x+1，令 f（x）0 得，x1；当 x 时，f（x）x2+2x，令 f （x）0 得，x0 或 2， 若函数 f（x）与 x 轴恰有两个交点，这两个交点可以分两种情况： （i）当 2 个交点都是函数 f（x）在 x 时与 x 轴的交点时， 1， （ii
28、）当一个交点是函数 f（x）在 x 时与 x 轴的交点1，一个是函数 f（x）在 x 时与 x 轴的交点 2， 02， 综上所述，若函数 f（x）与 x 轴恰有两个交点， 的取值范围是：1 或 02， 故答案为： （1，2） ，1 或 02 本题主要考查了分段函数的性质和应用，是中档题 三、解答题（解答过程需要有必要的文职说明和推理步骤，共计三、解答题（解答过程需要有必要的文职说明和推理步骤，共计 75 分）分） 16现代社会的竞争，是人才的竞争，各国、各地区、各单位都在广纳贤人，以更好更快的 促进国家、地区、单位的发展某单位进行人才选拔考核，该考核共有三轮，每轮都只 设置一个项目问题，能正确
29、解决项目问题者才能进入下一轮考核；不能正确解决者即被 淘汰三轮的项目问题都正确解决者即被录用已知 A 选手能正确解决第一、二、三轮 的项目问题的概率分别为4 5， 2 3， 1 2，且各项目问题能否正确解决互不影响 （1）求 A 选手被淘汰的概率； （2）设该选手在选拔中正确解决项目问题的个数为 ，求 的分布列与数学期望 （1）A 选手被淘汰的对立事件是 A 选手被录用，由此利用对立事件概率计算公式能求出 A 选手被淘汰的概率 （2）设该选手在选拔中正确解决项目问题的个数为 ，则 的可能取值为 0，1，2，3， 分别求出相应的概率，由此能求出 的分布列和 E（） （1）某单位进行人才选拔考核，
30、该考核共有三轮，每轮都只设置一个项目问题， 能正确解决项目问题者才能进入下一轮考核；不能正确解决者即被淘汰三轮的项目问 题都正确解决者即被录用 A 选手能正确解决第一、二、三轮的项目问题的概率分别为4 5， 2 3， 1 2，且各项目问题能否 正确解决互不影响 A 选手被淘汰的对立事件是 A 选手被录用， A 选手被淘汰的概率为： P1 4 5 2 3 1 2 =1 4 15 = 11 15 来源:学科网 ZXXK （2）设该选手在选拔中正确解决项目问题的个数为 ，则 的可能取值为 0，1，2，3， P（0）1 4 5 = 1 5， P（1）= 4 5 (1 2 3) = 4 15， P（2）
31、= 4 5 2 3 (1 1 2) = 4 15， P（3）= 4 5 2 3 1 2 = 4 15， 的分布列为： 0 1 2 3 P 1 5 4 15 4 15 4 15 数学期望 E（）= 0 1 5 + 1 4 15 + 2 4 15 + 3 4 15 = 8 5 本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列、数学期望的求法，考查对立事件 概率公式、相互独立事件概率乘法公式等基础知识，考查了推理能力与计算能力，属于 中档题 17如图，在四棱锥 PABCD 中，PA平面 ABCD，底面 ABCD 是直角梯形，其中 AD BC，ABAD，ABAD= 1 2BC2，PA4，E 为棱 BC
32、上的点，且 BE= 1 4BC （）求证：DE平面 PAC； （）求二面角 APCD 的余弦值； （）设 Q 为棱 CP 上的点（不与 C、P 重合） ，且直线 QE 与平面 PAC 所成角的正弦值 为 5 5 ，求 的值 （）以 A 为坐标原点，AB 为 x 轴，AD 为 y 轴，AP 为 z 轴，建立空间直角坐标系利用 向量法能证明 DE平面 PAC （）求出平面 PAC 的法向量和平面 PCD 的法向量，利用向量法能求出二面角 APC D 的余弦值 （）设 =（01） ，即 = =（2，4，4） ，由直线 QE 与平面 PAC 所成角的正弦值，利用向量法能求出 的值 证明： （）以 A
33、为坐标原点，AB 为 x 轴，AD 为 y 轴，AP 为 z 轴，建立空间直角坐标 系， A（0，0，0） ，B（2，0，0） ，C（2，4，0） ，D（0，2，0） ，P（0，0，4） ，E（2，1，0） ， =（2，1，0） ， =（2，4，0） ， =（0，0，4） ， =0， =0， DEAC，DEAP， APACA，DE平面 PAC 解： （）由（）知平面 PAC 的法向量 =（2，1，0） ， 设平面 PCD 的法向量 =（x，y，z） ， =（0，2，4） ， =（2，4，4） ， = 2 4 = 0 = 2 + 4 4 = 0 ，取 z1，得 =（2，2，1） ， cos ，
34、= | |= 25 5 ， 二面角 APCD 的余弦值为25 5 （）设 =（01） ，即 = =（2，4，4） ， Q（22，44，4） ， =（2，43，4） ， 直线 QE 与平面 PAC 所成角的正弦值为 5 5 ， |cos ， |=| | | | | = 5 5 ， 解得 = 2 3， = 2 3 本题考查线面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查两线线的比值的求法，考 查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力、空间想象能 力，考查函数与方程思想，是中档题 18 （15 分）已知数列an是公差为 2 的等差数列，且 a1，a5+1，a23+1 成等比数列
35、数列 bn满足：b1+b2+bn2n+12 （）求数列an，bn的通项公式； （）令数列cn的前 n 项和为 Tn，且 cn= 1 +2 ，为奇数 1 ，为偶数 ，若对 nN*，T2nT2k 恒成立，求正整数 k 的值； （）由等比数列中项性质和等差数列的通项公式，可得首项，可得 an2n+1；再由数 列递推式可得数列bn的通项公式； （）运用裂项相消求和和等比数列的求和公式，可得 T2n，判断单调性，结合不等式恒 成立问题解法，可得 k 的值 （）数列an是公差为 2 的等差数列，且 a1，a5+1，a23+1 成等比数列， 可得 a1（a23+1）（a5+1）2，即 a1（a1+44+1）
36、（a1+9）2， 解得 a13，即 an3+2（n1）2n+1； 数列bn满足：b1+b2+bn2n+12， 可得 b12，bn2n+122n+22n， （n2） ，对 n1 也成立， 则 bn2n，nN*； （）T2n 1 37 + 1 711 + + 1 (4;1)(4:3)（ 1 4 + 1 16 + + 1 4） = 1 4（ 1 3 1 7 + 1 7 1 11 + + 1 4;1 1 4:3） 1 4(1 1 4) 11 4 = 1 4 + 1 12（ 1 41 3 4:3） ， T2n+2T2n= 1 12（ 1 4 3 4:7 1 41 + 3 4:3）= 1 12（ 12 (
37、4:3)(4:7) 3 4） = 1 (4+3)(4+7)（1 (4+3)(4+7) 4+1 ） ， 设 dn= (4+3)(4+7) 4+1 ，dn+1dn= (4+7)(4+11) 4+2 (4+3)(4+7) 4+1 = (4+7)(121) 4+2 0， 可得 dn为递减数列，且 d1，d2，d31，d41， 可得 T4T20，T6T40，T8T60，T10T80， 则T2n中 T8 取得最小值， T2nT2k恒成立，可得 k4 本题考查等差数列和等比数列的通项公式和求和公式的运用，数列的裂项相消求和，考 查数列的单调性和不等式恒成立问题解法，属于中档题 19 如图， 在平面直角坐标系
38、 xOy 中， 已知椭圆 C： 2 2 + 2 2 =1 （ab0） 的离心率 e= 1 2， 左顶 点为 A（4，0） ，过点 A 作斜率为 k（k0）的直线 l 交椭圆 C 于点 D，交 y 轴于点 E （1）求椭圆 C 的方程； （2）已知 P 为 AD 的中点，是否存在定点 Q，对于任意的 k（k0）都有 OPEQ，若 存在，求出点 Q 的坐标；若不存在说明理由； （3）若过 O 点作直线 l 的平行线交椭圆 C 于点 M，求: 的最小值来源:学科网 （1）由椭圆的离心率和左顶点，求出 a，b，由此能求出椭圆 C 的标准方程 （2）直线 l 的方程为 yk（x+4） ，与椭圆联立，得，
39、 （x+4）（4k2+3）x+16k212） 0，由此利用韦达定理、直线垂直，结合题意能求出结果 （3） OM 的方程可设为 ykx， 与椭圆联立得 M 点的横坐标为 = 43 42+3， 由 OMl， 能求出结果 （1）椭圆 C： 2 2 + 2 2 =1（ab0）的离心率 e= 1 2，左顶点为 A（4，0） ， a4，又 = 1 2，c2（2 分） 又b2a2c212， 椭圆 C 的标准方程为 2 16 + 2 12 = 1 （2）直线 l 的方程为 yk（x+4） ， 由 2 16 + 2 12 = 1 = ( + 4) 消元得， 2 16 + (:4)2 12 = 1 化简得， （x
40、+4）（4k2+3）x+16k212）0， x14，2= 162+12 42+3 （6 分）来源:学科网 ZXXK 当 = 162+12 42+3 时， = (16 2+12 42+3 + 4) = 24 42+3， (16 2+12 42+3 ， 24 42+3) 点 P 为 AD 的中点，P 的坐标为(16 2 42+3 ， 12 42+3)， 则= 3 4( 0) 直线 l 的方程为 yk（x+4） ，令 x0，得 E 点坐标为（0，4k） ， 假设存在定点 Q（m，n） （m0） ，使得 OPEQ， 则 kOPkEQ1，即 3 4 4 = 1恒成立， （4m+12）k3n0 恒成立，4 + 12 = 0 3 = 0 ，即 = 3 = 0 ， 定点 Q 的坐标为（3，0） （3）OM
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