1、2020 年北京市人大附中高考数学模拟试卷（年北京市人大附中高考数学模拟试卷（4 月份）月份） 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 10 个小题，每小题个小题，每小题 4 分，共分，共 40 分在每道小题给出的四个备选答分在每道小题给出的四个备选答 案中，只有一个是符合题目要求的，请将答案涂在机读卡上的相应位置上 ）案中，只有一个是符合题目要求的，请将答案涂在机读卡上的相应位置上 ） 1集合 Ax|x2，xR，Bx|x22x30，则 AB（ ） A （3，+） B （，1）（3，+） C （2，+） D （2，3） 2已知复数 za2i2ai 是正实数，则实数 a 的值为（ ） A0 B
2、1 C1 D1 3下列函数中，值域为 R 且为奇函数的是（ ） Ayx+2 Bysinx Cyxx3 Dy2x 4设等差数列an的前 n 项和为 Sn，若 a32，a1+a45，则 S6（ ） A10 B9 C8 D7 5在平面直角坐标系 xOy 中，将点 A（1，2）绕原点 O 逆时针旋转 90到点 B，设直线 OB 与 x 轴正半轴所成的最小正角为 ，则 cos 等于（ ） A B C D 6设 a，b，c 为非零实数，且 ac，bc，则（ ） Aa+bc Babc2 C D 7某四棱锥的三视图如图所示，记 S 为此棱锥所有棱的长度的集合，则（ ） A2，且S B2，且S C，且 D，且
3、8已知点 M（2，0） ，点 P 在曲线 y24x 上运动，点 F 为抛物线的焦点，则的最 小值为（ ） A B2（1） C4 D4 9已知函数的部分图象如图所示，将此图象分别作以下变换，那么变换后 的图象可以与原图象重合的变换方程是（ ） 绕着 x 轴上一点旋转 180； 沿 x 轴正方向平移； 以 x 轴为轴作轴对称； 以 x 轴的某一条垂线为轴作轴对称 A B C D 10设函数 f（x），若关于 x 的方程 f（x）a（aR）有四个实数 解 xi（i1，2，3，4） ，其中 x1x2x3x4，则（x1+x2） （x3x4）的取值范围是（ ） A （0，101 B （0，99 C （0，
4、100 D （0，+） 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 6 个小题，每小题个小题，每小题 5 分，共分，共 30 分）分） 11 （5 分）在二项式（x2+2）6的展开式中，x8的系数为 12（5 分） 若向量满足， 则实数 x 的取值范围是 13 （5 分）在党中央的正确指导下，通过全国人民的齐心协力，特别是全体一线医护人员 的奋力救治，二月份“新冠肺炎”疫情得到了控制如图是国家卫健委给出的全国疫情 通报，甲、乙两个省份从 2 月 7 日到 2 月 13 日一周的新增“新冠肺炎”确诊人数的折线 图如下： 根据图中甲、乙两省的数字特征进行比对，通过比较把你得到最重要的两个结论写在答
5、案纸指定的空白处 14 （5 分） 函数的最小正周期为 ；若函数 f（x）在区间 （0，a） 上单调递增，则 a 的最大值为 15 （5 分）集合 A（x，y）|x|+|y|a，a0，B（x，y）|xy|+1|x|+|y|，若 AB 是 平面上正八边形的顶点所构成的集合，则下列说法正确的为 a 的值可以为 2； a 的值可以为； a 的值可以为 2+； 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 6 个小题，共个小题，共 80 分，解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程 ）分，解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程 ） 16 （13 分）已知函数 f（x）sin（x+） （0，|）满足下列 3
6、个条件中的 2 个 条件： 函数 f（x）的周期为 ； x是函数 f（x）的对称轴； f（）0 且在区间（，）上单调 （）请指出这二个条件，并求出函数 f（x）的解析式； （）若 x0，求函数 f（x）的值域 17 （15 分）在四棱锥 PABCD 的底面 ABCD 中，BCAD，CDAD，PO平面 ABCD， O 是 AD 的中点，且 POAD2BC2CD2 （）求证：AB平面 POC； （）求二面角 OPCD 的余弦值； （）线段 PC 上是否存在点 E，使得 ABDE，若存在指出点 E 的位置，若不存在，请 说明理由 18 （14 分）2019 年底，北京 2022 年冬奥组委会启动志愿
7、者全球招募，仅一个月内报名人 数便突破 60 万，其中青年学生约有 50 万人现从这 50 万青年学生志愿者中，按男女分 层抽样随机选取 20 人进行英语水平测试，所得成绩（单位：分）统计结果用茎叶图记录 如图： （）试估计在这 50 万青年学生志愿者中，英语测试成绩在 80 分以上的女生人数； （）从选出的 8 名男生中随机抽取 2 人，记其中测试成绩在 70 分以上的人数为 X，求 X 的分布列和数学期望； （） 为便于联络， 现将所有的青年学生志愿者随机分成若干组 （每组人数不少于 5000） ， 并在每组中随机选取 m 个人作为联络员，要求每组的联络员中至少有 1 人的英语测试成 绩在
8、 70 分以上的概率大于 90% 根据图表中数据， 以频率作为概率， 给出 m 的最小值（结 论不要求证明） 19 （14 分）设函数 f（x）alnx+x2（a+2）x，其中 aR （）若曲线 yf（x）在点（2，f（2） ）处切线的倾斜角为，求 a 的值； （）已知导函数 f（x）在区间（1，e）上存在零点，证明：当 x（1，e）时，f（x） e2 20 （15 分）设椭圆，直线 l1经过点 M（m，0） ，直线 l2经过点 N（n，0） ， 直线 l1直线 l2，且直线 l1、l2分别与椭圆 E 相交于 A，B 两点和 C，D 两点 （）若 M，N 分别为椭圆 E 的左、右焦点，且直线
9、l1x 轴，求四边形 ABCD 的面积； （）若直线 l1的斜率存在且不为 0，四边形 ABCD 为平行四边形，求证：m+n0； （）在（）的条件下，判断四边形 ABCD 能否为矩形，说明理由 21 （14 分）对于正整数 n，如果 k（kN*）个整数 a1，a2，ak满足 1a1a2ak n，且 a1+a2+akn，则称数组（a1，a2，ak）为 n 的一个“正整数分拆” 记 a1，a2，ak均为偶数的“正整数分拆”的个数为 fn；a1，a2，ak均为奇数的“正 整数分拆”的个数为 gn （）写出整数 4 的所有“正整数分拆” ； （）对于给定的整数 n（n4） ，设（a1，a2，ak）是
10、n 的一个“正整数分拆” ，且 a12，求 k 的最大值； （）对所有的正整数 n，证明：fngn；并求出使得等号成立的 n 的值 （注：对于 n 的两个“正整数分拆” （a1，a2，ak）与（b1，b2，bn） ，当且仅当 km 且 a1b1，a2b2，akbm时，称这两个“正整数分拆”是相同的 ） 2020 年北京市人大附中高考数学模拟试卷（年北京市人大附中高考数学模拟试卷（4 月份）月份） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 10 个小题，每小题个小题，每小题 4 分，共分，共 40 分在每道小题给出的四个备选答分在每道小题给出的四个备选答 案
11、中，只有一个是符合题目要求的，请将答案涂在机读卡上的相应位置上 ）案中，只有一个是符合题目要求的，请将答案涂在机读卡上的相应位置上 ） 1 【分析】求出集合 B，再求出交集 【解答】解：Ax|x2，xR，Bx|x22x30x|x3 或者 x1， 则 AB（3，+） ， 故选：A 【点评】考查集合的运算及其交集，基础题 2 【分析】结合已知及复数的概念进行求解即可 【解答】解：因为 za2i2ai 是正实数， 所以，解可得 a1 故选：C 【点评】本题主要考查了复数概念的简单应用，属于基础试题 3 【分析】分别结合奇偶性及函数的值域判断各选项即可求解 【解答】解：A：yx+2 为非奇非偶函数，不
12、符合题意； B：ysinx 的值域1，1，不符合题意； C：yxx3为奇函数且值域为 R，符合题意； D：y2x为非奇非偶函数，不符合题意 故选：C 【点评】本题 主要考查了基本初等函数的奇偶性的判断及值域的求解，属于基础试题 4 【分析】先求出公差，再根据求和公式即可求出 【解答】解：等差数列an的前 n 项和为 Sn，若 a32，a1+a45， a32d+a3+d5， 4d5， 解得 d1， a12+24，a6a1+5d451， S69， 故选：B 【点评】本题考查了等差数列的通项公式和求和公式，属于基础题 5 【分析】由题意利用任意角的三角函数的定义，复数乘法的几何意义，诱导公式，求出
13、cos 的值 【解答】解：在平面直角坐标系 xOy 中，将点 A（1，2）绕原点 O 逆时针旋转 90到点 B， 设点 B（x，y） ，则 x+yi（1+2i） （cos90+isin90） ， 即 x+yi2+i，x2，y1，即 B（2，1） 由题意，sin（90）cos，cos， 故选：A 【点评】本题主要考查任意角的三角函数的定义，复数乘法的几何意义，诱导公式，属 于基础题 6 【分析】利用不等式的可加性得 a+b2c，由此可判断选项 C 正确 【解答】解：ac，bc， a+b2c， 故选：C 【点评】本题考查不等式性质的运用，属于基础题 7 【分析】首先把三视图转换为几何体，进一步求出
14、个各棱长 【解答】解：根据几何体的三视图转换为几何体为：该几何体为四棱锥体， 如图所示： 所以：ABBCCDADDE2， AECE2，BE 故选：D 【点评】本题考查的知识要点：三视图和几何体之间的转换，主要考查学生的运算能力 和转换能力及思维能力，属于基础题型 8 【分析】设出 P 的坐标，利用已知条件化简表达式，通过基本不等式求解最小值即可 【解答】解：设 P（x，y） ，可得x24 当且仅当 x2 时取得最小值 4 故选：D 【点评】本题考查抛物线的简单性质以及基本不等式的应用，是基本知识的考查 9 【分析】结合图象直接观察得解 【解答】解：由图象可知，函数 f（x）具有周期性，且有对称
15、轴， 故正确 故选：D 【点评】本题主要考查函数图象的变换，考查数形结合思想，属于基础题 10 【分析】由函数的图象及性质判断出 x1，x2，x3，x4之间的关系，进而把所求式子转化 为函数 yx在，1）上取值范围，即可得到所求范围 【解答】解：函数 f（x）的图象如右： 关于 x 的方程 f（x）a（aR）有四个实数解， 可得 yf（x）的图象与直线 ya 有四个交点， 可以判断 0a1，x1+x22（5）10， |lgx3|lgx4|1， 且x31，1x410，可得lgx3lgx4， 即 lgx3+lgx40， 即有 x3x41， x4， 故（x1+x2） （x3x4）10（x3） ， 又
16、由函数 yx在，1）上递增， 可得函数 yx在，1）上的值域为9.9，0） ， 可知10（x3）的取值范围为（0，99 故选：B 【点评】本题考查函数图象的运用及函数方程的关系，考查数形结合思想，正确作出函 数图象，并从图象中挖掘出有效信息是解题的关键，属于中档题 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 6 个小题，每小题个小题，每小题 5 分，共分，共 30 分）分） 11 【分析】先求出二项式展开式的通项公式，再令 x 的幂指数等于 8，求得 r 的值，即可求 得展开式的 x8项的系数 【解答】解：二项式（x2+2）6展开式的通项公式为 Tr+1x12 2r2r2r x12 2r， 令
17、122r8，解得 r2， 故二项式（x2+2）6展开式中的 x8项的系数为：2260， 故答案为：60 【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项式系数的性质，二项式展开式的通项公 式，求展开式中某项的系数，属于中档题 12 【分析】先利用向量数量积的坐标运算得出，再解关于 x 的不等式即可 【解答】解：因为：向量； x2+2x； x2+2x33x1； 故实数 x 的取值范围是： （3，1） 故答案为： （3，1） 【点评】本题考查向量数量积的坐标运算，不等式的解法，属于基础题目 13 【分析】直接由频率折线图得结论 【解答】解：由频率折线图可知，甲省控制较好，确诊人数趋于减少；乙省确诊人数相
18、 对稳定，也向好的趋势发展 故答案为：甲省控制较好，确诊人数趋于减少；乙省确诊人数相对稳定，也向好的 趋势发展 【点评】本题考查频率折线图，考查学生读取图表的能力，是基础题 14 【分析】由题意利用正弦函数的周期性和单调性，得出结论 【解答】解：函数的最小正周期为；若函数 f（x）在区间（0，a） 上单调递增， 当 x0 时，2x+；当 xa 时，2x+2a+， 2a+，0a， 故答案为：； 【点评】本题主要考查正弦函数的周期性和单调性，属于基础题 15 【分析】根据曲线性质求出集合 A，B 对应的图象，结合两角和差的正切公式进行求解 即可 【解答】解：A（x，y）|x|+|y|a，a0， x
19、0，y0 时，即 x+ya 表示在第一象限内的线段 将 x，y 分别换成x，y 方程不变，因此 |x|+|y|a 关于 x 轴对称，也关于 y 轴对称 那么，集合 A（x，y）|x|+|y|a，a0 表示点集为正方形， |xy|+1|x|+|y| |xy|x|y|+10 即（|x|1） （|y|1）0 |x|1 或|y|1 即 x1，y1 B（x，y）|x1，或 x1，表示 2 组平行线， AB 为 8 个点，构成正八边形 如图 1，AOB45 又 A（1，a1） ，tanxOAa1， tanAOBtan2xOA1， 即 2a22aa2，a22 a0，a 如图 2，AOB45 又 A（a1，1
20、） tanxOA， tanAOBtan2xOA1， 即 2a22a+a2， a24a+20， 解得 a2+或 a2（舍） ， 综上 a或 a2+ 故答案为： 【点评】本题主要考查集合的基本运算，利用曲线的轨迹，结合两角和差的正切公式是 解决本题的关键综合性较强，难度较大 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 6 个小题，共个小题，共 80 分，解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程 ）分，解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程 ） 16 【分析】 （）由题意知应选择，由求出 的值，由结合题意求出 的值， 写出函数的解析式； （）根据 x 的取值范围，利用三角函数的图象与性质求出函数的值域
21、【解答】解： （）由题意知选择； 由函数 f（x）的周期为 ，得 2； 又 x是函数 f（x）的对称轴，所以 2+k，kZ； 解得 +k，kZ； 又|，所以 ； 所以 f（x）sin（2x+） （）x0，时，2x+， 所以 sin（2x+），1， 所以函数 f（x）在 x0，内的值域是，1 【点评】本题主要考查三角函数的图象与性质的应用问题，也考查了运算求解能力，是 基础题 17 【分析】 （）易证四边形 AOBC 是平行四边形，进而得到 ABOC，由此得证； （） 建立空间直角坐标系， 求出平面 OPC 及平面 PCD 的法向量， 利用向量公式得解； （）假设存在，设出点 E 的坐标，通过
22、ABDE 时，它们的数量积为 0，建立方程即 可得出结论 【解答】解： （）连接 OC， O 是 AD 的中点，AD2BC2，BCAD， OABC，且 OABC1， 四边形 AOBC 是平行四边形， ABOC， AB 不在平面 POC 内，OC 在平面 POC 内， AB平面 POC； （）由（）可知，四边形 OBCD 也为平行四边形， 又 ODCD1，CDAD， 四边形 OBCD 是正方形，则 OBOD， 又 PO平面 ABCD，故以 O 为坐标原点，OB，OD，OP 所在直线分别为 x 轴，y 轴，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则 O （ 0 ， 0 ， 0 ） ， P （ 0 ，
23、 0 ， 2 ） ， C （ 1 ， 1 ， 0 ） ， D （ 0 ， 1 ， 0 ） ， ， 设 平 面 OPC 的 一 个 法 向 量 为， 则， 可 取 ， 设平面PCD的一个法向量为， 则， 可取， 设二面角OPCD的平面角为，则 ； （）假设线段 PC 上存在点 E，且满足，使得 ABDE， 设 E（r，t，s） ，则（r，t，s2）（1，1，2）（，2） ，故， 即 E（，22） ， ， 又， ，解得， 故线段 PC 上存在点 E，且满足，使得 ABDE 【点评】 本题考查线面平行的判定， 空间向量与二面角以及通过数量积来证明线线垂直， 考查逻辑推理能力，运算求解能力，数形结合思
24、想等，属于中档题 18 【分析】 （I）由图表可知，测试成绩在 80 分以上的女生有 2 人，占比为，再求 出结论即可； （II）根据题意，选取的 8 名男生中，成绩在 70 分以上的有 3 人，70 分及其以下的有 5 人，X0，1，2，求出分布列和数学期望； （III）根据题意，求出即可 【解答】解： （I）由图表可知，测试成绩在 80 分以上的女生有 2 人，占比为， 在这 50 万青年学生志愿者中，英语测试成绩在 80 分以上的女生人数约为 500.15 万 人； （II）由图表得，选取的 8 名男生中，成绩在 70 分以上的有 3 人，70 分及其以下的有 5 人， 记其中测试成绩在
25、 70 分以上的人数为 X， 选出的 8 名男生中随机抽取 2 人， 则 X0， 1， 2， 则 P（X0）， P（X1）， P（X2）， X 的分布列如下： x 0 1 2 p 故 E（X）0， （III）m 的最小值为 4 【点评】本题考查了茎叶图，考查了离散型随机变量求分布列和数学期望，考查运算能 力和实际应用能力，中档题 19 【分析】 （）求出函数在 x2 处的导数 f（2）+2tan1，解得 a2； （）根据导函数在（1，e）上存在零点，则 f（x）0 在（1，e）上有解，则有 1 e，即 2a2e，得到函数 f（x）的最小值，构造函数 g（x）xlnx（1+ln2） x，2x2e
26、，利用导数判断出其单调性，结合不等式传递性可证 【解答】 （）解：根据条件 f（x）+2x（a+2） ， 则当 x2 时，f（2）+4（a+2）+2tan1，解得 a2； （）证明：因为 f（x）+2x（a+2）， 又因为导函数 f（x）在（1，e）上存在零点， 所以 f（x）0 在（1，e）上有解，则有 1e，即 2a2e， 且当 1x时，f（x）0，f（x）单调递减，当xe 时，f（x）0，f（x） 单调递增， 所以 f（x）f（）aln+（a+2）alna（1+ln2）a， 设 g（x）xlnx（1+ln2）x，2x2e， 则 g（x）lnx+1（1+ln2）lnxln2， 则 g（x）
27、0，所以 g（x）在（2，2e）上单调递减， 所以 g（x）在（2，2e）上单调递减， 则 g（2e）2eln2ee22e（1+ln2）e2g（2） ， 所以 g（x）e2， 则根据不等式的传递性可得，当 x（1，e）时，f（x）e2 【点评】本题考查利用导数表示曲线上某点处的斜率，考查导数的综合应用，属于难题 20 【分析】 （）易知，此时四边形 ABCD 为矩形，且，由此求得面 积； （）设直线 l1的方程，并与椭圆方程联立，可得到|AB|的长度，同理可得|CD|的长度， 由|AB|CD|，可得 m2n2，进而得证； （）运用反证法，假设平行四边形 ABCD 为矩形，但此时推出直线 l1x
28、 轴，与题设矛 盾，进而得出结论 【解答】 解：（） 由题意可得， 且四边形 ABCD 为矩形， ； （）证明：由题可设，l1：xty+m（tR） ，A（x1，y1） ，B（x2，y2） ， 由得， （t2+2）y2+2mty+m220， ，且4m2t24（t2+2） （m22）0，即 t2m2+2 0， ， 同理可得， 四边形 ABCD 为平行四边形， |AB|CD|，即 m2n2， 由 mn，故 mn，即 m+n0，即得证； （）不能为矩形，理由如下： 点 O 到直线 l1，直线 l2的距离分别为， 由（）可知，mn， 点 O 到直线 l1，直线 l2的距离相等， 根据椭圆的对称性，原点
29、O 应为平行四边形 ABCD 的对称中心， 假设平行四边形 ABCD 为矩形，则|OA|OB|， 那么，则， x1x2，这是直线 l1x 轴，这与直线 l1的斜率存在矛盾，故假设不成立，即平行四边 形 ABCD 不为矩形 【点评】本题考查直线与椭圆的综合运用，涉及了弦长公式以及点到直线的距离公式的 运用，考查逻辑推理能力以及计算求解能力，属于中档题 21 【分析】 （）由“正整数分拆”的定义能求出整数 4 的所有“正整数分拆” （）欲使 k 最大，只须 ai最小，由此根据 n 为偶数和 n 为奇数，能求出 k 的最大值 （）当 n 为奇数时，fn0，满足 fngn；当 n 为偶数时，设（a1，
30、a2，ak）为满足 a1， a2， ， ak均为偶数的一个确定的 “正整数分拆” ， 则他对应了各数均为奇数的分拆， 从而 fngn；当 n2 时，f2g2；当 n4 时，f4g4；当 n6 时，fngn由此能证明 fngn，并能求出等号成立的 n 的值为 2，4 【解答】解： （）解：整数 4 的所有“正整数分拆”有： （4） ， （1，3） ， （2，2） ， （1，1，2） ， （1，1，1，1， ） （）解：欲使 k 最大，只须 ai最小， 当 n 为偶数时，a1a2ak2，k， 当 n 为奇数时，a1a2ak12，ak3，k （）证明：当 n 为奇数时，不存在 a1，a2，ak均为偶
31、数的一个确定的“正整数 分拆” ， 即 fn0，满足 fngn； 当 n 为偶数时，设（a1，a2，ak）为满足 a1，a2，ak均为偶数的一个确定的 “正整数分拆” ， 则他至少对应了（1，1，1）和（1，1，1，a11，a21，ak1）这两种 各数均为奇数的分拆， fngn； 当 n2 时，ai均为偶数的“正整数分拆“只有： （2） ， ai均为奇数的”正整数分拆“只有： （1，1） ，f2g2； 当 n4 时，ai均为偶数的”正整数分拆“只有： （4） ， （2，2） ， ai均为奇数的”正整数分拆“只有： （1，1，1） ， （1，3） ，f4g4； 当 n6 时，对于每一种 ai均为偶数的”正整数分拆“， 除了各项不全为 1 的奇数分拆之外至少多出一个各为 1 的” 正整数分拆 “ （1， 1， ， 1） ， fngn 综上，使得 fngn中等号成立的 n 的值为 2，4 【点评】 本题考查正整数分拆的定义及应用， 最大的实数值的求法， 考查不等式的证明， 考查分类讨论思想，考查推理论证能力、运算求解能力，是中档题
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