1、2018-2019 学年湖南省湘潭县一中、双峰一中、邵东一中、永州学年湖南省湘潭县一中、双峰一中、邵东一中、永州 四中高二（下）四中高二（下）3 月联考数学试卷（理科）一、选择题（本大题 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有分，在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的）一项是符合题目要求的） 1 （5 分）若复数 z 满足（34i）z|4+3i|，则 z 的虚部为（ ） A4 B C D4 2 （5 分）已知 f（x）满足对xR，f（x）+f（x）0，且 x0 时，f（x）ex+m（m 为 常数） ，则 f（ln5）的值为（ ）
2、 A4 B4 C6 D6 3 （5 分）某工厂甲、乙、丙三个车间生产了同一种产品，数量分别为 120 件，80 件，60 件为了解它们的产品质量是否存在显著差异，用分层抽样方法抽取了一个容量为 n 的 样本进行调查，其中从丙车间的产品中抽取了 3 件，则 n（ ） A9 B10 C12 D13 4 （5 分）若变量 x，y 满足不等式组，且 z3xy 的最大值为 7，则实数 a 的值 为（ ） A1 B7 C1 D7 5 （5 分）执行如图的程序框图，如果输入的 a1，则输出的 S（ ） 第 2 页（共 22 页） A2 B3 C4 D5 6 （5 分）一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的
3、体积为（ ） A2 B1 C D 7（5 分） 已知向量 ， 的夹角为 120， | | |1. 与 + 共线， | + |的最小值为 （ ） A1 B C D 8 （5 分）若实数 a，b 满足 a0，b0，则“ab”是“a+lnab+lnb”的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 第 3 页（共 22 页） C充分必要条件 D既不充分也不必要条件 9 （5 分）下列推理是归纳推理的是（ ） AA，B 为定点，动点 P 满足|PA|+|PB|2a|AB|，得 P 的轨迹为椭圆 B由 a1a，an3n1，求出 S1，S2，S3，猜想出数列的前 n 项和 Sn的表达式 C由圆 x2+y2r
4、2的面积 r2，猜想出椭圆的面积 Sab D科学家利用鱼的沉浮原理制造潜艇 10 （5 分）已知点 P 是抛物线 y22x 上的动点，点 P 在 y 轴上的射影是 M，点， 则|PA|+|PM|的最小值是（ ） A5 B C4 D 11 （5 分）已知双曲线1（a0，b0）的左、右焦点分别为 F1、F2，点 P 在 双曲线的右支上，且|PF1|4|PF2|，则此双曲线的离心率 e 的最大值为（ ） A B C D 12 （5 分）已知函数 f（x）x26x3，g（x）2x3+3x212x+9，m2，若x1m， 2） ，x2（0，+） ，使得 f（x1）g（x2）成立，则 m 的最小值为（ ）
5、A5 B4 C2 D3 二、填空题（本大题二、填空题（本大题 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分，把答案填在题中横线上）分，把答案填在题中横线上） 13 （5 分）设 sin（+），则 sin2 14 （5 分）曲线 yx2与直线 yx 所围成图形的面积为 15 （5 分）半径为 1 的球 O 内有一个内接正三棱柱，当正三棱柱的侧面积最大时，球的表 面积与该正三棱柱的侧面积之差是 16 （5 分）若方程（x2）2exae x+2a|x2|0 有且仅有 6 个不相等的实数根，则实数 a 的取值范围是 三、解答题：本大题共三、解答题：本大题共 70 分分.解答应写出文字说明，
6、证明过程或演算步骤解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17 （10 分）已知函数 f（x）和 g（x）的图象关于原点对称，且 f（x）x2+2x若函数 h （x）g（x）f（x）+1 在1，1上是增函数，求实数 的取值范围 18 （12 分）在锐角ABC 中，a、b、c 分别为角 A、B、C 所对的边，且2csinA 第 4 页（共 22 页） （1）确定角 C 的大小； （2）若 c，且ABC 的面积为，求 a+b 的值 19 （12 分）已知等比数列an中，a12，a3+2 是 a2和 a4的等差中项 （1）求数列an的通项公式 （2）记 bnanlog2an，求数列bn的前 n 项
7、和 Tn 20 （12 分）如图，在四棱锥 PABCD 中，AD平面 PDC，ADBC，PDPB，AD1， BC3，CD4，PD2 （1）求异面直线 AP 与 BC 所成角的余弦值 （2）求直线 AB 与平面 PBC 所成角的正弦值 21 （12 分）已知椭圆 C：+1（ab0） ，四点 P1（1，1） ，P2（0，1） ，P3（1， ） ，P4（1，）中恰有三点在椭圆 C 上 （1）求 C 的方程； （2）设直线 l 不经过 P2点且与 C 相交于 A，B 两点若直线 P2A 与直线 P2B 的斜率的 和为1，证明：l 过定点 22 （12 分）已知函数 f（x）x2ax+lnx（aR） （
8、1）若 f（x）在定义域上不单调，求 a 的取值范围； （2）设 a，m，n 分别是 f（x）的极大值和极小值，且 Smn，求 S 的取值范 围 第 5 页（共 22 页） 2018-2019 学年湖南省湘潭县一中、双峰一中、邵东一中、永州学年湖南省湘潭县一中、双峰一中、邵东一中、永州 四中高二（下）四中高二（下）3 月联考数学试卷（理科）月联考数学试卷（理科） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题（本大题一、选择题（本大题 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有分，在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的）一项是符合
9、题目要求的） 1 （5 分）若复数 z 满足（34i）z|4+3i|，则 z 的虚部为（ ） A4 B C D4 【分析】根据复数的有关概念进行运算即可 【解答】解：由（34i）z|4+3i|，得（34i）z5， 即 z+i， 故 z 的虚部为， 故选：C 【点评】本题主要考查复数的有关运算，根据复数的基本运算是解决本题的关键 2 （5 分）已知 f（x）满足对xR，f（x）+f（x）0，且 x0 时，f（x）ex+m（m 为 常数） ，则 f（ln5）的值为（ ） A4 B4 C6 D6 【分析】根据已知可得 f（0）0，进而求出 m 值，得到 x0 时，f（x）的解析式，先 求出 f（ln
10、5） ，进而可得答案 【解答】解：f（x）满足对xR，f（x）+f（x）0， 故 f（x）f（x） ， 故 f（0）0 x0 时，f（x）ex+m， f（0）1+m0， m1， 即 x0 时，f（x）ex1， 则 f（ln5）4 f（ln5）f（ln5）4， 第 6 页（共 22 页） 故选：B 【点评】本题考查的知识点是抽象函数及其应用，函数求值，难度中档 3 （5 分）某工厂甲、乙、丙三个车间生产了同一种产品，数量分别为 120 件，80 件，60 件为了解它们的产品质量是否存在显著差异，用分层抽样方法抽取了一个容量为 n 的 样本进行调查，其中从丙车间的产品中抽取了 3 件，则 n（ ）
11、 A9 B10 C12 D13 【分析】甲、乙、丙三个车间生产的产品数量的比依次为 6：4：3，求出丙车间生产产品 所占的比例，从而求出 n 的值 【解答】解：甲、乙、丙三个车间生产的产品件数分别是 120，80，60， 甲、乙、丙三个车间生产的产品数量的比依次为 6：4：3， 丙车间生产产品所占的比例， 因为样本中丙车间生产产品有 3 件，占总产品的， 所以样本容量 n313 故选：D 【点评】本题主要考查了分层抽样方法，解题要分清具体问题中的总体、个体与样本， 关键是明确考查的对象总体、个体与样本的考查对象是相同的，所不同的是范围的大 小 4 （5 分）若变量 x，y 满足不等式组，且 z
12、3xy 的最大值为 7，则实数 a 的值 为（ ） A1 B7 C1 D7 【分析】作出可行域，变形目标函数，平移直线可得 z 的最值，可得 a 的方程，解方程 可得 【解答】解：作出不等式组所对应可行域，如图， 变形目标函数 z3xy 可得 y3xz，平移直线 y3x 可知： 当直线经过点 A 时，直线截距最小值，z 取最大值，由解得 A（a+2，2） 第 7 页（共 22 页） 代值可得 3a+627，解得 a1， 故选：A 【点评】本题考查简单线性规划，准确作图是解决问题的关键，属中档题 5 （5 分）执行如图的程序框图，如果输入的 a1，则输出的 S（ ） A2 B3 C4 D5 【分
13、析】执行程序框图，依次写出每次循环得到的 S，K 值，当 K7 时，程序终止即可 第 8 页（共 22 页） 得到结论 【解答】解：执行程序框图，有 S0，K1，a1，代入循环， 第一次满足循环，S1，a1，K2； 满足条件，第二次满足循环，S1，a1，K3； 满足条件，第三次满足循环，S2，a1，K4； 满足条件，第四次满足循环，S2，a1，K5； 满足条件，第五次满足循环，S3，a1，K6； 满足条件，第六次满足循环，S3，a1，K7； K6 不成立，退出循环输出 S 的值为 3 故选：B 【点评】本题主要考查了程序框图和算法，属于基本知识的考查，比较基础 6 （5 分）一个几何体的三视图
14、如图所示，则该几何体的体积为（ ） A2 B1 C D 【分析】由已知中的三视图，我们可以判断出该几何体的几何特征，及几何体的形状， 求出棱长、高等信息后，代入体积公式，即可得到答案 【解答】解：由图可知该几何体是一个四棱锥 其底面是一个对角线为 2 的正方形，面积 S222 高为 1 则 V 故选：C 【点评】本题考查的知识点是由三视图求体积，其中根据已知中的三视图判断该物体是 一个底面为对角为 2 的正方形，高为 1 的四棱锥是解答本题的关键 第 9 页（共 22 页） 7（5 分） 已知向量 ， 的夹角为 120， | | |1. 与 + 共线， | + |的最小值为 （ ） A1 B
15、C D 【分析】设（R） ，先求的最小值，然后求| + |的最小值，利 用数量积的运算性质及二次函数性质可求得的最小值 【解答】解：设（R） ， 则 2+1（+）2+， 所以| + |，即| + |的最小值为， 故选：D 【点评】本题考查平面向量数量积的运算、用数量积表示夹角及向量共线等知识，考查 学生灵活运用知识解决问题的能力 8 （5 分）若实数 a，b 满足 a0，b0，则“ab”是“a+lnab+lnb”的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件 【分析】据 a，b 的范围结合函数的单调性确定充分条件，还是必要条件即可 【解答】解：设 f（x）
16、x+lnx，显然 f（x）在（0，+）上单调递增， ab， f（a）f（b） ， a+lnab+lnb， 故充分性成立， a+lnab+lnb” ， f（a）f（b） ， ab， 故必要性成立， 第 10 页（共 22 页） 故“ab”是“a+lnab+lnb”的充要条件， 故选：C 【点评】本题考查了函数的单调性，必要条件、充分条件与充要条件的判断，是基础题 9 （5 分）下列推理是归纳推理的是（ ） AA，B 为定点，动点 P 满足|PA|+|PB|2a|AB|，得 P 的轨迹为椭圆 B由 a1a，an3n1，求出 S1，S2，S3，猜想出数列的前 n 项和 Sn的表达式 C由圆 x2+y
17、2r2的面积 r2，猜想出椭圆的面积 Sab D科学家利用鱼的沉浮原理制造潜艇 【分析】根据归纳推理，演绎推理，类比推理的特点，分析可得答案 【解答】解：A 是由一般到特殊的推理，是演绎推理； B 是由特殊到一般的推理，是归纳推理； C 是由特殊到特殊的推理，是类比推理； D 是由特殊到特殊的推理，是类比推理； 故选：B 【点评】本题考查的知识点是归纳推理，掌握各种推理的特征是解答的关键 10 （5 分）已知点 P 是抛物线 y22x 上的动点，点 P 在 y 轴上的射影是 M，点， 则|PA|+|PM|的最小值是（ ） A5 B C4 D 【分析】先根据抛物线的方程求得焦点坐标和准线方程，延
18、长 PM 交准线于 H 点推断出 |PA|PH|，进而表示出|PM|，问题转化为求 PF|+|PA|的最小值，由三角形两边长大于第 三边可知，|PF|+|PA|FA|，直线 FA 与 抛物线交于 P0点，可得 P0，分析出当 P 重合于 P0时，|PF|+|PA|可取得最小值，进而求得|FA|，则|PA|+|PM|的最小值可得 【解答】解：依题意可知焦点 F（，0） ，准线 x，延长 PM 交准线于 H 点则|PF| |PH| |PM|PH|PF| |PM|+|PA|PF|+|PA|，我们只有求出|PF|+|PA|最小值即可 由三角形两边长大于第三边可知，|PF|+|PA|FA|， 第 11
19、页（共 22 页） 设直线 FA 与 抛物线交于 P0点，可计算得 P0 （3，） ，另一交点（，）舍去 当 P 重合于 P0时，|PF|+|PA|可取得最小值，可得|FA|5 则所求为|PM|+|PA|5 故选：B 【点评】本题主要考查了抛物线的简单性质考查了考生分析问题的能力，数形结合的 思想的运用 11 （5 分）已知双曲线1（a0，b0）的左、右焦点分别为 F1、F2，点 P 在 双曲线的右支上，且|PF1|4|PF2|，则此双曲线的离心率 e 的最大值为（ ） A B C D 【分析】由双曲线的定义可得|PF1|PF2|3|PF2|2a，再根据点 P 在双曲线的右支上， |PF2|c
20、a，从而求得此双曲线的离心率 e 的最大值 【解答】解：P 在双曲线的右支上， 由双曲线的定义可得|PF1|PF2|2a， |PF1|4|PF2|， 4|PF2|PF2|2a，即|PF2|a， 根据点 P 在双曲线的右支上，可得|PF2|aca，ac，即 e， 此双曲线的离心率 e 的最大值为， 故选：C 【点评】本题考查双曲线的定义和标准方程，以及双曲线的简单性质的应用，利用双曲 线的定义转化为|PF2|ca 是解决本题的关键 第 12 页（共 22 页） 12 （5 分）已知函数 f（x）x26x3，g（x）2x3+3x212x+9，m2，若x1m， 2） ，x2（0，+） ，使得 f（x
21、1）g（x2）成立，则 m 的最小值为（ ） A5 B4 C2 D3 【分析】利用导数先求出函数 g（x）的最小值，再根据函数 f（x）的图象和性质，即可 求出 m 的最小值 【解答】解：g（x）2x3+3x212x+9， g（x）6x2+6x126（x+2） （x1） ， 则当 0x1 时，g（x）0，函数 g（x）递减， 当 x1 时，g（x）0，函数 g（x）递增， g（x）ming（1）2， f（x）x26x3（x+3）2+66， 作函数 yf（x）的图象，如图所示， 当 f（x）2 时，方程两根分别为5 和1， 则 m 的最小值为5， 故选：A 【点评】本题主要考查了了函数的值域，根
22、据函数值域之间的关系是解决本题的关键 二、填空题（本大题二、填空题（本大题 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分，把答案填在题中横线上）分，把答案填在题中横线上） 13 （5 分）设 sin（+），则 sin2 【分析】利用两角和的正弦公式可得 +，平方可得 +sin2 第 13 页（共 22 页） ，由此解得 sin2 的值 【解答】解：sin（+），即 +，平方可得 +sin2 ，解得 sin2， 故答案为 【点评】本题主要考查两角和的正弦公式、二倍角的正弦的应用，属于基础题 14 （5 分）曲线 yx2与直线 yx 所围成图形的面积为 【分析】先根据题意画出区域，然后
23、依据图形得到积分下限为 0，积分上限为 1，从而利 用定积分表示出曲边梯形的面积，最后用定积分的定义求出所求即可 【解答】解：先根据题意画出图形，得到积分上限为 1，积分下限为 0 直线 yx 与曲线 yx2所围图形的面积 S01（xx2）dx 而01（xx2）dx（ ）|01 曲边梯形的面积是 故答案为： 【点评】本题主要考查了学生会求出原函数的能力，以及考查了数形结合的思想，同时 会利用定积分求图形面积的能力，属于基础题 15 （5 分）半径为 1 的球 O 内有一个内接正三棱柱，当正三棱柱的侧面积最大时，球的表 面积与该正三棱柱的侧面积之差是 43 【分析】如图所示，设球心为 O 点，上
24、下底面的中心分别为 O1，O2设正三棱柱的底面 边长与高分别为 x，h可得 O2Ax在 RtOAO2中，利用勾股定理可得 第 14 页（共 22 页） 1，由于 S侧3xh，可得 S侧 29x2h212x2（3x2） ，即可得出 【解答】解：如图所示， 设球心为 O 点，上下底面的中心分别为 O1，O2 设正三棱柱的底面边长与高分别为 x，h 则 O2Ax， 在 RtOAO2中，1， 化为 h24x2 S侧3xh， S侧 29x2h212x2（3x2） 27 当且仅当 x时取等号，S侧3 球的表面积与该正三棱柱的侧面积之差是 43， 故答案为：43 【点评】本题考查了正三棱柱的性质、勾股定理、
25、基本不等式的性质，考查了推理能力 与计算能力，属于中档题 16 （5 分）若方程（x2）2exae x+2a|x2|0 有且仅有 6 个不相等的实数根，则实数 a 的取值范围是 【分析】令 g（x）|x2|ex，则方程有 6 解等价 g2（x）2ag（x）+a0 有 6 解，判断 g（x）的单调性得出 g（x）t 的根的分布情况，得出方程 t22at+a0 的根的分布情况， 利用二次函数的性质列不等式组解出 a 的范围 【解答】解： 第 15 页（共 22 页） （x2）2exae x+2a|x2|0， 令，则， 当 x2 或 x1 时，g（x）0，当 1x2 时，g（x）0， g（x）在（，
26、1）上单调递增，在（1，2）上单调递减，在（2，+）上单调递增， 当 x1 时，g（x）取得极大值 g（1）e， 又 x时，g（x）0，g（2）0，x+时，g（x）+， 作出 g（x）的函数图象如图所示， 令 g（x）t，由图象可知，当 0te 时，方程 g（x）t 有 3 解， 当 t0 或 te 时，方程 g（x）t 有 1 解， 当 te 时，方程 g（x）t 有 2 解，当 t0 时，方程 g（x）t 无解， 方程（x2）2exae x+2a|x2|0 有 6 个解， 即 g2（x）+2ag（x）a0 有 6 个解， 关于 t 的方程 t2+2ata0 在（0，e）有 2 个解， ，解
27、得， 故答案为 【点评】本题主要 考查了函数的零点定义的应用，函数性质的综合应用时求解本题的关 键 三、解答题：本大题共三、解答题：本大题共 70 分分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17 （10 分）已知函数 f（x）和 g（x）的图象关于原点对称，且 f（x）x2+2x若函数 h （x）g（x）f（x）+1 在1，1上是增函数，求实数 的取值范围 第 16 页（共 22 页） 【分析】根据已知条件可求得 g（x）x2+2x，所以 h（x）（1）x2+（22） x+1，1 时，h（x）4x+1，在1，1上是增函数；1 时，根据二次函数的单 调
28、性即可求得 的范围，合并 1 即得 的取值范围 【解答】解：根据已知条件知，g（x）f（x）x22x（x）2+2（x） ； g（x）x2+2x； h（x）x2+2x（x2+2x）+1（1）x2+（22）x+1； 即 h（x）（1）x2+（22）x+1； 若 1，h（x）4x+1，满足在1，1上是增函数； 若 1，h（x）是二次函数，对称轴为 x； ，或； 解得 1，或10； 综上得实数 的取值范围为（，0 【点评】考查根据原点对称的点的坐标的特点，以及一次函数、二次函数的单调性，二 次函数的对称轴 18 （12 分）在锐角ABC 中，a、b、c 分别为角 A、B、C 所对的边，且2csinA
29、（1）确定角 C 的大小； （2）若 c，且ABC 的面积为，求 a+b 的值 【分析】 （1）利用正弦定理把已知条件转化成角的正弦，整理可求得 sinC，进而求得 C （2）利用三角形面积求得 ab 的值，利用余弦定理求得 a2+b2的值，最后求得 a+b 的值 【解答】解： （1）2csinA 正弦定理得， A 锐角， sinA0， ， 又C 锐角， （2）三角形 ABC 中，由余弦定理得 c2a2+b22abcosC 第 17 页（共 22 页） 即 7a2+b2ab， 又由ABC 的面积得 即 ab6， （a+b）2a2+b2+2ab25 由于 a+b 为正，所以 a+b5 【点评】本
30、题主要考查了正弦定理和余弦定理的运用考查了学生对三角函数基础知识 的综合运用 19 （12 分）已知等比数列an中，a12，a3+2 是 a2和 a4的等差中项 （1）求数列an的通项公式 （2）记 bnanlog2an，求数列bn的前 n 项和 Tn 【分析】 （1）等比数列an中，a12，a3+2 是 a2和 a4的等差中项，有等比数列的首项 和公比分别表示出已知条件，解方程组即可求得首项和公比，代入等比数列的通项公式 即可求得结果； （2）把（1）中求得的结果代入 bnanlog2an，求出 bn，利用错位相减法求出 Tn 【解答】解： （1）a3+2 是 a2和 a4的等差中项，且 a
31、12， 2（a3+2）a2+a4 即 2（a1q2+2）a1q+a1q3 q2 ana1qn 12n （2）bn2nlog22nn2n Tnb1+b2+bn121+222+323+n2n 2Tn122+223+（n1） 2n+n2n+1 Tn2+22+23+2nn2n+1 Tn（n1） 2n+1+2 【点评】查等比数列求通项公式和等差、等比中项的概念及错位相减法求数列的前项和 Sn，等差数列和等比数列之间的相互转化，考查运算能力，属中档题 20 （12 分）如图，在四棱锥 PABCD 中，AD平面 PDC，ADBC，PDPB，AD1， BC3，CD4，PD2 （1）求异面直线 AP 与 BC
32、所成角的余弦值 第 18 页（共 22 页） （2）求直线 AB 与平面 PBC 所成角的正弦值 【分析】 （1）由 ADBC 可知DAP 或其补角就是异面直线 AP 与 BC 所成的角，在 Rt ADP 中计算 cosPAD 即可； （2）证明 PD平面 PBC，过 D 作 AB 的平行线 DF，计算 sinDFP 即可 【解答】 解： （1） 因为 ADBC， 所以DAP 或其补角就是异面直线 AP 与 BC 所成的角， 因为 AD平面 PDC，所以 ADPD， 在 RtPDA 中，AP，故 cosDAP， 所以，异面直线 AP 与 BC 所成角的余弦值为 （2）过点 D 作 AB 的平行
33、线交 BC 于点 F，连接 PF，则 DF 与平面 PBC 所成的角等于 AB 与平面 PBC 所成的角 ADPD，ADBC，PDBC， 又 PDPB，PBBCB， PD平面 PBC， DFP 为直线 DF 和平面 PBC 所成的角 由于 ADBC，DFAB，故 BFAD1，由已知，得 CFBCBF2 又 ADDC，故 BCDC，在 RtDCF 中，可得 DF2 在 RtDPF 中，sinDFP 所以，直线 AB 与平面 PBC 所成角的正弦值为 第 19 页（共 22 页） 【点评】本题考查了空间角的计算，做出空间角是解题的关键，属于中档题 21 （12 分）已知椭圆 C：+1（ab0） ，
34、四点 P1（1，1） ，P2（0，1） ，P3（1， ） ，P4（1，）中恰有三点在椭圆 C 上 （1）求 C 的方程； （2）设直线 l 不经过 P2点且与 C 相交于 A，B 两点若直线 P2A 与直线 P2B 的斜率的 和为1，证明：l 过定点 【分析】 （1）根据椭圆的对称性，得到 P2（0，1） ，P3（1，） ，P4（1，）三点 在椭圆 C 上把 P2（0，1） ，P3（1，）代入椭圆 C，求出 a24，b21，由此能 求出椭圆 C 的方程 （2） 当斜率不存在时， 不满足； 当斜率存在时， 设 l： ykx+t，（t1） ， 联立， 得（1+4k2）x2+8ktx+4t240，由
35、此利用根的判别式、韦达定理、直线方程，结合已知 条件能证明直线 l 过定点（2，1） 【解答】解： （1）根据椭圆的对称性，P3（1，） ，P4（1，）两点必在椭圆 C 上， 又 P4的横坐标为 1，椭圆必不过 P1（1，1） ， P2（0，1） ，P3（1，） ，P4（1，）三点在椭圆 C 上 把 P2（0，1） ，P3（1，）代入椭圆 C，得： ，解得 a24，b21， 椭圆 C 的方程为1 证明： （2）当斜率不存在时，设 l：xm，A（m，yA） ，B（m，yA） ， 直线 P2A 与直线 P2B 的斜率的和为1， 1， 第 20 页（共 22 页） 解得 m2，此时 l 过椭圆右顶点
36、，不存在两个交点，故不满足 当斜率存在时，设 l：ykx+t， （t1） ，A（x1，y1） ，B（x2，y2） ， 联立，整理，得（1+4k2）x2+8ktx+4t240， ，x1x2， 则 1，又 t1， t2k1，此时64k，存在 k，使得0 成立， 直线 l 的方程为 ykx2k1， 当 x2 时，y1， l 过定点（2，1） 【点评】本题考查椭圆方程的求法，考查椭圆、直线方程、根的判别式、韦达定理、直 线方程位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查函数与方程思想、 化归与转化思想，是中档题 22 （12 分）已知函数 f（x）x2ax+lnx（aR） （1）若 f（x
37、）在定义域上不单调，求 a 的取值范围； （2）设 a，m，n 分别是 f（x）的极大值和极小值，且 Smn，求 S 的取值范 围 【分析】 （1）问题转化为 ax+在（0，+）上恒成立，或 ax+在（0，+）上恒 成立，求出 a 的范围即可； （2）不妨设 0x11x2，Smnf（x1）f（x2）（）+ln，令 t（0，1） ，于是 S（t）+lnt，根据函数的单调性求出 S 的范围即可 第 21 页（共 22 页） 【解答】解：由已知 f（x）x+a， （x0，aR） ， （1）若 f（x）在定义域上单调递增，则 f（x）0，即 ax+在（0，+）上恒 成立， 而 x+2，+） ，所以 a
38、2； 若 f（x）在定义域上单调递减，则 f（x）0，即 ax+在（0，+）上恒成立， 而 x+2，+） ，所以 a 因为 f（x）在定义域上不单调，所以 a2，即 a（2，+） ； （2）由（1）知，欲使 f（x）在（0，+）有极大值和极小值，必须 a2， 又 ae+，所以 2ae+， 令 f（x）x+a0 的两根分别为 x1，x2， 即 x2ax+10 的两根分别为 x1，x2，于是 不妨设 0x11x2， 则 f（x）在（0，x1）上单调递增，在（x1，x2）上单调递减，在（x2，+）上单调递增， 所以 mf（x1） ，nf（x2） ， 所以 Smnf（x1）f（x2）（）a（x1x2）+（lnx1lnx2） （）+ln， 令 t（0，1） ，于是 S（t）+lnt， t+a22（2，e2+） ， 由 t+e2+，得t1， 因为 S（1+）+0， 所以 S（t）+lnt 在（，1）上为减函数 第 22 页（共 22 页） 所以 S（0，） 【点评】本题考查了函数的单调性问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，转化思想， 是一道综合题
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