1、2018-2019 学年湖南省湘潭市高二(上)期末数学试卷(理科)一、选择题:本题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分。在每小题给出的四个选项中,只有分。在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的。一项是符合题目要求的。 1 (5 分)设命题 p:x0(0,+) ,x02x02,则p 为( ) Ax0(0,+) ,x02x02 Bx(0,+) ,x2x2 Cx0(0,+) ,x02x02 Dx(0,+) ,x2x2 2 (5 分)椭圆1 的焦距为( ) A2 B2 C D2 3 (5 分) “x2”是“x1”的( ) A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分
2、也不必要条件 4 (5 分) 已知 a, b, c 分别为ABC 内角 A, B, C 的对边, a2+c2b2ac, 则角 B ( ) A B C D 5 (5 分)若 ab0,cd0,则一定有( ) Aa+cb+d Ba+cb+d C D 6 (5 分)已知等比数列an的公比为 q,a44,a7,则 q( ) A2 B2 C D 7 (5 分)已知 x0,则 x+的最小值为( ) A B1 C D 8 (5 分)已知点 A(0,1,0) ,B(1,0,1) ,C(2,1,1) ,P(x,0,z) ,若 PA 平面 ABC,则点 P 的坐标为( ) A (1,0,2) B (1,0,2) C
3、 (1,0,2) D (2,0,1) 9 (5 分)已知 x,y 满足约束条件,则 z2x+y 的最大值为( ) A3 B4 C4 D3 10 (5 分)在ABC 中,BAC30,BC2,AC2,则 AB( ) 第 2 页(共 19 页) A4 B2 C4 或 2 D2 11 (5 分)如图,在三棱柱 ABCA1B1C1中,AA1底面 ABC,AA13,ABACBC2, 则 AA1与平面 AB1C1所成角的大小为( ) A30 B45 C60 D90 12 (5 分)已知中心在坐标原点的椭圆 C1与双曲线 C2有公共焦点,且左,右焦点分别为 F1, F2, C1与 C2在第一象限的交点为 P,
4、 PF1F2是以 PF1为底边的等腰三角形, 若|PF1| 10,C1与 C2的离心率分别为 e1,e2,则 2e1+e2的取值范围是( ) A (,+) B (,+) C (1,+) D (,+) 二、填空题:本题共二、填空题:本题共 4 小题,每小题小题,每小题 5 分,共分,共 20 分。分。 13 (5 分)已知向量 (3,2,5) , (1,x,1) ,且8,则 x 的值为 14 (5 分)设 Sn是等差数列an的前 n 项和,若 a4+a1010,则 S13 15 (5 分)若抛物线 y22px(p0)的焦点恰好是双曲线1 的右焦点,则 实数 p 的值为 16 (5 分)一批救灾物
5、资随 51 辆汽车从某市以 vkm/h 的速度匀速直达灾区,已知两地公路 线长 400km,为了安全起见,两辆汽车的间距不得小于km,那么这批物资全部到达 灾区,最少需要 h 三、解答题:共三、解答题:共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17 (10 分)设命题 p:xR,x2+2ax+a0,命题 q:4a21若命题 pq 为假命题,p q 为真命题,求实数 a 的取值范围 18 (12 分)已知 a,b,c 分别为ABC 内角 A,B,C 的对边,且 asinBbcosA0 (1)求角 A; (2)若 a,b3,求ABC 的面积
6、 19 (12 分)已知公差不为零的等差数列an的前 n 项和为 Sn,S20420,且 a2,a4,a8成 第 3 页(共 19 页) 等比数列 (1)求数列an的通项公式; (2)设 bn,数列bn的前 n 项和为 Tn,证明:Tn 20 (12 分)已知椭圆 C:1(ab0)的离心率为,短轴的一个端点到右 焦点的距离为 2 (1)求椭圆 C 的方程; (2)设直线 l:yx+m 交椭圆 C 于 A,B 两点,且|AB|,求 m 的值 21 (12 分)如图,在四棱锥 PABCD 中,平面 PAD平面 ABCD,PAPD4,四边形 ABCD 是边长为 4 的菱形,DAB60,E 是 AD
7、的中点 (1)求证:BE平面 PAD; (2)求平面 PAB 与平面 PBC 所成的锐二面角的余弦值 22 (12 分)已知 F 为抛物线 E:x22py(p0)的焦点,C(x0,1)为 E 上一点,且|CF| 2过 F 任作两条互相垂直的直线 l1,l2,分别交抛物线 E 于 P,Q 和 M,N 两点,A, B 分别为线段 PQ 和 MN 的中点 (1)求抛物线 E 的方程及点 C 的坐标; (2)试问是否为定值?若是,求出此定值;若不是,请说明理由; (3)证明直线 AB 经过一个定点,求此定点的坐标,并求AOB 面积的最小值 第 4 页(共 19 页) 第 5 页(共 19 页) 201
8、8-2019 学年湖南省湘潭市高二(上)期末学年湖南省湘潭市高二(上)期末数学试卷(理科)数学试卷(理科) 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题:本题共一、选择题:本题共 12 小题,每小题小题,每小题 5 分,共分,共 60 分。在每小题给出的四个选项中,只有分。在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的。一项是符合题目要求的。 1 (5 分)设命题 p:x0(0,+) ,x02x02,则p 为( ) Ax0(0,+) ,x02x02 Bx(0,+) ,x2x2 Cx0(0,+) ,x02x02 Dx(0,+) ,x2x2 【分析】根据特称命题的否定是全称命题,写出即可
9、 【解答】解:命题 p:x0(0,+) ,x02x02, 则p 为x(0,+) ,x2x2 故选:D 【点评】本题考查了特称命题的否定应用问题,是基础题 2 (5 分)椭圆1 的焦距为( ) A2 B2 C D2 【分析】根据题意,由椭圆的方程分析 a、b 的值,计算可得 c 的值,由焦距的定义分析 可得答案 【解答】解:根据题意,椭圆的方程为1,其焦点在 y 轴上, 且 a,b,则 c, 则椭圆的焦距 2c2; 故选:A 【点评】本题考查椭圆的标准方程,注意分析椭圆焦点的位置,属于基础题 3 (5 分) “x2”是“x1”的( ) A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也
10、不必要条件 【分析】由 x1,我们不一定能得出 x2;x2 时,必然有 x1,故可得结论 【解答】解:由 x1,我们不一定能得出 x2,比如 x1.5,所以 x1 不是 x2 的充 第 6 页(共 19 页) 分条件; x21,由 x2,能得出 x1,x1 是 x2 的必要条件 x2 是 x1 的充分不必要条件 故选:A 【点评】四种条件的判断,定义法是基本方法,不成立时,列举反例即可 4 (5 分) 已知 a, b, c 分别为ABC 内角 A, B, C 的对边, a2+c2b2ac, 则角 B ( ) A B C D 【分析】利用余弦定理,求出 cosB,根据 B 的范围,即可得到结论
11、【解答】解:a2+c2b2ac, cosB, B(0,) B 故选:B 【点评】本题考查余弦定理的运用,考查学生的计算能力,属于基础题 5 (5 分)若 ab0,cd0,则一定有( ) Aa+cb+d Ba+cb+d C D 【分析】直接利用不等式的基本性质的应用求出结果 【解答】解:由于 cd0, 所以:, 进一步求出:, 由于:ab0, 则:, 即:, 故选:C 【点评】本题考查的知识要点:不等式的基本性质的应用,主要考查学生的运算能力和 转化能力,属于基础题型 第 7 页(共 19 页) 6 (5 分)已知等比数列an的公比为 q,a44,a7,则 q( ) A2 B2 C D 【分析】
12、利用等比数列通项公式列出方程,能求出公比 【解答】解:等比数列an的公比为 q,a44,a7, , q 故选:C 【点评】本题考查等比数列的公比的求法,考查等比数列的性质等基础知识,考查运算 求解能力,是基础题 7 (5 分)已知 x0,则 x+的最小值为( ) A B1 C D 【分析】 根据 x0 即可由基本不等式得出, 从而得出的最小值为 【解答】解:x0; ,当且仅当 x,即 x时取“” ; 的最小值为 故选:D 【点评】考查函数最值的定义及求法,根据基本不等式求函数最值的方法 8 (5 分)已知点 A(0,1,0) ,B(1,0,1) ,C(2,1,1) ,P(x,0,z) ,若 P
13、A 平面 ABC,则点 P 的坐标为( ) A (1,0,2) B (1,0,2) C (1,0,2) D (2,0,1) 【分析】推导出(x,1,z) ,(1,1,1) ,(2,0,1) ,由 PA平面 ABC,得,由此能求出点 P 的坐标 【解答】解:点 A(0,1,0) ,B(1,0,1) ,C(2,1,1) ,P(x,0,z) , (x,1,z) ,(1,1,1) ,(2,0,1) , PA平面 ABC, 第 8 页(共 19 页) , 解得 x1,z2, 点 P 的坐标为(1,0,2) 故选:C 【点评】本题考查点的坐标的求法,考查空间直角坐标系等基础知识,考查运算求解能 力,是基础
14、题 9 (5 分)已知 x,y 满足约束条件,则 z2x+y 的最大值为( ) A3 B4 C4 D3 【分析】作出不等式组对应的平面区域,利用目标函数的几何意义,即可求出最大值 【解答】解:作出不等式组对应的平面区域如图: (阴影部分) 由 z2x+y 得 y2x+z, 平移直线 y2x+z, 由图象可知当直线 y2x+z 经过点 B 时,直线 y2x+z 的截距最大, 此时 z 最大 由,解得 B(2,0) , 代入目标函数 z2x+y 得 z22+04 即目标函数 z2x+y 的最大值为 4 故选:B 【点评】本题主要考查线性规划的应用,利用目标函数的几何意义,结合数形结合的数 学思想是
15、解决此类问题的基本方法 10 (5 分)在ABC 中,BAC30,BC2,AC2,则 AB( ) A4 B2 C4 或 2 D2 第 9 页(共 19 页) 【分析】由已知利用余弦定理可得 AB26AB+80,即可解得 AB 的值 【解答】解:BAC30,BC2,AC2, 由余弦定理:BC2AC2+AB22ABACcosBAC,22(2)2+AB22AB2 ,可得:AB26AB+80, 解得:AB4,或 2 故选:C 【点评】本题主要考查了余弦定理在解三角形中的应用,属于基础题 11 (5 分)如图,在三棱柱 ABCA1B1C1中,AA1底面 ABC,AA13,ABACBC2, 则 AA1与平
16、面 AB1C1所成角的大小为( ) A30 B45 C60 D90 【分析】以 B 为原点,在平面 ABC 中,过 B 作 BC 的垂线为 x 轴,以 BC 为 y 轴,BB1 为 z 轴,建立空间直角坐标系,利用向量法能求出 AA1与平面 AB1C1所成角的大小 【解答】解:以 B 为原点,在平面 ABC 中,过 B 作 BC 的垂线为 x 轴, 以 BC 为 y 轴,BB1为 z 轴,建立空间直角坐标系, A(,1,0) ,A1(,3) ,B1(0,0,3) , C1(0,2,3) , (0,0,3) ,(0,2,0) ,(,3) , 设平面 AB1C1的法向量 (x,y,z) , 则,取
17、 z1,得 (,0,1) , 设 AA1与平面 AB1C1所成角的大小为 , 则 sin 30 第 10 页(共 19 页) AA1与平面 AB1C1所成角的大小为 30 故选:A 【点评】本题考查线面角的求法,考查空间中线线、线面、面面间的位置关系,考查运 算求解能力,考查数形结合思想,是中档题 12 (5 分)已知中心在坐标原点的椭圆 C1与双曲线 C2有公共焦点,且左,右焦点分别为 F1, F2, C1与 C2在第一象限的交点为 P, PF1F2是以 PF1为底边的等腰三角形, 若|PF1| 10,C1与 C2的离心率分别为 e1,e2,则 2e1+e2的取值范围是( ) A (,+)
18、B (,+) C (1,+) D (,+) 【分析】设椭圆和双曲线的半焦距为 c,|PF1|m,|PF2|n, (mn) ,由条件可得 m 10,n2c,再由椭圆和双曲线的定义可得 a15+c,a25c, (c5) ,运用三角形的 三边关系求得 c 的范围,再由离心率公式,计算即可得到所求范围 【解答】解:设椭圆和双曲线的半焦距为 c,|PF1|m,|PF2|n, (mn) , 由于PF1F2是以 PF1为底边的等腰三角形若|PF1|10, 即有 m10,n2c, 由椭圆的定义可得 m+n2a1, 由双曲线的定义可得 mn2a2, 即有 a15+c,a25c, (c5) , 再由三角形的两边之
19、和大于第三边,可得 2c+2c10, 可得 c,即有c5 由离心率公式可得 2e1+e2+1 15(+) , 设 f(c)15(+) ,可知函数在(,5)为增函数,且当 c5 时,f(c) 第 11 页(共 19 页) +, f(x)f(), 故 2e1+e2的取值范围是(,+) , 故选:B 【点评】本题考查椭圆和双曲线的定义和性质,考查离心率的求法,考查三角形的三边 关系,考查运算能力,属于中档题 二、填空题:本题共二、填空题:本题共 4 小题,每小题小题,每小题 5 分,共分,共 20 分。分。 13 (5 分)已知向量 (3,2,5) , (1,x,1) ,且8,则 x 的值为 8 【
20、分析】根据空间向量数量积的坐标运算列方程求出 x 的值 【解答】解:向量 (3,2,5) , (1,x,1) , 则3+2x58, 解得 x8, 即 x 的值为 8 故答案为:8 【点评】本题考查了空间向量数量积的坐标表示与应用问题,是基础题 14 (5 分)设 Sn是等差数列an的前 n 项和,若 a4+a1010,则 S13 65 【分析】由等差数列an的性质和利用求和公式即可得出 【解答】解:由等差数列an的性质可得:a4+a1010a1+a13, 则 S1365 故答案为:65 【点评】本题考查了等差数列的通项公式性质及其求和公式,考查了推理能力与计算能 力,属于基础题 15 (5 分
21、)若抛物线 y22px(p0)的焦点恰好是双曲线1 的右焦点,则 实数 p 的值为 12 【分析】求出双曲线的右焦点为 F(6,0) ,该点也是抛物线的焦点,可得 6,即可 得到结果 第 12 页(共 19 页) 【解答】解:抛物线 y22px(p0)的焦点坐标为(,0) , 双曲线1,则 c216m+m+2036, 双曲线1 的右焦点为(6,0) , 6, 即 p12, 故答案为:12 【点评】本题给出抛物线与双曲线右焦点重合,求抛物线的焦参数的值,着重考查了双 曲线的标准方程和抛物线简单几何性质等知识点,属于基础题 16 (5 分)一批救灾物资随 51 辆汽车从某市以 vkm/h 的速度匀
22、速直达灾区,已知两地公路 线长 400km,为了安全起见,两辆汽车的间距不得小于km,那么这批物资全部到达 灾区,最少需要 10 h 【分析】由题意可知,t 相当于最后一辆车行驶了 50 个km+400km 所用的时间,利用 基本不等式,即可得出结论 【解答】解:设全部物资到达灾区所需时间为 t 小时, 由题意可知,t 相当于最后一辆车行驶了 50 个km+400km 所用的时间, 因此,t+210 当且仅当,即 v80 时取“” 故这些汽车以 80km/h 的速度匀速行驶时,所需时间最少要 10 小时 故答案为:10 【点评】本题考查基本不等式在最值问题中的应用,考查利用数学知识解决实际问题
23、, 考查学生分析解决问题的能力,属于中档题 三、解答题:共三、解答题:共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17 (10 分)设命题 p:xR,x2+2ax+a0,命题 q:4a21若命题 pq 为假命题,p q 为真命题,求实数 a 的取值范围 【分析】求出命题 p,q 为真命题的等价条件,结合复合命题真假关系进行求解即可 第 13 页(共 19 页) 【解答】解:若:xR,x2+2ax+a0, 则判别式4a24a0,得 0a1, 由 4a21 得 a2,得a, 若命题 pq 为假命题,pq 为真命题, 则 p,q 一个为真命题,
24、一个为假命题, 若 p 真 q 假,则得a1, 若 p 假 q 真,则得a0, 综上a0 或a1, 即实数 a 的取值范围是a0 或a1 【点评】本题主要考查复合命题真假关系的应用,求出命题为真命题的等价条件是解决 本题的关键注意要进行分类讨论 18 (12 分)已知 a,b,c 分别为ABC 内角 A,B,C 的对边,且 asinBbcosA0 (1)求角 A; (2)若 a,b3,求ABC 的面积 【分析】 (1)由正弦定理可得 sinAsinBsinBcosA,结合 sinB0,可求 tanA, 结合范围 0A,可求 A (2)由已知利用余弦定理可得 c23c40,解得 c 的值,根据三
25、角形面积公式即可计 算得解 【解答】 (本题满分为 12 分) 解: (1)asinBbcosA0 由正弦定理可得:sinAsinBsinBcosA, sinB0, sinAcosA,即 tanA, 0A, A6 分 第 14 页(共 19 页) (2)a,b3,A, 由余弦定理 a2b2+c22bccosA,可得:139+c22,可得:c23c4 0, 解得:c4, (负值舍去) , SABCbcsinA312 分 【点评】本题主要考查了正弦定理,余弦定理,三角形面积公式在解三角形中的综合应 用,考查了计算能力和转化思想,属于基础题 19 (12 分)已知公差不为零的等差数列an的前 n 项
26、和为 Sn,S20420,且 a2,a4,a8成 等比数列 (1)求数列an的通项公式; (2)设 bn,数列bn的前 n 项和为 Tn,证明:Tn 【分析】 (1)设等差数列的公差为 d,运用等差数列的通项公式和求和公式、等比数列的 中项性质可得首项和公差的方程组,解方程可得首项和公差,即可得到所求通项公式; (2)求得 bn() ,由数列的裂 项相消求和,化简可得 Tn,再由不等式的性质,即可得证 【解答】解: (1)公差 d 不为零的等差数列an的前 n 项和为 Sn,S20420, 可得 20a1+190d420, a2,a4,a8成等比数列,可得 a42a2a8,即为(a1+3d)2
27、(a1+d) (a1+7d) , 即为 a1d, 由可得 a1d2, 则 an2+2(n1)2n; (2)证明:bn() , 可得前 n 项和为 Tn(1+) (1) , 由0,可得 Tn 【点评】本题考查等差数列的通项公式和求和公式、等比数列中项性质,以及数列的裂 项相消求和,考查化简整理的运算能力,属于中档题 第 15 页(共 19 页) 20 (12 分)已知椭圆 C:1(ab0)的离心率为,短轴的一个端点到右 焦点的距离为 2 (1)求椭圆 C 的方程; (2)设直线 l:yx+m 交椭圆 C 于 A,B 两点,且|AB|,求 m 的值 【分析】 (1)通过短轴的一个端点到右焦点的距离
28、为 2 可知 a2,进而利用离心率的值 计算即得结论; (2)设 A(x1,y1) ,B(x2,y2) 联立直线与椭圆方程,消去 y 得到关于 x 的一元二次 方程,得到根与系数的关系,再利用弦长公式即可得出 【解答】解: (1)由题意可得, 解得:a2,b1, 椭圆 C 的方程为; (2)设 A(x1,y1) ,B(x2,y2) 联立 得 x2+2mx+2m220, x1+x22m,x1x22m22, |AB|x1x2|2m , 解得 m1 【点评】本题考查了椭圆的标准方程及其性质、韦达定理、弦长公式,属于中档题 第 16 页(共 19 页) 21 (12 分)如图,在四棱锥 PABCD 中
29、,平面 PAD平面 ABCD,PAPD4,四边形 ABCD 是边长为 4 的菱形,DAB60,E 是 AD 的中点 (1)求证:BE平面 PAD; (2)求平面 PAB 与平面 PBC 所成的锐二面角的余弦值 【分析】 (1) 连接 BD, 推导出 PEAD,PEBE,BEAD,由此能证明 BE平面 PAD (2)以 E 为原点,EA,EB,EP 为 x,y,z 轴,建立空间直角坐标系,利用向量法能求 出平面 PAB 与平面 PBC 所成锐二面角的余弦值 【解答】证明: (1)连接 BD,由 PAPD2,E 是 AD 的中点,得 PEAD, 由平面 PAD平面 ABCD,可得 PE平面 ABC
30、D,PEBE, 又由于四边形 ABCD 是边长为 2 的菱形, A60, BEAD,BE平面 PAD(6 分) 解: (2)以 E 为原点,EA,EB,EP 为 x,y,z 轴,建立空间直角坐标系, P(0,0,) ,A(1,0,0) , B(0,0) ,C(2,0) , (1,0,) ,(0,) ,(2,) , 令平面 PAB 的法向量为 (x,y,z) , 则,取 y1,得 (,1,1) ,(9 分) 同理可得平面 PBC 的一个法向量为 (0,1,1) , 所以平面 PAB 与平面 PBC 所成锐二面角的余弦值为: |cos , |(12 分) 第 17 页(共 19 页) 【点评】本题
31、考查线面垂直的证明,考查二面角的余弦值的求法,考查空间中线线、线 面、面面间的位置关系等基础知识,考查运算求解能力,考查函数与方程思想,是中档 题 22 (12 分)已知 F 为抛物线 E:x22py(p0)的焦点,C(x0,1)为 E 上一点,且|CF| 2过 F 任作两条互相垂直的直线 l1,l2,分别交抛物线 E 于 P,Q 和 M,N 两点,A, B 分别为线段 PQ 和 MN 的中点 (1)求抛物线 E 的方程及点 C 的坐标; (2)试问是否为定值?若是,求出此定值;若不是,请说明理由; (3)证明直线 AB 经过一个定点,求此定点的坐标,并求AOB 面积的最小值 【分析】 (1)
32、根据抛物线的性质和定义即可求出 p2,代值计算即可求出点 C 的坐标, (2)设直线 l1的方程为 ykx+1,k0,则直线 l2的方程为 yx+1,设 P(x1,y1) , Q (x2, y2) , M (x3, y3) , N (x4, y4) , 根据抛物线定义可得|PQ|y1+y2+2, |MN|y3+y4+2, 再分别联立方程组根据韦达定理可得|PQ|4+4k2, |MN|4+, 即可求出 , (3)设 A(xA,yA) ,B(xB,yB) ,由(2)分别求出点 A,B 的坐标,求出直线 AB 的斜 率,写出直线方程,即可得到直线过定点(0,3) ,再根据两点之间的距离公式和点到直
33、第 18 页(共 19 页) 线的距离公式可得表示三角形面积,根据基本不等式即可求出最值 【解答】解: (1)抛物线 E:x22py(p0)的准线方程为 y, C(x0,1)为 E 上一点,且|CF|2, 1+2,即 p2, 抛物线方程为 x24y, 当 y1 时,x02, 即 C(2,1)或 C(2,1) (2)由(1)可得 F(0,1) , 设直线 l1的方程为 ykx+1,k0,则直线 l2的方程为 yx+1, 设 P(x1,y1) ,Q(x2,y2) ,M(x3,y3) ,N(x4,y4) , |PQ|y1+y2+2,|MN|y3+y4+2, 由,分别消 x 可得,y2(2+4k2)y
34、+10,k2y2(4+2k2)y+k2 0, y1+y22+4k2,y3+y42+ |PQ|4+4k2,|MN|4+ +, 故是为定值,定值为 (3)设 A(xA,yA) ,B(xB,yB) , A,B 分别为线段 PQ 和 MN 的中点, 由(2)可得 yA(y1+y2)1+2k2,yB(y3+y4)1+, xA2k,xB, 则直线 AB 的斜率为k, 第 19 页(共 19 页) 直线 AB 的方程为 y(1+2k2)(x2k) ,即 yx+3, 直线 AB 过定点(0,3) , |AB|2(k+) 点(0,0)到直线 yx+3 的距离 d, SAOB|AB|d3(k+)326,当且仅当 k1 时取等号 故AOB 面积的最小值为 6 【点评】本题考查直线方程的求法,考查直线是否过定点坐标的判断与求法,考查直线 与抛物线的位置关系,解题时要认真审题,注意中点坐标公式的合理运用,三角形的面 积,基本不等式,属于中档题