1、 1 中考数学压轴：专题中考数学压轴：专题 02 因动点产生的等腰三角形问题因动点产生的等腰三角形问题 【类型综述】 数学因运动而充满活力，数学因变化而精彩纷呈，动态几何问题是近年来中考的热点问题，以运动的 观点来探究几何图形的变化规律问题，动态问题的解答，一般要将动态问题转化为静态问题，抓住运动过 程中的不变量，利用不变的关系和几何性质建立关于方程（组）、函数关系问题，将几何问题转化为代数 问题。 在动态问题中，动点形成的等腰三角形问题是常见的一类题型，可以与旋转、平移、对称等几何变化 相结合，也可以与一次函数、反比例函数、二次函数的图象相结合，从而产生数与形的完美结合.解决动点 产生的等腰
2、三角形问题的重点和难点在于应用分类讨论思想和数形结合思想进行准确的分类. 【方法揭秘】 我们先回顾两个画图问题： 1已知线段 AB5 厘米，以线段 AB 为腰的等腰三角形 ABC 有多少个？顶点 C 的轨迹是什么？ 来源:Z.X.X.K 2已知线段 AB6 厘米，以线段 AB 为底边的等腰三角形 ABC 有多少个？顶点 C 的轨迹是什么？ 已知腰长画等腰三角形用圆规画圆，圆上除了两个点以外，都是顶点 C 已知底边画等腰三角形，顶角的顶点在底边的垂直平分线上，垂足要除外 在讨论等腰三角形的存在性问题时，一般都要先分类 如果ABC 是等腰三角形，那么存在ABAC，BABC，CACB 三种情况 解等
3、腰三角形的存在性问题，有几何法和代数法，把几何法和代数法相结合，可以使得解题又好又快 几何法一般分三步：分类、画图、计算哪些题目适合用几何法呢？ 如果ABC 的A（的余弦值）是确定的，夹A 的两边 AB 和 AC 可以用含 x 的式子表示出来，那么就 用几何法 如图 1，如果 ABAC，直接列方程；如图 2，如果 BABC，那么 1 cos 2 ACABA；如图 3， 如果 CACB，那么 1 cos 2 ABACA 代数法一般也分三步：罗列三边长，分类列方程，解方程并检验 如果三角形的三个角都是不确定的，而三个顶点的坐标可以用含 x 的式子表示出来，那么根据两点间 的距离公式，三边长（的平方
4、）就可以罗列出来 2 图 1 图 2 图 3 【典例分析】 例 1 如图，抛物线 y=ax2-2ax+b 经过点 C（0，- ） ，且与 x 轴交于点 A、点 B，若 tanACO= （1）求此抛物线的解析式； （2）若抛物线的顶点为 M，点 P 是线段 OB 上一动点（不与点 B 重合） ，MPQ=45，射线 PQ 与线段 BM 交于点 Q，当MPQ 为等腰三角形时，求点 P 的坐标 思路点拨思路点拨 （2）由 y= x2-x- = (x-1)2-2，可得 M(-1,-2)，令 y= x2-x- =0，得 x1=-1,x2=3，从而可得 B(3,0)，如图，作 MHOB于点 H，则 MH=B
5、H=2，可推导得出MPQMBP，从而可得当MPQ为等腰三角形时，MBP 也为等腰三角形，然后分情况进行讨论即可得. 满分解答满分解答 （1）C（0，） ，OC= . 3 tanACO= ，OA=1.A(-1，0). 点 A,C在抛物线 y=ax2-2ax+b 上， ，解得， 此抛物线的解析式为 y= x2-x- ； P(3-,0)， 综上所述，当MPQ为等腰三角形时，点 P 的坐标为(1，0)或(3-,0). 例 2 如图 1，抛物线 yax2bxc 经过 A(1,0)、B(3, 0)、C(0 ,3)三点，直线 l 是抛物线的对称轴 （1）求抛物线的函数关系式； （2）设点 P 是直线 l 上
6、的一个动点，当PAC 的周长最小时，求点 P 的坐标； 4 （3）在直线 l 上是否存在点 M，使MAC 为等腰三角形，若存在，直接写出所有符合条件的点 M 的坐 标；若不存在，请说明理由 图 1 思路点拨思路点拨 1第（2）题是典型的“牛喝水”问题，点 P 在线段 BC 上时PAC 的周长最小 2第（3）题分三种情况列方程讨论等腰三角形的存在性 满分解答满分解答 所以点 P 的坐标为(1, 2) 图 2 （3）点 M 的坐标为(1, 1)、(1,6)、(1, 6)或(1,0) 考点伸展考点伸展 第（3）题的解题过程是这样的： 5 设点 M 的坐标为(1,m) 在MAC 中，AC210，MC2
7、1(m3)2，MA24m2 如图 3，当 MAMC 时，MA2MC2解方程 4m21(m3)2，得 m1 此时点 M 的坐标为(1, 1) 如图 4，当 AMAC 时，AM2AC2解方程 4m210，得 6m 此时点 M 的坐标为(1,6)或(1, 6 ) 如图 5，当 CMCA 时，CM2CA2解方程 1(m3)210，得 m0 或 6 当 M(1, 6)时，M、A、C 三点共线，所以此时符合条件的点 M 的坐标为(1,0) 图 3 图 4 图 5 例 3 如图 1，点 A 在 x 轴上，OA4，将线段 OA 绕点 O 顺时针旋转 120 至 OB 的位置 （1）求点 B 的坐标； （2）求
8、经过 A、O、B 的抛物线的解析式； （3）在此抛物线的对称轴上，是否存在点 P，使得以点 P、O、B 为顶点的三角形是等腰三角形？若存 在，求点 P 的坐标；若不存在，请说明理由 图 1 思路点拨思路点拨 1 用代数法探求等腰三角形分三步： 先分类， 按腰相等分三种情况； 再根据两点间的距离公式列方程； 6 然后解方程并检验 2本题中等腰三角形的角度特殊，三种情况的点 P 重合在一起 满分解答满分解答 （3）抛物线的对称轴是直线 x2，设点 P 的坐标为(2, y) 当 OPOB4 时，OP216所以 4+y216解得 2 3y 当 P 在(2,2 3)时，B、O、P 三点共线（如图 2）
9、当 BPBO4 时，BP216所以 22 4(2 3)16y解得 12 2 3yy 当 PBPO 时，PB2PO2所以 2222 4(2 3)2yy解得2 3y 综合、，点 P 的坐标为(2, 2 3)，如图 2 所示 图 2 图 3 考点伸展考点伸展 如图 3，在本题中，设抛物线的顶点为 D，那么DOA 与OAB 是两个相似的等腰三角形 由 2 332 3 (4)(2) 663 yx xx ，得抛物线的顶点为 2 3 (2,) 3 D 7 因此 2 3 tan 3 DOA所以DOA30 ，ODA120 例 4 如图 1，已知一次函数 yx7 与正比例函数 4 3 yx 的图象交于点 A，且与
10、 x 轴交于点 B （1）求点 A 和点 B 的坐标； （2）过点 A 作 ACy 轴于点 C，过点 B 作直线 l/y 轴动点 P 从点 O 出发，以每秒 1 个单位长的速 度，沿 OCA 的路线向点 A 运动；同时直线 l 从点 B 出发，以相同速度向左平移，在平移过程中，直 线 l 交 x 轴于点 R，交线段 BA 或线段 AO 于点 Q当点 P 到达点 A 时，点 P 和直线 l 都停止运动在运 动过程中，设动点 P 运动的时间为 t 秒 当 t 为何值时，以 A、P、R 为顶点的三角形的面积为 8？ 是否存在以 A、P、Q 为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求 t 的值；若不存在，
11、请说明理由 思路点拨思路点拨 1把图 1 复制若干个，在每一个图形中解决一个问题 2 求APR 的面积等于 8， 按照点 P 的位置分两种情况讨论 事实上， P 在 CA 上运动时， 高是定值 4， 最大面积为 6，因此不存在面积为 8 的可能 3讨论等腰三角形 APQ，按照点 P 的位置分两种情况讨论，点 P 的每一种位置又要讨论三种情况 满分解答满分解答 8 图 2 图 3 图 4 我们先讨论 P 在 OC 上运动时的情形，0t4 如图 1，在AOB 中，B45 ，AOB45 ，OB7，4 2AB ，所以 OBAB因此OAB AOBB 如图 4，点 P 由 O 向 C 运动的过程中，OPB
12、RRQ，所以 PQ/x 轴 因此AQP45 保持不变，PAQ 越来越大，所以只存在APQAQP 的情况 此时点 A 在 PQ 的垂直平分线上，OR2CA6所以 BR1，t1 我们再来讨论 P 在 CA 上运动时的情形，4t7 在APQ 中， 3 cos 5 A为定值，7APt， 5520 333 AQOAOQOAORt 如图 5，当 APAQ 时，解方程 520 7 33 tt ，得 41 8 t 如图 6， 当 QPQA 时， 点 Q 在 PA 的垂直平分线上， AP2(OROP) 解方程7 2(7)(4)ttt ， 得5t 9 图 5 图 6 图 7 考点伸展考点伸展 当 P 在 CA 上
13、，QPQA 时，也可以用 2cosAPAQA来求解 例 5 如图 1，在ABC 中，ACB90 ，BAC60 ，点 E 是BAC 的平分线上一点，过点 E 作 AE 的垂线，过点 A 作 AB 的垂线，两垂线交于点 D，连接 DB，点 F 是 BD 的中点，DHAC，垂足为 H，连 接 EF，HF （1）如图 1，若点 H 是 AC 的中点，AC2 3，求 AB、BD 的长； （2）如图 1，求证：HFEF （3）如图 2，连接 CF、CE，猜想：CEF 是否是等边三角形？若是，请证明；若不是，请说明理由 图 1 图 2 思路点拨思路点拨 1把图形中所有 30 的角都标注出来，便于寻找等角和等
14、边 2中点 F 有哪些用处呢？联想到斜边上的中线和中位线就有思路构造辅助线了 10 满分解答满分解答 图 3 图 4 图 5 （3）如图 5，作 FMAB 于 M，联结 CM 由 FM/DA，F 是 DB 的中点，得 M 是 AB 的中点 因此 FM 1 2 AD，ACM 是等边三角形 又因为 AE 1 2 AD，所以 FMEA 又因为 CMCA，CMFCAE30 ，所以CMFCAE 所以MCFACE，CFCE 所以ECFACM60 所以CEF 是等边三角形 考点伸展考点伸展 我们再看几个特殊位置时的效果图，看看有没有熟悉的感觉 如图 6，如图 7，当点 F 落在 BC 边上时，点 H 与点
15、C 重合 11 图 6 图 7 如图 8，图 9，点 E 落在 BC 边上如图 10，图 11，等腰梯形 ABEC 图 8 图 9 图 10 图 11 来源:Zxxk.Com 例 6 如图 1， 已知 RtABC 中， C90 ， AC8， BC6， 点 P 以每秒 1 个单位的速度从 A 向 C 运动， 同时点 Q 以每秒 2 个单位的速度从 ABC 方向运动，它们到 C 点后都停止运动，设点 P、Q 运动的时间 为 t 秒 （1）在运动过程中，求 P、Q 两点间距离的最大值； （2）经过 t 秒的运动，求ABC 被直线 PQ 扫过的面积 S 与时间 t 的函数关系式； （3）P，Q 两点在
16、运动过程中，是否存在时间 t，使得PQC 为等腰三角形若存在，求出此时的 t 值， 若不存在，请说明理由 （ 24. 25 ，结果保留一位小数） 图 1 思路点拨思路点拨 1过点 B 作 QP 的平行线交 AC 于 D，那么 BD 的长就是 PQ 的最大值 2线段 PQ 扫过的面积 S 要分两种情况讨论，点 Q 分别在 AB、BC 上 12 3等腰三角形 PQC 分三种情况讨论，先罗列三边长 满分解答满分解答 图 2 图 3 图 4 （2）如图 2，当点 Q 在 AB 上时，0t5，SABD15 由AQPABD，得 2 () AQP ABD S AP SAD 所以 SSAQP 2 15 ( )
17、 5 t 2 3 5 t 如图 3，当点 Q 在 BC 上时，5t8，SABC24 因为 SCQP 1 2 CQ CP 1 (162 )(8) 2 tt 2 (8)t ， 所以 SSABCSCQP24(t8)2t216t40 （3）如图3，当点Q在BC上时，CQ2CP，C90 ，所以PQC不可能成为等腰三角形 当点Q在AB上时，我们先用t表示PQC的三边长：易知CP8t 如图2，由QP/BD，得 QPAP BDAD ，即 53 5 QPt 所以 3 5 5 QPt 如图4，作QHAC于H在RtAQH中，QHAQ sinA 6 5 t，AH 8 5 t 在RtCQH中，由勾股定理，得CQ 22
18、QHCH 22 68 ()(8) 55 tt 13 图5 图6 图7 考点伸展考点伸展 第（1）题求P、Q两点间距离的最大值，可以用代数计算说理的方法： 如图8，当点Q在AB上时，PQ 22 QHPH 22 68 ()() 55 ttt 3 5 5 t 当Q与B重合时，PQ最大，此时t5，PQ的最大值为3 5 如图9，当点Q在BC上时，PQ 22 CQCP 22 (2)CPCP5(8) t 当Q与B重合时，PQ最大，此时t5，PQ的最大值为3 5 综上所述，PQ的最大值为3 5 来源:ZXXK 14 图 8 图 9 【变式训练】 1如图，坐标平面内一点 A(2，1)，O 为原点，P 是 x 轴
19、上的一个动点，如果以点 P、O、A 为顶点的三 角形是等腰三角形，那么符合条件的动点 P 的个数为( ) (A)2 (B)3 (C)4 (D)5 【答案】C 2在平面直角坐标系 xOy中，已知点 A（0，3） ，点 B（5，0） ，有一动点 P 在直线 AB 上，APO 是等腰三 角形，则满足条件的点 P共有（ ） A2 个 B3个 C4 个 D5 个 【答案】C 【解析】试题解析：如图， （1）AP1=AO； （2）AP2=AO； （3）OA=OP3； （4）AP4=OP4. 因此，满足条件的点 P 共有 4 个. 15 故选 C. 3如图，点 A、B、P 在O 上，且APB=50 。若点
20、M 是O 上的动点，要使ABM 为等腰三角形，则 所有符合条件的点 M 有 ( ) A1 个 B2 个 C3 个 D4 个 【答案】D 【解析】 类推论： 当 MA=MB， 则 M 为 AB 的垂直平分与圆的两交点， 这时两个等腰三角形的顶角分别为 50 ， 130 ； 当 AM=AB， 以 A 为圆心， AB 为半径交O 于 M， 此时等腰三角形只有一个， 且底角为 50 ； 同理当 BM=BA， 满足条件的等腰三角形也只有一个 解：ABM 为等腰三角形，当 MA=MB，则 M 为 AB 的垂直平分与圆的两交点， 这时两个等腰三角形的顶角分别为 50 ，130 ，如图； 4如图，等腰三角形的
21、面积是 16，且底边长为 4，腰的垂直平分线分别交边 于点.若 点 为边的中点，点 为线段上一动点，则周长的最小值是( ) 16 A6 B8 C10 D12 【答案】C 【解析】 连接 AD， 故选 C. 5如图， AB是O的直径， BC是弦， 10cmAB ， 6cmBC 若点P是直径AB上一动点， 当PBC 是等腰三角形时， AP _ cm 【答案】2.8、4或5 【解析】解：B为顶点即BCBP时， 17 11 APABAP， 106， 4 P为顶点即CPBP时， P与D重合， 3 5APr 综上AP为2.8， 4或5cm 故答案为： 2.8， 4或5cm 6 如图， 已知点P是射线ON上
22、一动点 （即P可在射线ON上运动） ， AON30 ， 当A_ 时， AOP 为等腰三角形 【答案】30 或 75 或 120 18 【解析】试题解析：当点 O为等腰三角形顶点时，A=75 ， 当点 A为等腰三角形顶点时，A=120 ， 当点 P 为顶点时，A=30 ， 故答案为 30 或 75 或 120 7如图，抛物线 yx2+2x+4 与 y 轴交于点 C，点 D（0，2） ，点 M 是抛物线上的动点若MCD 是以 CD 为底的等腰三角形，则点 M 的坐标为_ 【答案】 （1+，3）或（1，3） 【解析】 抛物线与 y轴交于点 C， C(0,4),且 D(0,2)， E点坐标为(0,3)
23、， M 点纵坐标为 3， 在中,令,可得,解得 ， 19 M 点坐标为或 ， 故答案为：或. 8如图，正方形 ABCD 的边长是 16，点 E 在边 AB 上，AE=3，点 F 是边 BC 上不与点 B、C 重合的一个 动点，把EBF 沿 EF 折叠，点 B 落在 B处，若CDB恰为等腰三角形，则 DB的长为 . 【答案】16 或 4. 【解析】 （3）当 CB=CD 时，EB=EB，CB=CB，点 E、C 在 BB的垂直平分线上，EC 垂直平分 BB，由折 叠可知点 F 与点 C 重合，不符合题意，舍去 综上所述，DB的长为 16 或故答案为：16 或 考点：1翻折变换（折叠问题） ；2分类
24、讨论 9如图，在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，四边形 OABC 是矩形，点 B 的坐标为（5，4） ，点 P 为线 段 BC 上动点，当POA 为等腰三角形时，点 p 坐标为_ 20 【答案】 （25，4） ， （3，4） ， （2，4） 【解析】 考点：1矩形的性质；2坐标与图形性质；3等腰三角形的性质；4勾股定理 10如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点 在 轴正半轴上，边，（）的长分别是方 程的两个根， 是边上的一动点（不与 A、B 重合）. （1）填空：AB= ，OA= （2）若动点 D 满足BOC 与AOD 相似，求直线的解析式. （3）若动点 D 满足，且点 为射线上的一个动点
25、，当PAD 是等腰三角形时，直接写出点 的坐 标 【答案】 （1）8,3;(2) ; (3) 点 的坐标为(0,0)， ， 【解析】 21 若BOCODA，可得 AD=8（与题意不符，舍去） ， 设直线解析式为，则， 解得：， 直线的解析式为 （3）AD+DB=AB=8， ， ， ， 是等腰直角三角形， ， 根据PAD是等腰三角形，分以下 4 种情况讨论： 如下图所示， 当时，点的坐标为； 22 如下图所示，当时， ADP3是等腰直角三角形， ， ， 来源: 过作 轴的垂线，垂足为 ，则OP3F是等腰直角三角形， ， 点的坐标为； 如下图所示，当时， 过作 轴的垂线，垂足为 ，则是等腰直角三角
26、形， ， 点的坐标为； 综上所述， 当PAD是等腰三角形时， 点 的坐标为， 11如图，直线 ：交 、 轴分别为 、 两点， 点与 点关于 轴对称动点 、 分别在线段 、 上（点 不与点 、 重合） ，满足. 23 （1）点 坐标是 ， （2）当点 在什么位置时，说明理由 （3）当为等腰三角形时，求点 的坐标 【答案】 （1），10； （2）当 的坐标是时，； （3）当为等腰三角形时，点 的 坐标是或 【解析】 解： （1），当时，当时，即 的坐标是， 的坐标是， 点与 点关于 轴对称， 的坐标是， 由勾股定理得：，故答案为：，10 （2） 当 的坐标是时， 理由是： ， ， ， ， 和 关于
27、 轴对称， 在和中，当 的坐标是时， 24 12如图，已知抛物线（a0）经过 A（1，0） 、B（3，0） 、C（0，3）三点，直线 l 是 抛物线的对称轴 （1）求抛物线的函数关系式； （2）设点 P 是直线 l 上的一个动点，当点 P 到点 A、点 B 的距离之和最短时，求点 P 的坐标； （3）点 M 也是直线 l 上的动点，且MAC 为等腰三角形，请直接写出所有符合条件的点 M 的坐标 【答案】 （1）； （2）P（1，0） ； （3） 【解析】 25 （3）如图所示：抛物线的对称轴为：x=1，设 M（1，m） ，已知 A（1，0） 、C（0，3） ，则： =，=，=10； 若 MA=
28、MC，则，得：=，解得：m=1； 若 MA=AC，则，得：=10，得：m=； 若 MC=AC，则，得：=10，得：，； 当 m=6 时，M、A、C 三点共线，构不成三角形，不合题意，故舍去； 综上可知，符合条件的 M 点，且坐标为 M（1，） （1，） （1，1） （1，0） 考点：二次函数综合题；分类讨论；综合题；动点型 13在中， ，的半径长为 1，交边于点， 点是边上的动点 （1）如图 1，将绕点旋转得到，请判断与直线的位置关系； （4 分） （2）如图 2，在（1）的条件下，当是等腰三角形时，求的长； （5 分） （3） 如图 3， 点是边上的动点， 如果以为半径的和以为半径的外切，
29、设， ，求关于的函数关系式及定义域 （5 分） 26 【答案】 （1）与直线相离（2）或 （3），定义域为： 【解析】 （1 分） 与直线相离 （1 分） 解： （2）分三种情况： ， ； （1 分） 当时，易得， ， ， ； （2 分） 当时，过点作，垂足为 ， ， 27 （2 分） 综合，当是等腰三角形时，的长为或 即； ； （2 分） 定义域为： 14如图，已知一次函数的图像与 x 轴交于 A（-6,0）与 y 轴相交于点 B，动点 P 从 A 出发，沿 x 轴向 x 轴的正方向运动. （1）求 b 的值，并求出PAB 为等腰三角形时点 P 的坐标； （2）在点 P 出发的同时，动点 Q
30、 也从点 A 出发，以每秒个单位的速度，沿射线 AB 运动，运动时间为 t（s） ； 点 Q 的坐标（用含 t 的表达式表示） ； 若点 P 的运动速度为每秒 k 个单位，请直接写出当APQ 为等腰三角形时 k 的值. 28 【答案】 （1）解：当为等腰三角形时点 的坐标为：或或； （2） ， 的值分别为：、6、 【解析】 【分析】 （1） 利用待定系数法把点A坐标代入一次函数解析式， 即可求出b的值； 若， 需分、 、三种情况分类讨论； （2）设 Q点横坐标为 a,因为 Q点在射线 AB上，所以横坐标为，即，作 轴 于点 ， 则 ， 所以， 又因为， 所以，解得， 表示出AP=tk,分 AP
31、=AQ,AP=PQ,AQ=AP 三种情况即可解答, 【详解】 29 ； 综上，当为等腰三角形时点 的坐标为：或或 （2）解：设，作 轴于点 ， 15如图，抛物线 2 2yaxaxb经过点 3 0, 2 C ，且与x轴交于点A、点B，若 2 3 tan ACO （1）求此抛物线的解析式； （2） 若抛物线的顶点为M， 点P是线段OB上一动点 （不与点B重合） ，45MPQ， 射线PQ与线段BM 交于点Q，当MPQ为等腰三角形时，求点P的坐标 【答案】 （1） 2 13 22 yxx； （2）1, 0 或32 2, 0 . 30 【解析】 试题分析： （1）由 3 0, 2 C 和 2 3 tan
32、 ACO求出点A的坐标，从而根据曲线上点的坐标与方程的关系，列 方程组求出 13 , 22 ab ，得到此抛物线的解析式. （2）分MQ PQ ，MQ MP ，MP PQ 三种情况讨论即可. 试题解析： （1） 3 0, 2 C ， 3 2 OC . 2 3 tan ACO，1OA.1, 0A . 点,A C在抛物线 2 2yaxaxb上， 20 3 2 aab b ，解得 1 2 3 2 a b . 此抛物线的解析式为 2 13 22 yxx. 当MP PQ 时， 2 2BPBM ， 32 2, 0P . 综上所述，当MPQ为等腰三角形时，点P的坐标为1, 0 或 32 2, 0 . 31
33、考点：1.锐角三角函数定义；2. 曲线上点的坐标与方程的关系；3.二次函数的性质；4. 等腰三角形的性质； 5.分类思想的应用. 16如图，已知：二次函数 yx2+bx+c 的图象与 x轴交于 A，B 两点，其中 A点坐标为（3，0） ，与 y轴 交于点 C，点 D（2，3）在抛物线上 （1）求抛物线的表达式； （2）抛物线的对称轴上有一动点 P，求出 PA+PD 的最小值； （3）若抛物线上有一动点 M，使ABM 的面积等于ABC 的面积，求 M 点坐标 （4） 抛物线的对称轴上是否存在动点 Q， 使得BCQ为等腰三角形？若存在， 求出点 Q 的坐标； 若不存在， 说明理由 【答案】 （1）
34、yx2+2x3； （2）； （3）点 M 的坐标为（1 ，3） ， （1+，3） ， （2，3） ； （4） 存在；点 Q的坐标为（1，） ， （1，） ， （1，0） ， （1，6） ， （1，1） 【解析】 解： （1）将 A（3，0） ，D（2，3）代入 yx2+bx+c，得： 32 ，解得：， 抛物线的表达式为 yx2+2x3 （2）当 y0 时，x2+2x30， 解得：x13，x21， 点 B的坐标为（1，0） 连接 BD，交抛物线的对称轴于点 P，如图 1所示 （3）当 x0时，yx2+2x33， 点 C的坐标为（0，3） 设点 M 的坐标为（x，x2+2x3） SABMSABC，
35、 |x2+2x3|3，即 x2+2x60或 x2+2x0， 解得：x11，x21+ ，x32，x40（舍去） ， 点 M 的坐标为（1，3） ， （1+，3） ， （2，3） （4）设点 Q的坐标为（1，m） 点 B的坐标为（1，0） ，点 C 的坐标为（0，3） ， 33 CQ2（10）2+m（3）2m2+6m+10，BQ2（11）2+（m0）2m2+4，BC2（01） 2+（30）210 分三种情况考虑（如图 2所示） ： 综上所述：抛物线的对称轴上存在动点 Q，使得BCQ 为等腰三角形，点 Q 的坐标为（1，） ， （1， ） ， （1，0） ， （1，6） ， （1，1） 17.如图，
36、抛物线与 轴交于点，与 轴交于点 、 ，点 坐标为 求该抛物线的解析式； 抛物线的顶点为 ，在 轴上找一点 ，使最小，并求出点 的坐标； 点 是线段上的动点，过点 作，交于点 ，连接当的面积最大时，求点 的坐 标； 34 若平行于 轴的动直线 与该抛物线交于点 ，与直线交于点 ，点 的坐标为问：是否存在这样 的直线 ，使得是等腰三角形？若存在，请求出点 的坐标；若不存在，请说明理由 【答案】 （1）； （2）点 的坐标为； （3）； （4）的坐标为：或 或或 【解析】 由可求得抛物线顶点为， 如图 ，作点 关于 轴的对称点，连接交 轴于点 ，则 点即为所求， 设直线的解析式为， 把 、 点坐标
37、代入可得，解得， 直线的解析式为， 令，解得， 点 的坐标为； 35 设点，过点 作轴于点 ，如图 ， 又， 当时，有最大值 ，此时； 存在在中， 36 若，过点 作轴于点 由等腰三角形的性质得：， 在等腰直角中， 由，得， 此时，点 的坐标为：或； 37 综上所述，存在这样的直线 ，使得是等腰三角形所求点 的坐标为：或或 或 18如图 1,在平面直角坐标系中,直线与抛物线交于两点，其中,. 该抛物线与 轴交于点 ,与 轴交于另一点 . (1)求的值及该抛物线的解析式; (2)如图 2.若点 为线段上的一动点(不与重合).分别以、为斜边,在直线的同侧作等腰直角 和等腰直角,连接,试确定面积最大
38、时 点的坐标. (3)如图 3.连接、 ,在线段上是否存在点 ,使得以 为顶点的三角形与相似,若存在,请直接 写出点 的坐标;若不存在,请说明理由. 【答案】 （1）； （2）当，即时，最大，此时,所以； （3）存在 点 坐标为或. 【解析】 （1）把 A（m，0） ，B（4，n）代入 y=x1 得：m=1，n=3，A（1，0） ，B（4，3） y=x2+bx+c经过点 A 与点 B， ， 解得：， 则二次函数解析式为 y=x2+6x5； 38 （3）存在，易得直线 CD解析式为 y=x5，设 Q（x，x5） ，由题意得：BAD=ADC=45 ，分两种情况 讨论： 当ABDDAQ时，=，即=，
39、解得：AQ=，由两点间的距离公式得： （x1） 2+（x5） 2= ，解得：x= ，此时 Q（ ， ） ； 当ABDDQA时，=1，即 AQ=，（x1）2+（x5）2=10，解得：x=2，此时 Q（2，3） 综上，点 Q的坐标为（2，3）或（ ， ） 点睛：本题属于二次函数综合题，涉及的知识有：待定系数法求函数解析式，二次函数的图象与性质，相 似三角形的判定与性质，两点间的距离公式，熟练掌握各自的性质是解答本题的关键 19如图,已知抛物线 y=ax2+bx+c 的图像经过点 A（0，3)、B（1，0） ，其对称轴为直线 l：x=2，过点 A 作 ACx轴交抛物线于点 C，AOB的平分线交线段
40、AC于点 E，点 P 是抛物线上的一个动点，设其横坐 标为 m. 来源:Z*X*X*K （1）求抛物线的解析式； （ 2）若动点 P 在直线 OE下方的抛物线上，连结 PE、PO，当 m为何值时，四边形 AOPE面积最大，并求 出其最大值； （3）如图，F是抛物线的对称轴 l上的一点，在抛物线上是否存在点 P 使POF成为以点 P 为直角顶点的 等腰直角三角形？若存在，直接写出所有符合条件的点 P 的坐标；若不存在，请说明理由. 【答案】（1） y=x2-4x+3. （2） 当 m= 时， 四边形 AOPE 面积最大， 最大值为. （3） P 点的坐标为 ： P1（， ） ，P2（ ，） ，P
41、3（，） ，P3（，）. 39 【解析】 （1）如图 1，设抛物线与 x 轴的另一个交点为 D， 由对称性得：D（3，0） ， 设抛物线的解析式为：y=a（x-1） （x-3） ， 把 A（0，3）代入得：3=3a， a=1， 抛物线的解析式；y=x2-4x+3； （2）如图 2，设 P（m，m2-4m+3） ， OE平分AOB，AOB=90 ， AOE=45 ， AOE 是等腰直角三角形， AE=OA=3， E（3，3） ， 40 - 0， 当 m= 时，S有最大值是； （3）如图 3，过 P 作 MNy轴，交 y轴于 M，交 l于 N， 41 P 的坐标为（，）或（，） ； 如图 4，过
42、P 作 MNx轴于 N，过 F作 FMMN于 M， 同理得ONPPMF， PN=FM， 则-m2+4m-3=m-2， 解得：x=或； P 的坐标为（，）或（，） ； 综上所述，点 P 的坐标是： （，）或（，）或（，）或（，） 20如图，直线 y=x4 与抛物线 y=ax2+bx+c 相交于 A，B 两点，其中 A，B 两点的横坐标分别为1 和 4，且抛物线过原点 （1）求抛物线的解析式； （2）在坐标轴上是否存在点 C，使ABC 为等腰三角形？若存在，求出点 C 的坐标，若不存在，请说明理 由； （3）若点 P 是线段 AB 上不与 A，B 重合的动点，过点 P 作 PEOA，与抛物线第三象
43、限的部分交于一点 42 E，过点 E 作 EGx 轴于点 G，交 AB 于点 F，若 SBGF=3SEFP，求 EF GF 的值 【答案】 （1）抛物线解析式为 y=x2+4x； （2）存在满足条件的点 C，其坐标为（0，3 17）或（0， 317）或（4+32，0）或（43 2，0）或（1，0）或（0，1）或（2，0）或（0， 2）或 （0， 2） ； （3） 2 3 3 EF GF 【解析】 （1）A，B 两点在直线 y=x4 上，且横坐标分别为1、4， A（1，3） ，B（4，0） ， 抛物线过原点， c=0， 把 A、B 两点坐标代入抛物线解析式可得 3 0164 ab ab ，解得
44、1 4 a b ， 抛物线解析式为 y=x2+4x； 43 当 AB=BC 时，当点 C 在 x 轴上，设 C（x，0） ， 则有 AB=3 2，BC=|x+4|， |x+4|=3 2，解得 x=4+32或 x=432， C（4+3 2，0）或（432，0） ； 当点 C 在 y 轴上，设 C（0，y） ，则 BC= 22 4y， 22 4y =3 2，解得 y=2或 y=2， C（0， 2）或（0，2） ； 当 CB=CA 时，则点 C 在线段 AB 的垂直平分线与 y 轴的交点处， A（1，3） ，B（4，0） ， 线段 AB 的中点坐标为（ 5 2 ， 3 2 ） ， 设线段 AB 的垂直平分线的解析式为 y=x+d， 3 2 = 5 2 +d，解得 d=1， 线段 AB 的垂直平分线的解析式为 y=x+1， 令 x=0 可得 y=1，令 y=0 可求得 x=1， C（1，0）或（0，1） ； 44 综上可知存在满足条件的点 C，其坐标为（0，3 17）或（0，317）或（4+32，0）或（ 43 2，0）或（1，0）或（0，1）或（2，0）或（0， 2）或（0，2） ； （3）过点 P 作 PQEF，交 EF 于点 Q，过点 A 作 ADx 轴于点 D， GE=GF+4PQ， SBGF=3SEFP
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