1、 1 中考数学压轴：专题中考数学压轴：专题 07 二次二次函数函数与平行四边形存在型问题与平行四边形存在型问题 【典例分析】 例 1 21 如图， 抛物线经过点， 与 轴负半轴交于点 ， 与 轴交于点 ， 且. （1）求抛物线的解析式； （2）点 在 轴上，且，求点 的坐标； （3） 点 在抛物线上， 点 在抛物线的对称轴上， 是否存在以点 ， ， ， 为顶点的四边形是平行四边形？ 若存在。求出所有符合条件的点 的坐标；若不存在，请说明理由. 思路点拨 （1）根据当时，可知 C（0，-3）根据，可知 B（-1，0）利用待定系数法求出抛物线 的解析式即可.（2）如图：连接 AC，作 BFAC交
2、AC 的延长线于 F，根据已知条件得到 AFx轴，得到 F（-1，-3） ，可知BAC=45 ，设 D（0，m） ，则 OD=|m|根据BDO=BAC=45 ，即可得到结论； （3）设 M（a，a2-2a-3） ，N（1，n） ，以 AB 为边，则 ABMN，AB=MN，如图：过 M 作 ME对称轴 y于 E， AFx 轴于 F，于是得到ABFNME，证得 NE=AF=3，ME=BF=3，得到 M（4，5）或（-2，11） ； 以 AB为对角线，BN=AM，BNAM，如图 3，则 N在 x 轴上，M 与 C重合，于是得到结论. 满分解答 （2）连接 AC，作 BFAC交 AC 的延长线于 F，
3、 A（2，-3） ，C（0，-3） ， AFx 轴， 2 F（-1，-3） ， BF=3，AF=3， BAC=45 ， 设 D（0，m） ，则 OD=|m|， BDO=BAC， BDO=45 ， OD=OB=1， |m|=1， m= 1， D1（0，1） ，D2（0，-1） ； 以 AB为对角线，BN=AM，BNAM，如图， 则 N 在 x轴上，M与 C重合， M（0，-3） ， 综上所述，存在以点 A，B，M，N为顶点的四边形是平行四边形，M（4，5）或（-2，5）或（0，-3） 3 例 2 如图，直线 AD 对应的函数关系式为 y=x1，与抛物线交于点 A（在 x 轴上） 、点 D，抛物线
4、与 x 轴 另一交点为 B（3，0） ，抛物线与 y 轴交点 C（0，3） ， （1）求抛物线的解析式； （2）P 是线段 AD 上的一个动点，过 P 点作 y 轴的平行线交抛物线于 E 点，求线段 PE 长度的最大值； （3）若点 F 是抛物线的顶点，点 G 是直线 AD 与抛物线对称轴的交点，在线段 AD 上是否存在一点 P，使 得四边形 GFEP 为平行四边形； （4）点 H 抛物线上的动点，在 x 轴上是否存在点 Q，使 A、D、H、Q 这四个点为顶点的四边形是平行四 边形？如果存在，直接写出所有满足条件的 Q 点坐标；如果不存在，请说明理由 思路点拨 （1）先根据直线解析式求出点 A
5、 的坐标，再利用待定系数法求二次函数解析式计算即可得解； （2）根据直线解析式表示出点 P 的坐标，利用抛物线解析式表示出点 E 的坐标，再用点 P 的纵坐标减去点 E 的纵坐标，整理即可得到 PE 的表达式，再联立直线解析式与抛物线解析式求出点 D 的坐标，得到点 P 的 横坐标的取值范围，然后根据二次函数的最值问题解答； （3）把抛物线的解析式转化为顶点式，然后求出点 F 的坐标，并利用对称轴根据点 P 在直线上求出点 G 的 4 坐标，然后根据平行四边形的对边平行且相等列式解方程即可判断并求出点 P 的坐标； （4）当点 H 在 x 轴下方时，根据平行四边形的对边平行且相等，可得点 H
6、的纵坐标与点 D 的纵坐标相 等，然后代入抛物线解析式求出点 H 的横坐标，再求出 HD 的长度，然后分点 Q 在点 A 的左边与右边两种 情况求出点 Q 的坐标； 当点 H 在 x 轴上方时，AQ 只能是平行四边形的对角线，根据点 D 的坐标得到点 H 的纵坐标，然后代入 抛物线解析式求出点 H 的横坐标， 然后根据点 H 的横坐标表示的点到点 Q 的距离等于点 D 的横坐标表示的 点到点 A 的距离相等求解即可 满分解答 （1）令 y=0，则x1=0，解得 x=1，所以，点 A 的坐标为（1，0） ， 设抛物线解析式为 y=ax2+bx+c，B（3，0） ，C（0，3）在抛物线上， ，解得
7、， 所以，抛物线解析式为 y=x22x3； （3）y=x22x3=（x1）24， 点 F 的坐标为（1，4） ，点 G 的横坐标为 1， y=11=2， 点 G 的坐标为（1，2） ， GF=2（4）=2+4=2， 四边形 GFEP 为平行四边形， 5 PE=GF， x2+x+2=2， 解得 x1=0，x2=1（舍去） ， 此时，y=1， 点 P 的坐标为（0，1） ， 故，存在点 P（0，1） ，使得四边形 GFEP 为平行四边形； 当点 H 在 x 轴上方时，根据平行四边形的对称性，点 H 到 AQ 的距离等于点 D 到 AQ 的距离， 点 D 的纵坐标为3，点 H 的纵坐标为 3，x22
8、x3=3， 整理得，x22x6=0， 解得 x1=1，x2=1+ ， 点 A 的横坐标为1，点 D 的横坐标为 2， 2（1）=2+1=3， 根据平行四边形的性质，1+3=4，1+3=4+， 点 Q 的坐标为（4，0）或（4+，0） ， 综上所述，存在点 Q（3，0）或（1，0）或（4，0）或（4+，0） ，使 A、D、H、Q 这四个点为顶 点的四边形是平行四边形 6 考点：二次函数 例 3 在平面直角坐标系中，平行四边形如图放置，点 、 的坐标分别是、，将此平行四边 形绕点 顺时针旋转，得到平行四边形 如抛物线经过点 、 、，求此抛物线的解析式； 在情况下，点 是第一象限内抛物线上的一动点，
9、问：当点 在何处时，的面积最大？最大面 积是多少？并求出此时 的坐标； 在的情况下，若 为抛物线上一动点， 为 轴上的一动点，点 坐标为，当 、 、 、 构成以 作为一边的平行四边形时，求点 的坐标 思路点拨 （1）由平行四边形 ABOC 绕点 O 顺时针旋转 90 ，得到平行四边形 ABOC，且点 A 的坐标是（0，4） ， 可求得点 A的坐标，然后利用待定系数法即可求得经过点 C、A、A的抛物线的解析式； （2）首先连接 AA，设直线 AA的解析式为：y=kx+b，利用待定系数法即可求得直线 AA的解析式，再设 点 M 的坐标为： （x，-x2+3x+4） ，继而可得AMA的面积，继而求得
10、答案； （3）分别从 BQ 为边与 BQ 为对角线去分析求解即可求得答案 满分解答 解：平行四边形绕点 顺时针旋转，得到平行四边形，且点 的坐标是， 7 点的坐标为：， 点 、 的坐标分别是、，抛物线经过点 、 、， 设抛物线的解析式为：， ， 解得：， 此抛物线的解析式为：； 设点 的坐标为，当 ， ， ， 构成平行四边形时， 平行四边形中，点 、 的坐标分别是、， 点 的坐标为， 点 坐标为， 为抛物线上一动点， 为 轴上的一动点， 8 例 4 在平面直角坐标系中， 抛物线与 轴交于点 ， ， 与 轴交于点 ， 直线经过 ， 两点 求抛物线的解析式； 在上方的抛物线上有一动点 如图 ，当点
11、 运动到某位置时，以，为邻边的平行四边形第四个顶点恰好也在抛物线上，求出此时 点 的坐标； 如图 ，过点 ， 的直线交于点 ，若，求 的值 思路点拨 9 （1）由直线的解析式 y=x+4 易求点 A和点 C的坐标，把 A和 C的坐标分别代入 y=- x2+bx+c求出 b和 c 的值即可得到抛物线的解析式； （2）若以 AP，AO为邻边的平行四边形的第四个顶点 Q 恰好也在抛物线上，则 PQAO，再根据抛物线 的对称轴可求出点 P 的横坐标，由（1）中的抛物线解析式，进而可求出其纵坐标，问题得解； 过 P 点作 PFOC交 AC于点 F，因为 PFOC，所以PEFOEC，由相似三角形的性质：对
12、应边的比 值相等可求出 PF的长，进而可设点点 F（x，x+4） ，利用( x2x+4)(x+4) ，可求出 x的值，解方程求出 x 的值可得点 P 的坐标，代入直线 y=kx 即可求出 k的值 满分解答 如图 ， 抛物线的对称轴是直线 以，为邻边的平行四边形的第四个顶点 恰好也在抛物线上， ， ， 都在抛物线上， ， 关于直线对称， 点的横坐标是， 当时， 点的坐标是； 10 例 5如图，抛物线经过A（01，） ，B（05，） ，C（5 . 20 ，）三点 （1）求抛物线的解析式； （2）在抛物线的对称轴上有一点P，使PCPA的值最小，求点P的坐标； （3）点M为x轴上一动点，在抛物线上是否
13、存在点N，使得以NMCA、四点为顶点的四边形为平 行四边形？若存在，请直接写出点N的坐标 思路点拨 （1）设抛物线的解析式为 y=ax2+bx+c（a0） ，再把 A（1，0） ，B（5，0） ，C（0， 5 2 ）三点代入求出 11 a、b、c 的值即可； （2）因为点 A 关于对称轴对称的点A 的坐标为（5，0） ，连接 BC 交对称轴直线于点 P，求出 P 点坐标即 可； （3）分点 N 在 x 轴下方或上方两种情况进行讨论 满分解答 （2）如图，连结BC， 则BC与对称轴的交点就是所求的点P 设直线BC的解析式为bkxy， B（05，） ，C（5 . 20 ，） ， . 5 . 2 0
14、5 b bk， 解得 . 5 . 2 5 . 0 b k， 直线BC的解析式为. 5 . 25 . 0xy 12 抛物线的对称轴为直线，2 5 . 02 2 2 a b x 把2x代入5 . 25 . 0xy中，得5 . 1y， P（5 . 12 ，） 在AND 与MCO 中， NADCMO ANCM ANDMCO ANDMCO（ASA） ， ND=OC= 5 2 ，即 N 点的纵坐标为 5 2 1 2 x22x 5 2 = 5 2 ， 解得 x=2+ 14或 x=214， N2（2+ 14， 5 2 ） ，N3（2 14， 5 2 ） 综上所述，符合条件的点 N 的坐标为（4， 5 2 ）
15、， （2+ 14， 5 2 ）或（2 14， 5 2 ） 考点：二次函数综合题 13 【变式训练】 1抛物线 y=x2+6x9的顶点为 A，与 y轴的交点为 B，如果在抛物线上取点 C，在 x轴上取点 D，使得 四边形 ABCD 为平行四边形，那么点 D 的坐标是（ ） A （6，0） B （6，0） C （9，0） D （9，0） 【答案】D 【解析】 【分析】 首先确定顶点坐标 A 和 y 轴的交点坐标,然后根据抛物线的对称性确定点 C 的坐标,进而确定 D 点坐标. 【详解】 【点睛】 本题考查了抛物线的图像性质,属于简单题,一般式化为顶点式,求出对称轴是解题关键. 2如图，抛物线 y=
16、x2-2x-3 与 x 轴交于点 A、D，与 y 轴交于点 C，四边形 ABCD是平行四边形，则点 B的 坐标是（ ） A （-4，-3） B （-3，-3） C （-3，-4） D （-4，-4） 14 【答案】A 【解析】 【分析】 首先利用抛物线与坐标轴的交点坐标求出 A、D、C的坐标，再利用平行四边形的性质得出 B点坐标 【详解】 【点睛】 本题主要考查了抛物线与坐标轴的交点及平行四边形的性质，掌握坐标轴上点的特点是解答此题的关键 3如图，抛物线 y= （x+2） （x8）与 x 轴交于 A，B 两点，与 y轴交于点 C，顶点为 M，以 AB 为直径 作D下列结论：抛物线的对称轴是直线
17、 x=3；D 的面积为 16；抛物线上存在点 E，使四边形 ACED 为平行四边形；直线 CM与D相切其中正确结论的个数是（ ） A1 B2 C3 D4 【答案】B 【解析】 【分析】 根据抛物线的解析式得出抛物线与 x轴的交点 A、 B坐标， 由抛物线的对称性即可判定； 求得D的直径 AB 的长， 得出其半径， 由圆的面积公式即可判定； 过点 C作 CEAB， 交抛物线于 E， 如果 CE=AD，则根据一组等边平行且相等的四边形是平行四边形即可判定；求得直线 CM、直线 CD 的 15 解析式通过它们的斜率进行判定 所以点 E（6，4） ，则 CE=6， AD=3（2）=5，ADCE， 四边
18、形 ACED不是平行四边形，故错误； y= x2 x4= （x3）2 ， 点 M（3，） ， DM=， 如图，连接 CD，过点 M作 MNy轴于点 N，则有 N（0，） ，MN=3， C（0，-4） ，CN= ，CM2=CN2+MN2=， 16 【点睛】本题考查了二次函数与圆的综合题，涉及到抛物线的对称轴、圆的面积、平行四边形的判定、待 定系数法、两直线垂直、切线的判定等，综合性较强，有一定的难度，运用数形结合的思想灵活应用相关 知识是解题的关键. 4已知二次函数 y=x2+bx+c 图象的顶点坐标为（1，-4） ，与 y 轴交点为 A （1）求该二次函数的关系式及点 A 坐标； （2）将该二
19、次函数的图象沿 x 轴翻折后对应的函数关系式是 ； （3）若坐标分别为（m，n） 、 （n，m）的两个不重合的点均在该二次函数图象上，求 m+n 的值 （4）若该二次函数与 x 轴负半轴交于点 B，C 为函数图象上的一点，D 为 x 轴上一点，当以 A、B、C、D 为顶点的四边形是平行四边形时，请直接写出该平行四边形的面积 【答案】 （1）y=x2-2x-3，点 A 的坐标为（0，-3） ； （2）y=-x2+2x+3； （3）m+n=1； （4）6 或 9+3 7或 15 【解析】 试题分析： （1） 由 y=x2+bx+c 的二次项系数为 1， 顶点坐标为 （1， -4） ， 得出该二次函
20、数的顶点式为 y= （x-1） 2-4，展开得到二次函数的关系式为 y=x2-2x-3，再令 x=0，求出 y=-3，得到与 y 轴交点 A 的坐标； （2）先求出 y=x2-2x-3 的顶点坐标（1，-4）沿 x 轴翻折后的顶点坐标为（1，4） ，再由二次项系数互为相反 数得出新抛物线的解析式为 y=-（x-1）2+4，展开即可求解； （3）先将（m，n） 、 （n，m）两点的坐标分别代入 y=x2-2x-3，得到 n=m2-2m-3，m=n2-2n-3，再用- ，整理得出 m2-n2-m+n=0，即（m-n） （m+n-1）=0，由 mn，求出 m+n=1； （4）先由 y=x2-2x-3
21、，求出 B 点坐标为（-1，0） 当以 A、B、C、D 为顶点的四边形是平行四边形时，分 两种情况进行讨论： 如果 BD 为平行四边形的边， 那么根据平行四边形的性质得出 BDAC， 且 BD=AC， 则 A、C 关于二次函数 y=x2-2x-3 的对称轴 x=1 对称，得到 AC=2，进而根据平行四边形的面积公式得到 SABDC=ACOA，代入数值，即可求解；如果 BD 为平行四边形的对角线，那么 BD 与 AC 互相平分，设 17 BD 与 AC 交于点 P，由 P 在 x 轴上，其纵坐标为 0，得出 C 点纵坐标为 3，再由 C 为函数图象上的一点， 把 y=3 代入 y=x2-2x-3
22、，求出 x 的值，得到 P 点坐标为（1 7 2 ，0） ，则 BD=2BP=3 7 ，然后根据 SABCD=SABD+SCBD，将数值代入即可求解 试题解析： （1）二次函数 y=x2+bx+c 图象的顶点坐标为（1，-4） ， 该二次函数的顶点式为 y=（x-1）2-4，即 y=x2-2x-3， 当 x=0 时，y=-3， 与 y 轴交点 A 的坐标为（0，-3） ； （2）y=x2-2x-3 的顶点坐标为（1，-4） ， 沿 x 轴翻折后二次函数图象顶点坐标为（1，4） ， 新抛物线的解析式为 y=-（x-1）2+4， 即将该二次函数的图象沿 x 轴翻折后对应的函数关系式是 y=-x2+
23、2x+3； （4）y=x2-2x-3， 当 y=0 时，x2-2x-3=0， 解得 x=-1 或 3， B 点坐标为（-1，0） 当以 A、B、C、D 为顶点的四边形是平行四边形时，分两种情况，如图： 如果 AD 为平行四边形对角线时，那么 BDAC，且 BD=AC， ACx 轴，A、C 关于二次函数 y=x2-2x-3 的对称轴 x=1 对称， A 点坐标为（0，-3） ， C 点坐标为（2，-3） ，AC=2， SABDC=ACOA=23=6； 18 若以 AB 为对角线，S=5 3=15 综上可知，当以 A、B、C、D 为顶点的四边形是平行四边形时，该平行四边形的面积为 6 或 9+3
24、7或 15 考点：二次函数综合题 5如图，已知二次函数的图象交 轴于点和点 ，交 轴于点 19 求这个二次函数的表达式； 若点 在第二象限内的抛物线上，求面积的最大值和此时点 的坐标； 在平面直角坐标系内，是否存在点 ，使 ， ， ， 四点构成平行四边形？若存在，直接写出点 的坐 标；若不存在，说明理由 【答案】 （1）； （2）点，8； （3）足条件的点 的坐标为或或 【解析】 【分析】 （1）由 A、C 两点坐标，利用待定系数法可求得抛物线解析式； （2）由 A、B 关于对称轴对称，则可知 PA=PB，则当 P、B、C 三点在一条线上时满足|PA-PC|最大，利用 待定系数法可求得直线 B
25、C 解析式，则可求得 P 点坐标； （3）分 AB 为边和 AB 为对称线两种情况，当 AB 为边时，利用平行四边形的性质可得到 CQ=AB，可得到 关于 D 点的方程，可求得 D 点坐标，当 AB 为对角线时，则 AB 的中点也为 CQ 的中点，则可求得 Q 点坐 标 【详解】 如图 ， 由有，二次函数的表达式为， 20 令，得，或， 过点 作轴 ， ， ， ， 存在点 ，使 ， ， ， 四点构成平行四边形， 理由：以为边时， 21 过点 作平行于的直线 ， ， 直线 解析式为， 点 在直线 上， 设， ， ， ， ， 或， 6如图，在平面直角坐标系中，二次函数 y x2bxC 的图象与坐标
26、轴交于 A、B、C三点，其中点 A 的坐标为(0，8)，点 B 的坐标为(4，0) (1)求该二次函数的表达式及点 C的坐标； (2)点 D 的坐标为(0，4)，点 F 为该二次函数在第一象限内图象上的动点，连接 CD、CF，以 CD、CF 为邻 边作平行四边形 CDEF，设平行四边形 CDEF的面积为 S. 求 S 的最大值； 22 在点 F 的运动过程中，当点 E落在该二次函数图象上时，请直接写出此时 S 的值 【答案】(1) y x2x8，C (8，0)；(2) 50；18. 【解析】 【分析】 （1）把 A 点和 B 点坐标代入 y=- x2+bx+c 得到关于 b、c 的方程组，然后
27、解方程组求出 b、c 即可得到抛物 线的解析式；然后计算函数值为 0 时对应的自变量的值即可得到 C 点坐标 （2）连结 DF，OF，如图，设 F（t，- t2+t+8） ，利用 S四边形OCFD=SCDF+SOCD=SODF+SOCF，利用三角形 面积公式得到 SCDF=-t2+6t+16， 再利用二次函数的性质得到CDF 的面积有最大值， 然后根据平行四边形的 性质可得 S 的最大值； 由于四边形 CDEF 为平行四边形，则 CDEF，CD=EF，利用 C 点和 D 的坐标特征可判断点 C 向左平移 8 个单位，再向上平移 4 个单位得到点 D，则点 F 向左平移 8 个单位，再向上平移
28、4 个单位得到点 E，即 E （t-8，- t2+t+12） ，然后把 E（t-8，- t2+t+12）代入抛物线解析式得到关于 t 的方程，再解方程求出 t 后计算 CDF 的面积，从而得到 S 的值 【详解】 C 点坐标为(8，0)； （2）如解图，连接 DF，OF，设 F(M， M2M8)， 23 S18. 四边形 CDEF 为平行四边形， CDEF，CDEF， 点 C 向左平移 8 个单位，再向上平移 4 个单位得到点 D， 点 F 向左平移 8 个单位，再向上平移 4 个单位得到点 E，即 E(M8， M2M12)， E(M8， M2M12)在抛物线上， (M8)2(M8)8 M2M
29、12， 解得 M7， 当 M7 时，SCDF(73)2259， 此时 S2SCDF18. 7 （本小题满分 12 分）如图，已知二次函数图象的顶点坐标为（2，0） ，直线 y = x+1 与二次函数的图象交 于 A、B 两点，其中点 A 在 y 轴上 24 （1）二次函数的解析式为 y = ； （2）证明点（m，2m1）不在（1）中所求的二次函数图象上； （3）若 C 为线段 AB 的中点，过点 C 做 CEx 轴于点 E，CE 与二次函数的图象交于 D y 轴上存在点 K，使 K、A、D、C 为顶点的四边形是平行四边形，则点 K 的坐标是 二次函数的图象上是否存在点 P，使得三角形 S PO
30、E2S ABD？若存在，求出 P 坐标，若不存在，请说 明理由 【答案】 （1）y 4 1 x 2x1； （2）详见解析； （3）K（0，5）或（0，3） ，存在点 P（6，16）和 P （10，16） ，使得 SPOE 2SABD 【解析】 试题分析： （1）由二次函数图象的顶点坐标为（2，0） ，故根据抛物线的顶点式写出抛物线解析式 （2）把该点代入抛物线上，得到 m 的一元二次方程，根据根的判别式进行判定 （3）由直线 y=x+1 与二次函数的图象交于 A，B 两点，解得 A、B 两点坐标，求出 D 点坐标， 设 K 点坐标（0，a） ，使 K，A，D，C 为顶点的四边形是平行四边形，则
31、 KA=DC，且 BADK，进而求 出 K 点的坐标 过点 B 作 BFx 轴于 F，则 BFCEAO，又 C 为 AB 中点，求得 B 点坐标，可得到 S POE2S ABD， 设 P（x， 4 1 x2-x+1） ，由题意可以解出 x 试题解析： 解： （1）y 4 1 x 2x1（y 4 1 （x2）2） ； 25 （2）证明：设点（m，2m1）在二次函数 y 4 1 x 2x1 的图象上 则有：2m1 4 1 m 2m1， 整理得 m 24m80 （4）24 8160 ， 原方程无实根 ， 点（m，2m1）不在二次函数 y 4 1 x 2x1 的图象上 考点：二次函数综合题 8如图，已
32、知二次函数 y=x2+bx+c（其中 b，c为常数）的图象经过点 A（3，1） ，点 C（0，4） ，顶点为 点 M，过点 A作 ABx 轴，交 y轴于点 D，交该二次函数图象于点 B，连结 BC （1）求该二次函数的解析式及点 M的坐标 （2）若将该二次函数图象向下平移 m（m0）个单位，使平移后得到的二次函数图象的顶点落在ABC的 内部（不包括ABC的边界） ，求 m的取值范围 （3）沿直线 AC 方向平移该二次函数图象，使得 CM 与平移前的 CB 相等，求平移后点 M的坐标 26 （4）点 P 是直线 AC 上的动点，过点 P 作直线 AC的垂线 PQ，记点 M 关于直线 PQ 的对称
33、点为 M当以 点 P、A、M、M为顶点的四边形为平行四边形时，直接写出点 P 的坐标 【答案】 （1）y=x2+2x+4， （1，5） ； （2）2m4;（3） （3，3）或（1，7）;（4） （1，3）或（3，7）. 【解析】试题分析： （1）利用待定系数法，求二次函数解析式.(2)先求出 AC 直线解析式，平移后顶点 AC 下方，AB上方，在求出坐标的范围.(3) 当 y=1时，x2+2x+4=1，解得 x=1或 3，利用 MMAC，可得平 移后的 M的坐标.(4) 连接 MC，MM交 PQ 于 F，设出各点坐标，则四边形 CMFP 是矩形, 当四边形 PAMM 是平行四边形时,分别求出
34、P 的坐标为（1，3）或（3，7） 试题解析： （2）设直线 AC解析式为 y=kx+b，把点 A（3，1） ，C（0，4）代入得 31 4 kb b ， 解得： 1 4 k b ， 直线 AC的解析式为 y=x+4，如图所示，对称轴直线 x=1 与ABC 两边分别交于点 E、点 F, 27 把 x=1代入直线 AC 解析式 y=x+4解得 y=3，则点 E 坐标为（1，3） ，点 F坐标为（1，1） ， 点 M向下平移 m个单位后，坐标为（1，5m） ， 由题意：15m3，解得 2m4； 2m4 （3）如图， （4）如图，连接 MC，MM交 PQ于 F，则四边形 CMFP 是矩形， 28 点
35、睛：1.求二次函数的解析式 （1）已知二次函数过三个点，利用一般式，yax 2bxc（ 0a ）.列方程组求二次函数解析式. (2)已知二次函数与 x 轴的两个交点 1,0 x（） ( 2,0) x，利用双根式，y= 12 a xxxx（0a ）求二次 函数解析式,而且此时对称轴方程过交点的中点, 12 2 x x x . (3)已知二次函数的顶点坐标，利用顶点式 2 ya xhk,（0a ）求二次函数解析式. （4）已知条件中 a，b，c，给定了一个值，则需要列两个方程求解. (5)已知条件有对称轴，对称轴也可以作为一个方程；如果给定的两个点纵坐标相同 1,y x（） ( 2, ) xy，则
36、可 以得到对称轴方程 12 2 xx x . 2.处理直角坐标系下，二次函数与一次函数图像问题：第一步要写出每个点的坐标（不能写出来的，可以用 字母表示） ， 写已知点坐标的过程中， 经常要做坐标轴的垂线， 第二步， 利用特殊图形的性质和函数的性质， 29 找出不同点间的关系.如果需要得到一次函数的解析式，依然利用待定系数法求解析式. 9如图，二次函数 y=+bx+c的图象经过 A（2，0） ，B（0，6）两点 (1)求这个二次函数的解析式； (2)设该二次函数的对称轴与 x轴交于点 C，连接 BA，BC，求ABC 的面积； (3)在抛物线的对称轴上是否存在一点 P，使得以 O、B、C、P 四
37、点为顶点的四边形是平行四边形？若存在， 请直接写出 P 点坐标；若不存在，请说明理由 来源:Zxxk.Com 【答案】(1) y= x2+4x6；(2)6；(3)存在；P 点坐标为（4，6）或（4，6） 【解析】 【分析】 （1）把 A 点和 B 点坐标代入 y=+bx+c 中得到关于 b、c 的方程组，然后解方程组求出 b、c 即可得到 抛物线解析式； （2）先把（1）中的解析式配成顶点式，从而得到 C 点坐标，然后根据三角形面积公式计算 即可； （3）利用 PCOB，则根据平行四边形的判定方法，当 PC=OB=6 时，以 O、B、C、P 四点为顶点的 四边形是平行四边形，从而可确定 P 点
38、坐标 【详解】 （2）y= x2+4x6= （x4）2+2， 这个二次函数图象的顶点坐标为（4，2） ， C（4，0） ， ABC的面积= （42） 6=6； 30 【点睛】 本题考查了二次函数综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质和平行四边形的判 定方法；会利用待定系数法求二次函数解析式；理解坐标与图形性质 10如图，二次函数的图像交轴于，交轴于 ，过画直 线。 （1）求二次函数的解析式； （2）若点 P 是抛物线上的动点，点 Q 是直线上的动点，请判断是否存在以 P、Q、O、C 为顶点的四 边形为平行四边形，若存在，请求出点 Q 的坐标；若不存在，请说明理由； （3）在
39、轴右侧的点在二次函数图像上，以为圆心的圆与直线相切，切点为。且CHM AOC（点与点对应） ，求点的坐标。 【答案】 （1） （2）(2,2),( ,),(,)；（，） 。 31 （3）或 【解析】 （3）CHMAOC，点与点对应， 情形 1：如上图，当在点下方时， 轴，点在二次函数图像上， ，解得（舍去）或，； 情形 2：如图，当在点上方时，设交轴于点 P，设，则 ，在中， 由勾股定理，得，解得，即， 为直线与抛物线的另一交点,设直线的解析式为,把的坐标代入，得 ，解得，,由，解得，（舍去）或 此时，,点的坐标为或 考点：二次函数在几何中的应用 32 点评：该题需要考虑的情况有多种，这是难点
40、，需要学生经常练习，积累经验，结合图形找出突破口。 11如图 1，已知二次函数图象的顶点坐标为 C(1,0)，直线 mxy 与该二次函数的图象交于 A、B 两点， 其中 A 点的坐标为(3,4)，B 点在轴y上. (1)、求m的值及这个二次函数的关系式； (2)、P 为线段 AB 上的一个动点（点 P 与 A、B 不重合） ，过 P 作x轴的垂线与这个二次函数的图象交于点 E 点，设线段 PE 的长为h，点 P 的横坐标为x，求h与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围； (3)、D 为直线 AB 与这个二次函数图象对称轴的交点，在线段 AB 上是否存在一点 P，使得四边形 DCEP 是
41、 平行四边形？若存在，请求出此时 P 点的坐标；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)、m=1，y= 2 x2x+1；(2)、h= 2 x+3x(0x3)；(3)、P(2,3) 【解析】 试题分析：(1)、将点 A 代入直线解析式求出 m 的值，将二次函数设出顶点式，然后求出函数解析式；(2)、 分别得出点 P 和点 E 的纵坐标，然后将两点的纵坐标做差得出 h 与 x 的函数关系式；(3)、根据平行四边形 性质可得：PE=DC，根据点 D 在直线 y=x+1 上得出点 D 的坐标，从而得出方程求出 x 的值，得出点 P 的坐 标. (3)、存在.要使四边形 DCEP 是平行四边形，必需有 P
42、E=DC. 点 D 在直线 y=x+1 上, 点 D 的坐标为(1,2), -x2+3x=2 .即 x2-3x+2=0 . 解得：x1=2，x2=1 (不合题意，舍去) 当 P 点的坐标为(2,3)时，四边形 DCEP 是平行四边形. 考点：二次函数的综合应用 33 12 如图， 平行四边形 ABCD 中， 4AB ， 点D的坐标是0 8 ， 以点C为顶点的抛物线 2 yaxbxc 经过x轴上的点AB，. （1）求点ABC， ，的坐标； （2）若抛物线向上平移后恰好经过点D，求平移后抛物线的解析式. 【答案】 （1）A（2，0） ，B（6，0） ，C（4，8） ； （2）y=-2x2+16x+
43、8 【解析】试题分析： （1）根据平行四边形的性质可得点 C 的坐标，再根据抛物线的对称性即可求得点 A，B 的坐标； （2）先把二次函数化为顶点式，再根据抛物线向上平移后恰好经过点D，同时结合二次函数图象的平移规 律即可得到结果. （2）由抛物线 2 yaxbxc的顶点为 C（4，8） ， 可设抛物线的解析式为 y=a（x-4）2+8， 把 A（2，0）代入上式， 解得 a=-2 设平移后抛物线的解析式为 y=-2（x-4）2+8+k， 把（0，8）代入上式得 k=32， 平移后抛物线的解析式为 y=-2（x-4）2+40 即 y=-2x2+16x+8 来源: 考点：本题考查的是二次函数的图
44、象与几何变换 点评：解答本题的关键是熟练掌握二次函数图象的平移规律：左加右减，上加下减；同时注意解决二次函 数的平移问题时一般都要先化为顶点式. 34 13如图，对称轴为直线 x= 的抛物线经过点 A（6，0）和 B（0，4） （1）求抛物线解析式及顶点坐标； （2）设点 E（x，y）是抛物线上一动点，且位于第一象限，四边形 OEAF 是以 OA 为对角线的平行四边形， 求平行四边形 OEAF 的面积 S 与 x 之间的函数关系式； （3）当（2）中的平行四边形 OEAF 的面积为 24 时，请判断平行四边形 OEAF 是否为菱形 【答案】 （1）y=- x2+x-4，顶点坐标（ ，） ； （
45、2）S=-2x2+14x-12； （3）不能. 【解析】 试题分析： （1）根据对称轴，以及 A、B 坐标可求得解析式，进而可求顶点坐标； （2）根据平行四边形的面 积公式，可得函数解析式； （3）根据函数值，可得 E 点坐标，根据菱形的判定，可得答案 （3）平行四边形 OEAF 的面积为 24 时，平行四边形 OEAF 不能为菱形，理由如下：当平行四边形 OEAF 的面积为 24 时，即2x2+14x12=24，x27x+18=0，=b24ac=（7）24 18=230，方程无解， E 点不存在，平行四边形 OEAF 的面积为 24 时，平行四边形 OEAF 不能为菱形 考点：1 二次函数综
46、合题；2 菱形. 14如图 1，抛物线经过平行四边形的顶点、 、，抛物线 35 与轴的另一交点为.经过点的直线 将平行四边形分割为面积相等的两部分，与抛物线交于另 一点.点为直线 上方抛物线上一动点，设点的横坐标为 . （1）求抛物线的解析式； （2）当 何值时，的面积最大?并求最大值的立方根； （3）是否存在点使为直角三角形?若存在，求出 的值；若不存在，说明理由. 【答案】 （1）抛物线解析式为 y=x2+2x+3； （2）当 t= 13 10 时，PEF 的面积最大，其最大值为 289 100 17 10 ， 最大值的立方根为3 28917 10010 =17 10 ； （3）存在满足条
47、件的点 P，t 的值为 1 或1+ 5 2 【解析】 试题分析： （1）由 A、B、C 三点的坐标，利用待定系数法可求得抛物线解析式； （2）由 A、C 坐标可求得平行四边形的中心的坐标，由抛物线的对称性可求得 E 点坐标，从而可求得直线 EF 的解析式，作 PHx 轴，交直线 l 于点 M，作 FNPH，则可用 t 表示出 PM 的长，从而可表示出PEF 的面积，再利用二次函数的性质可求得其最大值，再求其最大值的立方根即可； （3）由题意可知有PAE=90 或APE=90 两种情况，当PAE=90 时，作 PGy 轴，利用等腰直角三角 形的性质可得到关于 t 的方程，可求得 t 的值；当APE=90 时，作 PKx 轴，AQPK，则可证得PKE AQP，利用相似三角形的性质
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