1、 高三数学 第 1 页 共 6 页 秘密启用前 2020 届高三模拟考试届高三模拟考试 数学试题数学试题 20204 本试卷分第卷和第 II 卷两部分满分 150 分考试用时 120 分钟考试结束后，将 本试卷和答题卡一并交回 注意事项： 1答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上 2 回答选择题时， 选出每小题答案后， 用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑 如 需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号回答非选择题时，将答案写在答题卡 上写在本试卷上无效 3考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回 一、单项选择题：本大题共一、单项选择题：本大题共 8 小题，每
2、小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分在每小题给出的四个选项中，分在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的只有一项是符合题目要求的 1已知集合 |lg (1)Ax yx=+， |2 , x By yx= R，则AB =U A( 1,0) B( 1,)+ CR D(,0) 2已知i是虚数单位，i1是关于x的方程 2 0( ,)xpxqp q+=R的一个根，则pq+= A4 B4 C2 D2 3 “cos0 ，若 5 loglog 2 ab ba+=， ba ab=，则 a b = A2 B2 C2 2 D4 7函数 6cos ( ) 2sin x f x xx = 的图象大致为
3、 8已知点( , )P m n是函数 2 2yxx=图象上的动点，则|4321|mn+的最小值是 A25 B21 C20 D4 二、多项选择题：本大题共二、多项选择题：本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分在每小题给出的选项中，有分在每小题给出的选项中，有 多项符合题目要求全部选对的得多项符合题目要求全部选对的得 5 分，部分选对的得分，部分选对的得 3 分，有选错的得分，有选错的得 0 分分 92019 年 4 月 23 日，国家统计局统计了 2019 年第一季度居民人均消费支出的情况，并 绘制了饼图（如图） ，则下列说法正确的是 A. 第一季度居民人均每月消费支
4、出约为 1 633 元 B. 第一季度居民人均收入为 4 900 元 C. 第一季度居民在食品烟酒项目的人均消费 支出最多 D. 第一季度居民在居住项目的人均消费支出 为 1 029 元 A. B. C. D. x y Ox y Ox y O x y O 高三数学 第 3 页 共 6 页 10 如图， 透明塑料制成的长方体容器 1111 ABCDA B C D内灌进一些水， 固定容器一边AB 于地面上，再将容器倾斜，随着倾斜度的不同，有下面几个结论： A没有水的部分始终呈棱柱形 B水面EFGH所在四边形的面积为定值 C随着容器倾斜度的不同， 11 AC始终与水面所在平面平行 D当容器倾斜如图（
5、3）所示时，AE AH为定值 11 已知P为双曲线C： 2 2 1 3 x y=上的动点， 过P作两渐近线的垂线， 垂足分别为,A B， 记线段,PA PB的长分别为,m n，则 A若,PA PB的斜率分别为 12 ,k k，则 12 3k k = B 1 2 mn C4mn+的最小值为3 D|AB的最小值为 3 2 12对x R， x表示不超过x的最大整数十八世纪， yx=被“数学王子”高斯采 用，因此得名为高斯函数，人们更习惯称为“取整函数”，则下列命题中的真命题是 Ax R， 1xx +? B, x yR， xyxy+? C函数 (yxxx=R)的值域为0, 1) D若t R，使得 3
6、1t=， 4 2t=， 5 3t=，2 n tn=同时成立，则正整数 n的最大值是5 三、填空题：本题共三、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分 13 6 1 ()x x 的展开式中二项式系数最大的项的系数为 （用数字作答） 14在平行四边形ABCD中，3AB =，2AD =，点M满足2DMMC= uuuu ruuuu r ，点N满足 1 2 CNDA= uuuruuu r ，则AM MN= uuuu r uuuu r 高三数学 第 4 页 共 6 页 15 已知椭圆C： 22 22 1(0) xy ab ab +=的左， 右焦点分别为 1 F， 2 F，
7、 直线34 30xy+= 过点 1 F且与C在第二象限的交点为P，若 1 60POF=（O为原点） ，则 2 F的坐标 为 ，C的离心率为 （本题第一空2分，第二空3分） 16三棱柱 111 ABCA B C中， 1 AA 平面ABC， 1 4AA =，ABC是边长为2 3的正三 角形， 1 D是线段 11 B C的中点，点D是线段 11 A D上的动点，则三棱锥DABC外接球 的表面积的取值集合为 （用区间表示） 四、解答题：本题共四、解答题：本题共 6 小题，共小题，共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17（本题满分 10 分） 在
8、4 S是 2 a与 21 a的等差中项； 7 a是 3 3 S 与 22 a的等比中项；数列 2n a的前5项 和为65这三个条件中任选一个，补充在横线中，并解答下面的问题 已知 n a是公差为 2 的等差数列，其前 n 项和为 n S， （1）求 n a； （2）设 3 ( ) 4 n nn ba=，是否存在k N，使得 27 8 k b ？若存在，求出k的值； 若不存在，说明理由 18 （本小题满分 12 分） 在ABC中，角, ,A B C的对边分别为, ,a b c，且cos3 sinabCcB= （1）求B； （2）若2a =，且ABC为锐角三角形，求ABC的面积S的取值范围 高三数
9、学 第 5 页 共 6 页 19 （本小题满分 12 分） 如图，侧棱与底面垂直的四棱柱 1111 ABCDA B C D的底面ABCD是平行四边形， 1 2AMMA= uuuruuur ， 1 2CNNC= uuu ruuur （1）求证：AN P平面 11 MB D； （2）若22ABAD=，60BAD=， 1 3AA =， 求 1 NB与平面 11 MB D所成角的大小 20 （本小题满分 12 分） 已知抛物线C： 2 2xpy=(0)p 的焦点为F，直线 1 l：1ykx=+(0)k 与C的交点 为A，B，且当1k =时，|5AFBF+= （1）求C的方程； （2）直线 2 l与C相
10、切于点P，且 21 llP，若PAB的面积为4，求k 21 （本小题满分 12 分） 某省 2020 年高考将实施新的高考改革方案考生的高考总成绩由 3 门统一高考科目 成绩和自主选择的 3 门普通高中学业水平等级考试科目成绩组成，总分为 750 分 其中，统一高考科目为语文、数学、外语，自主选择的 3 门普通高中学业水平等级考 试科目是从物理、化学、生物、政治、历史、地理 6 科中选择 3 门作为选考科目，语 文、数学、外语三科各占 150 分，选考科目成绩采用“赋分制”，即原始分数不直接 用，而是按照学生分数在本科目考试的排名来划分等级并以此打分得到最后得分根 据高考综合改革方案，将每门等
11、级考试科目中考生的原始成绩从高到低分为 A，B， B，C，C，D，D，E 共 8 个等级参照正态分布原则，确定各等级人数所占比例 分别为 3%，7%，16%，24%，24%，16%，7%，3%等级考试科目成绩计入考生总 成绩时，将 A 至 E 等级内的考生原始成绩，依照等比例转换法则，分别转换到 91 100，8190，7180，6170，5160，4150，3140，2130 八个分数区间， 得到考生的等级成绩 M N A1 B1 C1 D1 B D C A 高三数学 第 6 页 共 6 页 举例说明： 某同学化学学科原始分为 65 分， 该学科 C等级的原始分分布区间为 58 69，则该同
12、学化学学科的原始成绩属 C等级而 C等级的转换分区间为 6170， 那么该同学化学学科的转换分计算方法为：设该同学化学学科的转换等级分为x， 696570 655861 x x = ，求得66.73x 四舍五入后该同学化学学科赋分成绩为 67. 为给高一学生合理选科提供依据，全省对六 个选考科目进行测试，某校高一年级2 000人， 根据该校高一学生的物理原始成绩制成频率分 布直方图（见右图） 由频率分布直方图，可以 认为该校高一学生的物理原始成绩X服从正态 分布 2 ( ,)N (0) ，用这2 000名学生的 平均物理成绩x作为的估计值，用这2 000 名学生的物理成绩的方差 2 s作为 2
13、 的估计值 （1）若张明同学在这次考试中的物理原始分为86分，等级为 B，其所在原始分分 布区间为8293，求张明转换后的物理成绩（精确到1） ；按高考改革方案，若从全 省考生中随机抽取100人，记Y表示这100人中等级成绩在区间81,100内的人数， 求Y最有可能的取值（概率最大） ； （2）求x， 2 s（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表） ； 由中的数据，记该校高一学生的物理原始分高于84分的人数为Z，求(Z)E 附：若X 2 ( ,)(0)N ，则()0.6827PXL 8 分 高三数学答案 第 2 页 共 8 页 所以 n b中的最大项为 3 3 3727 (2 3 1) (
14、) 464 b = += 9 分 显然 3 7278 2727 64648 b =所以 cos3 0 sin3 C C ， 12 22yyp+=+ 2 分 由抛物线的定义， 12 |AFBFyyp+=+325p=+=，解得1p = 所以C的方程为 2 2xy= 4 分 （2）方法方法 1： 2 2xy=即为 2 1 2 yx=，求导得yx = 设 2 00 1 (,) 2 P xx，当 0 xx=时， 0 yx = ，因此直线 2 l的斜率为 0 x 又因为 12 llP，所以 0 kx=，因此 2 1 ( ,) 2 P kk 由 2 2 1 xy ykx = =+ ，得 2 220xkx=.
15、 2 480k =+，则 12 2xxk+=， 12 2x x = 高三数学答案 第 5 页 共 8 页 因此 22 1212 |= (1)()4ABkxxx x+ 22 =2 (1)(2)kk+ 7 分 直线 1 l:1ykx=+即为10kxy+ = 因此点 2 1 ( ,) 2 P kk到直线 1 l的距离为 2 2 1 |1| 2 1 k kk k + + 2 2 1 1 2 = 1 k k + + 9 分 所以PAB的面积为 1 | 2 SAB h= 2 22 2 1 1 1 2 =2 (1)(2) 2 1 k kk k + + + 23 1 =(2) 2 k + 11 分 由题意，
16、23 1 (2) 2 k +4=，即 233 (2) =2k +， 2 2=2k + 又因为0k ，所以2k = 12 分 方法方法 2：由方法 1 可得 2 1 ( ,) 2 P kk，直线 2 l的斜率为k 因此直线 2 l的方程为 2 1 () 2 ykk xk=令0x =，则 2 1 2 yk= 设直线 2 l与y轴交于点Q，则点Q的坐标为 2 1 (0,) 2 k 6 分 设(0,1)D由方法 1 可知， 12 2xxk+=， 12 2x x = 因为 12 llP，所以PAB的面积与QAB的面积相等 8 分 PAB的面积 12 1 | | 2 SDQxx= 2 1212 1 |()
17、4 2 DQxxx x=+ 22 11 (1) 48 22 kk=+ 23 1 =(2) 2 k +11 分 由题意， 23 1 (2) 2 k +4=，即 233 (2) =2k +， 2 2=2k + 又因为0k ，所以2k = 12 分 方法方法 3：设AB的中点为M，由方法 1 可知， 12 2xxk+=， 12 2x x = 因此 12 2 M xx xk + =， 2 11 MM ykxk=+ =+ 6 分 高三数学答案 第 6 页 共 8 页 又因为 2 1 ( ,) 2 P kk的横坐标也为k，所以PMyP轴 8 分 因此PAB的面积为 12 1 | | 2 SPMxx= 2
18、1212 1 |()4 2 Mp yyxxx x=+ 22 11 (1) 48 22 kk=+ 23 1 =(2) 2 k +11 分 由题意， 23 1 (2) 2 k +4=，即 233 (2) =2k +， 2 2=2k + 又因为0k ，所以2k = 12 分 21 （1）设张明转换后的物理等级分为x，由 938690 868281 x x = ，求得84.27x 所以，张明转换后的物理成绩为84分 2 分 由题意，Y(100,0.1)B 3 分 下分两种解法：下分两种解法： 解法解法 1：由 ()(1), ()(1) P YkP Yk P YkP Yk = =+ ? ? 得 1001
19、1100 (1) 100100 10011100 (1) 100100 C0.1 0.9C0.10.9, C0.1 0.9C0.10.9. kkkkkk kkkkkk + ? ? 4 分 解得9.110.1k?又 * kN，所以10k = 所以，Y最有可能的取值是10 6 分 解法解法 2： 100 100 11100 (1) 100 C0.1 0.9()101 (1)C0.10.99 kkk kkk P Ykk P Ykk = = = ，1,2,3,100.k =L 4 分 所以 ()101 1110.1 (1)9 P Ykk k P Ykk = = ； () 110.1 (1) P Yk
20、k P Yk = = 于是，当10.1k ()P Yk= 所以10k =时，()P Yk=最大故Y最有可能的取值是10 6 分 （2） 解：300.02400.08500.22600.36700.22800.08x =+ 900.02+60= 7 分 22222 (3060)0.02(4060)0.08(5060)0.22(6060)0.36s =+ 222 (7060)0.22(8060)0.08(9060)0.02+144= 8 分 高三数学答案 第 7 页 共 8 页 由中的数据，60 =，12 =，所以X 2 (60,12 )N 所以2602 1284+=+= 9 分 所以 1(22
21、) (84) 2 PX P X = ?0.951 2 54 =0.02275= 10 分 由题意，Z(2000,0.02275)B11 分 所以( )20000.0227545.5E Z = 12 分 22 （1）解：令exyx=，则 0 e1ee . xx y= = 1 分 可见，00yx 故函数exyx=在(,0)上单调递减，在(0,)+上单调递增 2 分 所以，当且仅当0x =时，函数exyx=取最小值1 由题意，实数1a?所以 0 1a = 3 分 （2）由（1） ， 22 22 e (1)e (1)sin ( )sin1. xx xxxxx fxx xx + =+ = 4 分 令 2
22、2 ( )e (1)sin x g xxxxx=+， 则 2 ( )e2 sincos2(e2sincos2). xx g xxxxxxxxxxx=+=+ 令( )e2sincos2 x h xxxx=+ 当当 ,0) 2 x 时，时，e0,2sin0,cos0 x xxx?，所以( )0h x 可见，( )( )0g xxh x= （由（1） ，可得 2 1e 2 + ，( )f x单调递增；当 0 (,0)xx时， ( )0g x （由 （1） ， 可得 2 1e 2 + ，从而( )0fx所以( )f x在 ( , 2 单调递增 综上所述，( )f x在 0 ( ,)x上单调递增，在 0
23、 (,0)x上单调递减 所以，函数( )f x在区间( ，0)内存在唯一极大值点 0 x 10 分 关于关于 00 ()2f xx的证明如下：的证明如下： 由 上面 的讨 论， 0 (,0) 2 x ， 且 0 22 00000 ()e (1)sin0 x g xxxxx=+=， 所以 0 0000 0 e (1)sin0 x xxxx x +=，所以 0 00 00 (1sin)e 1 x xx xx = 于是 0 00 00000 00 (1 sin)e ()coscos 1 x xx f xxxxx xx =+=+ 11 分 令( )sinq xxx=当 (,0) 2 x 时，( )1cos0q xx= 所以( )q x在 (,0) 2 上单 调递增所以，当 (,0) 2 x 时，( )(0)0q xq，所以 0 0 1 sin 01. 1 x x 12 分
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