1、北京市朝阳区六校联考北京市朝阳区六校联考 2019-2020 学年高三年级四月份测试学年高三年级四月份测试 数学试卷数学试卷 A 第一部分第一部分（选择题（选择题 共共 40 分）分） 一、选择题共一、选择题共 10 小题，每小题小题，每小题 4 分，共分，共 40 分在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项分在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项 1已知命题:,pxR 1 x e 那么命题 p 的否定为（ ） A 0 ,xR 0 1 x e B,xR 1x e C 0 ,xR 0 1 x e D,xR 1 x e 2下列函数中既是奇函数，又在区间(0,1)上单调递减的是（
2、） A 3 ( )2f xx B 1 2 ( )log |f xx C 3 ( )3f xxx D( )sinf xx 3 设集合 2 |340AxZ xx， 2 |1 x Bx e ， 则以下集合 P 中， 满足()PAB 的是 （ ） A 1,0,1,2 B1,2 C1 D2 4已知 3 log ,a 0.2 log0.3,b 11 tan 3 c ，则 a，b，c 的大小关系是（ ） Abac Bcba Ccab Dbca 5若一个 n 面体有 m 个面是直角三角形，则称这个 n 面体的直度为 m n ，如图是某四面体的三视图，则这 个四面体的直度为（ ） 正视图 侧视图 俯视图 A 1
3、 4 B 1 2 C 3 4 D1 6已知向量(2,2 3)a ，若(3 )aba，则b在a上的投影是（ ） A 3 4 B 3 4 C 4 3 D 4 3 7已知ABC，则“sincosAB”是“ABC是直角三角形”的（ ） A充分而不必要条件 B必要而不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件 8“杨辉三角”是中国古代重要的数学成就，它比西方的“帕斯卡三角形”早了 300 多年如图是由“杨辉 三角”拓展而成的三角形数阵，记 n a为图中虚线上的数 1，3，6，10，构成的数列 n a的第 n 项， 则 100 a的值为（ ） A5049 B5050 C5051 D5101 9已知双
4、曲线 2 2 1 2 y x 的渐近线与抛物线 2 :2(0)M ypx p交于点(2, )Aa，直线 AB 过抛物线 M 的焦点，交抛物线 M 于另一点 B，则AB等于（ ） A3.5 B4 C4.5 D5 10关于函数 2 ( )1 x f xxaxe有以下三个结论： 函数恒有两个零点，且两个零点之积为-1； 函数的极值点不可能是-1； 函数必有最小值 其中正确结论的个数有（ ） A3 个 B2 个 C1 个 D0 个 第二部分第二部分（非选择题（非选择题 共共 110 分）分） 二、填空题共二、填空题共 5 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 25 分分 11在 5 2 x x
5、的二项展开式中， 2 x的系数为_（用数字作答） 12设复数 z 在复平面内对应的点位于第一象限，且满足| 5z ，z6z，则 z 的虚部为_，1 z _ 13设无穷等比数列 n a的各项为整数，公比为 9，且1q ， 132 2aaa，写出数列 n a的一个通项 公式_ 14 在平面直角坐标系中， 已知点(0,1),A(1,1)B， P 为直线 AB 上的动点， A 关于直线 OP 的对称点记为 Q， 则线段 BQ 的长度的最大值是_ 15关于曲线 22 :4C xxyy，给出下列四个结论： 曲线 C 关于原点对称，但不关于 x 轴、y 轴对称； 曲线 C 恰好经过 4 个整点（即横、纵坐标
6、均为整数的点） ； 曲线 C 上任意一点都不在圆 22 3xy的内部； 曲线 C 上任意一点到原点的距离都不大于2 2 其中，正确结论的序号是_ 注：本题给出的结论中，有多个符合题目要求全部选对得 5 分，不选或有错选得 0 分，其他得 3 分 三、解答题共三、解答题共 6 小题，共小题，共 85 分解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程分解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程 16 （本小题 13 分） 已知( )2 3sin cos2coscos 44 f xxxxx （I）求( )f x的最小正周期和单调递增区问； （II）当0, x时，若( )( 1,1f x ，求 x 的取值范围 1
7、7 （本小题 14 分） 体温是人体健康状况的直接反应，一般认为成年人腋下温度 T（单位：C）平均在36 C 37 C 之间即 为正常体温，超过37.1 C即为发热发热状态下，不同体温可分成以下三种发热类型：低热： 37.138T；高热：3840T；超高热（有生命危险） ：40T 某位患者因患肺炎发热，于 12 日至 26 日住院治疗医生根据病情变化，从 14 日开始，以 3 天为一个 疗程，分别用三种不同的抗生素为该患者进行消炎退热住院期间，患者每天上午 8：00 服药，护士每 天下午 16：00 为患者测量腋下体温记录如下： 抗生素使用情况 没有使用 使用“抗生素 A”疗 使用“抗生素 B
8、”治疗 日期 12 日 13 日 14 日 15 日 16 日 17 日 18 日 19 日 体温（C） 38.7 39.4 39.7 40.1 39.9 39.2 38.9 39.0 抗生素使用情况 使用“抗生素 C”治疗 没有使用 日期 20 日 21 日 22 日 23 日 24 日 25 日 26 日 体温（C） 38.4 38.0 37.6 37.1 36.8 36.6 36.3 （I）请你计算住院期间该患者体温不低于39 C的各天体温平均值； （II）在 19 日23 日期间，医生会随机选取 3 天在测量体温的同时为该患者进行某一特殊项目“a 项 目”的检查，记 X 为高热体温下做
9、“a 项目”检查的天数，试求 X 的分布列与数学期望； （II）抗生素治疗一般在服药后 2-8 个小时就能出现血液浓度的高峰，开始杀灭细菌，达到消炎退热效 果假设三种抗生素治疗效果相互独立，请依据表中数据，判断哪种抗生素治疗效果最佳，并说 明理由 18 （本小题 15 分） 在四棱锥P-ABCD中， 平面ABCD平面PCD， 底面ABCD为梯形，/AB CD，ADDC， 且1AB ， 2ADDCDP，120PDC （I）求证：ADPC； （II）求二面角_的余弦值； 从P-AB-C，P-BD-C，P-BC-D 这三个条件中任选一个，补充在上面问题中并作答注：如 果选择多个条件分别解答，按第一个
10、解答计分 （III）若 M 是棱 PA 的中点，求证：对于棱 BC上任意一点 F，MF 与 PC 都不平行 19 （本小题 14 分） 已知椭圆 22 22 :1(0) xy Cab ab 的离心率为 1 2 ，过椭圆右焦点 F 的直线 l 与椭圆交于 A，B 两点， 当直线 l 与 x 轴垂直时，| 3AB （I）求椭圆 C 的标准方程； （II）当直线 l 与 x 轴不垂直时，在 x 轴上是否存在一点 P（异于点 F） ，使 x 轴上任意点到直线 PA，PB 的距离均相等？若存在，求 P 点坐标；若不存在，请说明理由 20 （本小题 15 分） 已知函数 2 ( )() x f xeax
11、aR （I）若山线( )yf x在(1,(1)f处的切线与 x 轴平行，求 a； （II）已知( )f x在0,1上的最大值不小于 2，求 a 的取值范围； （III）写出( )f x所有可能的零点个数及相应的 a 的取值范围 （请直接写出结论） 21 （本小题 14 分） 已知集合 12 |( ,0,1,1,2, nn SX Xx xxin(2)n ，对于 12 , nn Aa aaS， 12 , nn Bb bbS，定义 A 与 B 的差为 1122 , nn ABababab；A 与 B 之间的距 离为 1122 ( , ) nn d A Bababab （I）若(0,1)AB，试写出所
12、有可能的 A，B； （II）, , n A B CS，证明： （i）(,)( , )d AC BCd A B； （ii）( , ),d A B( ,),d A C( ,)d B C三个数中至少有一个是偶数； （III）设 n PS，P中有 m（2m，且为奇数）个元素，记 P 中所有两元素间距离的平均值为 p d， 证明： (1) 2 p n m d m 2019-2020 学年度高三年级四月份测试题学年度高三年级四月份测试题 数学数学 A 参考答案参考答案 2020.4 第一部分（选择题第一部分（选择题 共共 40 分）分） 一、选择题（共一、选择题（共 10 小题，每小题小题，每小题 4 分
13、，共分，共 40 分分在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项）在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项） 1A 2C 3C 4B 5D 6D 7D 8B 9C 10A 第二部分（非选择题第二部分（非选择题 共共 110 分）分） 二、填空题（共二、填空题（共 5 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 25 分）分） 11-80 12-4， 34 2525 i 13 1* 2n n an N（答案不唯一） 1421 15 三、解答题（共三、解答题（共 6 小题，共小题，共 85 分分解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程） 16 （
14、本小题 13 分） 解： （I）因为( )3sin22coscos 424 f xxxx 3sin22sincos 44 xxx 3sin2sin 2 2 xx 3sin2cos2xx 31 2sin2cos2 22 xx 2sin 2 6 x ， 另解：( )3sin22 cos cossin sincos cossin sin 4444 f xxxxxx 2222 3sin22cossincossin 2222 xxxxx 22 3sin2cossin3sin2cos2xxxxx 31 2sin2cos22sin 2 226 xxx ， 所以 22 |2 T 由222 262 kxk ，k
15、Z，得 63 kxk ，kZ 故( )f x的单调递增区间为：, 63 kk kZ （）令2sin 21 6 x ，有 1 sin 2 62 x ， 即22, 66 xk kZ或 5 22, 66 xk kZ， 也即, 6 xk kZ或, 2 xk kZ 因为0, x，所以 6 x 或 2 x 令2sin 21 6 x ，得 1 sin 2 62 x 即22, 66 xk kZ或 5 22, 66 xk kZ, 也即,xkkZ或, 3 xk kZ， 因为0, x，所以x或 2 3 x 又因为( )f x的单调递增区间为：0, 3 和 5 , 6 ， ( )f x的单调递减区间为： 5 , 36
16、 ， 所以当( )( 1,1f x 时，x 的取值范围为 2 0, 62 3 17 （本小题 14 分） 解： （I）由表可知，该患者共 6 天的体温不低于39 C，记平均体温为x， 1 (39.439.740.1 39.939.239.0)39 5 C.5 6 x 所以，患者体温不低于39 C的各天体温平均值为39.55 C （）X 的所有可能取值为 0，1，2 30 32 3 5 1 (0) 10 C C P X C ， 21 32 3 5 63 (1) 105 C C P X C ， 12 32 3 5 3 (2) 10 C C P X C ，则 X 的分布列为： X 0 1 2 P 1
17、 10 3 5 3 10 所以 1336 ()012 105105 E X （） “抗生素 C”治疗效果最佳可使用理由： “抗生素 B”使用期间先连续两天降温1.0 C又回升0.1 C， “抗生素 C”使用期间持续降温 共计1.2 C，说明“抗生素 C”降温效果最好，故“抗生素 C”治疗效果最佳 “抗生素 B”治疗期间平均体温39.03 C，方差约为 0.0156： “抗生素 C”平均体温38 C， 方差约为 0.1067， “抗生素 C”治疗期间体温离散程度大，说明存在某个时间节点降温效果 明显，故“抗生素 C”治疗效果最佳 “抗生素 B” 治疗效果最佳可使用理由：（不说使用 “抗生素 B”
18、 治疗才开始持续降温扣 1 分） 自使用“抗生素 B”开始治疗后，体温才开始稳定下降，且使用“抗生素 B”治疗当天共降 温0.7 C，是单日降温效果最好的一天，故“抗生素 B”治疗效果最佳 （开放型问题，答案不唯一，但答“抗生素 A”效果最好不得分，理由与结果不匹配不得分，不 用数据不得分） 18 （本小题 15 分） 解： （I）因为平面ABCD平面 PCD，平面ABCD平面PCDCD， AD 平面 ABCD，ADDC，所以AD 平面 PCD， 又因为PC 平面 PCD，所以ADPC （）选择评分细则：在平面 PCD 内过点 D 作DHDC，交 PC 于 H 由（I）可知，AD 平面 PDC
19、，所以ADDH 故 AD，CD，DH 两两垂直， 如图，以 D 为原点，DA，DC，DH 所在直线分别为 x，y，z 轴，建立空间直角坐标系 D-xyz， 则(0,0,0),D(0, 1, 3),P(2,0,0),A(2,1,0),B(0,2,0)C 因为DH 平面 ABCD，所以平面 ABCD 的一个法向量为(0,0,1)n 而(2,1,3)PA，(2,2,3)PB ， 设平面 PAB 的一个法向量为( , , )mx y z 则由 0 0 m PA m PB ，得 230 2230 xyz xyz ， 取2z ，有( 3,0,2)m 所以 22 cos,7 |77 n m n m n m
20、由题知，二面角 P-AB-C 为锐角， 故二面角 P-AB-C 的余弦值为 2 7 7 选择得分要点（评分细则同） ： （下面给出关键点供参考，若与上面建系相同，则） 平面 ABCD 的一个法向量为(0,0,1)n ； 平面 PBD 的一个法向量为(3,2 3,2)m ； 二面角 P-BD-C 为钝角：二面角 P-AB-C 的余弦值为 2 19 19 选择得分要点（评分细则同） ： （下面给出关键点供参考，若与上面建系相同，则） 平面 ABCD 的法向量(0,0,1)n ； 平面 PBC 的法向量(1,2,2 3)m ； 二面角 P-BC-D 为锐角；二面角 P-BC-D 的余弦值为 2 51
21、 17 （）假设棱 BC 上存在点 F，/MF PC设,BFBC0,1 依题意，可知 13 1, 22 M ，( 2,1,0)BC ， ( 2 , ,0)BF ，(22 ,1,0)F， 33 1 2 , 22 MF ，(0,3,3)PC ， 则 120 3 3 2 3 3 2 ，而此方程组无解， 故假设不成立，所以结论成立 19 （本小题 14 分） 解： （）由题意得： 2 222 2 3 1 2 b a c a abc ，解得：2a ，3b ，1c 所以椭圆的标准方程为： 22 1 43 xy （）依题意，若直线 l 的斜率不为零， 可设直线:1(0)l xmym， 11 ,A x y，
22、22 ,B x y， 假设存在点 P，设 0,0 P x，由题设， 0 1x ，且 01 xx， 02 xx 设直线 PA，PB 的斜率分别为 1, k 2 k， 则 1 1 10 , y k xx 2 2 20 y k xx 因为 11 ,A x y 22 ,B x y在1xmy上， 故 11 1,xmy 22 1xmy 而 x 轴上任意点到直线 PA，PB 距离均相等等价于“PF 平分APB” 所以等价于 12 0kk， 则 12 12 1020 yy kk xxxx 1221012 1020 x yx yxyy xxxx 12012 1020 21 0 my yxyy xxxx 联立 2
23、2 1 43 1 xy xmy ，消去 x，得： 22 34690mymy， 有 12 2 6 , 34 m yy m 12 2 9 34 y y m 则 0 12 2 1020 1866 0 34 mmmx kk mxxxx 0 2 1020 246 34 mmx mxxxx ， 即 0 40mmx，又0m，故 0 4x 当直线 l 的斜率为零时，(4,0)P也符合题意 故存在点(4,0)P，使得 x 轴上任意点到直线 PA，PB 距离均相等 20 （本小题 15 分） 解： （I）因为 2 ( )e() x f xax aR，故( )e2 x fxax 依题意(1)e20fa，即 e 2
24、a 当 e 2 a 时，(1)0 2 e f， 此时切线不与 x 轴重合，符合题意，因此 e 2 a （）由（I）知，( )e2 x fxax， 当0a时，因为0,1,xe0, x 20ax， 故( )0fx，即( )f x单调递增， 因此 max ( )(1)ef xfa 依题意，当0a时， max ( )ee2f xa ，所以0a符合题意 当0a 时，( )e2 x fxa，令( )0fx，有ln2xa ( )fx，( )fx变化如下： x (,ln2 )a ln2a (ln2 ,)a ( )fx - 0 + ( )fx 极小值 故 min ( )22 ln22 (1 ln2 )fxaaa
25、aa 当1 ln20a时，即 e 0 2 a时，( )0fx，( )f x单调递增， 因此 max ( )(1)ef xfa 依题意，令e2a，有0e2a 当1 ln20a时，即 e 2 a 时，(1)e20fa，(0)10 f ， 故存在唯一 0 (0,1)x 使 0 0fx 此时有 0 0 e20 x ax，即 0 0 e2 x ax，( )fx，( )f x变化如下： 若(,2ae ，则( )f x在0,1上的最大值小于 2， 所以 a 的取值范围为(,e2 解法二： （）当0,1x时，( )f x最大值不小于 2， 等价于 2 ( )c2 x f xax在0,1x上有解，显然0x 不是
26、解， 即 2 e2 x a x 在0,1x上有解， 设 2 e2 ( ) x g x x ，0,1x，则 3 e2e4 ( ) xx x g x x ， 设( )e2e4 xx h xx，0,1x，则( )e (1)0 x h xx， 所以( )h x在(0,1单调递减，( )(1)4e0h xh， 所以( )0g x，所以( )g x在(0,1单调递增， 所以 max ( )(1)e2g xg 依题意e2a ，所以 a 的取值范围为(,e2 解法三： （）由（）知，( )e2 x fxax， （1）当 e 2 a 时，( )e2ee xx fxaxx， 设( )ee x h xx，0,1x，
27、( )ee0 x h x ， 所以( )h x在0,1单调递减，故( )(1)0h xh 所以( )0fx，所以( )f x在0,1单调递增， 因此 max ( )(1)ef xfa ， 依题意，令e2a，得e2a （2）当 e 2 a 时， 22 e ( )ee 2 xx f xaxx， 设 2 e ( )e, 2 x xx0,1x，则( )ee( )0 x xxh x， 所以( ) x在0,1单调递增，故 max ee ( )(1)e2 22 x， 即( )2f x ，不符合题意 综上所述，a 的取值范围为(,2e （）当0a时，( )yf x有 0 个零点； 当 2 e 0 4 a时，(
28、 )yf x有 1 个零点； 当 2 e 4 a 时，( )yf x有 2 个零点； 当 2 e 4 a 时，( )yf x有 3 个零点 （写对一个给 1 分，写对三个给 2 分，全对给 3 分） 21 （本小题 14 分） 解： （I）(0,0),A(0,1)B ；(0,1),A(0,0)B ； (1,0),A(1,1)B ；(1,1),A (1,0)B （）令 12 , n Aa aa 12 , n Bb bb 12 , n Cc cc， （i）对1,2,in， 当0 i c 时，有| iiiiii acbcab， 当1 i c 时，有|11 iiiiiiii acbcabab 所以 1
29、1222222 (,)| nnnn d A C BCacbcacbcacbc 1122 ( , ) nn abababd A B （）证法 1： 设 12 , n Aa aa， 12 , n Bb bb， 12 , nn Cc ccS， ( , )d A Bk，( ,)d A Cl，( ,)d B Ch 记(0,0,0) n OS，由（I）可知， ( , )(,)( ,)d A Bd AA BAd O BAk， ( ,)(,)( ,)d A Cd AA CAd O CAl， ( ,)(,)d B Cd BA CAh， 所以(1,2, ) ii bain中 1 的个数为 k， (1,2, ) i
30、i cain的 1 的个数为 l 设 t 是使1 iiii baca成立的 i 的个数，则2hlkt 由此可知，k，l，h 三个数不可能都是奇数， 即( , ),d A B( ,),d A C( ,)d B C三个数中至少有一个是偶数 证法 2： 因为 0 iiiiii abbcca， 且 iiiiii abbcca与 iiiiii abbcca奇偶性相同， 所以 iiiiii abbcca为偶数，故( , )( ,)( ,)d A Bd B Cd A C为偶数 所以( , ), ( ,), ( ,)d A B d A C d B C三个数中至少有一个是偶数 （）记 , ( , ) A B P d A B 为 P 中所有两个元素间距离的总和， 设 P 中所有元素的第 i 个位置的数字中共有 i t个 1， i mt个 0， 则 ,1 ( , ) n ii A B Pi d A Bt mt 因为 m 为奇数，所以 2 1 (1,2, ) 4 ii m t mtin , 且 1 2 i m t 或 1 2 m 时，取等号 所以 2 , 1 ( , ) 4 A B P n m d A B 所以 2 22 , 1 1(1) ( , ) 42 p A B P mm n m mn dd A B CCm
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