1、2020 年高考（理科）数学（年高考（理科）数学（4 月份）模拟试卷月份）模拟试卷 一、选择题（共 12 小题）. 1已知全集 UR，集合 Ax|3x213x0，By|y3x+1，则 A（UB）（ ） A B（0，1 C D（0，1） 2若复数 z 满足 z （42i）3+i，则在复平面内复数 z 所对应的点位于（ ） A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 3九章算术是我国古代内容极为丰富的数学名著，卷一方田中有如下两个问题： 三三今有宛田，下周三十步，径十六步问为田几何？ 三四又有宛田，下周九十九步，径五十一步问为田几何？ 翻译为：三三现有扇形田，弧长 30 步，直径长 16 步问
2、这块田面积是多少？ 三四又有一扇形田，弧长 99 步，直径长 51 步问这块田面积是多少？ 则下列说法正确的是（ ） A问题三三中扇形的面积为 240 平方步 B问题三四中扇形的面积为平方步 C问题三三中扇形的面积为 60 平方步 D问题三四中扇形的面积为平方步 4运行如图所示的程序框图，若输入的 a 的值为 2 时，输出的 S 的值为20，则判断框中 可以填（ ） Ak3？ Bk4？ Ck5？ Dk6？ 5已知正项数列an的首项为 1，an2是公差为 3 的等差数列，则使得 an6 成立的 n 的最 小值为（ ） A11 B12 C13 D14 6若函数 f（x）（4mxn）2的大致图象如图
3、所示，则（ ） Am0，0n1 Bm0，n1 Cm0，0n1 Dm0，n1 7在三棱柱 ABCA1B1C1中，已知 ABAC，AA1平面 A1B1C1，则下列选项中，能使异 面直线 BC1与 A1C 相互垂直的条件为（ ） AACA45 BACA45 C四边形 ABB1A1为正方形 D四边形 BCC1B1为正方形 8已知非零实数 m，n 满足 m2 |m|n2 |n|，则下列结论错误的是（ ） Aln|m|ln|n| B C|m|+sin|m|n|+sin|n| Dm2n2 9若首项为的数列an满足 2（2n+1）anan+1+an+1an，则 a1+a2+a3+a2020（ ） A B C
4、D 10已知函数，则下列说法正确的是（ ） A函数 f（x）在上单调递减 B将函数 f（x）的图象向左平移个单位长度后关于 y 轴对称 C D当 时， 11在正方形 ABCD 中，已知 AB2，（01），（01），| |，若x，则 x 的取值范围为（ ） A B C D 12过双曲线的右焦点 F 作直线 l，且直线 l 与双曲线 C 的 一条渐近线垂直，垂足为 A，直线 l 与另一条渐近线交于点 B已知 O 为坐标原点，若 OAB 的内切圆的半径为，则双曲线 C 的离心率为（ ） A B C D或 2 二、填空题（共 4 小题） 13 的展开式中，项的系数为 14若直线 y9x+a 与曲线 y
5、x33x 相切，则 a 15某团队派遣甲、乙、丙、丁四人分别完成一项任务，已知甲完成任务的概率为，乙完 成任务的概率为，丙、丁完成任务的概率均为，若四人完成任务与否相互独立，则 至少 2 人完成任务的概率为 16已知抛物线 C：y28x 的焦点为 F，直线 l1，l2，过点 F 且与抛物线 C 分别交于点 M， N 和点 P， Q， 弦 MN 和 PQ 的中点分别为 D， E， 若 l1l2， 则下列结论正确的是 |MN|+|PQ|的最小值为 32； 以 M，N，P，Q 四点为顶点的四边形的面积的最小值为 128； 直线 DE 过定点（6，0）； 焦点 F 可以同时为弦 MN 和 PQ 的三等
6、分点 三、解答题（共 5 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17在ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别是 a，b，c，且， （1）求ABC 外接圆的面积； （2）若 b+c8，求ABC 的面积 18如图，四棱锥 SABCD 中，二面角 SABD 为直二面角，E 为线段 SB 的中点， DABCBA3ASB3ABS90，tanASD，AB4 （1）求证：平面 DAE平面 SBC； （2）求二面角 CAED 的大小 192019 年 11 月份，全国工业生产者出厂价格同比下降 1.4%，环比下降 0.1%某企业在了 解市场动态之后，决定根据市场动态及时作出相应调整，
7、并结合企业自身的情况作出相 应的出厂价格，该企业统计了 2019 年 110 月份产品的生产数量 x（单位：万件）以及 销售总额 y（单位：十万元）之间的关系如表： x 2.08 2.12 2.19 2.28 2.36 2.48 2.59 2.68 2.80 2.87 y 4.25 4.37 4.40 4.55 4.64 4.75 4.92 5.03 5.14 5.26 （1）计算的值； （2）计算相关系数 r，并通过 r 的大小说明 y 与 x 之间的相关程度； （3） 求 y 与 x 的线性回归方程， 并推测当产量为 3.2 万件时销售额为多少 （该 问中运算结果保留两位小数） 附 ： 回
8、 归 直 线 方 程中 的 斜 率 和 截 距 的 最 小 二 乘 估 计 公 式 分 别 为 ，； 相关系数 参考数据：， 20已知斜率存在且不为 0 的直线 l 过点 D（1，0），设直线 l 与椭圆交于 A，B 两点，椭圆 C 的左顶点为 P （1）若PAB 的面积为，求直线 l 的方程； （2）若直线 PA，PB 分别交直线 x3 于点 M，N，且，记直线 AB，RD 的斜率 分别为 k，k探究：k k是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由 21已知函数 f（x）ex（x2+8x4） （1）求函数 f（x）的单调区间； （2）若关于 x 的不等式在0，+）上恒成立，且 m0，
9、求 实数 m 的取值范围 选修 4-4：坐标系与参数方程 22在平面直角坐标系 xOy 中，直线 l 的参数方程为（t 为参数），曲线 C1的参数 方程为（ 为参数），曲线 C1与 x 轴交于 O，A 两点以坐标原点 O 为极 点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系 （1）求直线 l 的普通方程及曲线 C1的极坐标方程； （2）若直线 l 与曲线在第一象限交于点 M，且线段 MA 的中点为 N，点 P 在曲线 C1上，求|PN|的最小值 选修 4-5：不等式选讲 23（1）已知 x，y，z 均为正数，且，求证：（8x+2）（8y+2）（8z+2）27； （2）已知实数 m，n 满足 m1，求证：2
10、m2n+4mn2+14m2n2+m+2n 参考答案 一、选择题（共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选 项是符合题目要求的） 1已知全集 UR，集合 Ax|3x213x0，By|y3x+1，则 A（UB）（ ） A B（0，1 C D（0，1） 【分析】根据二次不等式的求法先求出集合 A，结合指数函数的性质可求 B，进而可求 解：依题意得， By|y3x+1y|y1， 则UBy|y1， 所以 A（UB）（0，1， 故选：B 2若复数 z 满足 z （42i）3+i，则在复平面内复数 z 所对应的点位于（ ） A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四
11、象限 【分析】把已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简，求出 z 的坐标得答案 解：依题意得， 故在复平面内复数 z 所对应的点为，该点位于第一象限， 故选：A 3九章算术是我国古代内容极为丰富的数学名著，卷一方田中有如下两个问题： 三三今有宛田，下周三十步，径十六步问为田几何？ 三四又有宛田，下周九十九步，径五十一步问为田几何？ 翻译为：三三现有扇形田，弧长 30 步，直径长 16 步问这块田面积是多少？ 三四又有一扇形田，弧长 99 步，直径长 51 步问这块田面积是多少？ 则下列说法正确的是（ ） A问题三三中扇形的面积为 240 平方步 B问题三四中扇形的面积为平方步 C问题三三
12、中扇形的面积为 60 平方步 D问题三四中扇形的面积为平方步 【分析】利用扇形面积计算公式即可得出 解：依题意，问题三三中扇形的面积为平方步， 问题三四中扇形的面积为平方步 故选：B 4运行如图所示的程序框图，若输入的 a 的值为 2 时，输出的 S 的值为20，则判断框中 可以填（ ） Ak3？ Bk4？ Ck5？ Dk6？ 【分析】这是一个当型循环结构，反复求和，注意 a 的值正负交替只需逐次循环，直 到得到 s20，根据 k 的值判断 解：运行该程序，第一次循环，S2，a2，k2；第二次循环 S6，a2，k3； 第三次循环，S12，a2，k4；第四次循环，S20，a2，k5，此时输出 S
13、 的值，观察可知，仅选项 C 符合题意， 故选：C 5已知正项数列an的首项为 1，an2是公差为 3 的等差数列，则使得 an6 成立的 n 的最 小值为（ ） A11 B12 C13 D14 【分析】 依题意得， 从而 令， 得， 由此能求出使得 an6 成立的 n 的最小值 解：正项数列an的首项为 1，an2是公差为 3 的等差数列， 依题意得， 故令，得 3n236，解得， nN*，使得 an6 成立的 n 的最小值为 13， 故选：C 6若函数 f（x）（4mxn）2的大致图象如图所示，则（ ） Am0，0n1 Bm0，n1 Cm0，0n1 Dm0，n1 【分析】通过函数值为 0，
14、求出 x 的表达式，判断 m，n 的范围，排除选项 AD，通过 m 0，利用函数的单调性，结合 x 与 y 的关系，判断排除选项 C，即可 解：令 f（x）0，即 4mxn，则 mxlog4n，即， 由图可知，故 m0 时 n1，m0 时 0n1，排除 A、D； 当 m0 时，易知 y4mx是减函数，且当 x+时，y0 则 f（x）n2，C 明显不合题 意，排除 C， 故选：B 7在三棱柱 ABCA1B1C1中，已知 ABAC，AA1平面 A1B1C1，则下列选项中，能使异 面直线 BC1与 A1C 相互垂直的条件为（ ） AACA45 BACA45 C四边形 ABB1A1为正方形 D四边形
15、BCC1B1为正方形 【分析】推导出 AA1AB，ABAC，从而 AB平面 CC1A1，进而 ABA1C当异面直 线 BC1与 A1C 相互垂直时，可得 A1C平面 ABC1，从而 A1CAC1，四边形 ACC1A1为正 方形，进而A1CA45，当A1CA45时，可得 BC1A1C 解：如图，因为 AA1平面 A1B1C1，所以 AA1AB， 又 ABAC，AA1ACA，所以 AB平面 CC1A1， 因为 A1C平面 ACC1A1，所以 ABA1C 当异面直线 BC1与 A1C 相互垂直时，由 ABBC1B，可得 A1C平面 ABC1， 因为 AC1平面 ABC1，所以 A1CAC1， 所以四
16、边形 ACC1A1为正方形，所以A1CA45， 反之亦然，即当A1CA45时，可得 BC1A1C， 故选：A 8已知非零实数 m，n 满足 m2 |m|n2 |n|，则下列结论错误的是（ ） Aln|m|ln|n| B C|m|+sin|m|n|+sin|n| Dm2n2 【分析】由非零实数 m，n 满足 m2 |m|n2 |n|，可得|m|3|n|30，|m|n|0，进而判 断出结论 解：因为非零实数 m，n 满足 m2 |m|n2 |n|，所以|m|3|n|30，所以|m|n|0， 所以 ln|m|ln|n|，m2n2，所以选项 A、B、D 均正确； 对于选项 C，当，时，所以选项 C 错
17、误 故选：C 9若首项为的数列an满足 2（2n+1）anan+1+an+1an，则 a1+a2+a3+a2020（ ） A B C D 【分析】先根据 2（2n+1）anan+1+an+1an，推得，再令 n 取 n1 可得 新等式，两等式再结合叠加法求出数列an的通项，即可求解结论 解：依题意得 an0，由 2（2n+1）anan+1anan+1， 可得， 则， 以上式子左右两边分别相加可得， 即， 即， 故 a1+a2+a3+a2020 ， 故选：C 10已知函数，则下列说法正确的是（ ） A函数 f（x）在上单调递减 B将函数 f（x）的图象向左平移个单位长度后关于 y 轴对称 C D
18、当 时， 【分析】直接利用三角函数关系式的变换的应用和正弦型函数的性质的应用求出结果 解： 依题意得， 故函数 f （x） 在 上先减后增，故 A 错误； 因为将函数 f（x）的图象向左平移个单位长度后其图象对应的函数解析式为 ，函数 g（x）的图象关于原点对 称，故 B 错误； 因为，所以是函数 f（x）图象的 一条对称轴，即，故 C 正确； 当时，则，故 D 错 误 综上所述， 故选：C 11在正方形 ABCD 中，已知 AB2，（01），（01），| |，若x，则 x 的取值范围为（ ） A B C D 【分析】可以点 A 为原点，AB，AD 所在的直线分别为 x，y 轴，建立平面直角坐
19、标系， 并设 E（2，m），F（n，2），从而得出根据即 可得出， 进而可得出 （m+n+4） 232， 从而得出 ， 从而得出，这样即可得出 x 的范围 解：以 A 为坐标原点，线段 AB，AD 所在直线分别为 x，y 轴，建立如图所示的平面直角 坐标系， 设 E （2， m） ， F （n， 2） ， 则， 由，得，化简可得 mn42（m+n）， ，故（m+n+4） 232，因为 m0，n0，故 ， 当且仅当时等号成立， ，故 x 的取值范围为 故选：A 12过双曲线的右焦点 F 作直线 l，且直线 l 与双曲线 C 的 一条渐近线垂直，垂足为 A，直线 l 与另一条渐近线交于点 B已知
20、O 为坐标原点，若 OAB 的内切圆的半径为，则双曲线 C 的离心率为（ ） A B C D或 2 【分析】分两种情况讨论 A，B 在 y 轴的同侧和两侧，可得圆心 M 在AOB 的角平分线 上，过 M 作垂直于 OA，AF 的垂线，由题意可得四边形 MTAN 为正方形，再由题意可得 FAb，所以 OAa，由题意可得 NA，ON 的值，求出外接圆的半径，由题意可得 a，b 的关系求出离心率 【解答】解（1）若 A，B 在 y 轴同侧，不妨设 A 在第一象限 如图，设OAB 内切圆的圆心为 M，则 M 在AOB 的平分线 Ox 上，过点 M 分别作 MN OA 于 N，MTAB 于 T， 由 F
21、AOA 得四边形 MTAN 为正方形， 由焦点到渐近线的距离为 b 得|FA|b， 又|OF|c， 所以|OA|a， 又，所以， 所以，从而可得 （2）若 A，B 在 y 轴异侧，不妨设 A 在第一象限如图，易知|FA|b，|OF|c，|OA|a， 所以OAB 的内切圆半径为， 所以， 又因为|OB|2|AB|2+a2，所以 ，|OB|2a， 所以BOA60，AOF60，则，从而可得 综上，双曲线 C 的离心率为或 2 故选：D 二、填空题（共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分） 13 的展开式中，项的系数为 240 【分析】先求其通项公式，再令 x 的指数为2 求出 r 即可求解结论
22、解 ： 依 题 意 可 得 ，的 展 开 式 的 通 项 为Tr+1 ， 令，解得 r2， 故项的系数为 故答案为：240 14若直线 y9x+a 与曲线 yx33x 相切，则 a 16 或 16 【分析】先根据导数的几何意义求出切点的横坐标，然后点入曲线方程求出切点坐标， 再代入切线求出 a 的值 解：设切点坐标为（x0，y0），由 y3x23，得切线斜率 ，故，解 得 x02， 故切点为（2，2）或（2，2），分别代入 y9x+a 中，可得 a16 或 a16 故答案为：16 或 16 15某团队派遣甲、乙、丙、丁四人分别完成一项任务，已知甲完成任务的概率为，乙完 成任务的概率为，丙、丁完
23、成任务的概率均为，若四人完成任务与否相互独立，则 至少 2 人完成任务的概率为 【分析】先求出 4 个人都没有完成任务的概率和 4 个人中有 3 个没有完成任务的概率， 由此利用对立事件概率计算公式能求出至少 2 人完成任务的概率 解：4 个人都没有完成任务的概率为， 4 个人中有 3 个没有完成任务的概率为： ， 故至少 2 人完成任务的概率为 故答案为： 16已知抛物线 C：y28x 的焦点为 F，直线 l1，l2，过点 F 且与抛物线 C 分别交于点 M， N和点P， Q， 弦MN和PQ的中点分别为D， E， 若l1l2， 则下列结论正确的是 |MN|+|PQ|的最小值为 32； 以 M
24、，N，P，Q 四点为顶点的四边形的面积的最小值为 128； 直线 DE 过定点（6，0）； 焦点 F 可以同时为弦 MN 和 PQ 的三等分点 【分析】 直接利用直线和曲线的位置关系的应用， 一元二次方程根和系数关系式的应用， 两点间的距离公式的应用求出结果 解：依题意得直线 l1，l2的斜率均存在，且 F（2，0），设 M（x1，y1），N（x2，y2）， 直线 l1：yk（x2）， 联立方程，得整理可得 k2x2（4k2+8）x+4k20， 所以， 则， 以代替 k 可得，|PQ|8+8k2，当且仅当 k 1 时取等号，所以正确； 四边形的面积，当且仅当 k1 时取等号， 所以正确； 因为
25、，E（2+4k2，4k）， 所以直线 DE 的方程为，即 k（x6） （1k2）y0，恒过定点（6，0），故正确； 若点 F 为弦 MN 的三等分点，不妨设，则（2x2，y2）2（x12，y1），所 以 2x22x14，即 2x1+x26，又 x1x24， 解得（舍去）或， 代入，得，与两直线垂直矛盾，故错误 综上所述， 故答案为： 三、解答题（共 5 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17在ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别是 a，b，c，且， （1）求ABC 外接圆的面积； （2）若 b+c8，求ABC 的面积 【分析】（1）利用正弦定理，两角和的正弦函数
26、结合 sinB0，可求 cosA 的值，结合范 围 A（0，），可求 A 的值，进而利用正弦定理可求ABC 外接圆的半径，进而可求 ABC 外接圆的面积 （2）由已知利用余弦定理可求 bc 的值，进而根据三角形的面积公式即可求解 解：（1）依题意得：， 故：， 则：2bcosAccosAacosC， 所以：2sinBcosAsinAcosC+sinCcosAsin（A+C），即：2sinBcosAsinB， 因为：sinB0， 所以：， 因为：A（0，）， 所以：， 所以：（R 为ABC 外接圆的半径），则：， 故ABC 外接圆的面积 （2）由及余弦定理得：a2b2+c22bccosA（b+c
27、）23bc， 又，b+c8， 所以：，解得：bc12 故 18如图，四棱锥 SABCD 中，二面角 SABD 为直二面角，E 为线段 SB 的中点， DABCBA3ASB3ABS90，tanASD，AB4 （1）求证：平面 DAE平面 SBC； （2）求二面角 CAED 的大小 【分析】（1）根据条件利用面面垂直性质得到 ADAB，线面垂直定理等即可证明 AD 平面 SAB，进而得到 ADBS，从而 BS平面 DAE，平面 DAE平面 SBC （2）建立如图所示直角坐标系，求出平面 CAE 的法向量，平面 DAE 的一个法向量为， 利用二面角公式结合图形即可求出二面角 解：（1）二面角 SAB
28、D 为直二面角， 平面 SAB平面 ABCD， DAB90， ADAB， 平面 ABCD平面 SABAB，AD平面 ABCD， AD平面 SAB，又 BS平面 SAB，ADBS， ASBABS， ASAB， 又 E 为 BS 的中点， AEBS， 又 ADAEA， BS平面 DAE， BS平面 SBC， 平面 DAE平面 SBC （2）如图，连接 CA，CE，在平面 ABS 内作 AB 的垂线，建立空间直角坐标系 Axyz， ，AD2， A（0，0，0），B（0，4，0），C（0，4，2）， ， 设平面 CAE 的法向量为，则即， 令 x1，则， 是平面 CAE 的一个法向量， SB平面 DA
29、E， 平面 DAE 的一个法向量为， ， 由图可知二面角 CAED 的平面角为锐角， 故二面角 CAED 的大小为 60 192019 年 11 月份，全国工业生产者出厂价格同比下降 1.4%，环比下降 0.1%某企业在了 解市场动态之后，决定根据市场动态及时作出相应调整，并结合企业自身的情况作出相 应的出厂价格，该企业统计了 2019 年 110 月份产品的生产数量 x（单位：万件）以及 销售总额 y（单位：十万元）之间的关系如表： x 2.08 2.12 2.19 2.28 2.36 2.48 2.59 2.68 2.80 2.87 y 4.25 4.37 4.40 4.55 4.64 4
30、.75 4.92 5.03 5.14 5.26 （1）计算的值； （2）计算相关系数 r，并通过 r 的大小说明 y 与 x 之间的相关程度； （3） 求 y 与 x 的线性回归方程， 并推测当产量为 3.2 万件时销售额为多少 （该 问中运算结果保留两位小数） 附 ： 回 归 直 线 方 程中 的 斜 率 和 截 距 的 最 小 二 乘 估 计 公 式 分 别 为 ，； 相关系数 参考数据：， 【分析】（1）直接求解 ，和 ，即计算样本中心点， （2）根据相关系数求值，即可判断 y 与 x 之间的相 关程度； （3）根据线性回归方程恒过样本中心点，列出方程，求解即可得到结论 解：（1）依题意
31、， （2）依题意， ， 因为 0.9970.75， 所以 y 与 x 之间具有很强的相关性 （3）由， 所以所求回归直线方程为， 故当 x3.2 时， 20已知斜率存在且不为 0 的直线 l 过点 D（1，0），设直线 l 与椭圆交于 A，B 两点，椭圆 C 的左顶点为 P （1）若PAB 的面积为，求直线 l 的方程； （2）若直线 PA，PB 分别交直线 x3 于点 M，N，且，记直线 AB，RD 的斜率 分别为 k，k探究：k k是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由 【分析】（1）先用分割法表示出PAB 的面积即 SPABSPDA+SPDB，从而得到 ；设直线 l 的方程为
32、xmy+1，将其与椭圆的方程联立，结合韦达定理 可用含 m 的式子表示出|yAyB|，从而建立关于 m 的方程，解之即可； （2）直线 l 的方程为 yk（x1），设 A（x1，k（x11），B（x2，k（x21）， 然后分别表示出直线PA和PB的方程， 令x3， 可分别求得M、 N两点的坐标， 因为， 于是可以用含 k，x1，x2的式子表示出点 R 的坐标，将直线 l 的方程与椭圆的方程联立， 把由韦达定理得到的等式代入 R 的纵坐标化简可得，在表示出 k，有 ，故而可得解 解：（1）设 A（xA，yA），B（xB，yB） 因为 D（1，0），椭圆 C 的左顶点为 P（2，0），所以|PD|
33、3， 故， 故， 设直线 l 的方程为 xmy+1， 联立，整理得（m2+2）y2+2my30， 所以， 故， 解得 m26， 故直线 l 的方程为或 （2）由题意得，直线 l 的方程为 yk（x1），设 A（x1，k（x11），B（x2，k（x2 1）， 联立，整理得（2k2+1）x24k2x+2k240， 则， 又 P（2，0），所以直线 PA 的方程为， 令 x3，解得， 同理可得， 设 R（xR，yR）， 因为，所以 xR3， 将代入上式并化简可得， 所以， 故，为定值 21已知函数 f（x）ex（x2+8x4） （1）求函数 f（x）的单调区间； （2）若关于 x 的不等式在0，+）
34、上恒成立，且 m0，求 实数 m 的取值范围 【分析】（1）先求导，求导函数的零点，判断每个被零点分开的区间导数的正负，可知 单调性 （2）令 x0 时求出 m1，然后求在 m1 时，m 的取值范围，分离参数求最值，求出 m 【解答】解（1）依题意，xR，f（x）ex（x2+8x4+2x+8）ex（x2+10x+4）， 令 f（x）0，即 x2+10x+40，解得 ， 故当时，f（x）0， 当时，f（x）0， 当时，f（x）0， 故函数 f（x）的单调递增区间为和，单调递减区间 为 注：，处写成闭区间也给分 （2）令， 由题意得，当 x0 时，g（0）m10，则有 m1 下面证当 m1 时，对
35、任意 x0，都有 g（x）0 由于 xR 时，1sinx0，当 m1 时，则有 故只需证明对任意 x0，都有 易知 h（x）xsinx 在0，+）上单调递增， 所以当 x0 时，h（x）h（0）0，即 xsinx， 所以 1x1sinx，则， 设，x0，则 当 x0 时，ex1， 所以 F（x）0，所以 F（x）在0，+）上单调递增， 所以当 x0 时，F（x）F（0）0， 所以对任意 x0，都有 所以当 m1 时，对任意 x0，都有， 故实数 m 的取值范围为1，+） 选修 4-4：坐标系与参数方程 22在平面直角坐标系 xOy 中，直线 l 的参数方程为（t 为参数），曲线 C1的参数 方
36、程为（ 为参数），曲线 C1与 x 轴交于 O，A 两点以坐标原点 O 为极 点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系 （1）求直线 l 的普通方程及曲线 C1的极坐标方程； （2）若直线 l 与曲线在第一象限交于点 M，且线段 MA 的中点为 N，点 P 在曲线 C1上，求|PN|的最小值 【分析】（1）直接利用转换关系的应用，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进 行转换 （2）利用直线和曲线的位置关系的应用，建立等量关系求出结果 解：（1）由直线 l 的参数方程为（t 为参数），转换为直角坐标方程 2x4+y， 即 2xy40， 所以直线 l 的普通方程为 2xy40 由曲线 C1的参数方程
37、为 （ 为参数），转换为直角坐标方程（x1）2+y2 1，即 x2+y22x0， 将 xcos，2x2+y2代入上式，可得 22cos0，即 2cos， 所以曲线 C1的极坐标方程为 2cos （2）由解得或，所以 M（4，4）， 由（1）可得 A（2，0），因为线段 MA 的中点为 N，所以 N（3，2）， 由（1）可知曲线 C1表示圆，其圆心为 C1（1，0），半径 r1， 所以， 因为点 P 在曲线 C1上，所以 选修 4-5：不等式选讲 23（1）已知 x，y，z 均为正数，且，求证：（8x+2）（8y+2）（8z+2）27； （2）已知实数 m，n 满足 m1，求证：2m2n+4mn
38、2+14m2n2+m+2n 【分析】（1） 先利用均值不等式可得， 同理可得， 以上三式相乘可得，结合得证； （2）利用分析法，即证（m1）（2n1）（2mn1）0，而 m1，则 m1 0，2n10，2mn10，由此容易得证 【解答】证明：（1）由题可得，当且仅当时 取等号； 同理可得， 故，当且仅当时取等号， 因为， 所以（8x+2）（8y+2）（8z+2）27，当且仅当时取等号 （2）要证 2m2n+4mn2+14m2n2+m+2n，即证 4m2n24mn2+2n2m2n+m10， 即证 4mn2（m1） （2mn+2n） （m1） +m10， 即证 （m1） （4mn22mn2n+1） 0， 即证（m1）2mn（2n1）（2n1）0，即证（m1） （2n1） （2mn1）0， 因为 m1，所以 m10，2n10，2mn10， 所以（m1）（2n1）（2mn1）0，所以 2m2n+4mn2+14m2n2+m+2n
浙公网安备33030202001339号