1、2020 年高考（文科）数学第二次诊断测试试卷年高考（文科）数学第二次诊断测试试卷 一、选择题. 1已知集合，B2，1，0，1，2，3，则 AB（ ） A2，1，0，1，2 B0，1，2，3 C1，2，3 D2，3 2 已知i为虚数单位， 则复数， 则z在复平面内对应的点位于 （ ） A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 3“x1”是“log2x0”的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 4函数 f（x）Asin（x+）（其中 A0，0，）的图象如图，则此函数 表达式为（ ） A B C D 5已知 m，n 是两条不重合的直线， 是一个平面，
2、则下列命题中正确的是（ ） A若 m，n，则 mn B若 m，n，则 mn C若 mn，m 则 n D若 m，n，则 mn 6已知实数 x，y 满足约束条件，则 z2x+y 的最大值为（ ） A1 B2 C7 D8 7已知 a，b，c 分别是ABC 三个内角 A，B，C 的对边，acosC+csinAb+c，则 A （ ） A B C D 8周易是我国古代典籍，用“卦”描述了天地世间万象变化如图是一个八卦图，包 含乾、坤、震、巽、坎离、艮、兑八卦（每卦由三个爻组成，其中“”表示 一个阳爻，“”表示一个阴爻）若从八卦中任取两卦，这两卦的六个爻中恰有两 个阴爻的概率为（ ） A B C D 9如图
3、，平面四边形 ACBD 中，ABBC，ABDA，ABAD1，BC，现将ABD 沿 AB 翻折，使点 D 移动至点 P，且 PA&AC，则三棱锥 PABC 的外接球的表面积为 （ ） A8 B6 C4 D 10设 F1，F2是双曲线 C：1（a0b0）的左，右焦点，O 是坐标原点过 F2作 C 的一条渐近线的垂线，垂足为 P，若|PF1|OP|，则 C 的离心率为（ ） A B2 C D 11函数 f（x）ax2 与 g（x）ex的图象上存在关于直线 yx 对称的点，则 a 的取值 范围是（ ） A B C（，e D（，e2 12已知抛物线 C：y24x 和点 D（2，0），直线 xty2 与抛
4、物线 C 交于不同两点 A，B， 直线 BD 与抛物线 C 交于另一点 E给出以下判断： 直线 OB 与直线 OE 的斜率乘积为2； AEy 轴； 以 BE 为直径的圆与抛物线准线相切 其中，所有正确判断的序号是（ ） A B C D 二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分 13已知平面向量 （m，2）， （1，3），且 （ ），则向量 与 的夹角的 大小为 14某中学举行了一次消防知识竞赛，将参赛学生的成绩进行整理后分为 5 组，绘制如图所 示的频率分布直方图，记图中从左到右依次为第一、第二、第三、第四、第五组，已知 第二组的频数是 80，则成绩在区间80，100的学生人
5、数是 15已知 sin（+），且，则 cos 16已知 f（x）是定义在 R 上的偶函数，其导函数为 f（x），若 x0 时，f（x）2x，则 不等式 f（2x）f（x1）3x2+2x1 的解集是 三、 解答题： 共 70 分 解答应写出文字说明， 证明过程或演算步骤 第 1721 题为必考题， 每个试题考生都必须作答第 22、23 题为选考题，考生依据要求作答（一）必考题：共 60 分 17某商场为改进服务质量，随机抽取了 200 名进场购物的顾客进行问卷调查，调查后，就 顾客“购物体验”的满意度统计如表： 满意 不满意 男 40 40 女 80 40 （1）是否有 97.5%的把握认为顾客
6、购物体验的满意度与性别有关？ （2）若在购物体验满意的问卷顾客中按照性别分层抽取了 6 人发放价值 100 元的购物 券若在获得了 100 元购物券的 6 人中随机抽取 2 人赠其纪念品，求获得纪念品的 2 人 中仅有 1 人是女顾客的概率 附表及公式：K2 P（K2k0） 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 k0 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 18已知等差数列an满足 a11，公差 d0，等比数列bn满足 b1a1，b2a2，b3a5 （1）求数列an，bn的通项公式； （2）若数列cn满足 ，
7、求cn的前 n 项和 Sn 19如图，在四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD 是菱形，BAD60，PAD 是边长为 2 的正三角形，E 为线段 AD 的中点 （1）求证：平面 PBC平面 PBE； （2）是否存在满足的点 F，使得？若存在，求出 的值；若不存在，请说明理由 20已知椭圆 C 的中心在坐标原点 O，其短半轴长为 1，一个焦点坐标为（1，0），点 A 在椭圆 C 上，点 B 在直线上，且 OAOB （1）证明：直线 AB 与圆 x2+y21 相切； （2）求AOB 面积的最小值 21已知函数 f（x）exxlnx+ax，f（x）为 f（x）的导数，函数 f（x）在 xx0处取得最
8、 小值 （1）求证：lnx0+x00； （2）若 xx0时，f（x）1 恒成立，求 a 的取值范围 （二）选考题：共 10 分请考生在第 22、23 题中任选-题作答，如果多做，则按所做的第 一题记分选修 4-4：坐标系与参数方程 22在直角坐标系 xOy 中，曲线 C1的参数方程为以 O 为极点，x 轴正半轴为极 轴建立，极坐标系，设点 A 在曲线 C2：sin1 上，点 B 在曲线 C3： 上，且AOB 为正三角形 （1）求点 A，B 的极坐标； （2）若点 P 为曲线 C1上的动点，M 为线段 AP 的中点，求|BM|的最大值 选修 4-5：不等式选讲 23已知函数 f（x）|2x+1|
9、 （1）解不等式：f（x）+f（x2）6； （2）求证：f（x+a2）f（x1）|x+2a2+3|+|x+2aa2| 参考答案 一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的 1已知集合，B2，1，0，1，2，3，则 AB（ ） A2，1，0，1，2 B0，1，2，3 C1，2，3 D2，3 【分析】可以求出集合 A，然后进行交集的运算即可 解：Ax|x1，B2，1，0，1，2，3， AB2，3 故选：D 2 已知i为虚数单位， 则复数， 则z在复平面内对应的点位于 （ ） A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 【分析
10、】求解三角函数值，得到 z 的坐标，则答案可求 解：， z 在复平面内对应的点的坐标为（），位于第二象限 故选：B 3“x1”是“log2x0”的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 【分析】根据对数不等式的解法，利用充分条件和必要条件的定义进行判断 解：由 log2x0 得 x1， “x1”是“log2x0”的充要条件 故选：C 4函数 f（x）Asin（x+）（其中 A0，0，）的图象如图，则此函数 表达式为（ ） A B C D 【分析】本题考查三角函数图象问题，如图所示给出的两个点之间的距离为十分之一周 期，由此可以求出 ，还可以看出此图象最高
11、点为 3，可以得出 A3，图象过点（， 0），可求出 解：如图所示，A3，可得 T4，4，解得 ， 所以 f（x）3sin（x+）， 因为函数过（，0），代入 f（x）， 得 3sin（x+）0，即+k，k（kz）， 当 k1 时， 所以 f（x）3sin（x+） 故选：B 5已知 m，n 是两条不重合的直线， 是一个平面，则下列命题中正确的是（ ） A若 m，n，则 mn B若 m，n，则 mn C若 mn，m 则 n D若 m，n，则 mn 【分析】直接利用线面垂直和平行的判定和性质的应用求出结果 解：对于选项 A：若 m，n，则 m 和 n 可能平行，相交和异面，故错误 对于选项 B：若
12、 m，n，则 m 和 n 可能平行也可能异面，故错误 对于选项 C：若 mn，m，则 n 可能在 内，故错误 对于选项 D：若 m，n，则 mn，直接利用判定的应用求出结果，故正确 故选：D 6已知实数 x，y 满足约束条件，则 z2x+y 的最大值为（ ） A1 B2 C7 D8 【分析】作出不等式组表示的平面区域；作出目标函数对应的直线；结合图象知当直线 过 A 时，z 取得最大值 解：画出实数 x，y 满足约束条件 表示的平面区域如图： 目标函数变形为2x+zy，则 z 表示直线在 y 轴上截距， 截距越大，z 越大， 作出目标函数对应的直线 L：y2x， 由 可得 A（2，3） 目标函
13、数 z2x+y 线过 A（2，3）时， 直线的纵截距最大，z 取得最大值为 z7； 故选：C 7已知 a，b，c 分别是ABC 三个内角 A，B，C 的对边，acosC+csinAb+c，则 A （ ） A B C D 【分析】已知等式利用正弦定理化简，将 sinBsin（A+C）代入，利用两角和与差的正 弦函数公式化简，整理后根据 sinC 不为 0，再利用万能公式化简求出 tan的值，即可确 定出 A 的度数 解：acosC+csinAb+c， 由正弦定理化简得：sinAcosC+sinAsinCsin（A+C）+sinC， 可得：sinAcosC+sinAsinCsinAcosC+cos
14、AsinC+sinC， sinAsinCcosAsinC+sinC， sinC0， sinAcosA+1，即， tan ， ，可得：A 故选：C 8周易是我国古代典籍，用“卦”描述了天地世间万象变化如图是一个八卦图，包 含乾、坤、震、巽、坎离、艮、兑八卦（每卦由三个爻组成，其中“”表示 一个阳爻，“”表示一个阴爻）若从八卦中任取两卦，这两卦的六个爻中恰有两 个阴爻的概率为（ ） A B C D 【分析】八卦图，包含乾、坤、震、巽、坎离、艮、兑八卦，从八卦中任取两卦，基 本事件总数 n28，这两卦的六个爻中恰有两个阴爻包含的基本事件总数有：m 6，由此能求出这两卦的六个爻中恰有两个阴爻的概率 解
15、：八卦图，包含乾、坤、震、巽、坎离、艮、兑八卦， 从八卦中任取两卦， 基本事件总数 n28， 这两卦的六个爻中恰有两个阴爻包含的基本事件总数有： m6， 这两卦的六个爻中恰有两个阴爻的概率为 p 故选：D 9如图，平面四边形 ACBD 中，ABBC，ABDA，ABAD1，BC，现将ABD 沿 AB 翻折，使点 D 移动至点 P，且 PA&AC，则三棱锥 PABC 的外接球的表面积为 （ ） A8 B6 C4 D 【分析】构造长方体，把三棱锥 PABC 放到长方体中，则三棱锥 PABC 与 长方体是 同一个外接球，长方体的外接球直径 2R 即为长方体的对角线，可求 解：折叠后 ABAP，ABBC
16、，PAAC，ABAP1，BC， 构造长方体，把三棱锥 PABC 放到长方体中，则三棱锥 PABC 与 长方体是同一个外 接球， 根据 题意可得，长方体的外接球直径 2R2， 故 R1， 所以 S4 故选：C 10设 F1，F2是双曲线 C：1（a0b0）的左，右焦点，O 是坐标原点过 F2作 C 的一条渐近线的垂线，垂足为 P，若|PF1|OP|，则 C 的离心率为（ ） A B2 C D 【分析】先根据点到直线的距离求出|PF2|b，再求出|OP|a，在三角形 F1PF2中，由余 弦定理可得|PF1|2|PF2|2+|F1F2|22|PF2| |F1F2|cosPF2O，代值化简整理可得 a
17、c， 问题得以解决 解：双曲线 C：1（a0b0）的一条渐近线方程为 yx， 点 F2到渐近线的距离 d b，即|PF2|b， |OP|a，cosPF2O， |PF1 |OP|， |PF1 |a， 在三角形 F1PF2中，由余弦定理可得|PF1|2|PF2|2+|F1F2|22|PF2| |F1F2|COSPF2O， 6a2b2+4c22b2c 4c23b24c23（c2a2）， 即 3a2c2， 即ac， e， 故选：C 11函数 f（x）ax2 与 g（x）ex的图象上存在关于直线 yx 对称的点，则 a 的取值 范围是（ ） A B C（，e D（，e2 【分析】易知，函数 f（x）ex
18、关于直线 yx 对称的函数为 ylnx，由题意，函数 g（x） ax2 与函数 ylnx 有两个交点，作图观察即可得到结论 解：函数 f（x）ex关于直线 yx 对称的函数为 ylnx， 则函数 g（x）ax2 与函数 ylnx 有一个交点，a0 显然成立； 当 a0 时， 作出函数图象如下， ； 设 ylnx 上任一点坐标为（x0，lnx0），因为其导函数为 y，故其对应切线的斜率为： k ； 故切线为：ylnx0（xx0）y x1+lnx0； 当切线过点（0，2）时； 1+lnx02x0；此时对应的切线斜率为：e； 由图可知，要使函数 f（x）ax2 与函数 ylnx 有一个交点，则需 0
19、ae 综上可得：函数 f（x）ax2 与 g（x）ex的图象上存在关于直线 yx 对称的点，则 a 的取值范围是（，e 故选：C 12已知抛物线 C：y24x 和点 D（2，0），直线 xty2 与抛物线 C 交于不同两点 A，B， 直线 BD 与抛物线 C 交于另一点 E给出以下判断： 直线 OB 与直线 OE 的斜率乘积为2； AEy 轴； 以 BE 为直径的圆与抛物线准线相切 其中，所有正确判断的序号是（ ） A B C D 【分析】如图所示，设 A（x1，y1），B（x2，y2），E（x3，y3），联立，化为： y24ty+80设直线 BD 的方程为：xmy+2，联立，化为：y24my
20、80， 可得根与系数的关系 直线 OB 与直线 OE 的斜率乘积，即可判断出正误 利用根与系数的关系可得： y1+y30， 代入抛物线方程可得： x1x3， 即可判断出正误 B（x2，y2），E（x3，y3），利用根与系数的关系可得：线段 BE 的中点到抛物线的准 线 x1 的距离 d，|BE|，经过比较 即可得出结论 解：如图所示，设 A（x1，y1），B（x2，y2），E（x3，y3）， 联立，化为：y24ty+80， y1+y24t，y1y28 设直线 BD 的方程为：xmy+2， 联立，化为：y24my80， y2+y34m，y2y38， 直线 OB 与直线 OE 的斜率乘积2，因此正
21、确 y1y28y2y38，y1+y30， x1x3，AEy 轴，因此正确 B（x2，y2），E（x3，y3），设直线 BD 的方程为：xmy+2， 联立，化为：y24my80， y2+y34m，y2y38， 线段 BE 的中点到抛物线的准线 x1 的距离 d（y2+y3）+22m2+2， |BE| 2 d， 因此以 BE 为直径的圆与抛物线准线不相切不正确 综上：只有正确， 故选：B 二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分 13已知平面向量 （m，2）， （1，3），且 （ ），则向量 与 的夹角的 大小为 45 【分析】先求出（m1，1），由 （ ），解得 m4，由此能求
22、出向量 与 的夹角的大小 解：平面向量 （m，2）， （1，3）， （m1，1）， （ ）， m130，解得 m4， cos， 向量 与 的夹角的大小为 45 故答案为：45 14某中学举行了一次消防知识竞赛，将参赛学生的成绩进行整理后分为 5 组，绘制如图所 示的频率分布直方图，记图中从左到右依次为第一、第二、第三、第四、第五组，已知 第二组的频数是 80，则成绩在区间80，100的学生人数是 20 【分析】每一组的频数除以概率可得总人数，总人数乘以频率可得对应组的频数 解：总人数为：200， 则成绩在区间80，100的学生人数为 2000.011020 故答案为：20 15已知 sin（+
23、），且，则 cos 【 分 析 】 由， 可 得 ： ， 利用 cos，展开即可得出 解：， cos+ + 故答案为： 16已知 f（x）是定义在 R 上的偶函数，其导函数为 f（x），若 x0 时，f（x）2x，则 不等式 f（2x）f（x1）3x2+2x1 的解集是 （1，） 【分析】构造函数 g（x）f（x）x2，依题意，可知 g（x）是定义在 R 上的偶函数， 且在（0，+）上单调递减；而 f（2x）f（x1）3x2+2x1 可化为 g（2x）g（x1），从而可求得答案 解：令 g（x）f（x）x2， 则 g（x）f（x）2x， f（x）是定义在 R 上的偶函数，x0 时，f（x）2x
24、， g（x）是定义在 R 上的偶函数， x0 时，g（x）0， g（x）在（0，+）上单调递减； 又不等式 f（2x）f（x1）3x2+2x1 可化为：f（2x）（2x）2f（x1）（x 1）2 ， 即 g（2x）g（x1）， 由得：|2x|x1|， 两端平方，解得1x， 原不等式的解集为（1，）， 故答案为：（1，） 三、 解答题： 共 70 分 解答应写出文字说明， 证明过程或演算步骤 第 1721 题为必考题， 每个试题考生都必须作答第 22、23 题为选考题，考生依据要求作答（一）必考题：共 60 分 17某商场为改进服务质量，随机抽取了 200 名进场购物的顾客进行问卷调查，调查后，
25、就 顾客“购物体验”的满意度统计如表： 满意 不满意 男 40 40 女 80 40 （1）是否有 97.5%的把握认为顾客购物体验的满意度与性别有关？ （2）若在购物体验满意的问卷顾客中按照性别分层抽取了 6 人发放价值 100 元的购物 券若在获得了 100 元购物券的 6 人中随机抽取 2 人赠其纪念品，求获得纪念品的 2 人 中仅有 1 人是女顾客的概率 附表及公式：K2 P（K2k0） 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 k0 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 【分析】（1）结合已知数据和
26、K2的公式进行计算即可得解； （2）先找出随机抽取的 6 人中，男性与女性的数量，然后结合排列组合计算事件的概率 即可 解：（1）因为5.024， 所以有 97.5%的把握认为顾客购物体验的满意度与性别有关 （2）由题意可知，购物体验满意的问卷顾客中男性与女性分别为 40 人和 80 人，即男： 女1：2， 所以分层抽取的 6 人中有 2 人是男性，4 人是女性， 故获得纪念品的 2 人中仅有 1 人是女顾客的概率为 18已知等差数列an满足 a11，公差 d0，等比数列bn满足 b1a1，b2a2，b3a5 （1）求数列an，bn的通项公式； （2）若数列cn满足 ，求cn的前 n 项和 S
27、n 【分析】 第 （1） 题根据等差数列的通项公式和等比中项的知识可列出关于公差 d 的方程， 解出 d 的值，即可得到数列an的通项公式，进一步计算可得数列bn的通项公式； 第（2）题由，可得+an，两式相 减，可得an+1an，代入第（1）题的结果可得数列cn的通项公式，然后根据等比 数列求和公式可计算出前 n 项和 Sn 解：（1）由题意，b1a11，b2a21+d，b3a51+4d， 根据等比中项的知识，可知 b22b1b3，即（1+d）21 （1+4d）， 整理，得 d22d0， 解得 d0（舍去），或 d2 an1+2（n1）2n1，nN* 设等比数列bn的公比为 q， b2a21
28、+d1+23， q3， bn1 3n13n1，nN* （2）依题意，由，可得 +an， 两式相减，可得 a n+1 an， 即2（n+1）12n+12， cn2 3n1，nN* Snc1+c2+c3+cn 2 1+2 31+2 32+2 3n1 2 （1+31+32+3n1） 2 3n1 19如图，在四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD 是菱形，BAD60，PAD 是边长为 2 的正三角形，E 为线段 AD 的中点 （1）求证：平面 PBC平面 PBE； （2）是否存在满足的点 F，使得？若存在，求出 的值；若不存在，请说明理由 【分析】（1）由底面 ABCD 是菱形，BAD60，得ABD
29、为等边三角形，结合 E 为 AD 的中点，得 BEAD，则 BCBE，再求解三角形证明 PEEC，得到 PE平面 ABCD，则 PEBC，又 BCBE，得 BC平面 PBE，由面面垂直的判定可得平面 PBC 平面 PBE； （2）假设存在满足的点 F，使得，分别求出三棱 锥 BPAE 的体积与三棱锥 DPFB 的体积，由已知列等式求得 0，说明不存在满足 的点 F，使得 【解答】（1）证明：底面 ABCD 是菱形，BAD60，ABD 为等边三角形， 又 E 为 AD 的中点，BEAD，而 BCAD，则 BCBE 由PAD 是边长为 2 的正三角形，得 BE，BC2，则 又 PE，PE2+EC2
30、PC2，即 PEEC PEAD，ADECE，PE平面 ABCD，则 PEBC， 又 BCBE，且 BEPEE，BC平面 PBE， 而 BC平面 PBC，平面 PBC平面 PBE； （2）解：假设存在满足的点 F，使得， VDPFBVBPDF 由，解得 40 不存在满足的点 F，使得 20已知椭圆 C 的中心在坐标原点 O，其短半轴长为 1，一个焦点坐标为（1，0），点 A 在椭圆 C 上，点 B 在直线上，且 OAOB （1）证明：直线 AB 与圆 x2+y21 相切； （2）求AOB 面积的最小值 【分析】（1）根据题意写出椭圆 C 的方程，分两种情况当 OA 的斜率为 0，当 OA 的斜
31、率不为 0 时，分别求出|OA|，|OB|，|AB|，得到，即可得到直线 AB 与 圆 x2+y21 相切， （2）S化简，利用基本不等式，即可得到答案 解：（1）证明：由题意，椭圆 C 的焦点在 x 轴上，bc1，所以 a， 所以椭圆 C 的方程为1， 由点 B 在直线 y上，且 OAOB 知 OA 的斜率必定存在， 当 OA 的斜率为 0，|OA|，|OB|， 于是|AB|2，O 到 AB 的距离为 1，直线 AB 与圆 x2+y21 相切， 当 OA 的斜率不为 0 时，设 OA 的方程为 ykx， 与联立得（1+2k2）x22， 所以 xA2，yA2 ，从而|OA|2， 而 OBOA，
32、故 OB 的方程为 xky，而 B 在 y上，故 xk， 从而|OB|22+2k2，于是 ， 此时，O 到 AB 的距离为 1，直线 AB 与圆 x2+y21 相切， 综上，直线 AB 与圆 x2+y21 相切， （2）由（1）可得AOB 面积为： S 1， 上式中，当且仅当 k0 等号成立， 所以AOB 面积的最小值为 1 21已知函数 f（x）exxlnx+ax，f（x）为 f（x）的导数，函数 f（x）在 xx0处取得最 小值 （1）求证：lnx0+x00； （2）若 xx0时，f（x）1 恒成立，求 a 的取值范围 【分析】 （1） 对函数求导可得 f（x）ex（lnx+1）+a， 再
33、求导可得， 由 f（x）的单调性及零点存在性定理可知函数 f（x）存在唯一零点，由此 得到函数 f （x） 的单调性， 进而判断其最小值在 xm 处取得， 且 mx0， 则， 再通过取对数的方式即可得证； （2）显然需 f（x）在x0，+）上的最小值大于等于 1，由（1）可得函数 f（x）的最 小值为，分 f（x）的最小值小于 0 及最小值大于等 于 0 讨论，当 f（x）的最小值大于等于 0 时，易知 f（x）为x0，+）上的增函数，进 而易得，当 f（x）的最小值小于 0 时，分析可知，此时 f（x）minf （x2），再分 a1e 及 a1e 两种情况讨论，综合即得答案 解： （1） 证
34、明： 函数的定义域为 （0， +） ， f （x） ex （lnx+1） +a， 易知函数 f（x）在（0，+）上为增函数，又， 故函数 f（x）存在唯一零点，使得， 且当 x（0，m）时，f（x）0，f（x）单调递减，当 x（m，+）时，f（x）0， f（x）单调递增， 故函数 f（x）在 xm 处取得最小值，依题意，mx0， ，即，两边同时取对数得， lnx0+x00； （ 2 ） 由 （ 1 ） 知 ， 当 x x0时 ， f （ x ） ex （ lnx+1 ） +a 的 最 小 值 为 ， 当，即时，此时 f（x）为x0，+）上的增函数， ， 由（1）知，故，即 f（x）1，故满足
35、题意； 当，即时，f（x）有两个不同的零点 x1，x2，且 x1x0x2， 则，即， 当 x（x0，x2）时，f（x）0，f（x）为减函数，当 x（x2，+）时，f（x）0， f（x）为增函数， f（x）minf（x2）， 注意到 f（1）e+a1 时，a1e，且此时 f（1）e+a10， （i）当 a1e 时，f（1）e+a10f（x2）， 0x21，即 1x20， 又 ， 而，故，即 f（x2）1， 由于在下，恒有，故； （ii）当 a1e 时，f（1）e+a10f（x2）， x21x0， 当 x（1，x2）时，f（x）为减函数， f（x）f（1）e+a1，与题设不符，故舍去 综上，实数
36、a 的取值范围为1e，+） （二）选考题：共 10 分请考生在第 22、23 题中任选-题作答，如果多做，则按所做的第 一题记分选修 4-4：坐标系与参数方程 22在直角坐标系 xOy 中，曲线 C1的参数方程为以 O 为极点，x 轴正半轴为极 轴建立，极坐标系，设点 A 在曲线 C2：sin1 上，点 B 在曲线 C3： 上，且AOB 为正三角形 （1）求点 A，B 的极坐标； （2）若点 P 为曲线 C1上的动点，M 为线段 AP 的中点，求|BM|的最大值 【分析】（1）直接利用转换关系，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间转换求出 结果 （2）直接利用两点间的距离公式的应用和三角函数
37、关系式的恒等变换的应用求出结果 解：（1）曲线 C1的参数方程为转换为直角坐标方程为 x2+y21， 设点 A 在曲线 C2：sin1 上，即点 A 满足 y1 的方程， 点 B 在曲线 C3上，且AOB 为正三角形 如图所示： 所以 A （0， 1） 转化为极坐标为 （1，） ， B （） ， 转换为极坐标为 （1，） （2）设点 P（cos，sin），M 为线段 AP 的中点， 所以，B（）， 所以 当 cos1 时， 选修 4-5：不等式选讲 23已知函数 f（x）|2x+1| （1）解不等式：f（x）+f（x2）6； （2）求证：f（x+a2）f（x1）|x+2a2+3|+|x+2aa
38、2| 【分析】（1）问题等价于|2x+1|+|2x3|6，再分类讨论解不等式即可； （2）利用绝对值不等式的性质可得 f（x+a2）f（x1）2a2+2，|x+2a2+3|+|x+2aa2| 3a22a+30，又 3a22a+32a2+2，即可得证 解： （1）由于 f（x）+f（x2）|2x+1|+|2x3|，于是原不等式可化为|2x+1|+|2x3|6， 若，则2x1（2x3）6，解得； 若，则2x1+（2x3）6，解得； 若，则 2x+1+2x36，解得； 综上，不等式的解集为1，2； （2）证明：由已知条件，对任意 xR，可得 f（x+a2）f（x1）|2x+2a2+1|2x1| |2a2+2|2a2+2， 又|x+2a2+3|+|x+2aa2|2a2+3（2aa2）|3a22a+3|， 由于， |x+2a2+3|+|x+2aa2|3a22a+3， 又由于 3a22a+3（2a2+2）a22a+1（a1）20， 3a22a+32a2+2， f（x+a2）f（x1）|x+2a2+3|+|x+2aa2|
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