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    人教A版(新教材)必修第二册 6.3.2 平面向量的正交分解及坐标表示-6.3.3 平面向量加、减运算的坐标表示 学案(含答案)

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    人教A版(新教材)必修第二册 6.3.2 平面向量的正交分解及坐标表示-6.3.3 平面向量加、减运算的坐标表示 学案(含答案)

    1、6.3.2 平面向量的正交分解及坐标表示平面向量的正交分解及坐标表示 6.3.3 平面向量加平面向量加、减运算的坐标表示减运算的坐标表示 学习目标 1.了解平面向量的正交分解,掌握向量的坐标表示.2.掌握两个向量加、减运算 的坐标表示. 知识点一 平面向量的正交分解 把一个向量分解为两个互相垂直的向量,叫做把向量作正交分解. 知识点二 平面向量的坐标表示 1.在平面直角坐标系中,设与 x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量分别为 i,j,取i,j作为 基底.对于平面内的任意一个向量 a,由平面向量基本定理可知,有且只有一对实数 x,y, 使得 axiyj.平面内的任一向量 a 都可由 x,y 唯

    2、一确定,我们把有序数对(x,y)叫做向量 a 的坐标,记作 a(x,y). 2.在直角坐标平面中,i(1,0),j(0,1),0(0,0). 思考 点的坐标与向量坐标有什么区别和联系? 答案 区别 表示形式 不同 向量 a(x,y)中间用等号连接,而点 A(x,y)中间没有等号 意义不同 点 A(x, y)的坐标(x, y)表示点 A 在平面直角坐标系中的位置, a(x,y)的坐标(x,y)既表示向量的大小,也表示向量的方 向.另外(x,y)既可以表示点,也可以表示向量,叙述时应指 明点(x,y)或向量(x,y) 联系 当平面向量的起点在原点时,平面向量的坐标与向量终点的 坐标相同 知识点三

    3、平面向量加、减运算的坐标表示 设 a(x1,y1),b(x2,y2), 数学公式 文字语言表述 向量加法 ab(x1x2,y1y2) 两个向量和的坐标分别等于这两个向量 相应坐标的和 向量减法 ab(x1x2,y1y2) 两个向量差的坐标分别等于这两个向量 相应坐标的差 已知点 A(x1,y1),B(x2,y2),那么向量AB (x 2x1,y2y1),即任意一个向量的坐标等于表 示此向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标. 1.零向量的坐标是(0,0).( ) 2.两个向量的终点不同,则这两个向量的坐标一定不同.( ) 3.当向量的始点在坐标原点时,向量的坐标就是向量终点的坐标.( ) 4

    4、.向量可以平移,平移前后它的坐标发生变化.( ) 一、平面向量的坐标表示 例 1 如图,在平面直角坐标系 xOy 中,OA4,AB3,AOx45 ,OAB105 ,OA a,AB b.四边形 OABC 为平行四边形. (1)求向量 a,b 的坐标; (2)求向量BA 的坐标; (3)求点 B 的坐标. 解 (1)作 AMx 轴于点 M, 则 OMOA cos 45 4 2 2 2 2, AMOA sin 45 4 2 2 2 2. A(2 2,2 2),故 a(2 2,2 2). AOC180 105 75 ,AOy45 , COy30 . 又OCAB3, C 3 2, 3 3 2 ,AB O

    5、C 3 2, 3 3 2 , 即 b 3 2, 3 3 2 . (2)BA AB 3 2, 3 3 2 . (3)OB OA AB (2 2,2 2) 3 2, 3 3 2 2 23 2,2 2 3 3 2 . 点 B 的坐标为 2 23 2,2 2 3 3 2 . 反思感悟 在表示点、向量的坐标时,可利用向量的相等、加减法运算等求坐标,也可以利 用向量、点的坐标定义求坐标. 跟踪训练 1 已知点 M(5,6),且MN (3,6),则 N 点的坐标为_. 答案 (2,0) 解析 MN (3,6),设 N(x,y), 则MN ON OM (x5,y6)(3,6). x53, y66, 解得 x2

    6、, y0. 即 N(2,0). 二、平面向量加、减运算的坐标表示 例 2 已知点 A(0,1),B(3,2),向量AC (4,3),则向量BC等于( ) A.(7,4) B.(7,4) C.(1,4) D.(1,4) 答案 A 解析 设 C(x,y),则AC OC OA (x,y1)(4,3), 即 x4,y2, 故 C(4,2),则BC OC OB (7,4). 反思感悟 平面向量坐标运算的技巧 (1)若已知向量的坐标,则直接应用两个向量和、差的运算法则进行. (2)若已知有向线段两端点的坐标,则可先求出向量的坐标,然后再进行向量的坐标运算. 跟踪训练 2 在ABCD 中,AC 为一条对角线

    7、,若AB (2,4),AC(1,3),求BD 的坐标. 解 AC ABAD , AD AC AB(1,1), BD AD AB (3,5). 1.已知向量 a(1,2),b(3,1),则 ba 等于( ) A.(2,1) B.(2,1) C.(2,0) D.(4,3) 答案 B 解析 由题意得 ba(3,1)(1,2)(2,1). 2.已知向量OA (3,2),OB (5,1),则向量AB 的坐标是( ) A. 4,1 2 B. 4,1 2 C.(8,1) D.(8,1) 答案 C 解析 AB OB OA (5,1)(3,2)(8,1). 3.若 A(3,1),B(2,1),则BA 的坐标是(

    8、 ) A.(2,1) B.(2,1) C.(1,2) D.(1,2) 答案 C 解析 BA OA OB (3,1)(2,1)(1,2). 4.若向量BA (2,3),CA(4,7),则BC_. 答案 (2,4) 解析 BC BAACBACA(2,3)(4,7) (2,4). 5.若 a(2,2),b(3,4),c(1,5),则 abc_. 答案 (2,3) 解析 abc(231,245)(2,3). 1.知识清单: (1)平面向量的正交分解及坐标表示. (2)平面向量加、减运算的坐标表示. 2.方法归纳:数形结合. 3.常见误区:已知 A,B 两点求AB 的坐标时,一定是用终点的坐标减去起点的坐标.


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