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    人教A版(新教材)必修第二册 6.4.1 平面向量的应用-6.4.2 向量在物理中的应用举例 学案(含答案)

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    人教A版(新教材)必修第二册 6.4.1 平面向量的应用-6.4.2 向量在物理中的应用举例 学案(含答案)

    1、6.4 平面向量的应用平面向量的应用 6.4.1 平面几何中的向量方法平面几何中的向量方法 6.4.2 向量在物理中的应用举例向量在物理中的应用举例 学习目标 1.能用向量方法解决简单的几何问题.2.能用向量方法解决简单的力学问题和其 他实际问题.3.培养学生运算能力,分析和解决实际问题的能力. 知识点一 向量方法解决平面几何问题的步骤 用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”: (1)建立平面几何与向量的联系,用向量表示问题中涉及的几何元素,将平面几何问题转化为 向量问题. (2)通过向量运算,研究几何元素之间的关系,如距离、夹角等问题. (3)把运算结果“翻译”成几何关系. 知识点二 向量方

    2、法解决物理问题的步骤 用向量方法讨论物理学中的相关问题,一般来说分为四个步骤: (1)问题转化,即把物理问题转化为数学问题. (2)建立模型,即建立以向量为载体的数学模型. (3)求解参数,即求向量的模、夹角、数量积等. (4)回答问题,即把所得的数学结论回归到物理问题. 思考 物理问题中有哪些量是向量?它们与向量的哪些运算相关? 答案 物理中的向量: 物理中有许多量, 比如力、 速度、 加速度、 位移都具有大小和方向, 因而它们都是向量.力、速度、加速度、位移的合成就是向量的加法,因而它们也符合向量 加法的三角形法则和平行四边形法则;力、速度、加速度、位移的分解也就是向量的分解, 运动的叠加

    3、也用到了向量的加法.动量mv是数乘向量.力所做的功就是作用力F与物体在 力 F 的作用下所产生的位移 s 的数量积. 1.若ABC 为直角三角形,则有AB BC0.( ) 2.若向量AB CD ,则 ABCD.( ) 3.功是力 F 与位移 s 的数量积.( ) 4.力的合成与分解体现了向量的加减法运算.( ) 一、利用向量证明平面几何问题 例 1 如图所示,在正方形 ABCD 中,E,F 分别是 AB,BC 的中点,求证:AFDE. 证明 方法一 设AD a,AB b, 则|a|b|,a b0. 又DE DA AE ab 2, AF ABBFba 2, 所以AF DE ba 2 ab 2 a

    4、 2 2 3 4a b b2 2 1 2|a| 21 2|b| 20. 故AF DE ,即 AFDE. 方法二 如图所示,建立平面直角坐标系,设正方形的边长为 2,则 A(0,0),D(0,2),E(1,0), F(2,1),则AF (2,1),DE (1,2). 因为AF DE (2,1) (1,2)220, 所以AF DE ,即 AFDE. 反思感悟 用向量证明平面几何问题的两种基本思路及步骤 (1)利用线性运算证明的四个步骤 选取基底.用基底表示相关向量.利用向量的线性运算或数量积找出相应关系.把几何 问题向量化. (2)利用坐标运算证明的四个步骤 建立适当的平面直角坐标系.把相关向量坐

    5、标化.用向量的坐标运算找出相应关系.把 几何问题向量化. 跟踪训练 1 已知 O,A,B 是平面上不共线的三点,直线 AB 上有一点 C,满足 2AC CB 0, (1)用OA ,OB 表示OC ; (2)若点 D 是 OB 的中点,证明四边形 OCAD 是梯形. (1)解 因为 2AC CB0, 所以 2(OC OA )(OB OC )0, 2OC 2OA OB OC 0, 所以OC 2OA OB . (2)证明 如图,DA DO OA 1 2OB OA 1 2(2OA OB ). 故DA 1 2OC .即 DAOC,且 DAOC,故四边形 OCAD 为梯形. 二、利用向量解决平面几何求值问

    6、题 例 2 如图,已知|p|2 2,|q|3,p,q 的夹角为 4,若AB 5p2q,ACp3q,D 为 BC 的中点,则|AD |_. 答案 15 2 解析 由题意知 2AD AB AC, 因为AB 5p2q,ACp3q, 所以 2AD AB AC6pq, 所以 2|AD |6pq| 362 22122 23cos 43 215,所以|AD|15 2 . 反思感悟 (1)用向量法求长度的策略 根据图形特点选择基底,利用向量的数量积转化,用公式|a|2a2求解. 建立坐标系,确定相应向量的坐标,代入公式:若 a(x,y),则|a| x2y2. (2)用向量法解决平面几何问题的两种思想 几何法:

    7、选取适当的基底(基底中的向量尽量已知模或夹角),将题中涉及的向量用基底表 示,利用向量的运算法则、运算律或性质求解. 坐标法:建立平面直角坐标系,实现向量的坐标化,将几何问题中的长度、垂直、平行等 问题转化为代数运算. 跟踪训练 2 在ABC 中, 已知 A(4,1), B(7,5), C(4,7), 则 BC 边上的中线 AD 的长是( ) A.2 5 B.5 5 2 C.3 5 D.7 5 2 答案 B 解析 BC 的中点为 D 3 2,6 ,AD 5 2,5 , |AD |5 5 2 . 三、向量在物理中的应用 例 3 一艘船以 5 km/h 的速度向垂直于对岸的方向行驶,船的实际航行方

    8、向与水流方向成 30角,则水流速度为_ km/h. 答案 5 3 解析 如图所示,船速|v1|5 km/h,水流速度为 v2, 实际航行方向 v 与水流方向 v2成 30 角, |v2| |v1| tan 30 5 3(km/h). 反思感悟 用向量解决物理问题的一般步骤 (1)问题的转化,即把物理问题转化为数学问题. (2)模型的建立,即建立以向量为主体的数学模型. (3)参数的获得,即求出数学模型的有关解理论参数值. (4)问题的答案,即回到问题的初始状态,解释相关的物理现象. 跟踪训练 3 一物体在力 F1(3,4),F2(2,5),F3(3,1)的共同作用下从点 A(1,1)移 动到点

    9、 B(0,5).在这个过程中三个力的合力所做的功为_. 答案 40 解析 F1(3,4),F2(2,5),F3(3,1), 合力 FF1F2F3(8,8). 又AB (1,4), F AB 8(1)(8)440, 即三个力的合力做的功等于40. 1.在ABC 中,若(CA CB) (CACB)0,则ABC( ) A.是正三角形 B.是直角三角形 C.是等腰三角形 D.形状无法确定 答案 C 解析 (CA CB) (CACB)CA2CB20,即|CA|CB|,CACB,则ABC 是等腰三 角形. 2.已知 A,B,C,D 四点的坐标分别为(1,0),(4,3),(2,4),(0,2),则此四边形

    10、为( ) A.梯形 B.菱形 C.矩形 D.正方形 答案 A 解析 AB (3,3),CD (2,2), AB 3 2CD ,AB 与CD 共线. 又|AB |CD |,该四边形为梯形. 3.当两人提起重量为|G|的旅行包时, 两人用力方向的夹角为 , 用力大小都为|F|, 若|F|G|, 则 的值为( ) A.30 B.60 C.90 D.120 答案 D 解析 作OA F1,OB F2,OC G(图略), 则OC OA OB , 当|F1|F2|G|时,OAC 为正三角形, 所以AOC60 ,从而AOB120 . 4.在ABC 中,D 为三角形所在平面内一点,且AD 1 3AB 1 2AC

    11、 ,则SABD SABC等于( ) A.2 3 B. 1 3 C. 1 6 D. 1 2 答案 D 解析 因为AD 1 3AB 1 2AC ,所以点 D 在 AB 边的中位线上,从而有 S ABD1 2SABC. 5.如图,在平面直角坐标系中,正方形 OABC 的对角线 OB 的两端点分别为 O(0,0),B(1,1), 则AB AC_. 答案 1 解析 由已知得 A(1,0),C(0,1), 所以AB (0,1),AC(1,1). 所以AB AC1. 1.知识清单: (1)平面几何中的向量方法. (2)向量在物理中的应用. 2.方法归纳:化归转化、数形结合. 3.常见误区:要注意选择恰当的基底.


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