1、6.3.5 平面向量数量积的坐标表示平面向量数量积的坐标表示 学习目标 1.掌握平面向量数量积的坐标表示.2.能够用两个向量的坐标来解决与向量的模、 夹角、垂直有关的问题. 知识点 平面向量数量积的坐标表示 设非零向量 a(x1，y1)，b(x2，y2)，a 与 b 的夹角为 . 则 a bx1x2y1y2. (1)若 a(x，y)，则|a|2x2y2或|a| x2y2. 若表示向量 a 的有向线段的起点和终点的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，则 a(x2x1，y2 y1)，|a| x2x12y2y12. (2)abx1x2y1y20. (3)cos a b |a|b| x1x2y1
2、y2 x21y21 x22y22. 思考 若两个非零向量的夹角满足 cos 0，但夹角 0 ，不是锐角. 3.两个非零向量a(x1， y1)， b(x2， y2)， 满足 x1y2x2y10， 则向量 a 与b 的夹角为 0 .( ) 4.若向量 a(1,0)，b 1 2， 1 2 ，则|a|b|.( ) 提示 |a|1，|b| 1 2 2 1 2 2 2 2 ，显然|a|b|. 一、数量积的坐标运算 例 1 已知 a(2，1)，b(1，1)，则(a2b) (a3b)等于( ) A.10 B.10 C.3 D.3 答案 B 解析 a2b(4，3)，a3b(1,2)，所以(a2b) (a3b)4
3、(1)(3)210. 反思感悟 进行数量积运算时，要正确使用公式 a bx1x2y1y2，并能灵活运用以下几个关 系 (1)|a|2a a. (2)(ab) (ab)|a|2|b|2. (3)(ab)2|a|22a b|b|2. 跟踪训练 1 向量 a(1，1)，b(1,2)，则(2ab) a 等于( ) A.1 B.0 C.1 D.2 答案 C 解析 因为 a(1，1)，b(1,2)， 所以 2ab2(1，1)(1,2)(1,0)， 则(2ab) a(1,0) (1，1)1. 二、平面向量的模 例 2 已知平面向量 a(3,5)，b(2,1)，求 a2b 及其模的大小. 解 a(3,5)，b
4、(2,1)， a2b(3,5)2(2,1)(34,52)(7,3)， |a2b|7232 58. 反思感悟 求向量 a(x，y)的模的常见思路及方法 (1)求模问题一般转化为求模的平方，即 a2|a|2x2y2，求模时，勿忘记开方. (2)a aa2|a|2或|a| a2 x2y2，此性质可用来求向量的模，可以实现实数运算与向量 运算的相互转化. 跟踪训练 2 已知向量 a(2,1)，a b10，|ab|5 2，则|b|等于( ) A. 5 B. 10 C.5 D.25 答案 C 解析 a(2,1)，a25， 又|ab|5 2，(ab)250， 即 a22a bb250， 5210b250，b
5、225，|b|5. 三、平面向量的夹角、垂直问题 例 3 (1)已知|a|1，b(0,2)，且 a b1，则向量 a 与 b 夹角的大小为( ) A. 6 B. 4 C. 3 D. 2 答案 C 解析 因为|a|1，b(0,2)，且 a b1， 设 a 与 b 的夹角为 ， 则 cos a b |a|b| 1 1 022 1 2. 又因为 0，则 3. 所以向量 a 与 b 夹角的大小为 3. (2)设向量 m(2x1,3)，向量 n(1，1)，若 mn，则实数 x 的值为( ) A.1 B.1 C.2 D.3 答案 C 解析 因为向量 m(2x1,3)，向量 n(1，1)，mn， 所以 m
6、n(2x1)13(1)2x130，解得 x2. 反思感悟 解决向量夹角问题的方法及注意事项 (1)求解方法：由 cos a b |a|b| x1x2y1y2 x21y21x22y22直接求出 cos . (2)注意事项：利用三角函数值 cos 求 的值时，应注意角 的取值范围是 0 180 .利 用 cos a b |a|b|判断 的值时， 要注意 cos 0 时，也有两种情况：一是 是锐角，二是 为 0 . 跟踪训练 3 已知向量 a(1,2)，b(m,1).若向量 ab 与 a 垂直，则 m_. 答案 7 解析 a(1,2)，b(m,1)， ab(1m,21)(m1,3). 又 ab 与
7、a 垂直，(ab) a0， 即(m1)(1)320， 解得 m7. 1.若向量 a(x,2)，b(1,3)，a b3，则 x 等于( ) A.3 B.3 C.5 3 D. 5 3 答案 A 解析 a bx63，故 x3. 2.已知 a(3,4)，b(5,12)，则 a 与 b 夹角的余弦值为( ) A.63 65 B. 65 C. 13 5 D. 13 答案 A 解析 |a|32425，|b|5212213. a b3541263. 设 a 与 b 的夹角为 ，所以 cos 63 513 63 65. 3.已知向量 a(1，n)，b(1，n)，若 2ab 与 b 垂直，则|a|等于( ) A.
8、1 B. 2 C.2 D.4 答案 C 解析 (2ab) b2a b|b|2 2(1n2)(1n2)n230， n23，|a|12n22. 4.若平面向量 a(1，2)与 b 的夹角是 180 ，且|b|3 5，则 b 等于( ) A.(3,6) B.(3，6) C.(6，3) D.(6,3) 答案 A 解析 由题意，设 ba(，2)(0)， 则|b|222 5|3 5， 又 0，3，故 b(3,6). 5.已知向量 a(x,1)，b(1，2)，且 ab，则|ab|等于( ) A. 5 B. 10 C.2 5 D.10 答案 B 解析 由题意可得 a bx 11(2)x20，解得 x2. 再由 ab(x1，1)(3，1)， 可得|ab| 10. 1.知识清单： (1)平面向量数量积的坐标表示. (2)abx1x2y1y20(a，b 为非零向量). (3)cos x1x2y1y2 x21y21x22y22( 为非零向量 a，b 的夹角). 2.方法归纳：化归与转化. 3.常见误区：两向量夹角的余弦公式易记错.
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