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    山东省潍坊市2020届高三4月模拟考试(一模)数学试题(含答案解析)

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    山东省潍坊市2020届高三4月模拟考试(一模)数学试题(含答案解析)

    1、潍坊市高考模拟考试数学潍坊市高考模拟考试数学试卷试卷 一、单项选择题:本大题共一、单项选择题:本大题共 8 小题,每小题小题,每小题 5 分共分共 40 分在每小题给出的四个选项中,只分在每小题给出的四个选项中,只 有有一项是符合题目要求的有有一项是符合题目要求的 1设集合 A2,4,BxN|x30,则 AB( ) A1,2,3,4 B0,1,2,3,4 C2 Dx|x4 2甲、乙、丙、四位同学各自对 x,y 两变量的线性相关性作试验,并用回归分析方法分别 求得相关系数 r,如表: 相关系数 甲 乙 丙 丁 r 0.82 0.78 0.69 0.87 则哪位同学的试验结果体现两变量有更强的线性

    2、相关性?( ) A甲 B乙 C丙 D丁 3在平面直角坐标系 xOy 中,点(3,1),将向量 绕点 O 按逆时针方向旋转 2后得到向 量 ,则点 Q 的坐标是( ) A(2,1) B(1,2) C(3,1) D(1,3) 4 “a1 是“x0, 2:1 a”的( ) A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 5函数 f(x)= +在,上的图象大致为( ) A B C D 6玉琮是中国古代玉器中重要的礼器,神人纹玉琮王是新石器时代良渚文化的典型玉器, 1986年出土于浙江省余杭市反山文化遗址 玉琮王通高8.8cm, 孔径4.9cm、 外径17.6cm 琮 体四面各琢

    3、刻一完整的兽面神人图象, 兽面的两侧各浅浮雕鸟纹, 器形呈扁矮的方柱体, 内圆外方,上下端为圆面的射,中心有一上下垂直相透的圆孔试估计该神人纹玉琮王 的体积约为(单位:cm) ( ) A6250 B3050 C2850 D2350 7定义在 R 上的偶函数 f(x)2|x m|1,记 af(1n3) ,bf(log 25) ,cf(2m) , 则( ) Aabc Bacb Ccab Dcba 8如图,已知抛物线 C:y22px(p0)的焦点为 F,点(0,23)(0 2)是抛物线 C 上一点以 P 为圆心的圆与线段 PF 相交于点 Q,与过焦点 F 且垂直于对称轴的直线交 于点 A, B, |

    4、AB|PQ|, 直线 PF 与抛物线 C 的另一交点为 M, 若| = 3|, 则| | = ( ) A1 B3 C2 D5 二、 多项选择题: 本大题共二、 多项选择题: 本大题共 4 个小题, 每小题个小题, 每小题 5 分, 共分, 共 20 分, 在每小题给出的四个选项中,分, 在每小题给出的四个选项中, 只有多项符合题目要求,全部选对的得只有多项符合题目要求,全部选对的得 5 分,选对但不全的得分,选对但不全的得 3 分,有选错的得分,有选错的得 0 分分 9已知双曲线 2 4 2 2 = 2( , ),则不因 改变而变化的是( ) A焦距 B离心率 C顶点坐标 D渐近线方程 10如

    5、图是2018 年全国教育事业发展统计公报中 19492018 年我国高中阶段在校生数 条形图和毛入学率的折线图,根据如图可知在 19492018 年( ) A1978 年我国高中阶段的在校生数和毛入学率比建国初期大幅度提高 B从 1990 年开始,我国高中阶段的在校生数和毛入学率在逐年增高 C2010 年我国高中阶段在校生数和毛入学率均达到了最高峰 D2018 年高中阶段在校生数比 2017 年下降了约 0.9%而毛入学率提高了 0.5 个百分点 11已知函数 f(x)对xR,满足 f(x)f(6x) ,f(x+1)f(x+1) ,若 f(a) f(2020) ,a5,9且 f(x)在5,9上

    6、为单调函数,则下列结论正确的是( ) Af(3)0 Ba8 Cf(x)是周期为 4 的周期函数 Dyf(x)的图象关于点(1,0)对称 12如图,点 O 是正四面体 PABC 底面 ABC 的中心,过点 O 的直线交 AC,BC 于点 M, N,S 是棱 PC 上的点,平面 SMN 与棱 PA 的延长线相交于点 Q,与棱 PB 的延长线相交 于点 R,则( ) A若 MN平面 PAB,则 ABRQ B存在点 S 与直线 MN,使 PC平面 SRQ C存在点 S 与直线 M,使 ( + ) = 0 D 1 | | + 1 | | + 1 | | 是常数 三、填空题:本大题共三、填空题:本大题共

    7、4 小题,每小题小题,每小题 5 分,共分,共 20 分分. 13已知复数; 2:是纯虚数(i 是虚数单位) ,则实数 a 的值为 14(2 3 + 2 ) 8的展开式中 x2项的系数是 (用数字作答) 15已知函数 f(x)Asin(x+) (A0,0,0)是偶函数,将 yf(x)的 图象沿 x 轴向左平移 6个单位,再将图象上所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍(纵坐标不 变) ,所得图象对应的函数为 yg(x) 已知 yg(x)的图象相邻对称中心之间的距离 为 2,则 ;若 yg(x)的图象在其某对称轴处对应的函数值为2,则 g (x)在0,上的最大值为 16定义函数 f(x)xx,其中x

    8、表示不超过 x 的最大整数,例如:1.31,1.5 2,22当 x0,n) (nN*)时,f(x)的值域为 An记集合 An中元素的个数为 an,则 2020 2 1 1值为 四、解答题:本大题共四、解答题:本大题共 6 小题,共小题,共 70 分,答应写出文字说明证明过程或演算步骤分,答应写出文字说明证明过程或演算步骤. 17ABC 的内角 A,B、C 的对边分别为 a,b,c,已知向量 =(ca,sinB) , =(b a,sinA+sinC)且 (1)求 C; (2)若6 + 3 = 3,求 sinA 18在b2n2bn+1,a2b1+b2,b1,b2,b4成等比数列这三个条件中选择符合

    9、题意 的两个条件,补充在下面的问题中,并求解 已知数列an中 a11,an+13an公差不等于 0 的等差数列bn满足_,求数 列* +的前 n 项和 Sn 注:如果给出多种选择的解答,按符合题意的第一种选择计分 19如图,在等腰直角三角形 ADP 中,A90,AD3,B,C 分别是 AP,DP 上的点, 且 BCAD, E, F 分别是 AB, PC 的中点, 现将PBC 沿 BC 折起, 得到四棱锥 PABCD, 连接 EF (1)证明:EF平面 PAD; (2)是否存在点 B,当将PBC 沿 BC 折起到 PAAB 时,二面角 PCDE 的余弦值 等于 15 5 ?若存在,求出 AB 的

    10、长;若不存在,请说明理由 20研究表明,肥胖人群有很大的心血管安全隐患目前,国际上常用身体质量指数(缩写 为 BMI)来衡量人体胖瘦程度,其计算公式是 = 体重(单位:) 身高 2(单位:2)中国成人的 BM 数值标准为:BM18.5 为偏瘦;18.5BMI24 为正常;BMI24 为偏胖,为了解某社 区成年人的身体肥胖情况研究人员从该社区成年人中,采用分层随机抽样方法抽取了老 年人、中年人、青年人三类人中的 45 名男性、45 名女性为样本,测量了他们的身高和体 重数据,计算得到他们的 BM 值后数据分布如表所示: BMI 标准 老年人 中年 青年 人 男 女 男 女 男 女 BMI18.5

    11、 3 3 1 2 4 5 18.5BMI24 5 7 5 7 8 10 BM24 5 4 10 5 4 2 (1)从样本中的老年人中年人青年人中各任取一人,求至少有 1 人偏胖的概率; (2)从该社区所有的成年人中,随机选取 3 人,其中偏胖的人数为 X,根据样本数据, 以频率作为概率,求 X 的分布列和数学期望; (3)经过调查研究,导致人体肥胖的原因主要取决于遗传因素、饮食习惯体育锻炼或其 他因素四类情况中的一种或多种情况,调查该样本中偏胖的成年人导致偏胖的原因,整 理数据得到如表: 分类 遗传因素 饮食习惯欠佳 缺乏体育锻炼 其他因素 人次 8 12 16 4来源:学。科。网 请根据以上

    12、数据说明我们学生应如何减少肥胖,防止心血管安全隐患的发生,请至少说 明 2 条措施 21直角坐标系 xOy 中,F1,F2分别为椭圆 C: 2 2 + 2 2 = 1(0)的左右焦点,A 为 椭圆的右顶点,点 P 为椭圆 C 上的动点(点 P 与 C 的左右顶点不重合) ,当PF1F2为 等边三角形时,12= 3 (1)求椭圆 C 的方程; (2)如图,M 为 AP 的中点,直线 MO 交直线 x4 于点 D,过点 O 作 OEAP 交直 线 x4 于点 E,证明OEF1ODF1 22已知函数() = 2 2,() = + (1)设函数 f(x)与 g(x)有相同的极值点 (i)求实数 a 的

    13、值; (ii)若对1,2 ,1 ,3-,不等式(1);(2) ;1 1恒成立,求实数 k 的取值范围 (2)a0 时,设函数 h(x)eg (x)sin(g(x) )1,试判断 h(x)在(,0)上 零点的个数 参考答案参考答案 一、单项选择题:本大题共一、单项选择题:本大题共 8 小题,每小题小题,每小题 5 分共分共 40 分在每小题给出的四个选项中,只分在每小题给出的四个选项中,只 有有一项是符合题目要求的有有一项是符合题目要求的来源来源:学学,科科,网网 Z,X,X,K 1设集合 A2,4,BxN|x30,则 AB( ) A1,2,3,4 B0,1,2,3,4 C2 Dx|x4 可以求

    14、出集合 B,然后进行并集的运算即可 A2,4,B0,1,2,3, AB0,1,2,3,4 故选:B 本题考查了列举法、描述法的定义,并集的定义及运算,考查了计算能力,属于基础题 2甲、乙、丙、四位同学各自对 x,y 两变量的线性相关性作试验,并用回归分析方法分别 求得相关系数 r,如表: 相关系数 甲 乙 丙 丁 r 0.82 0.78 0.69 0.87 则哪位同学的试验结果体现两变量有更强的线性相关性?( ) A甲 B乙 C丙 D丁 根据相关系数|r|的值越大,其试验结果体现两变量有更强的线性相关性判断即可 根据题意知,丁同学的相关系数|r|0.87 为最大, 所以丁同学的试验结果体现两变

    15、量有更强的线性相关性 故选:D 本题考查了利用相关系数|r|判断两变量有更强的线性相关性问题,是基础题 3在平面直角坐标系 xOy 中,点(3,1),将向量 绕点 O 按逆时针方向旋转 2后得到向 量 ,则点 Q 的坐标是( ) A(2,1) B(1,2) C(3,1) D(1,3) 设 Q(x,y) (x0,y0) ,根据题意建立方程 x2+y24,3 + = 0,解出即可 设 Q(x,y) (x0,y0) ,依题意, = 0,且2+ 2= (3)2+ 1 = 4, (3,1) (,) = 0,即3 + = 0, 由解得 = 1, = 3,即(1,3) 故选:D 本题考查了任意角的三角函数以

    16、及两向量垂直的数量积运算,考查计算能力,属于基础 题 4 “a1 是“x0, 2:1 a”的( ) A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 根据基本不等式,求出 a 的范围,结合不等式的关系,利用充分条件和必要条件的定义 进行判断即可 当 x0 时, 2:1 =x+ 1 2 1 =2, 若“x0, 2:1 a” ,则 a2, 则 a1 是 a2 的充分不必要条件, 即“a1 是“x0, 2:1 a”的充分不必要条件, 故选:A 本题主要考查充分条件和必要条件的判断,结合基本不等式的性质求出 a 的范围是解决 本题的关键比较基础 5函数 f(x)= +在,上的图象

    17、大致为( ) A B C D 易知当 x(0,)时,观察选项可知,只有选项 A 符合题意 当 x(0,)时,xsinx,故此时() = + 0,只有选项 A 符合题意 故选:A 本题考查利用函数解析式确定函数图象,解题的关键是掌握当 x(0,)时,xsinx, 属于基础题 6玉琮是中国古代玉器中重要的礼器,神人纹玉琮王是新石器时代良渚文化的典型玉器, 1986年出土于浙江省余杭市反山文化遗址 玉琮王通高8.8cm, 孔径4.9cm、 外径17.6cm 琮 体四面各琢刻一完整的兽面神人图象, 兽面的两侧各浅浮雕鸟纹, 器形呈扁矮的方柱体, 内圆外方,上下端为圆面的射,中心有一上下垂直相透的圆孔试

    18、估计该神人纹玉琮王 的体积约为(单位:cm) ( ) A6250 B3050 C2850 D2350 由题意,利用棱柱体积减去内部圆柱体积,再结合实际情况得答案 由题意,该神人纹玉琮王的体积为底面边长为 17.6cm,高为 8.8cm 的长方体的体积减去 底面直径为 4.9cm,高为 8.8cm 的圆柱的体积 则 V= 17.6 17.6 8.8 (4.9 2 )2 8.8 256cm3 结合该神人纹玉琮王外面方形偏低且去掉雕刻部分,可估计该神人纹玉琮王的体积约为 2350cm3 故选:D 本题考查棱柱与圆柱体积的求法,考查考生分析和解决实际问题的能力,是基础题 7定义在 R 上的偶函数 f(

    19、x)2|x m|1,记 af(1n3) ,bf(log 25) ,cf(2m) , 则( ) Aabc Bacb Ccab Dcba 根据题意,由偶函数的定义可得 f(x)f(x) ,即 2|x m|12|xm|1,解可得 m 0,即可得函数的解析式,分析可得 f(x)在(0,+)上为增函数,据此分析可得答案 根据题意,定义在 R 上的偶函数 f(x)2|x m|1,则有 f(x)f(x) , 即 2|x m|12|xm|1,解可得 m0, 则 f(x)2|x|1= 2 1, 0 2; 1,0,则 f(x)在(0,+)上为增函数, af(1n3)f(ln3) ,bf(log25) ,cf(20

    20、)f(1) , 又由 01ln32log25,则有 cab, 故选:C 本题考查函数的奇偶性的性质以及应用,注意求出 m 的值,属于基础题 8如图,已知抛物线 C:y22px(p0)的焦点为 F,点(0,23)(0 2)是抛物线 C 上一点以 P 为圆心的圆与线段 PF 相交于点 Q,与过焦点 F 且垂直于对称轴的直线交 于点 A, B, |AB|PQ|, 直线 PF 与抛物线 C 的另一交点为 M, 若| = 3|, 则| | = ( ) A1 B3 C2 D5 设圆的半径为 r,易知PAB 为正三角形,从而求得 x0以及|PF|,由于| = 3|, 所以可得 = 3 2 ;再由 P 和 F

    21、 两点的坐标可表示出直线 PF 的方程,将其与抛物线的方 程联立,消去 y 可得关于 x 的一元二次方程,再结合韦达定理可求出 xM,然后利用抛物 线的定义求出|FM|= 2 3 ,于是| | = 3 2 ,结合前面得出的结论 = 3 2 ,即可得解 设圆的半径为 r,则|AB|PQ|PB|PA|r,PAB 为正三角形,0= +3 2 , 由抛物线的定义可知,|PF|= 0+ 2 = 2+3 2 , 又| = 3|,2:3 2 =3,化简得: = 3 2 , (+ 3 2 ,23),( 2,0), 直线 PF 的方程为 = 4 ( 2), 联立 = 4 ( 2) 2= 2 ,消去 y 可得16

    22、 2 2 (16 2 + 2) + 42 2 = 0, 由韦达定理可知,0= 2 4 ,= 2 4 0 = 2 2(+3) = 2( +3) = 6, 由抛物线的定义可知,|FM|= + 2 = 2 3 , | | = 2 3 = 3 2 = 3 2 2 3 =3, 故选:B 本题考查直线与抛物线的位置关系,涉及抛物线的定义、曲直联立,灵活运用抛物线的 定义是解题的关键,考查学生分析问题的能力和运算能力,属于中档题 二、 多项选择题: 本大题共二、 多项选择题: 本大题共 4 个小题, 每小题个小题, 每小题 5 分, 共分, 共 20 分, 在每小题给出的四个选项中,分, 在每小题给出的四个

    23、选项中, 只有多项符合题目要求,全部选对的得只有多项符合题目要求,全部选对的得 5 分,选对但不全的得分,选对但不全的得 3 分,有选错的得分,有选错的得 0 分分 9已知双曲线 2 4 2 2 = 2( , ),则不因 改变而变化的是( ) A焦距 B离心率 C顶点坐标 D渐近线方程 双曲线 2 4 2 2 = 2( , ),可化为 2 42 2 22 = 1a24sin2, b22sin2即可逐一判定 双曲线 2 4 2 2 = 2( , ),可化为 2 42 2 22 = 1 a24sin2,b22sin2 c26sin2, 2= 1 + ( ) 2 = 3 2, 渐近线 y = 2 2

    24、 , 故选:BD 本题考查了双曲线的标准方程、离心率、渐近线,属于中档题 10如图是2018 年全国教育事业发展统计公报中 19492018 年我国高中阶段在校生数 条形图和毛入学率的折线图,根据如图可知在 19492018 年( ) A1978 年我国高中阶段的在校生数和毛入学率比建国初期大幅度提高 B从 1990 年开始,我国高中阶段的在校生数和毛入学率在逐年增高 C2010 年我国高中阶段在校生数和毛入学率均达到了最高峰 D2018 年高中阶段在校生数比 2017 年下降了约 0.9%而毛入学率提高了 0.5 个百分点 根据图表判断选项 有图可知,1978 年我国高中阶段的在校生数和毛入

    25、学率比建国初期大幅度提高,A 对; 2016 年我国高中阶段的在校生数和毛入学率降低,B 错; 2015 年我国高中阶段在毛入学率均达到了最高峰,C 错; 2018 年高中阶段在校生数比 2017 年下降了约 0.9%而毛入学率提高了 0.5 个百分点,D 对, 故选:AD 本题考查直方图,属于基础题 11已知函数 f(x)对xR,满足 f(x)f(6x) ,f(x+1)f(x+1) ,若 f(a) f(2020) ,a5,9且 f(x)在5,9上为单调函数,则下列结论正确的是( ) Af(3)0 Ba8 Cf(x)是周期为 4 的周期函数 Dyf(x)的图象关于点(1,0)对称 由条件求得可

    26、得 f(x)f(x+8) ,故周期时 8,再结合给的条件对各个选项进行转化判 断即可 f(x)对xR,满足 f(x)f(6x) ,f(x+1)f(x+1) , f(x)f(6x)f(x5)+1)f(x5+1)f(x4) ,f(x4) f(x) ,f(x8)f(x44)f(x4)f(x) ,故 f(x)的周期为 T8 因为 T8,故 C 错; f(a)f(2020)f(2528+4)f(4)f(3+1)f(2) f(6(2) )f(8) ,又 a5,9且 f(x)在5,9上单调,易得 a8故 B 对 因为:f(x)f(6x)f(3)f(63)f(3)f(3)0,A 对, f(x+1)f(x+1)

    27、 ,x1 为对称轴,故 D 错 故选:AB 本题主要考查抽象函数的性质, 求得 f (x) f (x4) , 是解题的关键, 属于中档题目 12如图,点 O 是正四面体 PABC 底面 ABC 的中心,过点 O 的直线交 AC,BC 于点 M, N,S 是棱 PC 上的点,平面 SMN 与棱 PA 的延长线相交于点 Q,与棱 PB 的延长线相交 于点 R,则( ) A若 MN平面 PAB,则 ABRQ B存在点 S 与直线 MN,使 PC平面 SRQ C存在点 S 与直线 M,使 ( + ) = 0 D 1 | | + 1 | | + 1 | | 是常数 A 选项利用 MN 平行于平面 PAB

    28、 得到 MNAB,再通过证明 MNQR 证明即可; B 选项我们可以先找到与 PC 垂直的面,然后找相应的点 S 满足相应的条件; C 选项为向量问题,要想研究是否存在点 S 与 MN 满足条件只需找到最大角即可; D 选项可以考虑寻找合适的基向量进行证明,因为无法建系,只能引用向量的线性运算 进行 A 选项:因为 MN平面 PAB,面 ABC面 PABAB,所以 MNAB; 又面 SQR面 PABQR,所以 MNQR; 所以 ABQR; B 选项取 PC 中点 G,连接 AG,BG,则 AGPC,BGPC,所以 PC面 ABG, 过 AC 上一点 M,作 MSAG,SNBG,则面 ABG面

    29、SMN,所以存在点 S 与直线 MN 满足条件; C 选项由最小角定理知,PC 与面 PAB 所成角的最小角为CPD,PD 为APB 的角平分 线,最大角为CPD60,不可能为直角,所以 C 不成立; D 选项 = + = + 2 3 + 2 3 ( ) = 1 3 ( + + ), = | | | | , = | | | | , = | | ,设| | = ,| | = ,| | = , 所以 = | 3 + | 3 + | 3 , 因为 O,Q,R,S 四点共面,所以| 3 + | | 3 + | | 3 = 1, 所以 1 3 + 1 3 + 1 3 = 1 | | ,所以1 + 1 +

    30、 1 = 3 | ,得证 故选:ABD 本题难度较大,考查了立体几何与向量之间的综合应用 三、填空题:本大题共三、填空题:本大题共 4 小题,每小题小题,每小题 5 分,共分,共 20 分分. 13已知复数; 2:是纯虚数(i 是虚数单位) ,则实数 a 的值为 1 2 利用复数代数形式的乘除运算化简,再由实部为 0 且虚部不为 0 列式求解 ; 2: = (;)(2;) (2:)(2;) = 2;1 5 :2 5 是纯虚数, 2 1 = 0 + 2 0 ,解得 a= 1 2 故答案为:1 2 本题考查复数代数形式的乘除运算,考查复数的基本概念,是基础题 14(2 3 + 2 ) 8的展开式中

    31、 x2项的系数是 112 (用数字作答) 先求得二项式展开式的通项公式,再令 x 的幂指数等于 2,求得 r 的值,即可求得含 x2 项的系数 因为(2 3 + 2 ) 8的展开式的通项公式为:Tr+1= 8(2 3) 8;(2 ) =2r8 x 165 3 ; 令16;5 3 =2r2; (2 3 + 2 ) 8的展开式中 x2项的系数是:2282=112 故答案为:112 本题主要考查二项式定理的应用,二项式展开式的通项公式,二项式系数的性质,属基 础题 15已知函数 f(x)Asin(x+) (A0,0,0)是偶函数,将 yf(x)的 图象沿 x 轴向左平移 6个单位,再将图象上所有点的

    32、横坐标伸长到原来的 2 倍(纵坐标不 变) ,所得图象对应的函数为 yg(x) 已知 yg(x)的图象相邻对称中心之间的距离 为 2,则 1 ;若 yg(x)的图象在其某对称轴处对应的函数值为2,则 g(x) 在0,上的最大值为 本题先通过平移得到 g(x)这里带有未知数,然后根据题中所给条件,相邻对称中心之 间的距离为半个周期,即可求出周期,进而求出 ,由对称轴处对应值即可知道本函数 最大值为 2,最小值为2,最终求的 g(x)解析式 (1)f(x)是偶函数且 0,= 2, f(x)Asin(x+ 2)Acosx 由已知将 yf(x)的图象沿 x 轴向左平移 6个单位,可得 f(x)Acos

    33、(x+ 6) ,再将 图象上所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍 (纵坐标不变) , 可得 g (x) Acos ( 2x+ 6) , yg(x)的图象相邻对称中心之间的距离为 2, 2 =2,T4, 2 2 =4,1 故答案为 1 (2)yg(x)的图象在其某对称轴处对应的函数值为2,则 A2, g(x)2cos(1 2x+ 6) 0x, 6 1 2x+ 6 2 3 , g(x)在0,上的最大值为当1 2x+ 6 = 6即 x0 时,g(x)max2 3 2 = 3 故答案为3 本题考查的是三角函数图象和性质中的平移问题,属中档题 16定义函数 f(x)xx,其中x表示不超过 x 的最大整数,

    34、例如:1.31,1.5 2,22当 x0,n) (nN*)时,f(x)的值域为 An记集合 An中元素的个数为 an,则 2020 2 1 1值为 2019 1010 根据题意,由x的定义分析 xx的表达式,进而可得xx在各区间中的元素个数,相加 即可得 an1+1+2+3+(n1)1+ (1) 2 ,结合数列求和的方法分析可得答案 根据题意,x表示不超过 x 的最大整数,即x= 0, ,0,1) 1, ,1,2) 2, ,2,3) 1, , 1,) ,则有 xx= 0, ,0,1) , ,1,2) 2, ,2,3) ( 1), , 1,) , 则xx在各区间中的元素个数是:1,1,2,3,n

    35、1; 故 an1+1+2+3+(n1)1+ (1) 2 , 2020 2 1 1 =( 1 2;1)+( 1 3;1)+( 1 ;1)= 2 12 + 2 23 + + 2 20202019 = (2 1 2 2)+( 2 2 2 3)+( 2 2019 2 2020) 2(1 1 2020)= 2019 1010; 故答案为:2019 1010 本题考查数列与函数的关系,涉及数列的求和,注意分析an的通项,属于中档题 四、解答题:本大题共四、解答题:本大题共 6 小题,共小题,共 70 分,答应写出文字说明证明过程或演算步骤分,答应写出文字说明证明过程或演算步骤. 17ABC 的内角 A,B

    36、、C 的对边分别为 a,b,c,已知向量 =(ca,sinB) , =(b a,sinA+sinC)且 (1)求 C; (2)若6 + 3 = 3,求 sinA (1)利用向量平行的性质,正弦定理可得 a2+b2c2ab,由余弦定理可求 cosC= 1 2,结 合范围 C(0,) ,可求 C 的值 (2)由(1)可得 B= 2 3 A,由题设及正弦定理可得 sin(A 3)= 2 2 ,可求范围 3 A 3 3,利用同角三角函数基本关系式可求 cos(A 3)= 2 2 ,进而根据两角和 的正弦函数公式可求 sinA 的值 (1)向量 =(ca,sinB) , =(ba,sinA+sinC)且

    37、 , (ca) (sinA+sinC)(ba)sinB,由正弦定理可得(ca) (a+c)(ba)b, a2+b2c2ab,cosC= 2+22 2 = 2 = 1 2, C(0,) , C= 3 (2)由(1)可得 B= 2 3 A,由题设及正弦定理可得:6sinC+3sin(2 3 A)3sinA, 即 2 2 + 3 2 cosA+ 1 2sinAsinA,可得 sin(A 3)= 2 2 , 由于 0 2 3 , 3 A 3 3, cos (A 3) = 2 2 , sinAsin (A 3 + 3) sin (A 3) cos 3 +cos (A 3) sin 3 = 6:2 4 本

    38、题主要考查了向量平行的性质, 正弦定理, 余弦定理, 同角三角函数基本关系式, 两角 和的正弦函数公式在解解三角形中的应用,考查了转化思想,属于基础题 18在b2n2bn+1,a2b1+b2,b1,b2,b4成等比数列这三个条件中选择符合题意 的两个条件,补充在下面的问题中,并求解 已知数列an中 a11,an+13an公差不等于 0 的等差数列bn满足_,求数 列* +的前 n 项和 Sn 注:如果给出多种选择的解答,按符合题意的第一种选择计分 运用等比数列的通项公式可得 an3n 1选时,设数列b n的公差为 d,由等差数 列的通项公式可得 bn, ,再由错位相减法求和,可得 Sn; 选时

    39、,设数列bn的公差为 d,d0,由等比数列的中项性质和等差数列的通项公 式,解方程可得公差和首项,进而得到 bn, ,再由错位相减法求和,可得 Sn; 选时,设数列bn的公差为 d,d0,由等比数列的中项性质和等差数列的通项公 式,解方程即可判断不成立 由 a11,an+13an,可得an为首项为 1,公比为 3 的等比数列,则 an3n 1 选时,设数列bn的公差为 d,由 a23,所以 b1+b23,由 b2n2bn+1, 所以 n1 时,b22b1+1,解得 b1= 2 3,b2= 7 3,所以 d= 5 3, 因此 bn= 53 3 , =(5n3) (1 3) n, Sn21 3 +

    40、7 (1 3) 2+(5n3) (1 3) n, 1 3Sn2 ( 1 3) 2+7 (1 3) 3+(5n3) (1 3) n+1, 两式相减可得2 3Sn= 2 3 +5(1 3) 2+(1 3) 3+(1 3) n(5n3) (1 3) n+1 = 2 3 +5 1 9,1;( 1 3) 1- 1;1 3 (5n3) (1 3) n+1=3 2 10+9 23+1, 所以 Sn= 9 4 10+9 43 选时,设数列bn的公差为 d,d0,由 a23,可得 b1+b23,即 2b1+d3, 由 b1,b2,b4成等比数列,可得 b22b1b4,即(b1+d)2b1(b1+3d) ,化为 b1d, 解得 db11,所以 bnn,nN*; = 31, Sn1 (1 3) 0+21 3 +3 (1 3) 2+n (1 3) n1, 1 3Sn= 1 3 +2 (1 3) 2+(n1) (1 3) n1+n (1 3) n, 两式相减可得2 3Sn1+ 1 3 +(1 3) 2+(1 3) 3+(1 3) n1n (1 3) n ,来源:|.- = 1;1 31 1;13n ( 1 3) n, 化简可得 Sn= 9 4 2+3 431 选时,设数列bn


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