1、2020 年高考数学一模试卷年高考数学一模试卷 一、选择题(共 10 题) 1已知集合 Mx|x0，Nx|lx1，则 MN（ ） A1，+） B（0，1） C（0，1 D0，1 2已知复数 z，则|z|（ ） Al+i B1i C D2 3设数列an是等差数列，a1+a3+a56，a76则这个数列的前 7 项和等于（ ） A12 B21 C24 D36 4已知平面向量 （4，2）， （x，3）， ，则实数 x 的值等于（ ） A6 B1 C D 5已知 x，yR，则“xy”是“1”的（ ） A充分而不必要条件 B必要而不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件 6 如果直线 ax+by
2、1 与圆 C： x2+y21 相交， 则点 M （a， b） 与圆 C 的位置关系是 （ ） A点 M 在圆 C 上 B点 M 在圆 C 外 C点 M 在圆 C 内 D上述三种情况都有可能 7函数 f（x）sin（x+）的部分图象如图所示，则 f（x）的单调递增区间为（ ） A B C D 8某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的表面积为（ ） A8 B C8+2 D8+4 9 已知斜率为 k 的直线 l 与抛物线 C： y24x 交于 A， B 两点， 线段 AB 的中点为 M （1， m） （m0），则斜率 k 的取值范围是（ ） A（，1） B（，1 C（1，+） D1，+） 10在正方
3、体 AC1中，E 是棱 CC1的中点，F 是侧面 BCC1B1内的动点，且 A1F 与平面 D1AE 的垂线垂直，如图所示，下列说法不正确的是（ ） A点 F 的轨迹是一条线段 BA1F 与 BE 是异面直线 CA1F 与 D1E 不可能平行 D三棱锥 FABD1的体积为定值 二、填空题 11已知的展开式中，含 x 3 项的系数为 （用数字作答） 12双曲线 y2x21 的焦点坐标是 ，渐近线方程是 13在疫情防控过程中，某医院一次性收治患者 127 人在医护人员的精心治疗下，第 15 天开始有患者治愈出院，并且恰有其中的 1 名患者治愈出院如果从第 16 天开始，每天 出院的人数是前一天出院
4、人数的 2 倍，那么第 19 天治愈出院患者的人数为 ，第 天该医院本次收治的所有患者能全部治愈出院 14函数 f（x）cos2x 的最小正周期是 ，单调递增区间是 15已知函数 f（x），若关于 x 的方程 f（x） x+a 有且只有两个不 相等的实数根，则实数 a 的取值范围是 三、解答题：共 6 小题，共 85 分，解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程 16在ABC 中，a，b，c 分别是角 A，B，C 的对边，并且 b2+c2a2bc （I）已知 _，计算ABC 的面积； 请从a，b2， sinC2sinB 这三个条件中任选两个，将问题 （I） 补充完整， 并作答注意，只需选择其中的
5、一种情况作答即可，如果选择多种情况作答，以第一种 情况的解答计分 （）求 cosB+cosC 的最大值 17在考察疫情防控工作中，某区卫生防控中心提出了“要坚持开展爱国卫生运动，从人居 环境改善、饮食习惯，社会心理健康、公共卫生设施等多个方面开展，特别是要坚决杜 绝食用野生动物的陋习，提倡文明健康、绿色环保的生活方式”的要求某小组通过问 卷调查，随机收集了该区居民六类日常生活习惯的有关数据六类习惯是：（1）卫生习 惯状况类； （2）垃圾处理状况类； （3）体育锻炼状况类； （4）心理健康状况类； （5） 膳食合理状况类；（6）作息规律状况类经过数据整理，得到如表： 卫生习惯状 况类 垃圾处理状
6、 况类 体育锻炼状 况类 心理健康状 况类 膳食合理状 况类 作息规律状 况类 有效答卷 份数 380 550 330 410 400 430 习惯良好 频率 0.6 0.9 0.8 0.7 0.65 0.6 假设每份调查问卷只调查上述六类状况之一，各类调查是否达到良好标准相互独立 （I）从小组收集的有效答卷中随机选取 1 份，求这份试卷的调查结果是膳食合理状况类 中习惯良好者的概率； （）从该区任选一位居民，试估计他在“卫生习惯状况类、体育锻炼状况类、膳食合 理状况类”三类习惯方面，至少具备两类良好习惯的概率； （）利用上述六类习惯调查的排序，用“k1”表示任选一位第 k 类受访者是习惯良
7、好者， “k0”表示任选一位第 k 类受访者不是习惯良好者（k1，2，3，4，5，6）写 出方差 D1，D2，D3，D4，D5，D6的大小关系 18如图，在四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD 是边长为 2 的菱形，ADC60，PAD 为等边三角形，平面 PAD平面 ABCD，M，N 分别是线段 PD 和 BC 的中点 （I）求直线 CM 与平面 PAB 所成角的正弦值； （）求二面角 DAPB 的余弦值； （）试判断直线 MN 与平面 PAB 的位置关系，并给出证明 19已知函数 f（x）ex（ax+1），aR （I）求曲线 yf（x）在点 M（0，f（0）处的切线方程； （）求函数 f（
8、x）的单调区间； （）判断函数 f（x）的零点个数 20已知椭圆 C：+1（ab0）的离心率为，且过点 A（0，1） （I）求椭圆 C 的标准方程； （）点 P 是椭圆上异于短轴端点 A，B 的任意一点，过点 P 作 PQy 轴于 Q，线段 PQ 的中点为 M 直线 AM 与直线 yl 交于点 N， D 为线段 BN 的中点， 设 O 为坐标原点， 试判断以 OD 为直径的圆与点 M 的位置关系 21 设等差数列an的首项为0， 公差为a， aN*； 等差数列bn的首项为0， 公差为b， bN* 由 数列an和bn构造数表 M，与数表 M*： 记数表 M 中位于第 i 行第 j 列的元素为 c
9、i，j，其中 ci，jai+bj（i，j1，2，3，） 记数表M*中位于第i行第j列的元素为di，j， 其中di，jaibj+1（1ib， iN*， jN*） 如： c1，2a1+b2，dl，2a1b3 （I）设 a5，b9，请计算 c2，6，c396，6，d2，6； （）设 a6b7，试求 ci，j，di，j的表达式（用 i，j 表示），并证明：对于整数 t， 若 t 不属于数表 M，则 t 属于数表 M*； （）设 a6，b7，对于整数 t，t 不属于数表 M，求 t 的最大值 参考答案 一、选择题：共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分，在每小题列出的四个选项中，选出符合题 目要求
10、的一项 1已知集合 Mx|x0，Nx|lx1，则 MN（ ） A1，+） B（0，1） C（0，1 D0，1 【分析】进行交集的运算即可 解：Mx|x0，Nx|lx1， MN（0，1 故选：C 2已知复数 z，则|z|（ ） Al+i B1i C D2 【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简得 z，进而求得结论 解：因为复数 zi（1i）1+i； |z|； 故选：C 3设数列an是等差数列，a1+a3+a56，a76则这个数列的前 7 项和等于（ ） A12 B21 C24 D36 【分析】利用等差数列的通项公式列出方程组，求出首项和公差，由此能求出数列的前 7 项和 解：数列an是等差数
11、列，a1+a3+a56，a76 ，解得 a10，d1， 这个数列的前 7 项和为： 21 故选：B 4已知平面向量 （4，2）， （x，3）， ，则实数 x 的值等于（ ） A6 B1 C D 【分析】利用向量共线的充要条件，列出方程求解即可 解：向量 （4，2）， （x，3），若 ， 可得 122x，解得 x6 故选：A 5已知 x，yR，则“xy”是“1”的（ ） A充分而不必要条件 B必要而不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件 【分析】“xy”与“1”相互推不出，与 y 的正负有关，即判断出关系 解：“xy”与“1”相互推不出，与 y 的正负有关， “xy”是“1”的既不充
12、分也不必要条件 故选：D 6 如果直线 ax+by1 与圆 C： x2+y21 相交， 则点 M （a， b） 与圆 C 的位置关系是 （ ） A点 M 在圆 C 上 B点 M 在圆 C 外 C点 M 在圆 C 内 D上述三种情况都有可能 【分析】由直线与圆相交，可得圆心到直线的距离小于半径，转化为点 M（a，b）到圆 心的距离大于半径得答案 解：直线 ax+by1 与圆 C：x2+y21 相交， 圆心（0，0）到直线 ax+by1 的距离 d1， 即1 也就是点 M（a，b）到圆 C 的圆心的距离大于半径 即点 M（a，b）与圆 C 的位置关系是点 M 在圆 C 外 故选：B 7函数 f（x
13、）sin（x+）的部分图象如图所示，则 f（x）的单调递增区间为（ ） A B C D 【分析】 图象上给出半个周期的长度， 由此可以求出最高点、 曲线和 x 轴交点的横坐标， 即可看出增减区间 解：本题采用赋值法 如图所示，此图象在 x 轴负半轴与 x 轴相交的点为， x 轴负半轴最高点对应的横坐标为， x 轴正半轴与中点为， 所以我们所能看到的图象上对称的特殊点的横坐标分别为， ， ， ， ， ， 增区间里面没有 ，所以 A、B 答案错 C 答案：当 k1 时，区间为（，）为此函数的减区间， D 答案：当 k0 时，区间为 （，） 为此函数的增区间 故选：D 8某四棱锥的三视图如图所示，则
14、该四棱锥的表面积为（ ） A8 B C8+2 D8+4 【分析】首先把三视图转换为几何体，进一步求出几何体的表面积 解：根据几何体的三视图转换为几何体为： 该几何体为四棱锥体，（该题中的三视图要转换角度来看） 如图所示： 所以：8+4， 故选：D 9 已知斜率为 k 的直线 l 与抛物线 C： y24x 交于 A， B 两点， 线段 AB 的中点为 M （1， m） （m0），则斜率 k 的取值范围是（ ） A（，1） B（，1 C（1，+） D1，+） 【分析】设 A（x1，y1），B（x2，y2），设直线 l 的方程为：ykx+b，与抛物线方程联 立，由0 得 kb1，利用韦达定理结合已知
15、条件得 b，m，代入上式即可 求出 k 的取值范围 解：设直线 l 的方程为：ykx+b，设 A（x1，y1），B（x2，y2）， 联立方程，消去 y 得：k2x2+（2kb4）x+b20， （2kb4）24k2b20，kb1， 且，y1+y2k（x1+x2）+2b， 线段 AB 的中点为 M（1，m）（m0）， 2， b，m， m0，k0， 把 b 代入 kb1，得 2k21， k21， k1， 故选：C 10在正方体 AC1中，E 是棱 CC1的中点，F 是侧面 BCC1B1内的动点，且 A1F 与平面 D1AE 的垂线垂直，如图所示，下列说法不正确的是（ ） A点 F 的轨迹是一条线段
16、BA1F 与 BE 是异面直线 CA1F 与 D1E 不可能平行 D三棱锥 FABD1的体积为定值 【分析】分别根据线面平行的性质定理以及异面直线的定义，以及体积公式分别进行判 断 解：对于 A设平面 AD1E 与直线 BC 交于点 G，连接 AG、EG，则 G 为 BC 的中点 分别取 B1B、B1C1的中点 M、N，连接 AM、MN、AN，则 A1MD1E，A1M平面 D1AE，D1E平面 D1AE， A1M平面 D1AE同理可得 MN平面 D1AE， A1M、MN 是平面 A1MN 内的相交直线 平面 A1MN平面 D1AE，由此结合 A1F平面 D1AE，可得直线 A1F平面 A1MN
17、， 即点 F 是线段 MN 上上的动点A 正确 对于 B平面 A1MN平面 D1AE，BE 和平面 D1AE 相交， A1F 与 BE 是异面直线，B 正确 对于 C，由 A 知，平面 A1MN平面 D1AE， A1F 与 D1E 不可能平行，C 错误 对于 D，因为 MNEG，则 F 到平面 AD1E 的距离是定值，三棱锥 FAD1E 的体积为定 值，所以 D 正确； 故选：C 二、填空题：共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分 11已知的展开式中，含 x 3 项的系数为 10 （用数字作答） 【分析】利用二项式展开式的通项公式，求出展开式中含 x3的系数 解：展开式的通项公式为 ， 令
18、 52r3，解得 r1， 所以展开式中含 x3的系数为 故答案为：10 12双曲线 y2x21 的焦点坐标是 （0，） ，渐近线方程是 yx 【分析】通过双曲线的标准方程，求解 c，即可得到所求的结果 解：双曲线 y2x21，可得 a1，b1，则 c ， 所以双曲线的焦点坐标是（0，）， 渐近线方程为：yx 故答案为：（0，）；yx 13在疫情防控过程中，某医院一次性收治患者 127 人在医护人员的精心治疗下，第 15 天开始有患者治愈出院，并且恰有其中的 1 名患者治愈出院如果从第 16 天开始，每天 出院的人数是前一天出院人数的 2 倍， 那么第 19 天治愈出院患者的人数为 8 ， 第
19、22 天该医院本次收治的所有患者能全部治愈出院 【分析】由题意得出院人数构成一个首项为 1，公比为 2 的等比数列，由此能求结果 解：某医院一次性收治患者 127 人 第 15 天开始有患者治愈出院，并且恰有其中的 1 名患者治愈出院 如果从第 16 天开始，每天出院的人数是前一天出院人数的 2 倍， 从第 15 天开始，每天出院人数构成以 1 为首项，2 为公比的等比数列， 则第 19 天治愈出院患者的人数为 a41238， 127， 解得 n7， 第 7+1522 天该医院本次收治的所有患者能全部治愈出院 故答案为：8，22 14函数 f（x）cos2x 的最小正周期是 ，单调递增区间是
20、k+，k+，kZ 【分析】化简函数的表达式，利用余弦函数的图象和性质求解即可 解：函数 f（x）cos2xcos2x+， 可得最小正周期 T， 令 2k+2x2k+2，kZ，可得 k+xk+，kZ， 可得单调递增区间是k+，k+，kZ 故答案为：，k+，k+，kZ 15已知函数 f（x），若关于 x 的方程 f（x） x+a 有且只有两个不 相等的实数根，则实数 a 的取值范围是 （，3） 【分析】由函数 f（x）的解析式画出函数的图象，再画 yx+a 的图象，求出一个交点 时的 a 的值，然后平行移动可得有两个交点时的 a 的范围 解：函数 f（x）的图象如图所示：方程 f（x）x+a 有且
21、只有两个不相等的实数根， 当过（0，3）点时两个函数有一个交点，即 ya，时与函数 f（x）有一个交点，向下平 移后有两个交点， 可得 a3， 故答案为：（，3） 三、解答题：共 6 小题，共 85 分，解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程 16在ABC 中，a，b，c 分别是角 A，B，C 的对边，并且 b2+c2a2bc （I）已知 _，计算ABC 的面积； 请从a，b2， sinC2sinB 这三个条件中任选两个，将问题 （I） 补充完整， 并作答注意，只需选择其中的一种情况作答即可，如果选择多种情况作答，以第一种 情况的解答计分 （）求 cosB+cosC 的最大值 【分析】（） 选
22、b2，sinC2sinB可得 c2b4，结合 b2+c2a2+bc，求得 A即可 若选a，b2由 b2+c2a2+bc 可得 c3 由 b2+c2a2+bc，求得 A即 可 若选a，sinC2sinB， 可得 c2b， 又 b2+c2a2+bc，可得 b，c 即可； （）cosB+cosCcosB+cos（B+）cosBcos（B+）cosB+ sin（B+）1 即可 解：（）若选b2，sinC2sinB sinC2sinB，c2b4， b2+c2a2+bc，cosA ，又A（0，），A ABC 的面积 S 若选a，b2由 b2+c2a2+bc 可得 c3， b2+c2a2+bc，cosA ，
23、又A（0，），A ABC 的面积 S 若选a，sinC2sinB sinC2sinB，c2b， 又 b2+c2a2+bc，b2+4b27+2b2，可得 b ，c ABC 的面积 S （）AcosB+cosCcosB+cos（B+）cosBcos（B+）cosB + sin（B+） ，sin（B+）1， 故 cosB+cosC 的最大值为 1 17在考察疫情防控工作中，某区卫生防控中心提出了“要坚持开展爱国卫生运动，从人居 环境改善、饮食习惯，社会心理健康、公共卫生设施等多个方面开展，特别是要坚决杜 绝食用野生动物的陋习，提倡文明健康、绿色环保的生活方式”的要求某小组通过问 卷调查，随机收集了该
24、区居民六类日常生活习惯的有关数据六类习惯是：（1）卫生习 惯状况类； （2）垃圾处理状况类； （3）体育锻炼状况类； （4）心理健康状况类； （5） 膳食合理状况类；（6）作息规律状况类经过数据整理，得到如表： 卫生习惯状 况类 垃圾处理状 况类 体育锻炼状 况类 心理健康状 况类 膳食合理状 况类 作息规律状 况类 有效答卷 份数 380 550 330 410 400 430 习惯良好 频率 0.6 0.9 0.8 0.7 0.65 0.6 假设每份调查问卷只调查上述六类状况之一，各类调查是否达到良好标准相互独立 （I）从小组收集的有效答卷中随机选取 1 份，求这份试卷的调查结果是膳食合理
25、状况类 中习惯良好者的概率； （）从该区任选一位居民，试估计他在“卫生习惯状况类、体育锻炼状况类、膳食合 理状况类”三类习惯方面，至少具备两类良好习惯的概率； （）利用上述六类习惯调查的排序，用“k1”表示任选一位第 k 类受访者是习惯良 好者， “k0”表示任选一位第 k 类受访者不是习惯良好者（k1，2，3，4，5，6）写 出方差 D1，D2，D3，D4，D5，D6的大小关系 【分析】 （I）设“选取的试卷的调查结果是膳食合理状况类中习惯良好者“的事件为 A， 根据古典概型求出即可； （II）设该区“卫生习惯状况良好者“，“体育锻炼状况良好者“、“膳食合理状况良好 者”事件分别为 A，B，
26、C，设事件 E 为“该居民在“卫生习惯状况类、体育锻炼状况类、 膳食合理状况类”三类习惯方面，至少具备两类良好习惯“，则 P（E）P（AB ）+P （A C）+P（ BC）+P（ABC），求出即可； （III）根据题意，写出即可 解：（I）设“选取的试卷的调查结果是膳食合理状况类中习惯良好者“的事件为 A， 有效问卷共有 380+550+330+410+400+4302500（份）， 其中受访者中膳食合理习惯良好的人数是 4000.65260 人， 故 P（A）0.104； （II）设该区“卫生习惯状况良好者“，“体育锻炼状况良好者“、“膳食合理状况良好 者”事件分别为 A，B，C， 根据题意
27、，可知 P（A）0.6，（B）0.8，P（C）0.65， 设事件 E 为“该居民在“卫生习惯状况类、体育锻炼状况类、膳食合理状况类”三类习 惯方面，至少具备两类良好习惯“ 则 P（E）P（AB ）+P（A C）+P（ BC）+P（ABC） P（A）P（B）P（ ）+P（A）P（ ）P（C）+P（ ）P（B）P（C）+P（A）P（B） P（C） 0.60.80.35+0.60.20.65+0.40.80.65+0.60.80.65 0.168+0.078+0.208+0.312 0.766； （III）D6D1D5D4D3D2 18如图，在四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD 是边长为 2 的
28、菱形，ADC60，PAD 为等边三角形，平面 PAD平面 ABCD，M，N 分别是线段 PD 和 BC 的中点 （I）求直线 CM 与平面 PAB 所成角的正弦值； （）求二面角 DAPB 的余弦值； （）试判断直线 MN 与平面 PAB 的位置关系，并给出证明 【分析】取 AD 中点 O，连接 OC，则 OCAD，再由已知证明 OP平面 ABCD，以 O 为坐标原点，分别以 OC，OD，OP 所在直线为 x，y，z 轴建立空间直角坐标系，求出平 面 PAB 的一个法向量 （）求出的坐标，由 与所成角的余弦值可得直线 CM 与平面 PAB 所成角的正弦 值； （）求出平面 PAD 的一个法向量
29、，再由两平面法向量所成角的余弦值可得二面角 D APB 的余弦值； （）求出的坐标，由，结合 MN平面 PAB，可得直线 MN平面 PAB 解：底面 ABCD 是边长为 2 的菱形，ADC60，ACD 为等边三角形 取 AD 中点 O，连接 OC，则 OCAD， PAD 为等边三角形，OPAD， 又平面 PAD平面 ABCD，且平面 PAD平面 ABCDAD，OP平面 ABCD 以 O 为坐标原点，分别以 OC，OD，OP 所在直线为 x，y，z 轴建立空间直角坐标系 则 A（0，1，0），D（0，1，0），C（，0，0），B（，2，0），P（0，0， ）， M（0，），N（，1，0） ， 设
30、平面 PAB 的一个法向量为 由，取 y，得 （）证明：，设直线 CM 与平面 PAB 所成角为 ， 则 sin|cos|， 即直线 CM 与平面 PAB 所成角的正弦值为； （）解：设平面 DAP 的一个法向量为， 由 cos，得二面角 DAPB 的余弦值为； （）解：， ， 又 MN平面 PAB，直线 MN平面 PAB 19已知函数 f（x）ex（ax+1），aR （I）求曲线 yf（x）在点 M（0，f（0）处的切线方程； （）求函数 f（x）的单调区间； （）判断函数 f（x）的零点个数 【分析】（I）设曲线 yf（x）在点 M（0，f（0）处的切线的斜率为 k，可求得 kf （0）a
31、+1，f（0）1，利用直线的点斜式方程即可求得答案； （）由（）知，f（x）ex（ax+a+1），分 a0 时，a0，a0 三类讨论，即可 求得各种情况下的 f（x）的单调区间为； （）分 a0 与 a0 两类讨论，即可判断函数 f（x）的零点个数 解：（I）f（x）ex（ax+1）， f（x）ex（ax+1）+aexex（ax+a+1）， 设曲线 yf（x）在点 M（0，f（0）处的切线的斜率为 k， 则 kf（0）ex（ax+1）+aexe0（a+1）a+1， 又 f（0）1， 曲线 yf（x）在点 M（0，f（0）处的切线方程为：y1（a+1）x，即（a+1）x y+10； （）由（）知
32、，f（x）ex（ax+a+1）， 故当 a0 时，f（x）ex0，所以 f（x）在 R 上单调递增； 当 a0 时，x（，），f（x）0；x（，+），f（x）0； f（x）的递减区间为（，），递增区间为（，+）； 当 a0 时，同理可得 f（x）的递增区间为（，），递减区间为（，+ ）； 综上所述，a0 时，f（x）单调递增为（，+），无递减区间； 当 a0 时，f（x）的递减区间为（，），递增区间为（，+）； 当 a0 时，f（x）的递增区间为（，），递减区间为（，+）； （）当 a0 时，f（x）ex0 恒成立，所以 f（x）无零点； 当 a0 时，由 f（x）ex（ax+1）0，得：x，
33、只有一个零点 20已知椭圆 C：+1（ab0）的离心率为，且过点 A（0，1） （I）求椭圆 C 的标准方程； （）点 P 是椭圆上异于短轴端点 A，B 的任意一点，过点 P 作 PQy 轴于 Q，线段 PQ 的中点为 M 直线 AM 与直线 yl 交于点 N， D 为线段 BN 的中点， 设 O 为坐标原点， 试判断以 OD 为直径的圆与点 M 的位置关系 【分析】（I）根据题意列出关于 a，b，c 的方程组，解出 a，b，c 的值，即可得到椭圆 C 的标准方程； （）设点 P（x0，y0），则 M（，y0），求出直线 AM 的方程，进而求出点 N 的坐 标，再利用中点坐标公式得到点 D 的
34、坐标，下面结合点 P 在椭圆 C 上证出0， 所以点 M 在以 OD 为直径的圆上 解：（I）由题意可知，解得， 椭圆 C 的标准方程为：； （）设点 P（x0，y0），则 M（，y0）， 直线 AM 的斜率为， 直线 AM 的方程为：yx+1， 令 y1 得，x， 点 N 的坐标为（，1）， 点 D 的坐标为（，1）， （，y0）， 又点 P（x0，y0）在椭圆 C 上， ， 1+y01（1+y0）+y00， 点 M 在以 OD 为直径的圆上 21 设等差数列an的首项为0， 公差为a， aN*； 等差数列bn的首项为0， 公差为b， bN* 由 数列an和bn构造数表 M，与数表 M*：
35、记数表 M 中位于第 i 行第 j 列的元素为 ci，j，其中 ci，jai+bj（i，j1，2，3，） 记数表M*中位于第i行第j列的元素为di，j， 其中di，jaibj+1（1ib， iN*， jN*） 如： c1，2a1+b2，dl，2a1b3 （I）设 a5，b9，请计算 c2，6，c396，6，d2，6； （）设 a6b7，试求 ci，j，di，j的表达式（用 i，j 表示），并证明：对于整数 t， 若 t 不属于数表 M，则 t 属于数表 M*； （）设 a6，b7，对于整数 t，t 不属于数表 M，求 t 的最大值 【分析】（）将 a5，b9 代入，可求出 an，bn，可代入求
36、 ci，j，di，j，可求结果 （）可求 ci，j，di，j，通过反证法证明， （）可推出 tM，tM*，t 的最大值，就是集合 M*中元素的最大值，求出 解：（1）由题意知等差数列an的通项公式为：an5n5； 等差数列bn的通项公式为：bn9n9， 得 ci，jai+bj（5i5）+（9i9）5i+9j14， 则 c2，650，c396，62020， 得 di，jaib j+1（5i5）9（j+1）95i9j5， 故 d2，649 （2）证明：已知 a6b7，由题意知等差数列an的通项公式为：an6n6； 等差数列bn的通项公式为：bn7n7， 得 ci，jai+bj（6i6）+（7i7）
37、6i+7j13，iN*，jN*） 得 di，jaib j+1（6i6）7（j+1）76i7j6，1i7，iN*，jN*） 所以若 tM，则存在 uN，vN，使 t6u+7v， 若 tM*，则存在 uN，u6，vN*，使 t6u7v， 因此，对于正整数 t，考虑集合 M0x|xt6u，uN，u6， 即t，t6，t12，t18，t24，t30，t36 下面证明：集合 M0中至少有一元素是 7 的倍数 反证法：假设集合 M0中任何一个元素，都不是 7 的倍数，则集合 M0中每一元素关于 7 的余数可以为 1，2，3，4，5，6， 又因为集合 M0中共有 7 个元素，所以集合 M0中至少存在两个元素关
38、于 7 的余数相同， 不妨设为 t6u1，tu2，其中 u1，u2N，u1u26则这两个元素的差为 7 的倍数，即 （tu2）（t6u1）6（u1u2）， 所以 u1u20，与 u1u2矛盾，所以假设不成立，即原命题成立 即集合 M0中至少有一元素是 7 的倍数，不妨设该元素为 t6u0，u06，u0N， 则存在 sZ，使 t6u07s，u0N，u06，即 t6u0+7s，u0N，sZ， 由已证可知，若 tM，则存在 uN，vN，使 t6u+7v，而 tM，所以 S 为负整数， 设 Vs，则 vN*，且 t6u07v，u0N，u06，vN*， 所以，当 a6，b7 时，对于整数 t，若 tM，则 tM*成立 （）下面用反证法证明：若对于整数 t，tM*，则 tM，假设命题不成立，即 tM*， 且 tM 则对于整数 t，存在 nN，mN，uN，u6，vN*，使 t6u7v6n+7m 成立， 整理，得 6（un）7（m+v）， 又因为 mN，vN*， 所以 un（m+v）0 且 un 是 7 的倍数， 因为 u一、选择题，u6，所以 un6，所以矛盾，即假设不成立 所以对于整数 t，若 tM*，则 tM， 又由第二问，对于整数 tM，则 tM*， 所以 t 的最大值，就是集合 M*中元素的最大值， 又因为 t6u7v，uN，vN*，u6， 所以 tmax（M*）max667129
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